Волатильность и корреляция
Если и есть что-то общее у трейдеров и историков, так это укоренившееся недоверие к понятию корреляции.
В этой главе рассматривается понятие волатильности с минимальным использованием математики. В числе прочего она призвана показать, что понятие волатильности может быть довольно двусмысленным.
■ Волатильность можно определить как величину изменчивости доходности конкретного актива (как будет показано позднее, существует множество подходов к измерению волатильности).
● Фактическая волатильность – это измеренное движение базового актива. Ее часто называют исторической, иногда исторически действительной.
● Подразумеваемая волатильность – это параметр волатильности базового актива, вытекающий из цен опционов на определенную дату исполнения. Операторы используют как эталон формулу Блэка–Шоулза–Мертона (и ее производные). По устоявшейся практике принято оценивать опционы именно по формуле Блэка–Шоулза–Мертона, даже если ее считают неуместной и ошибочной, а не по более продвинутым формулам ценообразования.
■ Под корреляцией понимают связь между двумя случайными переменными, измеренную по методу наименьших квадратов. Она определяет степень уверенности, с которой можно предсказать изменение одной случайной переменной в результате изменения другой переменной. К случайным переменным относится логарифмическая доходность активов, или [Log(цена периода t) – Log(цена периода t – 1)].
● Фактическая корреляция – это степень фактической связи между движениями двух рынков. Ее часто называют исторической, иногда исторически действительной.
● Подразумеваемая корреляция – это корреляционный параметр, вытекающий из цен опционов. Подразумеваемых корреляций столько же, сколько существует сроков исполнения опционов. (Модуль D включает объяснение расчета подразумеваемой корреляции с помощью метода треугольника.)
Мастер опционов: корреляция и волатильность
Трейдеры часто примерно считают, что 100 %-ная корреляция между активами A и B – это когда актив A должен измениться на 1 % в ответ на движение актива B на 1 % (в том же направлении). Однако это не так – они могут быть коррелированы на 100 % и в том случае, когда актив A движется на 2 % в ответ на каждое 1 %-ное движение актива B, если актив B имеет в два раза более высокую волатильность, чем актив A.
На самом деле корреляция показывает ожидаемое соотношение движений активов, деленное на их соответствующую волатильность.
Предположение, лежащее в основе большинства моделей случайного блуждания, исходит из логнормальности, необходимого ограничения, в соответствии с которым активы не могут (в теории) иметь отрицательную цену. Случайному блужданию и корреляции посвящен модуль А. Наиболее опасно предположение о постоянной корреляции. Трейдеры должны понимать: рынки приспособились к тому, что волатильность непостоянна, но не к тому, что корреляция волатильна.
На рис. 6.1 показано кумулятивное распределение одного стандартного отклонения во времени. Предполагаемая волатильность составит в годовом исчислении 15,7 % – ожидается, что рынок будет двигаться на 1 % в день, на 2,23 % каждые 5 дней на 4,47 % каждые 20 дней и на 15,7 % за 248 дней в течение рабочего года
Теоретики долго обсуждали, следует ли рынок геометрическому броуновскому движению или арифметическому (см. табл. 6.1, рис. 6.2 и 6.3). Разницу можно легко объяснить следующим образом.
● Геометрическое броуновское движение означает (грубо)[117], что рынок поддерживает постоянное ожидаемое процентное изменение, скажем в размере 1 %. Это упрощает сложную проблему и позволяет объяснить, почему волатильность доллара должна быть выше при более высоких ценах, а также почему она падает по мере ослабления рынка (это демпфер, предотвращающий смещение рынка на отрицательные уровни). Если рынок падает со 100 до 1, 15,7 %-ная волатильность будет отражать изменения на 0,01 тика. При движении на 0,10 это было бы 0,001 и т. д.
● Арифметическое броуновское движение означает, что рынок поддерживает постоянное ожидаемое движение доллара независимо от его уровня. Это утверждение опровергается учеными, поскольку оно может привести к отрицательным ценам на активы. Однако трейдеры относятся к нему серьезно, поскольку считают, что при приращениях среднего размера допущение выполняется. Кроме того, инструменты денежного рынка на протяжении всей истории не раз оказывались на грани отрицательных цен[118].
● Интересны результаты смешанного процесса, обычно наблюдаемого на финансовых рынках, – это арифметическое броуновское движение в краткосрочной перспективе и геометрическое броуновское движение в долгосрочной. Данное явление будет рассмотрено подробнее дальше.
Мастер опционов: «Возможно, Башелье был прав»
Многие из операторов кэпов/флоров пострадали от ралли евродоллара (падение доходности) в период с 1991 по 1993 г. При ставке 9 % историческая волатильность в среднем была близкой к 9 базисным пунктам в день. При этом коллы вне денег продавались из расчета, что «процент» волатильности не изменится в ходе ралли. Это означало, что при доходности 4,5 % «волатильность тика» евродолларов, или «волатильность доллара», будет близка к 4,5 базисного пункта. Продавцы, как оказалось, ошибались, поскольку волатильность тиков оставалась практически неизменной, а их позиции в коллах вне денег стали короткими на очень низких уровнях.
Ралли в евродепозитах привело к росту подразумеваемой и исторической волатильности, определяемой опционной теорией (т. е. логнормальной доходности). Так или иначе, цена опционов при деньгах в тиках оставалась близкой к одному и тому же уровню на протяжении всего периода. Это побудило известного рыночного мыслителя признать: «Возможно, в конце концов этот Башелье был прав». Он имел в виду Луи Башелье, французского математика, который в 1900 г., за 73 года до Блэка и Шоулза, написал докторскую диссертацию с оценкой опционов в соответствии с арифметическим броуновским движением. Работы Башелье долгое время игнорировались[119].
Трейдеры евроиеной пострадали значительно больше. Краткосрочные процентные ставки в 1995 г. достигли 0,10 %, движение на 1 базисный пункт соответствовало волатильности 160 %. Волатильность переместилась во время ралли с «приемлемых» уровней (около 20 %) на 200 %, т. к. трейдеры евродепозитами не знали, что рынок должен быть логнормальным. В данных условиях модель Башелье выглядела вполне достоверной, поскольку рынок начал платить за 100 коллы (при этом цены путов застряли в нулевой оценке) в уверенности, что нельзя исключать возможность выхода рынка в отрицательную область.
Мораль: трейдеры должны менее серьезно относиться к теоретическим догмам.
Расчет исторической волатильности и корреляции
Для удобства расчета, а также по теоретическим соображениям волатильность доходности для динамического хеджера может быть рассчитана как квадратный корень суммы квадратов движений, а не как отклонение от среднего. Если бы рынок ежедневно двигался на 1 % в одном и том же направлении (скажем, вверх) на протяжении целого месяца, то обычный метод измерения волатильности оценил бы волатильность как 0 %, поскольку все движения базового актива соответствовали бы среднему значению. Это идет против инстинкта опционного трейдера. Он по-прежнему считает, что волатильность составляет 1 % в день, и в этом случае предпочел бы купить волатильность, когда она предлагается дешевле 16 %.
Статистически при отсутствии хорошо выраженных трендов или трендов, доминирующих в дисперсии, оба измерения дают схожие результаты[120].
Формулы. Примем во внимание, что доходность в любой период для выбранной торгуемой пары на рынке будет составлять:
(Натуральный) логарифм двух цен будет соответствовать процентной доходности (этого объяснения в грубом приближении для трейдеров достаточно).
Эти цены необходимо периодически и последовательно выбирать. Если выборка происходит каждый четверг в полночь, то доходности должны соответствовать такому периоду. Многие операторы используют ежедневные официальные закрытия, но есть и те, кто берет цену в течение дня, когда все рынки очень ликвидны.
Волатильность x для любого периода обычно оценивается как
Отметим, что (n – 1) используется вместо n из-за потери одной степени свободы при оценке среднего x.
Отбрасывание , средней доходности, означает, что в формуле нужно оценивать на один параметр меньше. Это также приближает оценку волатильности к тому, что должно фактически влиять на прибыль/убыток трейдера[121]. В этом случае волатильность σ' (не взвешенная, не центрированная) может быть выражена как:
Чтобы выразить волатильность с помощью трейдерских общепринятых понятий, приведите ее к годовым значениям. Если доходность при вычислении волатильности является дневной, а торговый год состоит из 248 дней, то трейдер должен умножить показатель волатильности на Если бы доходность была недельной, он должен был бы умножить ее на и т. д.
Обратите внимание, что трейдер может умножать на при условии, что он добавит выходные дни в ряд данных для расчета. Это добавит два нуля в неделю при расчете и примерно будет соответствовать возможному отклонению для более коротких периодов.
