– частота
– круговая частота
__
Рассмотрим по методу Релея колебания двухопорной однопролетной балки (вала), нагруженной сосредоточенной силой посередине [2,с.65].
Обобщенное перемещение:
Кинетическая энергия груза:
Уравнение упругой линии:
Интегрируя последовательно:
Прогиб:
Прогиб посередине пролета:
Следовательно,
Как видно, прогибы x и xc являются динамическими прогибами, а не статическими, и имеют переменное значение, зависящее от времени.
Так, формула прогиба имеет переменное от времени значение так как сила Р, состоящая из веса груза и сил инерции зависит от времени.
Кинетическая энергия стержня:
Полная кинетическая энергия системы:
Потенциальная энергия системы:
Уравнение Лагранжа:
Эта формула аналогична формуле движения груза, подвешенного на пружине, имеющий общий интеграл .
Используя этот интеграл находим:
– период:
– частоту
– круговая частота
Если собственную массу балки не учитывать:
Т.е. к массе мешалки необходимо прибавить от веса вала.
__
Рассмотрим по методу Релея колебания двухопорной однопролетной балки (вала), нагруженной сосредоточенной силой в произвольном положении [2,с.70].
Обобщенное перемещение:
Кинетическая энергия груза:
Кинетическая энергия элемента балки dc:
Уравнение изогнутой оси балки (вала):
В точке приложения груза:
При формула имеет вид, как для предыдущего примера:
Потенциальная энергия системы:
Уравнение Лагранжа:
Для статического удлинения k необходим груз:
Находим:
– период
– частоту
– круговая частота
__
Рассмотрим по методу Релея колебания двухопорного однопролетного вала, нагруженной двумя произвольно приложенными сосредоточенными силами [2,с.76].
Ограничения метода Релея приводят систему к системе с 1 степенью свободы. При точном рассмотрении системы, она имеет множество степеней свободы.
Перемещение каждого груза:
Наибольшие перемещения грузов являются амплитудой для, для
Скорости грузов:
Максимальная скорость при
Максимальная скорость соответсвует переходу точки через статическое равновесие, т.к. фаза pt равна 0° или 180° при положении точки с на оси балки.
Скорость колебаний переменная, так как колебание происходит по закону синусоиды, например,. При изменении положения и скорости точки, меняется энергия колебания. При колебании происходит непрерывный взаимный переход кинетической энергии в потенциальную.
Сумма энергий постоянна и является полной энергией системы при рассмотрении идеального случая без потерь:
Для какого-либо конкретного положения системы:
При нахождении точки на оси абсцисс (оси вала), потенциальная энергия равна нулю, кинетическая максимальная:
Т.е. вся полная энергия системы является максимальной кинетической энергией.
Для фазы pt равной 90° или 270° кинетическая энергия равна нулю, а потенциальная энергия максимальная:
Т.е. вся полная энергия системы является потенциальной энергией.
Можно записать:
Для случая рассматриваемого груза:
Из этой формулы находится круговая частота:
Период колебаний:
___
Для трех грузов на валу, круговая частота запишется по формуле:
__
Для n грузов круговая частота запишется по формуле:
Как можно видеть, определение круговой частоты сводится к нахождению статических прогибов. Прогибы могут быть также найдены графоаналитически.
Для одного груза круговая частота запишется по формуле:
__
Рассмотрим по методу Релея колебания двухопорного однопролетного вала, нагруженной распределенной нагрузкой [2,с.81].
Мешалки являются сосредоточенной нагрузкой на валу и пример приводится для сведения.
Балка с распределенной нагрузкой условно разбивается на ряд участков с заменой распределенной нагрузки, приходящейся на каждый участок, сосредоточенной силой, приложенной по центру тяжести участка.
Колебания системы с распределенной нагрузкой находятся по приведенной выше формуле:
Точность решения зависит от числа n участков.
