Notes
1
Данное число отражает примерно 60 транзакций за торговый день; кроме того, ежедневно мне приходилось изучать два толстых аналитических отчета (каждый из которых содержал 17 справок по разным рынкам, на которых у меня были опционные позиции). В целом было совершено 95 000 сделок с валютными опционами, 30 000 – с опционами на фондовые индексы, 30 000 – с опционами на евродепозиты (евродоллары, PIBOR, евроиены, евромарки), 1000 – с опционами на биржевые товары (живой скот, масло и т. д.). Остальные сделки совершались со свопционами и опционами на долгосрочные облигации. За всю карьеру я совершил только две сделки с опционами на ипотечные облигации (я открыл и закрыл одну сделку внутри торгового дня).
2
В данной книге развернутые ссылки на источники приводятся в разделе «Литература». См. Soros (1987), Derman (1996).
3
Black-Sholes (1973), Merton (1973).
4
Лишь несколько книг были написаны практиками. Одна из тех, которую можно использовать как введение в торговлю, – это Natenberg (1995). Читатели найдут там базовые понятия, необходимые для понимания торговли опционами с точки зрения «оператора» (а не покупателя или теоретика).
5
Данное масштабирование совместимо с ценообразованием по формуле Блэка–Шоулза–Мертона (см. Merton, 1973).
Стоимость по БШМ V(λS, λK, σ, r, d) = λV(S, K, σ, r, d)
(для формулы Блэка–Шоулза–Мертона это однородность первой степени для цены базового актива и цены страйк).
Это также однородность первой степени S, K, HH, HL (где HH – верхний барьер, HL – нижний барьер):
V(λS, λK, λHH, λHL, σ, r, d) = λV(S, K, HH, HL, σ, r, d).
6
В русскоязычной литературе часто употребляется термин «рехеджирование». – Прим. пер.
7
Лиланд (Leland, 1985) дает четкий обзор литературы по вопросу дискретного динамического хеджирования во времени. Он показывает, что реплицирующая стоимость портфеля, состоящего из длинного базового актива и короткого опциона, не всегда равна 0, если частота репликации снижается. Читатель увидит в модуле F, что цена Блэка–Шоулза является производной от стратегии, которая заставляет прибыль/убыток оставаться на нулевом уровне. В реальности невозможно постоянно покупать и продавать базовый актив для хеджирования позиции в опционе. Вместо непрерывного хеджирования dt мы выбираем Δt, промежуток времени между переоценками требуемого хеджирования. Ожидаемые прибыль/убыток позиции будут при этом равны нулю. Дисперсия пакета, по данному исследованию, уменьшается на когда Δt сокращается наполовину. Аналогичные результаты можно получить, используя функциональные центральные предельные теоремы. Поскольку путь ценового ряда выборки разделен на бесконечно малые фрагменты, дисперсия прибыли/убытка будет (равномерно, но не полностью) сходиться к 0.
Один из тревожных фактов для современной финансовой теории заключается в том, что объединенный набор активов имеет дисперсию. Это выглядит так же, как и любая другая рискованная ценная бумага. Другими словами, репликация опциона имеет риски, и данный факт нужно учитывать.
8
Richard Feynman, QED (1985). Princeton: Princeton University Press.
9
Греки изначально представляли различные производные из формулы Блэка–Шоулза–Мертона. Впоследствии они стали обозначать чувствительность дериватива к тому или иному рыночному параметру.
10
ЭКЮ (ECU) – европейская валютная единица использовалась в ЕС до 1 января 1999 г. Была заменена на евро. – Здесь и далее, если не указано иное, прим. науч. ред.
11
См. Russell (1945).
12
FINEX (Financial Instruments Exchange) была поглощена биржей Intercontinental Exchange (ICE) в 2007 г. в результате приобретения ею биржи New York Board of Trade (NYBOT). Сейчас индекс доллара (USDX) рассчитывается ICE, на этой же площадке торгуются фьючерсы на него практически в круглосуточном режиме.
13
Торговля ими, однако, может привести к корреляции между зависимыми активами, превратив таким образом позицию в мультиактивный опцион.
14
Происхождение термина «загрязнение» связано с ценой опциона, которая «загрязняет» все вокруг себя. Когда опцион в какой-то точке становится дорогим, эта тенденция распространяется и на прилегающие зоны графика.
15
Ставка LIBOR (London Interbank Offered Rate), которая долгое время была ориентиром для краткосрочных процентных ставок на глобальном финансовом рынке, заменена в конце 2021 г. на справочные ставки овернайт. Несмотря на то что репрезентативные ставки LIBOR по USD и EUR по-прежнему доступны, многие финансовые организации и центральные банки с 2022 г. перешли на использование ставок SOFR (Secured Overnight Financing Rate) по долларам США и ESTR (Euro Short-Term Rate) по евро.
16
LIBOR-квадрат – это контракт (процентный своп), который предполагает выплату одной из сторон квадрата разницы между исходной процентной ставкой (в момент заключения контракта) и более высоким значением и обязывает ее выплатить квадрат разницы между более низкой и исходной ставками.
17
В настоящее время на биржах мира торгуются только европейские и американские опционы, причем их названия никак не связаны с географией. Например, на срочном рынке Московской биржи представлены американские опционы.
18
Цена опциона не может быть отрицательной величиной.
19
Иногда опционы вне денег все же исполняются, например перед дивидендными выплатами, когда «отрицательная» внутренняя стоимость опциона колл меньше величины дивиденда по акции, а также в некоторых других случаях.
20
Фьючерсы на облигации включают в себя скрытый опцион (право выбора).
21
При одном и том же страйке опциона.
22
Диксит и Пиндик (Dixit and Pyndick, 1994) исследовали применение теории опционов в сфере управления корпоративными финансами.
23
Длинный пут эквивалентен позиции «длинный колл / короткий форвард», поэтому P = C – F.
24
Форвардная дельта отражает чувствительность премии опциона к цене форвардного контракта на тот же базовый актив с тем же сроком исполнения, что и опцион. Спотовая, или денежная, дельта – чувствительность премии опциона к текущей цене базового актива на рынке спот.
25
Большинство трейдеров мыслят категориями форвардов, а кванты – спот-рынка, поскольку в формуле Блэка–Шоулза (Black-Sholes, 1973) цена опциона представлена как функция спот-цены актива. Подход Мертона (Merton, 1973) более совместим с методами трейдеров. Такое искажение может приводить к неправильному хеджированию при существовании валютных коридоров.
26
Американские опционы усложняют решение уравнения Блэка–Шоулза–Мертона в частных производных с учетом, помимо прочих условий, правил досрочного исполнения Q(t) и оптимального пути исполнения, где производная ценная бумага представляет собой φ(S – K). Такое зависящее от времени граничное условие порождает бесконечные обсуждения. Что еще хуже, как будет показано далее, могут существовать две границы.
27
Более сложный анализ требует использования стохастических процентных ставок и учета возможности изменения структуры дифференциала процентных ставок. Вопросы ценообразования валютных опционов со стохастическими процентными ставками рассматриваются в Amin and Jarrow (1991).
28
Как ни парадоксально, существует масса научных работ, в которых авторы пытаются точно оценивать американские опционы, несмотря на неточность параметров, влияющих на их стоимость.
29
Европейские опционы и в настоящее время являются стандартом для валютного рынка, т. к. их проще оценивать и легче управлять рисками. Например, на Чикагской товарной бирже (CME) опционы на все валютные пары являются европейскими.
30
19 октября 1987 г. («черный понедельник») индекс Doe Jones Industrial Average упал на 508 пунктов (22,61 %), что стало крупнейшим однодневным падением в процентах за всю его историю.
31
Имеется в виду книга опционов (option book) маркетмейкера, которая представляет собой текущий опционный портфель по большому количеству позиций в разных страйках и датах экспирации.
32
Волатильность ряда случайных величин (таких, как цены) не является постоянной, а изменяется во времени. Волатильность волатильности отражает эти изменения.
33
В России такие опционы в настоящее время представлены на срочном рынке Московской биржи.
34
В 2014 г. после серии поглощений LIFFE стала частью Intercontinental Exchange (ICE) и сейчас переименована в ICE Futures Europe.
35
В настоящее время на всех фьючерсных биржах реализованы электронные торги.
36
Такие результаты дает простое применение леммы Ито.
37
По общепринятому правилу за ставку r в этой книге принимается непрерывно начисляемая ставка по облигации с нулевым купоном.
38
В настоящее время на CME котируется валютный фьючерс на EUR/USD (в одном фьючерсе 125 000 евро).
39
Хотя евродоллары котируются как 100 – доходность для всех аналитических целей (например, для расчета волатильности и корреляции), мы используем производную доходность в качестве переменной.
40
Иногда это различие бывает нелогичным – некоторые инструменты и рынки могут представлять больше опасности в отношении дополнительных рисков, чем с точки зрения их первичных экспозиций.
41
Дрифт цены базового актива или его ожидаемая доходность.
42
Модель Хита–Джарроу–Мортона (HJM), которая используется для построения временно́й структуры доходности процентных ставок.
43
См. Durett (1991).
44
Семинар Пайпера, О'Коннела, прошедший в Чикаго 4 декабря 1995 г. Примечательным было то, что многие ветераны биржевой торговли опасались плохого распределения настолько, что отказывались использовать опционы пут. Подобные фобии – это часть «набора для выживания» трейдера.
45
Опцион, у которого цена страйк может быть определена покупателем в любой день до даты истечения. После определения цены страйк опцион становится ванильным. – Прим. пер.
46
Более глубокий анализ показывает, что здесь должна присутствовать теневая гамма и теневая дельта, которые будут рассматриваться далее в этой книге.
47
Экзотический опцион с двумя барьерами. Предполагает получение выплаты внутри диапазона (верхний и нижний барьеры). – Прим. пер.
48
Если страйки этих опционов находятся вне денег.
49
Контракт, прибыль/убыток по которому определяется в зависимости от стоимости инвестиционного портфеля (пакета). Обычно создается на портфель акций, фондовых индексов, ETF или валют.
50
Колл-спред – одновременная покупка и продажа опциона колл в разных страйках (с одной и той же датой экспирации).
51
Лукбэк-опцион, или опцион с «оглядкой назад», представляет собой контракт, выплата по которому зависит от максимальной или минимальной цены базового актива, наблюдавшейся за период действия опциона. Это пример экзотического опциона с зависимостью от ценового пути.
52
Включаемые и выключаемые опционы относятся к виду барьерных контрактов, выплата по которым зависит от того, достигнет цена базового актива определенного уровня (барьера) или нет.
53
Рампа-выплаты (ramp payoffs) – плавное изменение по функции рампа. Например, график выплат по простому ванильному опциону колл или пут.
54
Стрип, или еврострип (strip, eurostrip) – серия последовательных фьючерсных контрактов на евродоллар. Используется для хеджирования процентных и валютных рисков. Торгуется на Чикагской товарной бирже (CME).
55
Варранты – производные инструменты, которые дают право (но не обязывают) купить или продать ценную бумагу (чаще всего акцию) по определенной цене до истечения срока их действия. В отличие от опционов выпускаются самой компанией.
56
У азиатского опциона выплата определяется средней ценой базового актива за заранее установленный период (в отличие от обычных европейских и американских опционов, у которых выплата определяется ценой базового актива на момент исполнения).
57
Яма – физическое место на фондовой бирже, предназначенное для торговли ценными бумагами. Большинство физических торговых площадок ушло в прошлое и заменено электронными торгами в связи с развитием онлайн-трейдинга. Но некоторые из них все еще существуют. Так, на Нью-Йоркской фондовой бирже (NYSE) в 2020 г. на яму приходилось порядка 18 % общего объема торгов.
58
Торги на полу (trading floor) – то же самое, что и торговля в яме.
59
Верхний рынок (upstairs) – сеть торговых десков крупных брокерских фирм и институциональных инвесторов, которые взаимодействуют друг с другом с помощью электронных систем отображения (типа Bloomberg или Reuters Eikon) для облегчения совершения торговых сделок.
60
Мартингейл – стратегия управления ставками в азартных играх, основанная на том, что игрок повышает ставки, пока не получит выигрыш. Несмотря на кажущуюся гарантию того, что эта стратегия всегда приводит к выигрышу, мартингейл не дает игроку преимуществ.
61
Этот случай легко реплицируется в реальном мире, когда трейдер покупает однолетний европейский бинарный опцион за $2,5 млн, который приносит либо 0, либо $5 млн при экспирации, если S&P500 закрывается на отметке 668,00 или выше.
62
Рынок выбора (choice market) – закрытый рынок, в котором спред между ценой спроса и предложения для данного финансового инструмента равен нулю. Запрещен Комиссией по ценным бумагам и биржам США (SEC) в 2007 г.
63
Комиссия по торговле товарными фьючерсами (CFTC) в настоящее время регулирует рынки деривативов США, включая фьючерсы, свопы и некоторые виды опционов.
64
См. Grossman and Miller (1988).
65
В статье Марка Гармана «Микроструктура рынка» (Garman M. "Market Microstructure". Journal of Financial Economics, 1976, no. 3, pp. 257–275) исследуется влияние ограниченного внимания на способность маркетмейкера обеспечивать ликвидность. В настоящее время по этой теме более актуальна книга Larry Harris. Trading and Exchanges: Market Microstructure for Practitioners. New York: Oxford Uniersity Press, 2002.
66
При Вальрасовском аукционе (Walrasian auction) заказы собираются в пакеты покупок и продаж, а затем анализируются для определения клиринговой цены, которая будет определять рыночную цену. Используется, например, на Нью-Йоркской фондовой бирже (NYSE) для определения цены открытия рынка.
67
Обзор см. в Ho and Stroll (1980); Silber (1984); Garman (1976) и O'Hara (1995).
68
См. D. Guillaume et al. (1995), Roll (1984).
69
Имеется в виду работа Dominique M. Guillaume "A Low-Dimensional Fractal Attractor in the Foreign Exchange Markets?", доступная по ссылке: https://papers.ssrn.com/sol3/papers.cfm?abstract_id=5629.
70
Выборка из шести маркетмейкеров валютного рынка, сделанная автором в июне 1995 г.
71
Например, если игрок выигрывает доллар, когда выпадает орел, и проигрывает доллар, когда выпадает решка, то при вероятности выпадения орла более 1/2 (монета смещена) игрок в среднем выигрывает деньги и его состояние с течением времени становится субмартингейлом.
72
В данном примере роллирование означает перенос опционных контрактов в более дальний срок.
73
Проскальзывание (slippage) – разница между ценой, по которой должна быть исполнена рыночная заявка, и ценой ее фактического исполнения.
74
В данном примере диапазонная нота – структурный продукт, доходность которого максимальна, если котировки валюты остаются в пределах определенного ценового интервала (диапазона) в течение срока действия ноты.
75
Имеются в виду сотрудники отдела продаж финансовой компании.
76
Мягкие товары (soft commodity) – товары, которые выращиваются, а не добываются (например, пшеница, кукуруза, соя, кофе, рогатый скот).
77
Скальпинг – один из вариантов внутридневных торговых операций, для которого типично закрытие сделки при достижении небольшой прибыли в несколько пунктов. Для него характерно заключение большого количества сделок относительно небольшого объема.
78
В данном примере идет речь о стратегии «покрытый колл» (covered call), когда трейдер продает опцион колл вне денег на активы, которыми он владеет.
79
Внутренняя стоимость (intrinsic value) – сумма, которую получит трейдер, если сейчас экспирирует опцион и закроет позицию в базовом активе по текущей рыночной цене. Для опциона колл это разница между текущей ценой базового актива и страйком опциона, для опциона пут – разница между страйком опциона и текущей ценой базового актива. Временна́я стоимость (extrinsic value) – премия к цене опциона, обусловленная тем, что до даты экспирации еще есть время (цена возможности, которую представляет опцион). Соответствует разнице между ценой опциона на рынке и его внутренней стоимостью.
80
Швагер Д. Новые маги рынка: Беседы с лучшими трейдерами Америки. – М.: Альпина Паблишер, 2011.
