Измерение опционных рисков
Реальный мир и допущения модели блэка–шоулза–мертона
Правило управления рисками: при динамическом хеджировании с учетом формулы Блэка–Шоулза–Мертона лучше усовершенствовать простую, но проверенную модель, чем работать с более продвинутой, но новой моделью.
Лучше использовать модель с наименьшим количеством оцениваемых параметров.
Лучшие модели часто оборачиваются кошмаром. Опционные трейдеры и риск-менеджеры, когда пользуются моделью Блэка–Шоулза–Мертона в трейдинге, должны понимать допущения, на которые она опирается[132]. Все опытные трейдеры работают с одной моделью, и им комфортно с ней, поскольку они знают ее особенности. Несмотря на несовершенство формулы Блэка–Шоулза–Мертона, трейдеры отказались от альтернатив, потому что знакомы с ее ограничениями. Ни один опытный трейдер не откажется добровольно от этой хорошо изученной формулы ради другого инструмента ценообразования.
С данной моделью мы получаем единый инструмент измерения цены опциона. На ее базе трейдеры могут строить свои модели, внедряя в качестве неформальных улучшений дополнительные параметры, такие как «скачок», изменчивость волатильности, корреляция цены актива и процентных ставок, а также различные статистические оценки основного процесса. При использовании формулы для оценки большинства экзотических опционов необходимость в дополнительных параметрах может быть более выраженной.
При управлении рисками возникает еще одна проблема – точность предсказанных формулой Блэка–Шоулза–Мертона изменений цены опциона. Трейдеры должны работать с математическими производными формулы[133], встраивая модификации, которые варьируют от базовых правил до более полных многофакторных моделей.
Формула Блэка–Шоулза–Мертона основывается на пяти допущениях. Первые два имеют фундаментальный характер (неотделимы от сущности модели), следующие три являются параметрическими, или связанными с распределением (могут быть изменены без каких-либо значимых изменений в модели).
1. Процесс Ито (фундаментальное допущение). Он характеризуется случайной составляющей, которая независима и тождественно распределена (как и следует из понятия «броуновское движение»). Его главной характеристикой является утверждение, что поведение цен базового актива не имеет памяти. Понятие непрерывных цен не столь актуально (на это упирали ранние критики модели Блэка–Шоулза–Мертона). Непрерывное финансирование – это инструмент, а не философское утверждение.
2. Рынки без трения (фундаментальное допущение). В данной формуле нет ни транзакционных издержек, ни затрат на корректировку позиции, ни налогов, ни валютного контроля. Такое допущение, добавленное к предыдущему, подразумевает, что оператор может покупать и продавать базовый актив в любых количествах для корректировки дельты. Это приводит к полному отсутствию влияния функций полезности операторов на работу формулы. Существование транзакционных издержек неизбежно изменяет практику хеджирования отдельно взятого оператора, но не влияет на справедливую стоимость.
3. Постоянная волатильность (параметрическое допущение). Предполагается, что дневные вариации берутся из одного и того же распределения и что их дисперсия известна. Это приводит к постоянной корреляции между различными активами[134].
4. Геометрическое броуновское движение (допущение о распределении). Оно подразумевает (см. модуль B и главу 10), что движение активов является геометрическим – ожидаемая дисперсия логарифмов доходностей остается постоянной.
5. Постоянный (и известный) дрейф[135] (параметрическое допущение). С точки зрения трейдера, структура наклона форварда (forward slope) является постоянной.
Для уменьшения влияния этих допущений требуется серия корректировок. Прежде всего трейдерам необходимо оценить издержки.
● Допущение 1 необходимо корректировать в случае серьезной зависимости от последовательности цен, например в случае дыр ликвидности. Или, допустим, если выпуск опциона может повлиять на движение базового актива (как в случае портфельного страхования).
● Допущение 2, иногда ослабленное, означает, что опционные трейдеры не могут корректировать дельту после каждого микроизменения цены базового актива. Менее частая ребалансировка портфеля подразумевает менее точное отслеживание влияния теоретической стоимости на сделку, но это окажет влияние только в долгосрочной перспективе. Таким образом, оператор должен разделить понятия теоретической стоимости и фактической динамической репликации. Это означает, что стоимость может быть получена из модели непрерывного финансирования, но дельта должна быть дискретно вычислена[136].