Прогибы находят по уравнению упругой линии с равномерно распределенной нагрузкой:
Для 8 участков (8 прогибов):
С учетом этого, уравнение упругой линии:
С учетом того, что
__
Рассмотрим по методу Релея колебания балки на нескольких опорах [2,с.87].
Схема трехопорного неразрезного вала подходит для однопролетного вала, имеющего дополнительный короткий пролет в верхней стойке привода электродвигателя.
В целом многопорный вал больше соответствует конструкциям полупогружных насосов, погружных электродвигателей, но пример трехопорного вала нужно использовать в проектировании химических и нефтяных аппаратов с перемешивающими устройствами.
Форма прогиба такая же как у статического прогиба под действием сил, применяя принцип Даламбера (приводя динамическое нагружение к статическому приложению сил).
Силы инерции вызывают дополнительный прогиб х1 и х2. Их уравновешивают дополнительные силы упругости, возникшие из-за этого прогиба.
k1 – прогиб в сечении I от силы равной 1 и приложенной в сечении I,
k2 – прогиб в сечении I от силы равной 1 и приложенной в сечении II,
k3– прогиб в сечении II от силы равной 1 и приложенной в сечении I,
k4 – прогиб в сечении II от силы равной 1 и приложенной в сечении II,
Сила инерции в сечении I:
Сила инерции в сечении II:
Сила равная 1 приложенная в сечении I вызывает прогиб k1, а сила инерции в этом же сечении вызывает прогиб:
Прогиб в этом же сечении от силы инерции, приложенной в сечении II:
Полный прогиб в сечении I:
Полный прогиб в сечении II:
Полученные уравнения для х1 и х2 являются дифференциальными уравнениями движения для рассматриваемого случая трехопорного вала.
Коэффициенты в уравнениях находятся по принципу сложения сил, по которому прогиб в любой точке вала под действием сосредоточенных сил получается в виде суммы прогибов от каждой из силы по отдельности (для прогиба в сечении I находятся и суммируются прогибы от сил Q1, Q2, RC).
Уравнение упругой линии для левой части вала (с – расстояние между правой опорой и точкой приложением силы):
Прогиб в месте приложения груза:
Находится неизвестная реакция опоры RC для статически неопределимого трехопорного вала (балки). Для нахождения реакции RC принципом сложения сил отбрасывается средняя опора вала и заменяется направленной снизу вверх реакцией RC. Так получается статически определимая система, нагруженная 3 силами: известными Q1 и Q2 и неизвестной реакцией RC. Сумма прогибов от каждой силы в точке с равна нулю так как в этой точке находится опора. И из условия равенства нулю прогибов находится реакция RC.
Прогиб от силы Q1 в точке с:
Прогиб от силы Q2 в точке с:
Прогиб от силы RC в точке с:
Вместо прогибов в формулу подставляются их значения:
Из этоф формулы находится Rc
Находится прогиб в сечении I по известной RC. Прогиб равен сумме прогибов от сил Q1, Q2, RC
Прогиб в сечении I от силы Q1(c = l – a1)
Прогиб в сечении I от силы RC(c = l2и y = a1)
Подставляя значение RC
Прогиб в сечении I от силы Q2(c = a2и y = l – a2)
Суммарный прогиб в сечении
Формула прогиба в сечении I зависит от силы Q1 и силы Q2. Группируются члены, содержащие силу Q1 c получением формулы прогиба в сечении от силы равной Q1, приложенной в сечении I:
Если в эту формулу вести Q1= 1, то формула покажет прогиб в сечении I от единичной силы, приложенной в сечении I:
Если в полученном уравнении Q2= 1
если в эту формулу вести Q2= 1,
Прогиб в сечении II от силы Q1
Прогиб в сечении II от силы RC
Прогиб в сечении II от силы Q2
Полный прогиб в сечении II
Группируя члены для сил Q1 и Q2 и принимая эти силы равными 1: