Теперь решаются уравнения прогибов х1и х2. Коэффициент k3 заменяется на равный k2.
Вал совершает гармонические колебания:
Производные этих последних уравнений по времени:
Теперь в полученные ранее формулы для х1 и х2 подставляются вторые производные:
После преобразований:
Для определения частоты р необходимо приравнять нулю определитель:
После группировки членов, содержащих р2 и р4:
Полученная формула решается для нахождения р2:
В результате решения получаются два значения частот, соответствующих двум возможным формам колебания вала. При первой форме два груза движутся вверх, при второй форме один груз движется вверх, а другой груз движется вниз.
Критические скорости вала:
Аналогично двухпроленому валу находят частоты колебаний для многопролетных неразрезных валов.
__
Критические скорости валов относительно поперечных колебаний
Рассмотрим однопролетный вал с силой, приложенной посередине [2,с.97].
Вал жесткий:
Массой вала пренебрегаем, центр тяжести нагрузки и ось вала не совпадают за счет неточности изготовления и прогиба системы от собственного веса.
При вращении возникает центробежная сила:
Внутренняя сила упругости:
Уравнение прогиба по условию равновесия:
После решения относительно х:
Вводится обозначение:
(р – круговая частота собственных колебаний)
Получается:
Из формулы видно, что при совпадении собственной частоты поперечных колебаний со скоростью вала прогиб стремиться к бесконечности и наступает явление резонанса.
Скорость вала, равная частоте собственных поперечных колебаний, является критической скоростью.
Критическое число оборотов вала:
Нахождение критического числа оборотов вала состоит в задаче нахождения частоты собственных поперечных колебаний.
При скоростях свыше критической, центр тяжести вала устанавливается между точкой эксцентриситета на предыдущем рисунке и недеформированной осью вала.
Гибкий вал:
В этом случае формула изменится на формулу:
т.е. между х и e поменяется знак с «+» на «-».
Из этой формулы:
Из формулы видно, что с ростом скорости за пределом критической частоты прогиб вала стремится выпрямится. В пределе при x = e вал имеет прямую ось.
Лунц указывает [2,с.99] о доказательстве этого положения в работе Фепля и в работе Зоммерфельда.
__
Из формулы видно, что прогиб уменьшается с уменьшением или .
При конструировании вала необходимо уменьшать критическую частоту вала или равную ей частоту собственных поперечных колебаний вала.
Из формулы собственной круговой частоты
видно, что для уменьшения частоты р (равной критической) следует увеличить статическую деформацию вала. То есть сделать вал гибким, число оборотов которого выше резонансной частоты.
Здесь под гибким валом не понимается вал со свободно перемещающимся сечением и осью с двоякой кривизной [2,с.100].
Для изменения жесткости вала изменяют его длину, размеры сечения (инерциальные характеристики).
__
Приведем несколько отличающееся описание выкладок расчета критических оборотов вала в работе Тимошенко [31].
Тимошенко указывает [31,с.256] о возникновении критических колебаний вследствие эксцентриситета масс, возникших при изготовлении вала (биение поверхности).
Из приведенной выше теории ясно, что колебания возникают и для идеальной оси, то есть эксцентриситет сам по себе не вызывает поперечных колебаний, но, конечно может влиять на их величину.
По Тимошенко изгиб продолжается до тех пор, пока упругие силы не уравновесят центробежную силу.
Центробежная сила:
Упругая сила:
Приравнивая:
На невысокой угловой скорости с эксцентриситетом близким к нулю, прогиб незначителен. С увеличением ω прогиб увеличивается и при становится.
В этом случае угловая скорость является критической скоростью:
При превышении критической скорости формула равновесия:
(изменился знак между y и e с «+» на «+»).
Формула показывает, что с увеличением частоты, прогиб уменьшается.
После этого Тимошенко [31,с.258] принимает для анализа вала модель, в которой сам вал вращается вокруг своей оси (изогнутой оси) с частотой ω, и плоскость вала вращается вокруг прямой оси с такой же частотой ω.
В этом случае на вал будет действовать сила
Работа центробежной силы:
Из этой формулы получается такая же формула для критической частоты.
