Вы можете проверить, взяв значения сторон любого прямоугольного треугольника – маленького или большого, широкого или узкого, – это правило будет работать всегда! В прямоугольном треугольнике сумма квадратов сторон, образующих прямой угол (катетов), равна квадрату третьей стороны (гипотенузы). И это правило применимо и в обратную сторону: если в треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы – это прямоугольный треугольник. Это и есть теорема Пифагора!
Вполне вероятно, что на самом деле первооткрывателем этой теоремы был не Пифагор и даже не его ученики. Даже если в Вавилоне и не сформулировали данную теорему в том виде, в котором это будет показано далее, есть основания полагать, что уже тогда, за тысячу лет до этого, стали известны соответствующие тройки чисел. Иначе как шумеры смогли бы перечислить все эти значения сторон прямоугольных треугольников в Плинтонской табличке? В Древнем Египте и Китае также с большой долей вероятности знали о закономерности, подтвержденной впоследствии в теореме. Это следует из комментариев к «Математике в девяти книгах», добавленных в более поздних редакциях.
Некоторые считают, что Пифагор был первым, кто продемонстрировал доказательство этой теоремы. Тем не менее однозначного подтверждения этому факту нет, и первым источником, в котором приводится доказательство, является труд Евклида «Начала», датируемый тремя веками спустя.
5Немного о методе
Для греческих математиков возможность доказать теорему становится ключевым моментом. Ни одна теорема не может считаться состоятельной, если ее не сопровождает доказательство, иными словами, логичное и точное подтверждение. Крайне важным было суметь предметно продемонстрировать доказательство, т. к. в противном случае оставалось сомнение в совершенстве теоремы и были бы возможны неожиданные сюрпризы. Некоторые методы, несмотря на то что широко известны и повсеместно используются, не всегда хорошо работают.
Вот пример. Помните, в папирусе Ахмеса описывалось, как начертить квадрат и круг с одинаковой площадью? В этих рассуждениях, без сомнения, есть ошибка. Отклонения незначительные, тем не менее они есть. При измерении площадей фигур оказывается, что разница составляет приблизительно 0,5 %! Ну что же, для землемеров такая точность достаточна, однако для теоретиков математики недопустима.
Даже среди гипотез Пифагора были ошибочные суждения. Одно из таких заблуждений касалось соизмеримости длин. Пифагор полагал, что в геометрии любые величины соизмеримы, т. е. всегда можно найти достаточно малую величину для измерения любых двух длин. Представьте два отрезка длиной 9 и 13,7 см соответственно. В Древней Греции еще не использовались десятичные значения для измерений, и, таким образом, второй отрезок нельзя было измерить в сантиметрах. Разумеется, нет ничего сложного в том, чтобы определить длину отрезка единицами в десять раз меньшими, чем сантиметры, соответственно, длины отрезков составят 90 и 137 мм. Пифагор был убежден, что любые два отрезка соизмеримы, и их длины можно определить в соответствующих единицах.
Это утверждение опроверг древнегреческий философ-пифагореец Гиппас из Метапонта. Ученому приписывают открытие существования несоизмеримых отрезков, а именно стороны и диагонали квадрата! Какую бы вы ни выбрали единицу измерения, сторона квадрата и его диагональ не будут соизмеримы в целых выбранных единицах. Гиппас привел логическое обоснование этой гипотезы и не оставил никакого сомнения в ее справедливости. Пифагор и его последователи были настолько сильно оскорблены этим, что исключили Гиппаса из школы. В некоторых источниках даже говорится о том, что ученого сбросили с обрыва в море его ученики!
Математикам эти истории могут показаться ужасающими. Можно ли когда-либо чувствовать себя полностью уверенным? Каково это, жить в постоянном страхе того, что в один прекрасный день математическое открытие оборвет вашу жизнь? И треугольник со сторонами 3–4–5 – в самом ли деле он прямоугольный? Нет ли вероятности, что в один из дней выяснится, что, казавшийся абсолютно прямым, он все же не идеален?
Даже сегодня нередки случаи, когда математики становятся жертвами ошибочных догадок. Именно поэтому, продолжая традиции своих древнегреческих предков, современные математики четко разграничивают суждения, которые могут быть однозначно доказаны, так называемые теоремы, и те из них, которые еще не доказаны, получившие название «гипотезы».
Одной из самых известных гипотез нашего времени является гипотеза Римана. Многие математики опираются на ее справедливость и основывают на ней свои исследования. Если когда-нибудь эта теорема будет доказана, их работа также окажется подтвержденной. Но если ее опровергнут, то и все их труды будут напрасны. Ученые XXI в. намного более благоразумны, чем их предшественники из Древней Греции, тем не менее можно предположить: если кому-то удастся опровергнуть гипотезу Римана, даже в текущих условиях на этого человека вполне предсказуемо обрушится гнев некоторых коллег.
Чтобы избежать этого постоянного страха ожидания опровержения, математикам требуется приводить доказательства. Нет, мы никогда не узнаем о том, что треугольник со сторонами 3–4–5 не является прямоугольным. Это точно. И эта уверенность проистекает из теоремы Пифагора, которая подтверждает это. Любой треугольник, сумма квадратов катетов которого равна квадрату гипотенузы, является прямоугольным. Это суждение было для математиков Месопотамии гипотезой, но благодаря древним грекам оно стало теоремой. Уф!
Так в чем же заключается доказательство? Теорема Пифагора – не только одна из самых известных теорем, она также имеет множество различных доказательств. Их насчитывается несколько десятков. Некоторые из них сделаны представителями цивилизаций, которые даже не слышали о Евклиде или Пифагоре – например, подтверждение встречается в китайском произведении «Математика в девяти книгах». Иные доказательства сформулированы уже после Пифагора – с той лишь целью, чтобы остаться в истории и поупражняться в рассуждениях. Так, среди тех, кто сформулировал собственные доказательства теоремы Пифагора, – знаменитый итальянский изобретатель Леонардо да Винчи, а также двадцатый президент США Джеймс Абрам Гарфилд.
Один из наиболее распространенных принципов доказывания – принцип мозаики: если две геометрические фигуры могут быть сложены из равных элементов, то их площади равны. Обратимся к примеру такого доказательства, которое привел в III в. н. э. ученый из Китая Лю Хуэй.
Два квадрата, стороны которых соответствуют катетам, состоят из двух и пяти частей соответственно. Из этих же самых семи частей состоит квадрат со стороной, равной гипотенузе. Площадь квадрата со стороной, равной гипотенузе, таким образом, равна сумме площадей двух других квадратов. И так как значение площади квадрата равно числовому значению квадрата стороны, теорема Пифагора верна.
Для того чтобы доказательство было убедительным, необходимо гарантировать, что все составляющие абсолютно равны по размерам и что это будет верно для любых прямоугольных треугольников.
Попробуем коротко изложить последовательность рассуждений. Почему треугольник со сторонами 3–4–5 прямоугольный? Потому что он подтверждает теорему Пифагора. А почему теорема Пифагора верна? Потому что доказательство Лю Хуэйя подтверждает, что квадрат со стороной, равной гипотенузе, может быть составлен из тех же элементов, что и два квадрата, стороны которых равны катетам. Это все очень напоминает детскую игру в «почему». Проблема этой игры в том, что вопросы никогда не заканчиваются. Каков бы ни был ответ, следом возникает еще один вопрос, начинающийся со слова «почему». Почему? Да, действительно, почему?
Вернемся к нашему примеру: мы утверждаем, что если из одних фигур можно составить другую, то их площади равны. Но как можно убедиться в том, что это действительно так? Что если в зависимости от того, как будут сложены элементы, площади станут отличаться? Такое предположение может показаться абсурдным, не так ли? Настолько абсурдным, что даже странно было бы пытаться это доказывать…
Ситуация непростая. Осложняется она еще и тем, что, даже если нам удастся объяснить, почему принцип мозаики правильный, после этого необходимо будет доказывать справедливость самих аргументов, используемых в целях доказывания!
Математики Древней Греции отдавали себе отчет в существовании этой проблемы. Для того чтобы доказать что-либо, необходимо было от чего-то отталкиваться. Так, первая фраза любого доказывания не может быть доказана как минимум потому, что она первая. Любая математическая конструкция должна начинаться с определенного количества предпосылок, на которых и будут основываться последующие рассуждения.
Такие истины в математике получили название «аксиомы». Как и теоремы и гипотезы, они являются плодами наблюдения математиков, но, в отличие от других двух типов, не требуют приведения доказательств и принимаются как истинные.
«Начала», написанные Евклидом в III в. до н. э., описывают в тринадцати книгах принципы геометрии и арифметики.
О жизни Евклида не сохранилось такого большого количества информации, как о Фалесе или Пифагоре. По одним данным, он жил где-то в районе Александрии. По другим – по аналогии с Пифагором, некоторые историки предполагают, что это вымышленное имя, под которым скрывается наследие нескольких ученых. Наверняка это нельзя определить.
В отсутствии информации о самом ученом человечество получило огромное наследие в виде «Начал», теоретической работы, которая единогласно признается одним из наиболее значительных произведений математики, т. к. именно в нем впервые появилось понятие аксиоматики. Форма написания «Начал» максимально приближена к тому формату, который используется современными математиками. В конце XV в. н. э. «Начала» были среди первых произведений, которые перепечатывались на только что появившемся прессе Гуттенберга. Сегодня произведение Евклида занимает второе по количеству отпечатанных копий место, уступая по этому показателю только Библии.