● Допущение 3, пожалуй, проще всего скорректировать. Волатильность нестабильна, т. к. трейдеры делают на этом деньги (можно купить или продать волатильность на рынке). Это приводит к разрыву между исторической и подразумеваемой волатильностью. Нестабильность волатильности приводит к тому, что дельта теряет свое значение в качестве меры хеджирования (если она не модифицирована должным образом), а гамма – свою способность предсказывать изменения дельты. Однако иногда работу трейдера облегчает осознание существования связи между изменениями волатильности и величиной движений рынка. Информация об этом будет рассмотрена далее. Более того, поскольку волатильность непостоянна, появляется кривая волатильности и необходимость принятия допущений о ее поведении.
● Допущение 4 будет рассмотрено в главе 11. В некоторых случаях распределение можно считать арифметическим, как в ранней работе Башелье.
● Допущение 5 имеет два следствия, которые необходимо учитывать. Первое заключается в том, что уровень дрейфа меняется (процентные ставки далеки от постоянных). Кроме того, он коррелирует с движением цен активов (в трендовых активах, таких как Мексика, связь очевидна). Второе следствие – дрейф движется не параллельно, но предсказуемо.
В таблице ниже перечислены недостатки греков и простые модификации для их исправления. Это позволяет использовать производные формулы Блэка–Шоулза–Мертона в свете вышеизложенных оговорок.
Технические подробности видоизменения формулы Блэка–Шоулза–Мертона приведены в модуле G. Научное толкование читатель может найти в работах Hull (1993), Cox and Rubinstein (1985) или Jarrow and Rudd (1983).
Мастер опционов: суть модели Блэка–Шоулза–Мертона
Суть модели[137] заключается в риск-нейтральной репликации ценных бумаг на рынке, который, как утверждается, является идеальным. Однако это не означает, что каждая ценная бумага может быть реплицирована каждым арбитражером, как нередко считают.
Например, при наличии варранта на японскую акцию операторы, участвующие в таком арбитраже, не могут динамически реплицировать его из-за трудностей с заимствованием бумаг для короткой продажи акций. Но это не означает, что справедливая стоимость варранта должна быть отличной от теоретической, если издержки, связанные с репликацией, затрудняют работу арбитражеров. Модель Блэка–Шоулза–Мертона не требует, чтобы каждый оператор был дельта-нейтральным при бесконечно малых изменениях цены акций. Только выдуманный оператор будет обменивать акции туда-сюда при малейшем изменении.
Другая проблема заключается в том, что оператору, возможно, придется держать ценную бумагу в портфеле до истечения срока ее действия. Чтобы принять решение о покупке ценной бумаги, ему придется использовать величину дисперсии, отличную от бесконечно малой дисперсии ценной бумаги.
Точно так же, как стоимость одних опционов может рассматриваться как предельное разложение других при полном понимании того, что такая стоимость не будет достигнута посредством репликации, мы можем рассматривать справедливую цену Блэка–Шоулза–Мертона как предельное значение арбитражного решения, нейтрального с точки зрения риска.
Мастер опционов: почему хорошие модели умирают
Большинство новых моделей, которые пытались исправить недостатки модели Блэка–Шоулза–Мертона, не выжили. Восхитительный и реалистичный инструмент, скачкообразная диффузионная модель ценообразования Мертона, редко реализуется по той простой причине, что он требует оценки двух дополнительных параметров – размера скачка по модели Пуассона и его частоты. Методы стохастической волатильности (см. Hull and White, 1987) также были незаслуженно выброшены в мусорную корзину бизнес-школами из-за необходимости оценивать два дополнительных параметра – изменчивость волатильности и корреляцию между волатильностью и каким-нибудь индикатором цены актива. Те же самые проблемы возникают и при внедрении эффективных моделей кривой доходности вроде тех, что соответствуют подходу Хита–Джарроу–Мортона. Трейдеры избегают их, несмотря на настойчивые требования исследовательских отделов, и предпочитают простую формулу Блэка–Шоулза–Мертона.
Трейдеры знают о недостатках этой формулы: существование «пространства волатильности» – это одна из попыток модифицировать ее. Но все же они предпочитают подгонять какой-то параметр (читай: волатильность) и превращать его в функцию от времени до экспирации и страйка, а не заниматься точной оценкой другого параметра.
Глава 7Адаптация модели Блэка–Шоулза–Мертона: дельта
Всегда предпочтительнее быть примерно застрахованным от широкого набора случайностей, чем точно застрахованным от одного узкого параметра.