Помимо математики (практически всех ее областей) Эйлер занимался еще астрономией, гидродинамикой, теорией объективов, экспертизой технических проектов – например, одноарочного моста через Неву, предложенного И.П. Кулибиным… Ученый занимался даже воздухоплаванием – незадолго до кончины он рассчитывал полет аэростата. Эйлер вообще «переводил» на математический язык все, что окружало его, – баллистику, музыку, затмение Солнца, страховое дело, лотереи, приливы и отливы морей, остойчивость и маневрирование корабля, прочность строительных конструкций, теорию турбин, длину астрономических труб… И в любой области теоретического и прикладного знания ученый достигал выдающихся результатов, совершил множество открытий. Без натяжки можно утверждать, что само слово «открытие» лучше всего сочетается с именем Эйлера.
Его работоспособность была потрясающа. В 1735 г. академии надо было срочно осуществить трудоемкие расчеты траектории кометы. Группа ученых готова была сделать это за 3 месяца. Тогда Эйлер взялся за расчеты и провел их – за 3 дня!
О феноменальных способностях математика сохранилось много воспоминаний. Так два студента, выполняя астрономические вычисления, получили различающиеся результаты в 50-м знаке и обратились к профессору за помощью. Тот в уме вычислил и выдал им верный результат.
Но перейдем к математике, которой ученый посвятил 315 своих сочинений, и к главному открытию Эйлера.
Современная Математическая энциклопедия указывает двадцать математических объектов (уравнений, формул, методов), которые носят имя Эйлера. При этом надо учесть, что большая часть теорем и методов Эйлера идут ныне под другими именами.
Дело в том, что в математике (а заодно в механике, физике, астрономии, биологии и т. д.) Эйлер не просто развивал уже существовавшие области, а открывал новые. У него на это дело была легкая рука. Математик подарил человечеству общую теорию чисел, теорию графов (топологию), теорию функций комплексного переменного, теорию кораблестроения и кораблевождения, теорию специальных функций, теорию движения твердого тела, сопротивление материалов…
Что же касается главного открытия ученого – математического анализа, которое главным назвать можно лишь условно, как один из хребтов горной цепи, им Эйлер занимался практически всю свою жизнь. Вообще большинство работ ученого посвящено анализу. Математик пропустил через себя целые его отделы, существенно упростив их и дополнив. Бесконечно малые, интегрирование функций, теории рядов, дифференциальные уравнения…
«Следов» в матанализе Эйлер оставил столько, что их еще век «открывали» и печатали в самых элитарных научных сборниках. В современном анализе Эйлер вообще поминается чаще других математиков. Непогрешимый авторитет ученого зацементировал многие данные им обозначения (например, числа е и π), а тригонометрию и вовсе как науку сохранил в ее первозданном – созданном им в виде. В учебных заведениях этот раздел математики, изучающий тригонометрические функции и их применение к решению задач, преподают так, как ученый изложил его 250 лет назад. Кстати, как и логарифмы.
Согласно определению математический анализ – это совокупность разделов математики, посвященных исследованию функций и их обобщений методами дифференциального и интегрального исчислений. В него также входят еще ряд других математических дисциплин.
Этот самый фундаментальный труд в истории математики состоит из шести томов.
Двухтомник «Введение в анализ бесконечных» был издан в 1748 г. в Лозанне. Этот первый учебник по аналитической геометрии написан до того увлекательно и доступно, что и по сию пору не нашлось смельчака изложить его по-своему. В 1755 г. в Берлине вышло продолжение – «Дифференциальное исчисление», а в 1768–1770 гг. в Санкт-Петербурге – «Интегральное исчисление» и «Полное введение в алгебру», посвященное теории алгебраических уравнений. В 1774 г. увидел свет последний, шестой том – «Метод нахождения кривых линий, обладающих свойствами максимума или минимума», в котором Эйлер впервые изложил вариационное исчисление.
По этим книгам учились все европейские математики до середины XIX в. В 1849 г. К.Ф. Гаусс писал, что «изучение всех работ Эйлера останется навсегда лучшей, ничем не заменимой школой в различных областях математики». Слова «короля математиков» не потеряли своей актуальности и сегодня.
А мы никогда не забудем, что у Эйлера помимо его математического анализа есть еще два главных открытия: он открыл России науку в высшем ее понимании, а саму Россию открыл не только миру науки, но и всему миру.
ГЕОМЕТРИЯ ВСЕЛЕННОЙ ЛОБАЧЕВСКОГО
Один из крупнейших математиков всех времен, прозванный в мире «Коперником геометрии», ректор Казанского университета, Николай Иванович Лобачевский (1792–1856) является творцом неэвклидовой геометрии (геометрии Лобачевского), совершившей переворот в представлении о природе пространства. Не понятое и не принятое современниками ученого, а позднее названное «геометрией Вселенной», это открытие оказало огромное влияние на развитие математического мышления и стало одним из оснований современной математики и теоретической физики, в частности специальной (частной) и общей теории относительности.