В табл. 6.2 приведен пример расчета исторической волатильности. Он показывает последовательность дневных цен (для воображаемой пары валют) за 22 дня. Это дает 21-дневный результат. В столбце 3 вычисляется натуральный логарифм доходности, а в столбце 4 – квадрат Log(St/St–1). Годовая волатильность вычисляется как квадратный корень суммы столбца 4/21, умноженный на квадратный корень из 248 = 10,73 %.
Корреляция между доходностями x и y (обе пары необязательно являются парами одних и тех же валют) классически определяется как:
однако допустимо игнорировать среднее значение доходностей и использовать:
В табл. 6.3 приведен пример вычисления корреляции.
Связь между подразумеваемой волатильностью и подразумеваемой корреляцией будет рассмотрена далее.
Введение в фильтрацию
Какую волатильность следует использовать? За 10 дней? За 100 дней?.. К счастью для трейдеров, прямого ответа нет, и это разногласие помогает создать рынок. Некоторые трейдеры с хорошей памятью предпочитают возвращаться на многие годы назад, в то время как другие становятся жертвами той или иной формы рыночной амнезии.
Фильтрация является простым методом принятия того факта, что события в прошлом должны иметь неравные веса (см. рис. 6.4). Далее представлен упрощенный вариант фильтра Калмана: экспоненциальный распад[122].
Трейдеру необходимо придавать значение прошлым событиям обратно пропорционально их удаленности от настоящего времени. При этом он должен быть достаточно гибким, чтобы не принимать прошлые данные как абсолютную истину, когда есть информация о прогнозируемом завтрашнем взрыве на рынке или происходят изменения в рыночной структуре, влияющие на взвешивание. Последнее, что трейдеру требуется, – это быть ученым или играть в эконометрику в рабочее время.
Символ λ используется для оценки коэффициента распада. Он заменяет количество дней, на которые следует вернуться назад в предшествующий временной порядок. Вместо удлинения временно́го периода можно приблизить веса к 1.
когда число n очень большое (больше 1000 наблюдений, как правило), а λ по определению меньше 1.
Тот же самый фактор распада можно применить к корреляции, чтобы нивелировать эффект недавней памяти.
С использованием того же примера в табл. 6.4 приведен расчет волатильности при λ, равной 0,97.
В столбце 1 показано количество дней; в столбце 2 представлено движение активов; в столбце 3 – логарифмическая доходность (натуральные логарифмы); в столбце 4 – квадрат столбца 3; а в столбце 5 – сила λ по количеству дней. При движении вверх по столбцам видно, что важность взвешивания уменьшается. Мы используем λ на 22-й день, поскольку вычисляем волатильность именно на этот или более поздний день, λ2 – на 21-й день, λ3 – на 20-й день и т. д.
В столбце 6 показан результат умножения столбцов 5 и 4, а именно взвешенная доходность в квадрате за период.
Дневная взвешенная волатильность – это квадратный корень (сумма столбца 6/21)/сумма столбца 5 = 0,006675. Годовая процентная волатильность получена путем умножения на
Читатель может попробовать выполнить то же самое упражнение со взвешенными корреляциями.
Нет такого понятия, как постоянная волатильность и корреляция
На рис. 6.5–6.9 показано, что трейдер должен остерегаться понятий «постоянная волатильность» и тем более «постоянная корреляция».
На рис. 6.5 представлена подразумеваемая волатильность USD-DEM для 1-месячных опционов в течение части 1992 г.
На рис. 6.6 показана фактическая 2-недельная волатильность индекса S&P500. Волатильность S&P500 подскочила до 120 % во время краха в октябре 1987 г., образовав пик на графике. Измерение волатильности волатильности показало бы, что она еще больше, чем волатильность базового актива, особенно если ее разбить на неперекрывающиеся короткие периоды.
При измерении волатильности трейдеры должны быть осторожны, чтобы избежать перекрытия (overlapping) данных. Кроме того, важна длительность периода, и рекомендуется выбирать как можно более короткий отрезок времени между точками выборки. На рис. 6.6 и 6.7 показано, что историческая волатильность движется сильнее подразумеваемой.
Корреляция еще более волатильна по сравнению с волатильностью и базовым активом. На рис. 6.8 и 6.9 представлена корреляция суточных движений в непересекающихся двухнедельных периодах.
Необязательно быть статистиком, чтобы понять, что корреляция постоянно изменяется.
В главе 15 будет подробно рассмотрено распределение с точки зрения ценообразования опционов.
На рис. 6.10 показано изменение исторической волатильности в неперекрывающихся (nonoverlapping) периодах, а рис. 6.11 иллюстрирует подразумеваемую волатильность.