81
Имеется в виду перекос кривой волатильности (volatility skew), когда более низкие страйки имеют более высокую подразумеваемую волатильность (IV), чем более высокие страйки.
82
См. Feller (1968).
83
Более подробно эта идея рассмотрена в другой книге автора. См. Талеб Н. Одураченные случайностью: Скрытая роль шанса на рынках и в жизни. – М.: КоЛибри, 2022.
84
Четкий способ взглянуть на это – сравнить броуновское движение П/У трейдера с дрейфом. Реальные «умения» трейдера должны соответствовать дрейфу.
Пусть P – это прибыль трейдера, при P0 = 0, Z – винеровский процесс, а σ – волатильность П/У трейдера:
dP = µ dt + σ dZ
арифметическое броуновское движение (P может быть отрицательной). Читатель должен рассматривать µ как статистическое преимущество трейдера; если он считает, что у него преимущество 51 % против 49 % на рынке в течение определенного периода времени, то дрейф составляет 2 % от чистой суммы. σ – это просто волатильность рынка, на котором трейдер имеет дрейф. Понятно, что волатильность трейдера будет доминировать над дрейфом в большинстве случаев. Однако σ обычно перекрывает µ.
85
В феврале 1994 г. из-за резкого ужесточения политики ФРС произошла быстрая коррекция рынка акций и облигаций США.
86
Личный разговор с автором, Нью-Йорк, апрель 1996 г.
87
См. Dubins and Savage (1965). См. также Billingley (1986).
88
Субмартингейл (ожидаемая доходность в следующий период выше, чем в настоящее время).
89
Супермартингейл (ожидаемая доходность в следующий период ниже, чем настоящее время).
90
См. Feller (1968).
91
Коэффициент Шарпа – показатель эффективности портфеля, который вычисляется как отношение средней премии за риск к среднему отклонению (волатильности) портфеля.
92
В одном из эссе (Taleb, 1997) я показываю, что трейдеры, поставившие стоп-лосс, представляют момент, смещенный вправо, асимметрию, ослабляющую силу коэффициента Шарпа.
93
Существует масса литературы по микроструктуре рынка. Целью данной главы является объяснение ликвидности с точки зрения практикующего специалиста.
94
Опционы колл со страйком 115. В дальнейшем в книге будет часто использоваться такое сокращение.
95
Имеется в виду конкретный трейдер, который управляет клиентским ордером.
96
Цена на данный актив действительно достигала уровня барьера.
97
См. отличный и всесторонний обзор в Brock and de Lima (1995).
98
См. Brock, Hsieh and LeBaron (1991).
99
Марковский процесс формально определяется как: P(Xn = s/X0 = x0, X1 = x1, …, Xn-1 = xn-1) = P(Xn = s/Xn-1 = xn-1) для всех n ≥ 1. Это означает, что условная вероятность следующей цены Xn зависит только от предшествующей ей цены, а не от последовательности предшествующих цен.
100
На момент написания этой главы это пять минут приостановки, если открытие находится в пределах 500 пунктов от предыдущего закрытия, затем полчаса, если оно находится в пределах 2000 пунктов, затем до конца сессии, если рынок достигнет третьего предела 3000 пунктов.
101
Лимит цены (price limit) – максимальное отклонение от цены закрытия в предыдущий торговый день, устанавливаемое биржей на каждый торгуемый актив. Как только цена актива достигает минимально возможного или максимально возможного значения, торги данным инструментом приостанавливаются. Порядок приостановки торгов определяется регламентом конкретной биржи.
102
Сжатие – резкое движение цены с последующим быстрым откатом.
103
Тройной колдовской час (triple witching hour) – последний час торговой сессии в день квартальной экспирации фьючерсов и опционов на индексы и акции в США (третья пятница марта, июня, сентября и декабря). Как результат, в этот час обычно резко увеличиваются объем торгов и волатильность рынка.
104
Баскет-арбитраж (от англ. basket trading) – торговля на разнице между двумя корзинами акций, облигаций, фьючерсов и других инструментов.
105
См. Leland (1992).
106
Программную торговлю обвиняют в том, что она усугубила или даже инициировала крах фондового рынка в 1987 г.
107
Им пришлось бы допродавать актив при каждом снижении его котировок для нейтрализации дельты своей позиции.
108
Гроссман (Grossman, 1988) проводит различие между стратегиями и ценными бумагами и показывает, что естественное состояние Эрроу–Дебре не может быть воспроизведено динамически. Из-за того, как сделки передают информацию, реальный опцион представляет собой нечто иное, чем программную репликацию.
109
Фронтраннинг (front running) – неэтичная и в некоторых случаях незаконная практика, когда брокер ставит собственный ордер перед крупным ордером клиента, который, по его мнению, может привести к движению рынка.
110
В работе Леланда значение k представляет собой стоимость двусторонней транзакции, измеряемая как доля объема транзакций по покупке и продаже (актив сначала купили, затем продали): k = (Xask – Xbid)/X = 2 × (Xask – Xbid)/(Xask + Xbid), где Xask и Xbid – цены предложения и спроса. В данном варианте не учитывается брокерская и биржевая комиссия, а также другие возможные расходы.
111
Каждая сделка покупки-продажи генерирует убыток, поэтому величина транзакционных издержек по формуле выше будет положительной, что приводит к итоговой надбавке за волатильность.
112
Подразумеваемый спред – это истинный спред на рынке, и он шире видимого или явного спреда. Он соответствует корректировке цен вверх или вниз в ответ на крупный ордер.
113
Эти прикладные определения арбитража в значительной степени лишены смысла в микроэкономике и финансовой теории. В тексте вводится понятие самофинансируемых стратегий в связи с оценкой опционов.
114
Oxford English Dictionary (1971).
115
Если существует многомерный процесс Ито, то связь является стохастической (см. модуль G) в пределах от Z1 до Zn. Если обе бумаги имеют одну и ту же случайную составляющую, то связь детерминирована.
116
Неясно, можно ли использовать риск-нейтральные вероятности при определении стоимости пассивного арбитража.
117
Упрощение является демонстрационным, но действует в пределах очень маленьких приращений. Процесс для цен активов µ dt + σ dz с границей S(t0) = S0 имеет решение следующего вида: следовательно, со следующими характеристиками: S – цена активов, σ – волатильность, t – время и Z – случайная величина, обычно нормально распределенная с единичной дисперсией и нулевым средним значением.
118
Некоторые активы, по мнению Рафаэля Дуади, могут демонстрировать избыточное геометрическое поведение, при этом их волатильность возрастает на более высоких уровнях и уменьшается на более низких.
119
См. Bachelier (1900).
120
См. Cox and Rubinstein (1985).
121
Некоторые трейдеры используют μ, риск-нейтральный дрейф биржевого товара, как среднее в соответствии с подходом Блэка–Шоулза–Мертона.
122
Презентацию моделей состояния-пространства см. в Hamilton (1994).
123
См. Parkinson (1980); Atigan (1996). Обратите внимание, что в работе Cox and Rubinstein (1985) волатильность оценивается на основе среднего SH/SL, которое сдвигает фактор оценки вниз на 91 %.
124
Опционные трейдеры называют гамма-трейдингом дельта-корректировки, вытекающие из длинной или короткой гамма-позиции.
125
См. Taleb (1996b).
126
Lo and McKinley (1988).
127
Существует множество эффективных методов, таких как тест нелинейности BDS Брока–Дечерта–Шейнкмана. Дисперсионное отношение достаточно удовлетворительно работает для трейдеров и риск-менеджеров, давая представление о структуре волатильности. Полный анализ нелинейной зависимости (включая представление интеграла корреляции) см. в Brock, Hsieh, and LeBaron (1991).
128
См. Kritzman (1994).
129
Следует отметить, что дисперсионное отношение – это еще один способ взглянуть на автокорреляцию. Оно реагирует на суммирование автоковариационной функции над соответствующими задержками. Хорошее, интуитивно понятное объяснение см. в Harvey (1993) и Bloomfield (1976).
130
См. Engle (1982).
131
GARCH(1,1) можно охарактеризовать следующим процессом для σt для периода волатильности t.
132
См. Black (1988).
133
Греками.
134
Если пара (N, A) имеет постоянную волатильность (N – расчетная валюта) и пара (N, B) имеет постоянную волатильность, и то корреляция между (N, A) и (N, B) будет постоянной. При торговле кросс-опционами гетероскедастичность означает нестабильную корреляцию.
135
Среднюю ожидаемую доходность базового актива (англ. drift).
136
Это связано с проблемой дискретно-временно́й сходимости. Поэтому опционы сходятся по стоимости с результатом по формуле Блэка–Шоулза–Мертона, а не с более высокими производными.
137
Продвинутый уровень.
138
Имеется в виду, что при дельте 50 % изменение цены опциона будет в два раза меньше изменения цены базового актива, поэтому необходимо два опциона, чтобы сбалансировать по дельте базовый актив и опционы.
139
То есть положительная.
140
Это еще одна грань проблемы дискретно-временно́й сходимости. Биномиальная модель приводит к непрерывной временно́й оценке опциона. Но дельта и более высокие греки не сходятся. Эту проблему легче увидеть в случае с портфелем опционов.
141
Денежный эквивалент позиции и т. д.
Таким образом, расширение Тейлора можно в дополнение к дельте включить в измерение гаммы – DgammaDspot (т. е. стабильность гаммы). Но для портфеля с большим количеством опционов расширение Тейлора должно охватывать производные более высокого порядка для отслеживания рисков. Становится интуитивно понятно, что VAR не применяется к книге опционов. В главе 11 мы увидим, почему, поскольку книга опционов не компактна и поскольку более высокие порядки или ΔU не исчезают, нам нужен более действенный способ оценивать риски.
142
Термин «теневая гамма» придуман одним из моих бывших коллег, Ленни Денданненом.
143
Sig(x) – это изменение волатильности в результате изменения цены актива между x0 и x.
144
Не следует путать теневую гамму со стохастической волатильностью. Подразумеваемая волатильность определяется как прямая, детерминированная функция движения, предсказанная трейдером и добавленная в формулу Блэка–Шоулза–Мертона. Таким образом, трейдеры могут утверждать, что волатильность будет выше на 100 базисных пунктов, если рынок упадет на 1 %, и создать карту изменений волатильности. Другой способ рассмотреть разницу состоит в том, что теневая гамма концентрируется на подразумеваемой волатильности (определяемой моделью Блэка–Шоулза–Мертона), в то время как стохастическая волатильность касается ценовой модели, которая более точно отслеживает распределение фактической волатильности. Последняя предполагает, что волатильность случайным образом распределена вокруг некоторого среднего, похожего на сам базовый актив, часто соотносимого с ценой актива.
145
ОЭСР – Организация экономического сотрудничества и развития.
146
Курсовой механизм Европейского валютного союза.
