Уравнения, описывающие изгибно-крутильные колебания:
Граничные условия при x = 0 и x = l:
Граничные условия удовлетворяются при:
Собственные частоты определяются из формулы:
Частоты изгибных и крутильных колебаний :
Собственные частоты колебаний:
При a3 = 0 центр тяжести и центр изгиба совпадают,
__
Как видно, формулы Тимошенко и по справочнику [32] для определения поперечных и изгибных колебаний почти полностью совпадают.
Однако, Тимошенко указывает о независимости от и необходимости применения метода Релея-Ритца.
__
Таким образом, для вала с мешалками как для балки по приведенной выше теории должны быть рассчитаны поперечные колебания, например, для неразрезной балки на трех опорах.
Затем должны быть рассчитаны крутильные колебания. Но в процессе перемешивания крутильных колебаний может и не возникать, в этом случае критические частоты будут строго соответсвовать поперечным частотам собственных колебаний. В случае наличия крутильных колебаний, их необходимо определить и проверку прочности выполнить для поперечных и крутильных колебаний.
Метод определения критической скорости по работе Тимошенко [31], где колебания связываются с эксцентриситетом необходимо считать некорректным. Колебания возникнут и при отсутсвиии эксцентриситета, однако, условия для статической балки и вращающегося вала с учетом эксцентриситета будут отличаться.
__
Тимошенко указывает о необходимости численного выполнения расчетов колебаний в работе [30]. То есть в том числе маститый специалист признает превосходство численных методов над ручными расчетами.
__
Итак, можно сделать следующий вывод: теорию колебаний можно применять для ручного расчета на практике, но она больше необходима для глубокого понимания физики процесса колебаний, а расчеты должны выполняться методом конечных элементов в специальном программном пакете, например, ANSYS.
Расчет валов методом конечных элементов
В динамической задаче воздействие внешних сил является функцией времени. Напряженно-деформированное состояние зависит от времени. Время является дополнительным параметром, усложняющим расчет по сравнению со статическими расчетами.
Уравнения движения динамической системы выводятся с применением принципа Даламбера, на основе принципа возможных перемещений, на основе вариационного принципа Гамильтона.
Метода Даламбера удобно применять для систем с небольшим числом степеней свободы [20,с.486], к которым относятся валы с мешалками. Но вариационный подход Гамильтона является обобщением методов. Поэтому расчет вала с мешалками методом конечных элементов приведем на основе вариационного подхода Гамильтона.
Принцип Гамильтона записывается в форме [20]:
(Т и П – кинетическая и потенциальная энергии, Wne – силы демпфирования).
Функционал Лагранжа [20]:
Функционал Лагранжа по принципу Гамильтона при возможных перемещениях удовлетворяет условиям совместности и граничным условиям на контуре в течении времени от t1 до t2 и имеет стационарное значение.
Начальное положение для вариационной формулировки МКЭ следует при Т = 0 и Wne = 0:
Введем зависимости для Т, П и Wne от обобщенных перемещений, скоростей и сил [20]:
После подстановки в интеграл и преобразований получим уравнение движения Лагранжа:
Для конечного элемента объема V [20]
– кинетическая энергия в матричной форме:
– потенциальная энергия (складывающаяся из внутренней энергии деформации, потенциальной энергии внешних объемных и внешних поверхностных сил):
В конечном элементе поле перемещений и деформаций записываются интерполяционными функциями:
Скорость связана с обобщенной скоростью:
Силы демпфирования пропорциональны скоростям (являются неконсервативными):
Обобщенные силы в узлах конечного элемента при допущении о равномерном распределении сил демпфирования в единице объема, записываются формулой:
Формулы для кинетической и потенциальной энергии можно записать после преобразований в виде:
После подстановки записанных формул в первую формулу вариационной формулировки, получается матричная формулировка конечного элемента [20]:
m – матрица масс, c – матрица демпфирования элемента, k – матрица жесткости, Qe – вектор обобщенных сил в узлах конечного элемента.
В результате составляется уравнение движения системы конечных элементов на основе уравнений движения одного (каждого) конечного элемента [20]:
М – матрица масс, С – матрица демпфирования, K – матрица жесткости, Q – вектор обобщённых сил.
