Потенциальная энергия отрицательна, потому что это энергия связи двух тел. Полная энергия тела, движущегося с первой космической скоростью, в точности равна кинетической по модулю, но они имеют разные знаки. Мы вывели эту формулу только для кругового движения, но оказывается, что при усреднении по времени она справедлива для движения по эллиптической орбите (при этом нужно заменить R на a) и для стационарной системы гравитационно взаимодействующих точек, — это называют теоремой вириала. Это очень важная теорема, особенно для тех, кто занимается изучением одновременного движения многих тел — скажем, в звездном скоплении, содержащем миллионы звезд. Просчитать их движение по отдельности невозможно, разве что на суперкомпьютерах. Но даже не зная индивидуальных траекторий и скоростей, мы всегда можем быть уверены, что полная и кинетическая энергии этой кучи звезд равны по модулю.
Рис. 2.17. Соотношение масс ракеты-носителя и ее полезной нагрузки. Ракета весом более 300 тонн создается только для того, чтобы маленький космический аппарат достиг устойчивой орбиты.
Раз уж речь зашла о космонавтике, я напоследок расскажу одну интересную вещь о том, каких трудов стоит развить первую космическую скорость. Вот космический корабль, на котором летают наши космонавты (рис. 2.17). Вес его 7 тонн, там сидят три человека — и их надо разогнать до скорости 8 км/с. Так вот, чтобы это сделать, приходится строить космический аппарат для одноразового использования весом более 300 тонн, и вся эта машина — только для того, чтобы маленький космический аппарат достиг устойчивой орбиты. А состоит ракета из металлической конструкции и топлива. Их соотношение такое: сухой вес ракеты — 26 тонн, а залитого в нее топлива — почти 280 тонн. Таким образом, 90 % веса ракеты на старте — это ее топливо! Легковой автомобиль, например, весит около 1,5 т, а топлива в его баке около 50 кг, т. е. топливо составляет всего лишь 3 % веса автомобиля. При этом ракета не только несет в себе колоссальный объем взрывоопасного вещества, но и работает в гораздо более напряженных условиях, чем автомобиль. Рядом с сотнями тонн ее «взрывчатки» пылает гигантский факел реактивных двигателей. А на вершине этой «бочки с порохом» сидят отважные люди, желающие покинуть планету. И им это, как правило, удается. Одним словом, современная космическая ракета — удивительное творение инженерной мысли.
3. Космонавтика
К антиподам: на спутнике или на метро?
Есть одна интересная задача, которую я традиционно предлагаю на экзамене. Пусть нам требуется послать груз или пассажиров из одной точки Земли в точку, ей противоположную (т. е. к антиподам, потому что с нашей точки зрения все там ходят вверх ногами, притягиваясь к центру Земли). Как это сделать быстрее?
Казалось бы, самый быстрый способ — лететь по круговой орбите спутника. С первой космической скоростью спутник облетает Землю за полтора часа, значит, мы можем прилететь к антиподам через 45 минут плюс время на разгон и торможение. Быстрее не получится: если мы добавим спутнику скорости, он пойдет по дальней орбите и лететь будет дольше. К тому же для реализации этого способа потребуется много денег: надо каждый раз сооружать огромную ракету, тратить очень много энергии на запуск.
Рис. 3.1. Схема «метро» сквозь земной шар.
А вот представьте себе, что мы просверлили Землю насквозь и без начальной скорости просто отпустили снаряд. Он начнет ускоренно падать к центру Земли, затем, набрав скорость, по инерции пролетит через центр и выпрыгнет как раз в антиподальной точке — останется только его вовремя поймать. Такой канал потребуется сделать только один раз, откачать из него воздух, чтобы не замедлял движение, а потом совершенно бесплатно запускать кабину с людьми на ту сторону земного шара и обратно. Вопрос задачи: какое путешествие займет меньше времени — по низкой околоземной орбите искусственного спутника или через центр Земли?
Геостационарная орбита и космический лифт
Среди всех круговых орбит особенно интересна геостационарная орбита, на которой орбитальный период длится столько же, сколько оборот Земли вокруг своей оси, т. е. 23 часа 56 минут и примерно 4 секунды. Если вы запустили спутник на круговую орбиту, лежащую в экваториальной плоскости Земли на расстоянии примерно 36 тыс. км от земной поверхности (от центра планеты это будет 42 тыс. км), то, двигаясь в плоскости экватора с периодом в одни звездные сутки, он всегда будет висеть над одной и той же точкой земного шара (рис. 3.2). Таких спутников летают сотни. А зачем они нужны?
Это, например, спутники прямого телевизионного вещания, их специально запустили на геостационарную орбиту, чтобы нам не приходилось в течение суток крутить домашнюю антенну туда-сюда. Мы один раз нацеливаем свою спутниковую «тарелку» на такой спутник и уверены, что он всегда будет в одной и той же точке неба и никуда не денется.