147
Forward-start option – тип экзотического опциона с отложенным периодом активации и страйком, определяемым в момент активации. – Прим. пер.
148
Предполагается, что броуновское движение влияет на волатильность для одного срока истечения, а остальные следуют за ним в определенной пропорции.
149
Taleb (1996а).
150
Оговорки автора относительно применения системы «стоимость под риском» не относятся к кривой волатильности по следующим причинам: 1) этот метод является подспорьем в краткосрочном хеджировании, а не в анализе наихудших сценариев. При «хвостовых» событиях интервалы волатильности значат меньше, чем гамма-экспозиция. Кроме того, перекрестная вега обычно исчезает в хвостах; 2) это можно рассматривать как метод второй степени стоимости под риском, т. к. основным инструментом является ожидание второго момента.
151
Это соответствует тому, что трейдеры ямы называют календарные спреды «горизонтальными», а страйк-спреды «вертикальными», а их сочетание называется «диагональным».
152
Локальной называют волатильность между двумя точками с координатами (S, t) и (S + ΔS, t + Δt). Локальная волатильность между (S, t) и (S, t + Δt) называется форвардной, как говорилось ранее.
153
Волатильность спот форварда Дюпира (Dupire, 1996) выражается где K – цена исполнения, F – цена производной ценной бумаги и t – время до экспирации. Вторая производная цены опциона по отношению к цене исполнения представляет собой то, что Бриден и Литценбергер (Breeden and Litzenberger, 1978) считают локальной риск-нейтральной плотностью базового актива.
154
Некоторые операторы строят поверхность волатильности как функцию дельты опциона вместо спот/страйка. Мы избежали ловушки определения дельты, т. к. хорошо известно, что дельта является функцией волатильности.
155
Была оценена следующая полиномиальная функция:
x: время (дни), y = ln(fwd/K);
Волатильность = 11,9257 + 0,110067 Sqrt[х] + 5,77624y + 350,516y – Sqrt[х] + 153,843y2 – 1088,23y3 – 1085,65y4 + 21942,8y5.
156
Для пары расчетная валюта – актив.
157
Метод просто состоит в подгонке кубических многочленов между узловыми точками так, чтобы производная каждого многочлена в каждом узле была равна производным предшествующего и следующего многочленов.
158
Для ро всегда предпочтительнее вывести числовую, а не аналитическую экспозицию. Аналитическая экспозиция суммирует микроскопические производные каждой операции, умноженные на их размер. Числовой метод переоценивает портфель и, таким образом, может иметь дело с изменяющимися производными.
159
Этот раздел можно пропустить при первом чтении.
160
Читателю, незнакомому с биномиальными деревьями, полезно прочитать вводный курс по биномиальному ценообразованию опционов, например Cox and Rubinstein (1985) или Hull (1993).
161
Большинство трейдеров, которые обсуждали этот вопрос с автором на протяжении многих лет, явно предпочитали моделирование перекошенного процесса: более высокую вероятность снижения волатильности и более низкую вероятность повышения волатильности, при этом оба состояния имеют равные ожидаемые вознаграждения (более высокие подъемы).
162
Она может быть вычислена с использованием классического дифференциального уравнения Блэка–Шоулза–Мертона (устраняющего дрейф):
163
Чтобы связать альфу со справедливой стоимостью, трейдер может считать, что ожидаемая тета с учетом волатильности будет отрицательной в момент «выплаты» за альфу. Ожидаемая тета для хеджера по модели Блэка–Шоулза–Мертона не имеет временно́го распада после хеджирования на рынке заданной волатильности. Обозначив временной распад как θ, гамму – как Γ, альфу – как α, подразумеваемую волатильность – как σ, а фактическую волатильность за период – как σ', мы получаем ожидаемую тет).
Как видно, ожидаемый временной распад положителен, если σ' > σ, и отрицателен, если σ' < σ.
164
Этот раздел добавлен потому, что, как выяснил автор, трейдеры используют эти показатели в торговой деятельности, а не из-за их ценности для риск-менеджмента.
165
. Математическое примечание. Процентная разница неточна для больших движений из-за асимметрии на логнормальных рынках. Математически более корректным является использование Log(спот/барьер). Разница становится больше, когда барьер находится вдали от денег.
166
Гамма – это особый случай выпуклости (т. е. выпуклости по отношению к цене актива). Однако ее точность требует представления в отдельном разделе.
167
Используя наиболее подходящий метод с учетом ограниченного количества точек, автор нашел:
Фактор = 1,30825 – 0,03789x + 0,0007419x2, где х – срок погашения (в годах).
168
Математический способ оценки такой выпуклости заключается в изменении переменной Ито, как описано в модуле G. Существует условие Ито при выплате евродоллара. Фьючерсы на евродоллар можно интерпретировать как функцию случайной переменной с выплатой, равной dr × exp{r(t – t0)}, где случайная переменная r следует за броуновским движением.
169
См. Karatzas and Shreve (1991).
170
Эта тема необходима для изучения экзотических опционных структур.
171
Опять же, эта тема представлена с точки зрения практикующего специалиста, а не теоретика.
172
Последующий академический спор представляет собой довольно интересный, если не забавный обмен мнениями. См. Culp and Miller (1994), Canter and Edward (1995).
173
Квартальный опцион на фьючерс – это опцион, срок действия которого соответствует сроку действия фьючерса. В противном случае опцион называется серийным опционом на фьючерсы.
