Для юных математиков — страница 12 из 22

Рис. 78

Однако разнять их вы не сможете: они запутаны одно в другом сложным гордиевым узлом, который можно рассечь только ножницами. Решение задачи № 86

Нехитрый секрет беспроигрышной игры найти довольно легко, если попробовать сыграть партию с конца. Нетрудно видеть, что если предпоследним нашим ходом вы оставите партнеру на столе 5 спичек, – то выигрыш для вас обеспечен: партнер не может взять больше 4-х спичек, и, следовательно, вы можете взять после него все остальное. Но как устроить, чтобы вы наверняка могли предпоследним ходом оставить на столе 5 спичек? Для этого необходимо предшествующим ходом оставить противнику ровно 10 спичек: тогда, сколько бы он ни взял, он не оставит вам меньше 6, – и вы всегда сможете оставить ему 5. Далее: как достичь того, чтобы партнеру пришлось брать из 10 спичек? Для этого надо в предыдущий ход оставить на столе 15 спичек.

Так, последовательно вычитая по 5, мы узнаем, что на столе надо оставить 20 спичек, а еще ранее – 25 спичек, и наконец в первый раз – 30 спичек, – т. е., начиная игру, взять 2 спички.

Итак, вот секрет беспроигрышной игры: сначала берите 2 спички; затем – после того, как партнер взял несколько спичек, – берите столько, чтобы на столе осталось 25; в следующий раз оставьте на столе 20, потом 15, потом 10 и, наконец, 5. Последняя спичка всегда останется за вами.

Решение задачи № 87

Если условие игры обратное – т. е. взявший последнюю спичку считается проигравшим, – то вам надо в предпоследний ваш ход оставить на столе 6 спичек; тогда, сколько бы ни взял ваш партнер, он не может оставить вам меньше 2 и больше 5, т. е. вы во всяком случае сможете следующим ходом последнюю спичку оставить ему. Но как привести к тому, чтобы оставить на столе 6 спичек? Для этого надо предшествующим ходом оставить на столе 11 спичек, а еще более ранними ходами – 16, 21, 26 и 31 спичку.

Итак, вы начинаете с того, что берете всего 1 спичку, а дальнейшими ходами оставляете нашему партнеру 26, 21, 16, 11 и 6 спичек; последняя спичка неизбежно достается противнику.

Решение задачи № 88

Здесь разыскать способ беспроигрышной игры несколько труднее, чем при игре в 32.

Надо исходить из следующих двух соображений:

1) Если у вас перед концом партии нечетное число спичек, вы должны оставить противнику 5 спичек, – и ваш выигрыш обеспечен. В самом деле: следующим ходом противник оставит нам 4, 3, 2 или 1 спичку; если 4 – вы берете 3 и выигрываете; если 3 – выберете их, и выигрываете; если 2 – вы берете 1 и выигрываете.

2) Если же перед концом игры у вас оказывается четное число спичек, то вы должны оставить противнику 6 или 7 спичек. В самом деле: проследим, как пойдет дальнейшая игра. Если противник следующим ходом оставляет вам 6 спичек, вы берете 1 и, обладая теперь уже нечетным числом спичек, спокойно оставляете противнику 5 спичек, с которыми он должен неизбежно проиграть. Если он оставит вам не 6, а 5 спичек, вы берете 4 и выигрываете. Если оставит 4 – вы их берете и выигрываете. Если оставит 3 – вы берете 2 и выигрываете, И наконец, если оставит 2, – вы выигрываете. Меньше 2 он оставить не может.

Теперь уже не трудно найти способ беспроигрышной игры. Он состоит в том, что вы должны, имея у себя нечетное число спичек, оставлять противнику на столе такое число их, которое на 1 меньше кратного 6, – т. е. 5, 11, 17, 23; имея же четное число спичек, вы должны оставить противнику на столе число спичек, кратное 6, или на 1 больше, – т. е. 6 или 7, 12 или 13, 18 или 19, 24 или 25. Нуль можно считать четным числом; поэтому, начиная игру, вы должны взять из 27 спичек 2 или 3, а в дальнейшем поступать согласно предыдущему. Ведя так игру, вы неизбежно выиграете. Не давайте только противнику выхватить у вас нить игры.

Решение задачи № 89

Если условие игры обратное и выигравшим считается обладатель нечетного числа, вы должны поступать при игре следующим образом: имея четное число спичек, оставляйте противнику на 1 меньше, чем кратное 6-ти; имея же нечетное число, – оставляйте ему кратное 6-ти или на 1 больше. Это неизбежно должно привести вас к выигрышу. Начиная игру, вы имеете 0 спичек (т. е. как бы четное число); поэтому первым ходом вы берете 4 спички, оставляя противнику 23.

Решение задачи № 90

Вы, вероятно, пытались составить шесть треугольников, располагая спички в одной плоскости. И, конечно, безуспешно, потому что так задача неразрешима. Но ведь такого ограничения задача не ставит; вы можете располагать треугольники и не в одной плоскости, т. е. размещать их в пространстве. И тогда она решается очень просто: стоит лишь построить из 6 спичек пирамиду с треугольным основанием и треугольными боками, как показано на рис. 79-м. У вас получается 4 равносторонних треугольника из 6 спичек.

Рис. 79

Глава X Геометрические силуэты

Занимательная игра, о которой мы сейчас будем говорить, имеет очень древнее происхождение. Она еще древнее, чем шахматы, хотя гораздо менее известна. Четыре тысячи лет тому назад она возникла в Китае; впрочем, первоначально она служила там не для игры, а, вероятно, для обучения. В наши дни это занятие, несколько видоизмененное, может служить занимательным развлечением.