Оценивается влияние массы вала на значение критической частоты. Используется метод Релея. Задается вид кривой изгиба вала. Этим система вала преобразуется в систему с одной степенью свободы. Для вала с одной мешалкой (η – прогиб):
Для нескольких мешалок на валу:
Второй член левой части формулы относится к работе центробежной силы.
Некорректность этих формул в том, что они не учитывают наклон плоскостей мешалок к оси вала.
Наклон мешалок за счет появления моментов сил инерции противодействует изгибу вала, т.е. повышает жесткость и увеличивает значение критической частоты.
Тимошенко [31,с.260] рассматривает вал с 4 дисками:
Горизонтальные силы уравновешиваются, вертикальные силы приводятся к паре сил и силе в плоскости xy. Пара сил:
Все пары приводятся к паре (θ – момент инерции мешалки относительно оси z).
Пара производит работу против искривления оси вала
Формула для определения критической частоты:
Тимошенко называет приведенную формулу общим решением о разыскании критической угловой скорости [31,с.260].
__
По изложенной выше теории поперечных колебаний можно определять собственные частоты колебаний валов для различных конструктивных компоновок перемешивающих устройств, а затем по приведенным выше формулам рассчитывать критические обороты вала.
Совместное действие поперечных и крутильных колебаний на вал
Тимошенко С.П. в работе [30,с.427] подробно рассмотрел проблему совместного действия изгибных и крутильных колебаний на балку. Для рассматриваемого им случая изгибные колебания проходили не в плоскости симметрии стержня, в результате чего возникают крутильные колебания. В нашем случае крутильные колебания возникают при вращении вала с мешалками. Однако, выводы полученные Тимошенко могут быть применены для анализа совместного действия поперечных и крутильных колебаний вала с мешалками.
Для вертикальной нагрузки кривая прогиба:
(w – интенсивность распределения поперечной нагрузки, за положительное направление принимается верх)
Нагрузку, распределенную вдоль центральной оси заменяют нагрузкой, проходящей через центр сдвига, и распределенный крутящий момент интенсивностью wc.
Крутящий момент:
R – крутильная жесткость, R1 – жесткость стесненного кручения.
Дифференцируя получается:
Уравнение показывает связь между изгибом и кручением при приложении статической нагрузки вдоль оси.
Интенсивность поперечных сил инерции
Интенсивность моментов инерции
Iп – центральный полярный момент инерции сечения вала.
Формулы для совместных изгибных и крутильных колебаний:
Вал колеблется в одной из собственных форм колебаний.
р – круговая частота колебаний,
Х, Х1 – нормальные функции, решения которых отыскиваются для удовлетворения граничным условиям.
После подстановки:
Тимошенко приводит пример стержня со свободно опертыми концами:
Функции Х и Х1 в этом случае:
Ci и Di – произвольные постоянные.
Вводятся обозначения:
После подстановки получается:
Решения для Ci и Di находятся в случае, если определитель уравнений равен нулю.
В этом случае частотное уравнение:
Из этой формулы:
Для случая совпадения центра тяжести с центром сдвига, то есть с = 0 и λ =0:
Из формулы получаются две системы значений частот:
Полученные частоты являются несвязанных друг с другом и независимых друг от друга частот изгибных (поперечных) и крутильных колебаний. Аналогичные результаты получаются для стержней с другими условиями закрепления концов.
Связанные изгибно-крутильные колебания можно найти методом Релея-Ритца [30,с.430].
__
Итак, по представленным данным Тимошенко возможен раздельный расчет на поперечные и крутильные колебания, либо расчет на изгибно-крутильные колебания методом Релея-Ритца.
Результат этого вывода может быть использован конструкторами для упрощения проблем проектирования валов с мешалками. То есть выполнять расчет поперечных колебаний и расчет крутильных колебаний по отдельности. Для определенных технических целей необходимо выполнение только одного из видов расчетов. Изложенная теория даст более глубокое понимание физики колебаний вала. Однако, правильно выполнять расчет на изгибно-крутильные колебания вала с мешалками.
Расчет изгибно-крутильных колебаний вала с мешалками по данным [32].
Рассмотрим шарнирно опертый стержень [32,с.200]. Система уравнений распадется на две независимые системы. Уравнение, описывающее только изгибные колебания в плоскости симметрии: