Это один из наиболее важных и невероятных этапов истории. Если бы меня попросили назвать дату появления математики, то я без колебаний назвал бы именно эту. Вот тот самый момент, когда числа начинают существовать самостоятельно от исчисляемых ими предметов, отрываясь тем самым от реальных объектов и переходя в разряд умозрительного. Все, что было раньше – рубила, узоры, жетоны, – это только предпосылки, предшествовавшие неизбежному зарождению чисел.
С этих пор числа перешли в разряд абстракции, и со временем сформировалось единообразие в математике, науке, в наивысшей степени абстрактной. Математики не изучают физические объекты, состоящие из соответствующих веществ и атомов. Они рассматривают только идеи. Тем не менее эти идеи имеют огромное значение для лучшего понимания мира!
Закономерно, что появление чисел также способствовало зарождению письменности в целом. Потому что, если основная часть идей могла передаваться устно, для описания числовых характеристик требовалось вносить определенные записи.
Разъединены ли сегодня понятия содержания чисел и их графического выражения? Если я попрошу вас подумать об овце, как вы ее себе представите? Вы, без сомнения, представите блеющее животное на четырех лапах с шерстью на спине. Вам не придет в голову представить четыре буквы, из которых состоит слово «овца». Однако если я попрошу вас представить себе число сто двадцать восемь, что вы представите? Вероятно, в вашем воображении появятся цифры 1, 2 и 8? Мысленное представление больших цифр, кажется, неразрывно связано с их написанием.
Это совершенно беспрецедентный случай. В отличие от всех остальных вещей, для которых письменное обозначение вторично, а первичны устные названия, для чисел написание было первичным, а устные эквиваленты появились уже позднее. Только задумайтесь, как вы произносите «сто двадцать восемь»? Вы скажете: «128: 100 + 20 + 8». После определенного значения невозможно говорить о числах, не задумываясь об их написании.
В наше время встречаются коренные племена, в которых используется очень ограниченное количество слов для числовых обозначений. Так, жители племени пирахан (Pirahã), охотники-собиратели, живущие на берегах Рио-Мэси (rio Maici) в Амазонии, умеют считать только до двух. Для всего, что больше двух, они используют слово, означающее «несколько» или «много». Также в Амазонии живет племя мандуруку (Munduruku), в котором используется пять слов, обозначающих числа, что соответствует количеству пальцев на одной руке.
В современном обществе числа заполонили повседневную жизнь. Они стали настолько распространены, что мы часто забываем, до какой степени сама идея их создания гениальна и что нашим предкам потребовались века, чтобы достичь этого уровня.
На протяжении веков изобретено множество способов написания чисел. Самый простой – это обозначать число количеством символов, равным этому числу. Например, параллельными черточками. Этот метод мы до сих пор часто используем, в частности, чтобы вести счет в игре.
Наиболее ранний пример такого метода исчисления, возникшего еще до появления письменности, кости Ишанго, найден в 1950-е гг. в месте проживания шумеров, на берегу озера Эдуард на территории современной Республики Конго. Данные предметы изготовлены приблизительно двадцать тысяч лет назад! Эти экспонаты длиной в 10 и 14 сантиметров покрыты более или менее равноудаленными насечками. С какой целью они сделаны? Возможно, это была первая система исчисления. Некоторые считают, что это календарь, в то время как другие усматривают более развитые математические формы. Сейчас уже сложно сказать точно. Обе кости в настоящее время экспонированы в Музее естественных наук в г. Брюсселе (Бельгия).
В таком методе подсчета одна черта обозначает одну единицу, что вызывает сложности при описании крупных чисел. Чтобы решить эту проблему, необходимо было ввести обозначения для нескольких элементов.
Они появились уже в Месопотамии. Например, специальный жетон использовался для обозначения десяти овец. Когда произошел переход к письменности, данный принцип сохранился. Так, встречаются символы, обозначающие числа 10, 60, 600, 3600 и 36 000.
В обозначении символов уже в этот период отмечается определенная логика. Так, символы для 60 и 3600 с окружностями внутри обозначают числа в 10 раз больше.
С появлением клинописи символы начинают постепенно видоизменяться.
В расположенном неподалеку Египте с третьего тысячелетия до н. э. также начали развиваться собственные численные обозначения.
С этих пор повсеместно была принята десятичная система исчисления: свой собственный символ использовался для обозначения каждого числа, в 10 раз большего предыдущего символа.
Начала формироваться новая система исчисления посредством прибавления. В данной системе порядок символов влияет на их значение. И в этом первыми тоже были жители Месопотамии.
Начиная со второго тысячелетия до н. э. Вавилон занимал центральное положение на Ближнем Востоке. Клинопись по-прежнему оставалась популярной, но с этих пор начали использовать только два символа: чем-то похожий на гвоздь для обозначения 1 и наклоненный уголок – для обозначения 10.
Используя эти два символа, можно было написать любое число до 59. Так, для обозначения 32 необходимо было написать три уголка и два гвоздика.
А затем, начиная с 60, использовали символы для обозначения чисел, кратных 60. По аналогии с тем, как в современной системе исчисления числа записываются справа налево: сначала единицы, затем десятки, сотни и т. д., в вавилонской системе исчисления записывались сначала единицы, затем 60, 3600 (т. е. 60, умноженное на 60) и так каждый следующий порядок в 60 раз больше предыдущего.
Например, число 145 обозначалось как два числа 60, дающие в сумме 120, а также 25 единиц. Вавилоняне записывали это число так:
Благодаря этой системе ученые Вавилона достигли необычайных успехов в математике, научились не только складывать, вычитать, умножать и делить, но и выделять квадратный корень, возводить в степень и рассчитывать обратную величину. Они разработали очень точные арифметические таблицы, уравнения и способы их решения.
Однако совсем скоро эти знания предали забвению. С закатом цивилизации Вавилона существенная часть достижений в области математики была утрачена. Конец позиционной нумерации. Конец уравнениям. Пройдут века, прежде чем эти вопросы снова станут актуальными. Только в XIX в. клинописные таблицы расшифруют, и станет известно, что жители Месопотамии были первооткрывателями многих важнейших математических принципов современности.
После Вавилона позиционную систему исчисления также использовали майя, с тем лишь отличием, что в качестве кратного числа они брали 20. Затем подобную систему изобрели в Индии с кратным числом 10. Последнюю систему развили арабские ученые, а затем ее переняли в Европе в конце Средних веков. Ниже перечислены цифры, получившие в дальнейшем название «арабские», распространившиеся по всему миру.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
С появлением цифр человечество получило инструмент, который превзошел все возможные ожидания и позволил не только записывать и анализировать числа, но и в целом познавать окружающий мир.
Люди начали настолько сильно восхищаться числами, что иногда это заходило слишком далеко. Появление чисел породило нумерологию, согласно которой числа наделены особенными магическими свойствами. Ученые-нумерологи полагают, что в числах содержатся ответы на вопросы о существовании бога и законах мироздания.
В VI в. до н. э. Пифагор сформулировал фундаментальный подход: «Мир управляется числом». Согласно его философии, числа порождают геометрические фигуры, которые, в свою очередь, лежат в основе четырех стихий: огня, воды, земли и воздуха, участвующих в создании всего окружающего нас мира. Пифагор также разделил все числа на нечетные и четные; первые он ассоциировал с мужским началом, а вторые – с женским. Число 10, изображаемое в форме треугольника и называемое «тетрактис», стало символом гармонии и космического совершенства. Пифагорейцы также были первыми, кто сформулировал принцип нумерологии, согласно которому соответствующие числа в буквах имени человека оказывают влияние на его характер.
Параллельно с этим шли дискуссии о том, что представляет собой число. Ряд авторов полагали, что единица не является числом, т. к. число – это по определению совокупность единиц, следовательно, числа начинаются только с 2. И, таким образом, единицу считали одновременно и четной, и нечетной, поскольку из единиц состоят все остальные числа.
Позже появились число ноль, отрицательные числа и даже мнимые числа, породившие множество дискуссий. Каждый раз, когда появлялись новые идеи, это способствовало возникновению дебатов и заставляло математиков совершенствовать свои концепции.
Коротко говоря, числа не переставая ставили вопросы перед человечеством, и потребуется много времени, прежде чем удастся приручить этих необычных существ, созданных человеческим разумом.
3Не геометр да не войдет
С появлением чисел математика практически сразу разделилась на несколько направлений. Арифметика, логика, алгебра постепенно становились самостоятельными дисциплинами.
Одной из наиболее стремительно развивающихся дисциплин в эпоху Античности была геометрия. Она оставила в веках таких великих мыслителей прошлого как Фалес, Пифагор или Архимед, имена которых и по сей день мы встречаем на страницах школьных учебников.
Однако еще до того момента, когда геометрия стала самостоятельной дисциплиной, сама земля была ее непосредственным предметом анализа. Этимология слова подсказывает нам, что первоочередной задачей геометрии являлось измерение земли, что, таким образом, отчасти делает землемеров первыми геометрами. Задача разделения земельных участков всегда была одной из самых важных. Как разделить поле на равные части? Как рассчитать стоимость земельного участка исходя из его площади? Какая из этих двух частей находится ближе к реке? Как должен быть проложен канал, чтобы маршрут по нему оказался наиболее коротким?