Мастер опционов: объяснение растяжимого времени
В дискуссиях опционных трейдеров иногда противопоставляется экономическое и фактическое время. Это трудный вопрос, но он, похоже, должным образом учитывается рынками.
Торговля в выходные дни происходит не слишком часто. Предполагается, что рынки открыты примерно 247 дней (за исключением европейских стран с большим количеством праздников).
Трейдеры оценивают волатильность, используя базу 365 дней, но на самом деле корректируют ее, удаляя праздники. Например, если бы они решили установить цену на опцион вторника в пятницу, то использовали бы количество рабочих дней (2) и подогнали бы формулу, где фигурируют 5 дней, так, словно волатильность в течение следующих 5 дней достаточно низка, чтобы соответствовать реальным движениям. Если бы они предполагали, что волатильность составит 15,7 % на рынке за фактическое количество дней, то это был бы 1 % за 1 день, 1,41 % за 2 дня, 15,7 % за 1 год и т. д. Оператор в пятницу будет использовать волатильность, которая даст такой результат: 1,41 % за 4 дня, а именно 11,08 %
Более продвинутые методы предусматривают присвоение веса реальным дням и исходят из того, что воскресенье может быть источником волатильности, поскольку негативные внешние факторы могут возникать во время простоя. Многие операторы считают субботу и воскресенье четвертью дня зимой и еще меньше летом.
Некоторые трейдеры на самом деле оценивают опционы с учетом времени дня, т. е. с учетом ожидаемых движений рынка, интенсивность которых снижается в обеденный перерыв в Токио, когда рынки замирают.
Трейдеры должны понимать, что волатильность и квадратный корень времени оказывают одинаковое влияние на дисперсию случайного блуждания.
Число паркинсона и метод дисперсионного отношения
В ряду наиболее значимых для опционных трейдеров вещей следует назвать число Паркинсона и метод дисперсионного отношения.
Число Паркинсона, определенное физиком Майклом Паркинсоном в 1980 г., служит для оценки волатильности доходности для случайного блуждания (геометрического) с использованием только максимумов и минимумов в тот или иной период. В этом разделе будет показано, как использовать его выборочно, чаще всего в обратном порядке, для получения распределения максимумов или минимумов в любой день при известной исторической волатильности[123]. Число Паркинсона обозначают буквой Р:
У нас есть SH и SL – зарегистрированный биржевой максимум и минимум соответственно в каждом конкретном таймфрейме.
● Все трейдеры верят в достоверность данных о цене закрытия к цене закрытия из-за их официальной природы, но осторожничают в оценке максимума и минимума, поскольку на них могут сказываться ошибки и манипуляции, сопровождающие сделки, которые отражают данные экстремумы. Иногда из-за манипуляций происходят фиктивные сделки, в то время как в других случаях данные омрачают компьютерные ошибки.
● Кроме того, немало случаев, когда при внебиржевых сделках, например на неликвидных валютных рынках, новый максимум или минимум не отображается на экране и остается известным только трейдерам, участвующим в сделке.
● Наконец, число Паркинсона применяется к 24-часовому периоду при условии, что рынок не закрывается и не прерывается (четное количество сделок). В противном случае предпочтительнее использовать оценку волатильности по Гарману и Классу (Garman and Klass, 1980) путем сочетания цен закрытия к закрытию и максимумов-минимумов. Вычисление по Гарману–Классу производится по следующей формуле:
Число Паркинсона используется при оценке фактического распределения цен в течение дня, а также позволяет лучше понять динамику рынка. Сравнение числа Паркинсона и периодически формируемой выборки волатильности помогает трейдерам увидеть возврат к среднему на рынке, а также распределение стоп-лоссов. Из этой информации можно вывести несколько четких правил.
Сравнение числа Паркинсона P с определением периодической выборки исторической волатильности дает такой результат:
P = 1,67σ'.
Это означает, что волатильность рынка, наблюдаемая в течение 24 часов, 1 недели или любого стабильного периода выборки, должна быть связана (через распределение максимума и минимума) с волатильностью, измеряемой экстремальными значениями.
Предупреждение. Такое измерение не может использоваться для сравнения волатильности цен закрытия к закрытию с внутридневными максимумами/минимумами. Оно позволяет сравнивать 24-часовой максимум/минимум с данными, вычисляемыми ежедневно в одно и то же время. Для рынков, таких как рынки большинства акций, которые торгуются только в течение дня, лучше использовать волатильность открытия к закрытию.