174
Существует другой тип барьера – «поглощающее состояние», из которого невозможно выйти. Трейдер, исчерпавший свои лимиты, знает, что попал в «поглощающее состояние», когда представители клиринговой фирмы появляются посреди ямы, чтобы лишить его права торговать (иногда им требуется помощь охранников, чтобы вытащить незадачливого трейдера из ямы).
175
. Математическое примечание. Если привязать случайное блуждание к Wt<Wmax, то становится ясно, что по мере приближения Wt к Wmax волатильность должна падать, чтобы рынок оставался «справедливым». Другое решение заключается в том, что рынок должен иметь чрезмерный перекос.
176
Флуд и Гарбер (Flood and Garber, 1992) показывают, как стабилизация валютных курсов приводит к увеличению волатильности процентных ставок.
177
Подтверждено двумя крупными брокерскими фирмами, Tradition Financial Services и BCMG, их объемами торговли в Нью-Йорке, Сингапуре, Лондоне и Токио.
178
Гетероскедастичность для нормального распределения приводит к тому, что четвертый момент становится выше квадрата второго момента более чем в три раза.
179
См. Hull and White (1987). Чтобы сделать процесс волатильности риск-нейтральным, можно смело предположить существование фьючерсного контракта на волатильность.
180
В другой своей работе (Taleb, 1997) автор книги изучал динамику обобщенного процесса переключения режимов.
Пусть Xt = Log (Pt / Pt–Dt) – натуральная логарифмическая доходность между временем t — Dt и временем t наблюдаемой переменной Pt.
Пусть другими словами, ассоциированная цена PAt следует за геометрическим броуновским движением, где m1 – среднее, а – дисперсия, т. к. dPA / PA =m1dt + σ1dW, W – единица дисперсии, нулевое среднее значение процесса Винера.
И пусть
Случайная переменная Xt следует за смешанным броуновским движением XA и XB, если:
Xt = XAt с вероятностью p;
Xt = XBt с вероятностью (1 – p).
Это уточнение упрощает цепочку Маркова, предполагая, что p (и 1 – p) – это эргодические вероятности (т. е. долгосрочное среднее значение, потраченное в любом из двух состояний).
Функция, генерирующая момент, определяемая как становится смесью функции генерации момента XA и XB. Теорему см. в Feller (1971).
Так как XA и XB распределены нормально:
и
Обозначив как Φ'nn-ную производную от Φ и как µn – n-ный момент, мы получим следующее:
181
Данную врезку можно пропустить при первом чтении.
182
Феллер II (Feller II, 1971) предлагает условный метод численного инвертирования преобразования Фурье и вывода функции плотности.
183
Постоянная эластичность дисперсии, связывающая цены активов с их волатильностью, частично объясняет такое поведение. Однако данный анализ является статическим. Он касается абсолютных значений уровней, а не их изменения. См. Cox (1975); Beckers (1980); MacBeth and Merville (1980).
184
См. Derman (1995).
185
Совпадение не может быть идеальным. Поэтому необходимо установить функцию затрат (как правило, квадратичную норму разницы) и минимизировать ее. Кроме того, можно ввести веса, отражающие важность параметров риска.
186
На жаргоне маркетмейкеров это называется торговлей «ниже листов». «Листы» – это электронные таблицы с теоретическим значением цен, которые маркетмейкеры получают на биржах. Термин означает, что покупки опционов идут ниже теоретической величины, и наоборот (при отсутствии сдвига параметров).
187
С точки зрения теории вероятности это аналогично броуновскому мосту, когда возможные варианты движения цены исследуются при условии, что конечная точка ценового ряда не изменяется.
188
Для простоты предположим, что форвард торгуется по одной цене с ценой спот и что владелец опциона несет ничтожно малые расходы на поддержание позиции.
189
Ленни Денданнен.
190
Это похоже на модель Бридера–Лиценбергера (Breeder-Litzenberger, 1978) с бесконечно узкой бабочкой (колл-спред, покупаемый против другого, продаваемого, колл-спреда): C(k + h) – C(k) – (–C(k – h) + C(k)) = C(k + h) + C(k – h) – 2C(k). На пределе инструмент становится производной второго порядка от цены опциона по отношению к цене страй.
191
Ставка является производной от цены страйк, поскольку:
192
Эмпирическое правило Говарда Сэвери гласит, что американский цифровой опцион примерно вдвое дороже европейского. Дело в том, что американский опцион при деньгах будет стоить $1 (срок действия истекает), а европейский – $0,50. Эти отношения будут «загрязнять» и более низкие цены.
193
Прежде чем продолжить чтение, читателю рекомендуется освежить в памяти понятие дыр ликвидности (глава 4).
194
Для продвинутых читателей. (Перед чтением этого раздела рекомендуется попрактиковаться в асимметричном разложении бинарных опционов.)
195
См. Grimmet и Stirzaker (1992); Karatzas and Shreve (1991).
196
Дотошный читатель может использовать восходящий узел exp{(a – ½σ)t} и нисходящий узел exp{(–at)), удовлетворяющий как риск-нейтральности, так и логнормальности. Опять же, нет смысла усложнять упражнение настоящим логнормальным движением. Алан Брейс как-то сказал автору этой книги: «Связи важнее точности».
197
См. Dupire (1992, 1993, 1994, 1996), Rubinstein (1994), Derman and Kani (1994).
198
Для понимания этой главы необходимо хорошо разбираться в американских бинарных опционах.
199
Более известен как аэропорт Шарля де Голля. – Прим. пер.
200
SCUD (от англ. second currency underlying) – вторая базовая валюта. – Прим. пер.