Интересно, что эта особенность геостационарной орбиты открывает нам совершенно фантастические перспективы для космонавтики. С такого спутника можно протянуть на Землю трос, и он не будет наматываться на Землю, потому что спутник относительно земной поверхности не движется. Вдоль этого шнура или каната можно организовать космический лифт. Заметьте: не ракету, которая 98 % своей массы выбрасывает, чтобы отправить в полет оставшиеся 2 % массы в виде космического корабля, а просто электрический лифт. Прикиньте, сколько в этом случае киловатт-часов электроэнергии потребуется, чтобы подняться в космос: стоить это будет считанные копейки.
Рис. 3.2. Геостационарная орбита. Спутник виден в одной и той же точке неба.
Есть, правда, одна неприятная особенность такого спутника: вот запустили мы его на геостационарную орбиту, протянули канатик, но вдруг какая-то случайная небрежность заставила спутник немного опуститься. Что тогда произойдет? Спутник окажется ближе к центру Земли, его орбитальный период станет короче, т. е. спутник начнет опережать ту точку поверхности, к которой привязан, канат будет наматываться на Землю и тянуть спутник вниз. Тот начнет крутиться еще быстрее — и понятно, что закончится это нехорошо (рис. 3.3). Если привязанный к поверхности спутник опустился ниже геостационарной орбиты, то Земля начнет отставать, намотает на себя канат, затормозит спутник еще сильнее, и он свалится с небес.
Рис. 3.3. Если привязанный к поверхности спутник опустился ниже геостационарной орбиты, то Земля начнет отставать, намотает на себя канат, затормозит спутник еще сильнее, и он упадет. А что случится, если спутник поднимется выше геостационара?
А что случится, если спутник поднимется выше геостационара? Если немного подтолкнуть спутник вверх, он начнет отставать от поверхности Земли: чем больше расстояние, тем меньше скорость обращения и тем больше орбитальный период. Но будет ли это движение устойчивым, не станет ли Земля наматывать канат в обратную сторону? Это простая механическая задача, которую должен быть способен решить любой физик. Вычисления показывают такое развитие событий: если привязанный спутник окажется на чуть большей высоте, чем геостационарная орбита, и начнет отставать от Земли, она сначала за канатик немного подтянет его вперед, а потом он снова отойдет на исходное расстояние от поверхности. Но после этого спутник уже не отстанет от вращения Земли, потому что наряду с гравитацией добавляется сила, которая тянет его вперед, в сумме они создают более сильное центростремительное ускорение, чем одна только гравитация, и эта более высокая орбита становится геостационарной.
Рис. 3.4. Так будет меняться со временем высота привязанного к Земле спутника на орбите, близкой к геостационарной (rg).
Так что идея космического лифта может быть прекрасно реализована. Осталось только найти материал для каната, чтобы 36-тысячекилометровый трос выдерживал свой вес плюс вес поднимаемого груза (железо для этого не годится, а вот наноуглеродные трубки могут быть перспективными: плотность их меньше, а прочность больше), — и тогда каждому человеку можно будет подняться на геостационарную орбиту за несколько тысяч рублей; по деньгам это все равно что слетать в соседний город на самолете. И это сразу изменит нашу космонавтику.
Рис. 3.5. Одна из многочисленных художественных иллюстраций, демонстрирующих возможную конструкцию космического лифта.
К другим мирам
Итак, чтобы оторваться от поверхности Земли и выйти в околоземное пространство, надо набрать первую космическую скорость. Следующая задача космонавтики — улететь от планеты. Для этого необходимо достичь скорости, которая называется второй космической (обозначается V2 , или VP , или V∞ , или VII). Чтобы рассчитать эту величину, используем закон сохранения энергии: кинетическую энергию тела приравниваем к гравитационной энергии его связи с планетой и находим отсюда значение второй космической скорости:
Как видим, она всего лишь в √2 раз больше первой космической, т. е. у поверхности Земли немногим превышает 11 км/с.
Кинетическая энергия — величина скалярная, она не зависит от того, куда направлен вектор скорости, т. е., полетев в любую сторону с такой начальной скоростью, мы покинем планету по параболической траектории.
Рис. 3.6. Вторая космическая скорость.
Если мы уже на околоземной орбите, а нам надо привести корабль на Марс или на более дальнюю планету, мы его просто «пинаем», т. е. добавляем ему такой импульс, чтобы корабль с круговой орбиты Земли вокруг Солнца вышел на эллиптическую орбиту, в апоцентре которой коснулся бы орбиты планеты назначения. Если мы правильно рассчитали время старта, планета приходит в ту же точку одновременно с нашим аппаратом (рис. 3.7). Но встречаются они с разными скоростями: планета движется быстрее, и если ничего не предпринять, то космический корабль тут же отстанет от нее. Значит, надо еще раз включить двигатели и уравнять скорость. Таким образом, надо придать всего два импульса — и вы оказались у соседней планеты. Такая траектория между планетами называется полуэллипсом Гомана — Цандера (по именам инженеров, рассчитавших эту орбиту).