Игра заключается в том, что складывают из определенных геометрических фигур, «танграммов», бесчисленное множество всевозможных силуэтов. «Танграммы» названы так оттого, что их придумал, по преданию, некий китаец Тан. Они вырезываются из черного картона или выпиливаются из дерева и представляют собою части квадрата, разделенного известным образом.

Вот как надо разрезать квадрат (рис. 80). Сначала соедините углы В и D, т. е. проведите «диагональ» BD. Затем соедините середины сторон ВС и DC, т. е. проведите линию KL. Точку А соедините с серединою KL, т. е. с точкою М, а точку М соедините с G, т. е. с серединою ЕВ. Затем К соедините с I (т. е. с серединою DE).

Рис. 80.

Теперь на квадрате проведены все нужные линии, и вы можете вырезать по ним танграммы (Приложение, стр. 241 [8] ). У вас получаются следующие геометрические фигуры:

5 треугольников (2 больших, 1 средней величины и 2 маленьких); 1 квадрат и 1 параллелограмм.

Чтобы привыкнуть к обращению с танграммами, смешайте эти семь фигур и попробуйте, не глядя на чертеж, сложить из них тот квадрат, из которого они получились. Едва ли это удается вам сразу. Но все же не сдавайтесь, а терпеливо ищите решения. Добившись его, перейдите к решению следующих «танграммных» задач.

Рис. 81.

Задачи эти состоят в том, что из 7 упомянутых фигур необходимо составить определенный силуэт, причем: 1) нельзя класть один танграмм на другой, хотя бы кончиком, 2) для каждого силуэта должны быть использованы все 7 танграммов.

Вы найдете среди прилагаемых силуэтов довольно характерные и удачные изображения, несмотря на простоту и угловатость контура. Недаром танграммными изображениями увлекались художники (Густав Доре), а Наполеон в своем невольном уединении на острове св. Елены целые часы, говорят, проводил за этой «китайской головоломкой».

ЗАДАЧА № 91 «Игра на бильярде» Рис. 82.

Вы видите здесь геометрические силуэты двух игроков, склонившихся над бильярдным столом. Каждый силуэт – и игроков и бильярдного стола – сложен исключительно из танграммов; и в состав каждого из этих трех силуэтов вошли все 7 танграммных фигур. Можете ли вы указать, как эти фигуры сложены? ЗАДАЧА № 92 «Оркестр» Рис. 83.

В нашем оркестре из 7 танграммов сложены и барабанщик (направо), и пюпитр возле него, и контрабасист, и его контрабас, и толстый трубач, и пианист, сидящий за роялем, и, наконец, самый рояль.

Как же составлены эти силуэты?

ЗАДАЧА № 93 Восемь силуэтов Рис. 84.

Сложите ряд танграммных фигур на таблице 84; они изображают силуэты: петуха, женщины, мужчины, девушки, коровы, кошки, собаки и мыши. ЗАДАЧА № 94 Еще шесть силуэтов

Попробуйте сложить из танграммов нарисованные на рис. 85 геометрические силуэты: девушки, сидящей на траве; женщины, смотрящейся в зеркало; головы в шляпе, Наполеона – и два силуэта краснокожих индейцев.

Рис. 85.

ЗАДАЧА № 95 Где ошибка? Рис. 86.

На таблице 86-й собраны такие танграммные силуэты: бегущий мужчина, бегущая женщина, галстук, мостик, рыба, лебедь, человек с чашей, молоток, наковальня; человек, заложивший руки за спину; лошадь, револьвер, рубашка, шапка, курица, гусь, поросенок, кресло, курительная трубка, кружка, могильный памятник.

Одна из этих фигур изображена здесь неправильно: в таком виде, как она нарисована, ее невозможно сложить из танграммов.

Укажите же эту единственную фигуру на нашей таблице, которая не может быть построена из танграммов.

ЗАДАЧА № 96 Самая крупная фигура

Если вам удалось составить все или некоторые изображенные выше силуэты, ответьте на вопросы:

Какая из всех составленных вами фигур имеет самую большую площадь? Какая из них имеет наименьшую площадь?

ЗАДАЧА № 97 24 силуэта

Собранные на таблице 87-й силуэты изображают:

Женщину у зеркала, дом, мужскую фигуру, голову американца, горящую свечу, пожилую женщину, молодую худощавую женщину, кошку, журавля, автомобиль, зайца, страуса, кенгуру, сидячую фигуру, всадника на лошади, женщину с сумочкой, мужчину на коленях, граммофон, парусную яхту, голландскую девушку, паровоз с тендером, фигуру на коленях и кланяющегося мужчину.

Как составлены все эти фигуры?

Рис. 87.

ЗАДАЧА № 98 Размеры танграммов

Всмотритесь внимательнее в те 7 танграммных фигур, которые помогли вам составить так много разнообразных силуэтов, и пробуйте ответить на вопрос:

Во сколько раз площадь каждой танграммной фигурки меньше площади того квадрата, из которого они были вырезаны?

ЗАДАЧА № 99 Откуда взялась нога?

Вот два силуэта, сложенные из танграммов. Вы видите, что у одного силуэта есть нога, у другого нет. Между тем обе фигуры построены из одних тех же семи танграммов!

Рис. 88.

Откуда же взялась нога у правой фигуры? ЗАДАЧА № 100 Два квадрата из одного

Мне привезли из Китая маленькую квадратную коробочку с танграммами, уложенными в ней вплотную двумя слоями – каждый слой представлял собою квадрат. Следовательно, из 7 танграммов можно сложить не только один квадрат, но и два одинаковых.