Этот способ может дать значимую информацию для следующих ситуаций.
● Оценка барьерных опционов (и связанных с ними американских цифровых и лукбэк-опционов). Они срабатывают при достижении определенной цены, поэтому распределение экстремальных значений является наиболее важным при их оценке. Трейдеру барьерными опционами нужна только одна информация – максимум или минимум, чтобы увидеть, сработал ли его опцион. То, как распределен этот экстремум, значит больше, чем оценка волатильности близко к закрытию или любая другая оценка. Число Паркинсона – единственное, что требуется для формирования оценки. Если есть смещение, делающее Р стабильно выше, чем 1,67σ', то трейдер понимает, что вероятность попадания цены базового актива на уровень триггера повышена. Об этом мы поговорим далее с примерами барьерных опционов.
● Общие настройки дельты. Сравнение числа Паркинсона с периодически выбираемой волатильностью может выявить серьезную информацию о возврате к среднему на определенном рынке и позволить трейдеру установить частоту корректировок соответствующим образом. Если P выше 1,67σ', то трейдеру необходимо чаще хеджировать длинную гамму. В противном случае он может запаздывать с необходимой настройкой – эта техника называется «позволить гамме расти»[124].
● Общие торговые стратегии. Наибольшее преимущество маркетмейкер будет иметь в тех случаях, когда Р выше 1,67σ'. В противном случае лучше следовать за трендом. Это проявляется (см. главу 4) в отрицательной краткосрочной автокорреляции цен.
На рис. 6.12 показано отношение числа Паркинсона к волатильности за тот же период для фьючерсов на казначейские облигации США в период, охватывающий почти 3 года до мая 1995 г. Результаты очень убедительны – похоже, что существует явное смещение в сторону более широкого диапазона максимумов/минимумов, чем предполагается случайным блужданием. Дополнительное тестирование, проведенное автором[125], показывает схожее постоянное смещение 20 исследуемых рынков. Читатель может сделать собственные выводы.
Другим принципиально важным моментом (для трейдеров) является частота выборки. Интерес для опционных трейдеров представляет исследование А. Ло и А. Маккинли[126] практического применения метода, называемого дисперсионным отношением. Авторы намеревались доказать, что цены на акции обладают памятью, посредством простого теста дисперсии относительно частоты выборки[127].
Короче говоря, если волатильность на основе почасовой выборки окажется выше, чем волатильность на ежедневной выборочной основе, то рынок можно рассматривать как возвращающийся к среднему. В то же время если рынок имеет более высокую волатильность на более широком интервале выборки, то можно говорить о наличии тренда. Позже были разработаны более эффективные тесты[128], но дисперсионное отношение – достаточно простой метод для использования трейдерами.
Например, если бы рынок двигался на 1 % в день, то можно было бы ожидать, что за 20 рабочих дней он сдвинется на В противном случае будет считаться, что происходит что-то подозрительное: например, рынок чаще движется в одну сторону, чем в другую.
Трейдеры обычно замечают более высокую волатильность при почасовой выборке, особенно на таких рынках, как S&P500 и евродоллары. Это происходит независимо от соотношения с волатильностью для более длительных периодов, например от 1 дня и выше.
Дисперсионное отношение хорошо известно трейдерам, даже тем, кто никогда не слышал об этом методе (см. рис. 6.13). Часто биржевые трейдеры задаются вопросом, почему широкий рынок изменился в течение 1995 г. почти на 35 % при исторической волатильности, близкой к 10 %, или почему доллар периодически терял 20 % своей стоимости каждый год в течение 1980-х гг., 4 волатильность при этом не росла[129].
На рис. 6.14 представлены высокочастотные тиковые данные как источник информации о функции транзакционной стоимости и о возврате рынков к среднему, выраженному как преимущество маркетмейкера денежных инструментов. Волатильность рассчитывалась по тиковым приращениям, чтобы показать читателю, насколько сильным может быть влияние выборки волатильности на цену. Рисунок показывает «мгновенную» волатильность (в соответствии с требованиями Блэка–Шоулза–Мертона для репликации опциона) как измеряемую дважды в день.
Мастер опционов: «GARCH в голове»
Опционные трейдеры могут легко понять ARCH-модель именно потому, что у них «GARCH в голове», как выразился один трейдер, которому концепцию графически объяснили на пакете из-под сэндвичей. Действительно, это намного более понятно, чем те теории, что в настоящее время доступны эконометристам.