201
Матрица должна быть симметричной и положительно определенной.
202
Lee Stulz (1982).
203
См. Margrabe (1978).
204
. Математическое примечание. Поскольку цель упражнения – определение чувствительности, а не цены, проблему логнормальности можно пока оставить в стороне. После корректировки стохастического процесса корреляция веги заметно не меняется. Серьезно затронуты будут только нестандартные моменты (т. е. связанные с перекосом волатильности).
205
CETES (от исп. Certificados de la Tesoreria de la Federación – мексиканские казначейские обязательства) – инвестиционный инструмент мексиканского правительства, выпускаемый министерством финансов и государственного кредитования. – Прим. пер.
206
См. Taleb (1997).
207
При ценообразовании риск девальвации не учитывается, поэтому оператор должен сосредоточиться на опционе без учета этого фактора.
208
См. Goldman, Sosin, and Gatto (1979).
209
С учетом изменчивости рыночной терминологии термин «азиатский» в некоторых кругах может иметь другое значение.
210
Интересный подход к проблеме см. в Geman and Yor (1993); среднее значение геометрического броуновского движения распадается на ряд подчиненных бесселевских процессов.
211
Это можно сделать в любой другой программе, предназначенной для работы с электронными таблицами, при условии, что ячейки обозначены так же.
212
Ограничения для матрицы объясняются в модуле D. Эквивалент волатильности должен быть положительным.
213
См. Cox, Ross, and Rubinstein (1979).
214
См. Harrison and Kreps (1979), Harrison and Pliska (1981).
215
См. Geman, El Karoui, and Rochet (1995).
216
Этот метод позволяет оценивать путы как коллы с помощью переворачивания валюты расчетов.
217
Данный раздел можно опустить – это не скажется на понимании сути парадокса.
218
Определение выпуклой функции приведено в главе 1.
219
Изменение валюты расчетов используется в качестве «клея» в моделях временно́й структуры, где для каждого срока исполнения используется предшествующий форвард в качестве базы стохастического процесса.
220
См. Geman and Souveton (1996); Margrabe (1993).
221
Один трейдер перевел это так: «Если что-то происходит, оно будет происходить и дальше».
222
В Библии: «Бездна бездну призывает во гласе хлябий Твоих, вся высоты Твоя и волны Твоя на мне преидоша» (Псалтирь, 41:8). – Прим. пер.
223
О прорывной теории выбора портфеля с минимальной дисперсией и рождении современной портфельной теории см. Markowitz (1959). Об использовании понятия среднего и дисперсии см. Ingersoll (1986), Huang and Litzenberger (1988) или более доступную работу Elton and Gruber (1995).
224
Превосходный метод, аналогичный стоимости под риском, – так называемый метод «торговли обобщенными парами». Это метод краткосрочной торговли, в соответствии с которым при векторе доходности ценных бумаг Rt = {rl, r2, …, rn} в момент времени t и при векторе цен ценных бумаг Xt = {Xl, X2, …, Xn} в условиях многомерной диффузии можно найти линейную комбинацию α = {αl, α2, …, αn}, максимизирующую условную вероятность получения прибыли от портфеля αT(Xt – Xt + ∆t), где αT – транспозиция α, если рынок соответствующим образом распределен между (t – ∆t) и (t + ∆t). Иными словами, метод позволяет трейдеру определить, какие ценные бумаги в момент времени t вели себя как выпадающие из ковариационной матрицы ценных бумаг в период t – ∆t, и принять меры в расчете на улучшение ситуации к следующему периоду t + ∆t. Если два актива, которые, как предполагается, должны вести себя одинаково (т. е. с высокой корреляцией), ведут себя по-разному, возможна (при отсутствии новой информации) сделка с уверенностью в потенциальной прибыли выше 97 %. Трейдер может купить один актив и продать другой, если он объясняет статистическое расхождение каким-то фактором ликвидности. В отличие от метода стоимости под риском такая техника, используемая профессионалом, невосприимчива к большому количеству событий в хвостах, поскольку она предсказывает «тело» распределения, а не редкие случаи.
225
Это правило родилось в результате разговора с Рафаэлем Дуади.
226
Получается комбинация активов с отрицательной волатильностью.
227
См. Rothchild and Stiglitz (1970). В работе показано различие между «рисками» двух инструментов.
228
Строго говоря, W – винеровский процесс. Неопределенность процесса представлена фильтрованным вероятностным пространством четверки {Ω, P, F, Ft}, где Ω – вероятностное пространство, P – объективная вероятностная мера, F – сигма-алгебра (или, в данном случае, борелевская сигма-алгебра, представляющая собой совокупность всех подмножеств Ω, включая пустое множество, все счетные объединения и все дополнения в виде подмножеств Ω), Ft – фильтрация, информация о процессе, известном в момент t (включая информацию, известную во все предыдущие моменты), так что Ft ⊂ FS всякий раз, когда t ≤ S.
См. Billingsley (1985) (изложение и объяснение теории меры), Dothan (1989) и превосходную и всеобъемлющую работу Duffie (1996) об использовании теории в финансовой сфере. Яркое представление о стохастической интеграции читатель получит, прочитав работу Oksendal (1995).
229
См. Black and Scholes (1973); Merton (1973).
230
Более подробное обсуждение методов стохастической волатильности см. в Scott (1987) и Bates (1993).
231
Эти выводы вдохновлены работой Дуади (Douady, 1996).
232
Автор учился торговать опционами по рукописи этой книги. – Прим. авт.