Над входом в Академию Платона было написано: «Да не войдёт сюда не знающий геометрии». Эта надпись понятна каждому образованному человеку, для которого главной наукой является философия, а ее преддверием служат математические науки: арифметика, музыка, геометрия, астрономия. Не погрешив против истины, скажем, что в начале всех наук была именно геометрия, родившаяся буквально на земле – для ее измерения. Первый учебник т. н. эвклидовой геометрии – «Начала» (285 г. до н. э.) – создал древнегреческий математик Эвклид.
За долгую историю эвклидова геометрия обогатилась новыми разделами: проективной геометрией, аффинной и т. д., но неизменными остались ее основные аксиомы (их пять). Как известно, аксиомы служат отправными точками доказательств, а сами не доказываются. Но только не математиками. Сотни ученых почитали за честь доказать V аксиому о параллельных: «Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, лежащая с данной прямой в одной плоскости и не пересекающая ее». Они считали ее недостаточно очевидной и полагали, что это – теорема, которая обязательно доказывается. Среди пытавшихся осуществить это было много выдающихся математиков – Птолемей, Хайям, Лежандр, Ламберт и др.
Н.И. Лобачевский в работе «О началах геометрии» (1829) впервые предложил свою – неэвклидову – геометрию, основанную на допущении аксиомы, противоположной V аксиоме Эвклида. (Через ту самую точку – предположил ученый – можно провести не одну, а сколько угодно прямых.) Не вдаваясь в подробности, скажем только, что она заключает в себе эвклидову как частный (предельный) случай. Автор назвал свою геометрию «воображаемой», а ученый мир – «геометрией Лобачевского».
Н.И. Лобачевский. Художник Л.Д. Крюков
За несколько лет до Лобачевского готов был заявить о неэвклидовой геометрии и знаменитый немецкий ученый, «король математиков» К.Ф. Гаусс. Однако в начале XIX в. эвклидова геометрия обладала таким несокрушимым авторитетом, что Гаусс счел невозможным выступить против мнения научного света. Ведь отрицать одну из основных аксиом эвклидовой геометрии (а пришлось сделать именно это) значило отрицать и саму геометрию. Это было бы безумием.
Когда же Гаусс спустя несколько лет познакомился с работами русского ученого, он, не высказав публично своего отношения к ним, в своих дневниках и письмах восторгался «мастерским сочинением» Лобачевского, приносящим «совершенно исключительное наслаждение».
Судьба распорядилась так, что революцию в математике произвел Лобачевский. В 1826 г. ученый представил свою «воображаемую» геометрию на заседании отделения физико-математических наук Казанского университета. Коллеги познакомились с сочинением «Сжатое изложение основ геометрии со строгим доказательством теоремы о параллельных» и только пожали плечами. Они не приняли новой теории, так как ничего не поняли в ней.
От Санкт-Петербургской АН также пришел отрицательный отзыв маститого математика М.В. Остроградского. Тем более ничего не поняли в неэвклидовой геометрии борзописцы от московской журналистики, вволю поиздевавшиеся над чудаком провинциалом и его «воображаемой» наукой.
Однако Лобачевский не пал духом и продолжил разработки своей геометрии. Его никто не поддержал в этом занятии, не одобрил, не понял. Раз только, в 1842 г., профессор механики Казанского университета П.И. Котельников прозорливо отметил, что «изумительный труд Лобачевского… рано или поздно найдет своих ценителей». Это было единственное прижизненное официальное признание неэвклидовой геометрии Лобачевского в России.
За рубежом математику повезло больше. В конце 1830-х гг. в одном из французских научных журналов была опубликована «Воображаемая геометрия», а в Берлине – «Геометрические исследования по теории параллельных линий». Именно эта брошюра привела Гаусса в восторг. Чтобы познакомиться с другими сочинениями Лобачевского, немецкий ученый даже выучил русский язык. В 1842 г. по представлению Гаусса Лобачевский был избран членом-корреспондентом Геттингенского научного общества.
Надо сказать, что неэвклидова геометрия была не единственным детищем русского математика. Ряд блестящих работ Лобачевский опубликовал по алгебре, математическому анализу, механике, физике и астрономии. Именно они и составили прижизненную славу выдающегося математика.
Жизнь Лобачевского была обычной жизнью провинциала и шла «параллельно» жизни столиц. Был женат, с некоторой выгодой, но не очень счастливо. Вырастил семерых детей (еще несколько умерли). Большую часть времени отдавал работе. По утрам обливался холодной водой, любил покурить, после рюмочки хереса посидеть за преферансом, съездить на охоту… Но это – дома, на досуге, а вне дома Николай Иванович отдавал себя целиком науке и университету.