В 1982 г. Энгл[130] открыл гетероскедастичность (т. е. изменяющуюся волатильность) во временны́х рядах данных по британской инфляции и предпринял первую попытку ее моделирования. В результате появилась ARCH (авторегрессионная условная гетероскедастичность), которая была попыткой оценить процесс волатильности с помощью методов анализа временны́х рядов, называемых авторегрессионными моделями. Предполагалось, что будущая волатильность связана с ее прошлыми реализациями, каждая из которых имеет свой вес. Интуитивно это можно прогнозировать, используя данные о волатильности прошлых периодов с убыванием веса (как и при использовании техники фильтрации). «Волатильность порождает волатильность», как говорится. За волатильным днем, скорее всего, последует волатильный день, а за тихим – спокойный. Недорогие программы теперь помогают исследователю «подгонять» параметры, чтобы получить сложный (но, увы, хрупкий) инструмент прогнозирования[131].
После Энгла поток моделей обрушился на академический мир, обогащая его более мощными инструментами. Боллерслев и Энгл обобщили модель до GARCH (как авторегрессионную, так и скользящую среднюю). Наиболее интересную разработку – E-GARCH (экспоненциальный GARCH) – представил Нельсон, который учел шоки волатильности при падении рынка.
Позднее появились более сложные GARCH-модели, построенные на осознании того факта, что к значимым шокам относятся те, что выходят за определенный порог или зависят от состояния рынка и т. д. Затем появилась модель N-GARCH (нелинейная), SWARCH (режим переключения) и другие. В модели H-GARCH (гетерогенная) используется шкала времени, аналогичная концепции растяжимого времени для опционного трейдера. Эти модели в чем-то приближаются к мнению опытного опционного трейдера, который считает, что прошлая информация о ценовом движении влияет на будущую волатильность, но сложным образом. Неявные наборы правил, которыми руководствуется трейдер, помогают ему сформировать более адекватное мнение, чем эти методы обработки данных. Это может объяснить, почему ARCH и ее собратья (даже в виде нейронной сети) никогда не имели влияния в торговом зале – они все еще представляют собой бледное подобие разума опытного трейдера. Подразумеваемая волатильность, по сути мнение трейдера, более эффективна, чем предсказания GARCH, за исключением тех случаев, когда происходят сжатия рынка, изменяющие подразумеваемые волатильности до ненормальных пропорций. Иначе модель применялась бы более успешно (см. Taleb, 1996a).
Наконец, одна из причин, по которой GARCH никогда не достигнет признания, заключается в том, что подразумеваемая волатильность содержит информацию, которая недоступна в прошлых ценах (например, запланированные выборы или публикация экономических данных), но которая является существенной при определении будущей волатильности. Внезапное объявление о встрече двух министров торговли, может, и не повлияет на валютную пару, но трейдеры знают, что результат встречи приведет к скачку (вверх или вниз, на ожиданиях деталей соглашения) – такой информации нет в прошлых ценах. По сути, волатильность замерзнет, т. к. рынок будет осторожничать до получения любой информации по итогам встречи. Таким образом, GARCH будет прогнозировать снижение волатильности.
Кроме того, определенная информация, которая была доступна в прошлых ценах (например, скачки курсов в связи с выборами), как представляется, не имеет никакого значения для будущей волатильности из-за ее неповторяющегося характера. Трейдер знает, как отфильтровать такие данные в своем предсказании волатильности, а эконометристы – нет. Как сообщество трейдеры пользуются накопленными почти за три десятилетия неписаными традициями и преданиями.
Вывод заключается в том, что в соревновании между компьютером и трейдером трейдер все еще имеет заметное преимущество.
Zt следует нормальному распределению с нулевым ожиданием и единичной дисперсией.
α0> 0 (обычно порядка 0,01 для дневных наблюдений), α1 + β1< 1 (но обычно очень близко к 1).
Примечательным в GARCH является то, что и цена актива, и ее волатильность имеют один и тот же остаток («инновацию») Zt, с той разницей, что Zt возводится в квадрат при определении волатильности.
Мы видим, что β1 представляет собой коэффициент постоянной волатильности, в то время как α1 – это фактор GARCH-инновации, стохастический элемент. Чем выше коэффициент α1, тем толще хвосты распределения актива. В некотором смысле волатильность следует за процессом хи-квадрат, и при построении процесса, генерируемого им, виден ярко выраженный правый хвост. Короче говоря, распределение волатильности представляет положительную асимметрию (третий момент), а распределение актива – высокий эксцесс (т. е. отношение четвертого момента к квадрату второго момента).