__
Собственные колебания вала находят решением последней записанной системы дифференциальных уравнений. Для колебаний без затухания, система запишется в виде [20,с.500]:
Матричное уравнение запишется в виде т.к.:
Уравнение имеет решение при равном нулю детерминанте системы:
Матрица массы конечного элемента записывается формулой:
Для плоского линейного элемента перемещения описываются полиномами Гермита [20,с.491], матрица жесткости запишется:
После преобразований [20]:
Для конечного элемента, показанного на рисунке выше, с нагрузкой вдоль оси и с узлами на концах, с применением линейных интерполяционных функций, матрица масс записывается в виде [20,с.492]:
Запишем формулу для матрицы жесткости.
На рисунке показан стержневой элемент под действием изгиба [20,с.69]:
Вектор параметров перемещений в узлах элемента имеет два перемещения и два вращения:
Перемещение выражается в виде полинома с четырьмя суммированными координатами. Можно записать:
Угол
Перемещения и вращения на концах стержня:
Матрица С [20,с.70]:
Матрица интерполяционных функций, посредством которой вводится связь между перемещениями на краях и для любой точки по оси стержневого элемента:
Делитация связана с перемещением:
Для вектора деформации:
(составляющие деформации в зависимости от составляющих перемещений находятся применением матрицы оператора над матрицей интерполяционных функций).
L – матрица-оператор, для плоских задач
Ar – матрица интерполяции
Для матрицы интерполяции могут быть приняты функции вида:
По уравнению :
Пропуская математические выкладки, получается:
Для конечного элемента так как перемещения на концах равны нулю, матрица жесткости записывается в виде [20,с.505]:
Теперь, подставив в уравнение матрицы получится:
Вводится обозначение:
Характеристическое уравнение:
В виде многочлена (см. о решении уравнений в программе MathCAD):
Для случая б), т.е. для второй части на рисунке выше, перемещение в узле 1 и вращение в узле 2 равны 0. С учетом этого матрицы k и m уменьшаются:
Характеристическое уравнение:
В виде многочлена:
Эпюра собственных колебаний вала:
__
Итак, в разделе показаны теоретические основы расчета методом конечных элементов валов на свободные колебания.
Теорию можно сравнить с теорией ручного расчета по теории колебаний. Можно сделать вывод о том, что по теории колебаний применяется принцип Даламбера, для приближенного исследования колебаний используется метод Релея, а в расчетах по МКЭ используется вариационная формулировка по принцип Гамильтона с составлением и решением матриц.
Расчет по методу МКЭ является более обоснованным теоретически и позволяет выполнять расчет валов с мешалками и опорными узлами любой конфигурации.
Можно сделать вывод о том, что квалификации расчетчиков для расчетов ручным методом по теории колебаний и расчетов МКЭ являются приблизительно одинаковыми на основании сравнения сложности расчетных методик.
Нормативная методика по РТМ не выглядит обоснованной по сравнению с расчетами МКЭ и ручными расчетами по теории колебаний.
Мешалки
В настоящее время эффективность перемешивания определяется помещением индикатора в перемешиваемый объем аппарата (или лабораторной установки) и фиксацией времени и наличия установления равномерного распределения (окрашивания) индикатора по объему.
Такой подход нельзя считать полностью корректным. Определяются неоднородность перемешивания, распределение твердой фазы в жидком объеме др. параметры, определяющие качество перемешивания.
В вытяжной трубе при аэродинамических испытаниях автомобилей или авиационной техники, конструкцию обдувают окрашенной струей и фиксируют реакцию струи в части обтекания в зависимости от геометрической формы (конфигурации) конструкции.
Для мешалок необходимо объединить два указанных подхода.
То есть наметить структуру потоков в аппарате в зависимости от его геометрических параметров, затем выбрать мешалку, которая отбрасыванием потока жидкости от лопастей создает намеченную структуру потока. И по введению индикатора можно установить степень полноты распределения индикатора, как эффективность перемешивания.
__
Приведем структуры потоков для распространенных типов мешалок по данным Ф. Стренка [27,с.46]:
Также Ф. Стренк приводит направление тока для различных положений пропелерной мешалки [27,с.60]: