Закон Ньютона мы можем записать так:
kF = mа,
где k – постоянный коэффициент. Этот коэффициент зависит от выбранных нами единиц.
Вместо того, чтобы пользоваться уже имевшейся у нас единицей силы (кГ), поступим иным образом. Как это часто стараются делать физики, подберем единицу силы так, чтобы коэффициент пропорциональности в законе Ньютона равнялся единице. Тогда закон Ньютона примет такой вид:
F = ma.
Как мы уже говорили, в физике принято измерять массу в граммах, путь – в сантиметрах и время – в секундах. Систему единиц, основанную на этих трех основных величинах, называют системой CGS (произносится «це-же-эс») или по-русски СГС.
Теперь подберем, пользуясь сформулированным выше принципом, единицу силы. Очевидно, сила равна единице в том случае, если она массе в 1 г придает ускорение, равное 1 см/с2. Такая сила получила в этой системе название дины.
Согласно закону Ньютона, F = ma, сила выражается в динах, если m граммов будет умножено на a см/с2. Поэтому пользуются такой записью:
Вес тела обозначается обычно буквой P. Сила P дает телу ускорение g, и, очевидно, в динах
P = mg.
Но у нас уже была единица силы – килограмм (кГ). Связь между новой и старой единицей находим сразу же из последней формулы:
1 килограмм (веса) = 981000 дин.
Дина – очень маленькая сила. Она равна примерно одному миллиграмму веса.
Мы упоминали уже о новой системе единиц (СИ), разработанной совсем недавно. Название для новой единицы силы ньютон (Н) вполне заслужено. При таком выборе единицы написание закона Ньютона будет наиболее простым, а определяют эту единицу так:
т.е. 1 ньютон – это сила, которая сообщает массе в 1 кг ускорение 1 м/с2.
Нетрудно связать эту новую единицу с диной и с килограммом:
1 ньютон = 100000 дин = 1/9,8 кГ.
Прямолинейное движение с постоянным ускорением
Такое движение возникает, согласно закону Ньютона, тогда, когда в сумме на тело действует постоянная сила, подгоняющая или тормозящая тело.
Хотя и не вполне точно, такие условия возникают довольно часто: тормозится под действием примерно постоянной силы трения автомашина, идущая с выключенным мотором, падает с высоты под действием постоянной силы тяжести увесистый предмет.
Зная величину результирующей силы, а также массу тела, мы найдем по формуле a = F/m величину ускорения. Так как
где t – время движения, v – конечная, а v0 – начальная скорость, то при помощи этой формулы можно ответить на ряд вопросов такого, например, характера: через сколько времени остановится поезд, если известна сила торможения, масса поезда и начальная скорость? До какой скорости разгонится автомашина, если известна сила мотора, сила сопротивления, масса машины и время разгона?
Часто нам бывает интересно знать длину пути, пройденного телом в равномерно-ускоренном движении. Если движение равномерное, то пройденный путь находится умножением скорости движения на время движения. Если движение равномерно-ускоренное, то подсчет величины пройденного пути производится так, как если бы тело двигалось то же время t равномерно со скоростью, равной полусумме начальной и конечной скоростей:
Итак, при равномерно-ускоренном (или замедленном) движении путь, пройденный телом, равен произведению полусуммы начальной и конечной скоростей на время движения. Такой же путь был бы пройден за то же время при равномерном движении со скоростью (1/2)(v0 + v). В этом смысле про (1/2)(v0 + v) можно сказать, что это средняя скорость равномерно-ускоренного движения.
Полезно составить формулу, которая показывала бы зависимость пройденного пути от ускорения. Подставляя v = v0 + at в последнюю формулу, находим:
или, если движение происходит без начальной скорости,
Если за одну секунду тело прошло 5 м, то за две секунды оно пройдет (4×5) м, за три секунды – (9×5) м и т.д. Пройденный путь возрастает пропорционально квадрату времени.
По этому закону падает с высоты тяжелое тело. Ускорение при свободном падении равно g, и формула приобретает такой вид:
если t подставить в секундах.
Если бы тело могло падать без помех каких-нибудь 100 секунд, то оно прошло бы с начала падения громадный путь – около 50 км. При этом за первые 10 секунд будет пройдено всего лишь (1/2) км – вот что значит ускоренное движение.
Но какую же скорость разовьет тело при падении с заданной высоты? Для ответа на этот вопрос нам понадобятся формулы, связывающие пройденный путь с ускорением и скоростью. Подставляя в S = (1/2)(v0 + v)t значение времени движения t = (v − v0)/a, получим:
или, если начальная скорость равна нулю,
Десять метров – это высота небольшого двух- или трехэтажного дома. Почему опасно прыгнуть на Землю с крыши такого дома? Простой расчет показывает, что скорость свободного падения достигнет значения v = sqrt(2·9,8·10) м/с = 14 м/с ≈ 50 км/ч, а ведь это городская скорость автомашины.
Сопротивление воздуха не намного уменьшит эту скорость.
Выведенные нами формулы применяются для самых различных расчетов. Применим их, чтобы посмотреть, как происходит движение на Луне.
В романе Уэллса «Первые люди на Луне» рассказывается о неожиданностях, испытанных путешественниками в их фантастических прогулках. На Луне ускорение тяжести примерно в 6 раз меньше земного. Если на Земле падающее тело проходит за первую секунду 5 м, то на Луне оно «проплывет» вниз всего лишь 80 см (ускорение равно примерно 1,6 м/с2).
Написанные формулы позволяют быстро подсчитать лунные «чудеса».
Прыжок с высоты h длится время t = sqrt(2h/g). Так как лунное ускорение в 6 раз меньше земного, то на Луне для прыжка понадобится в sqrt(6) ≈ 2,45 раз больше времени. Во сколько же раз уменьшается конечная скорость прыжка (v = sqrt(2gh))?
На Луне можно безопасно прыгнуть с крыши трехэтажного дома. В шесть раз возрастает высота прыжка, cделанного с той же начальной скоростью (формула h = v2/(2g)). Прыжок, превышающий земной рекорд, будет под силу ребенку.
Путь пули
Задача бросить предмет как можно дальше решается человеком с незапамятных времен. Камень, брошенный рукой или выпущенный из рогатки, стрела, вылетевшая из лука, ружейная пуля, артиллерийский снаряд, баллистическая ракета – вот краткий перечень успехов в этой области.
Брошенный предмет движется по кривой линии, называемой параболой. Ее можно построить без труда, если движение брошенного тела рассматривать как сумму двух движений – по горизонтали и по вертикали, происходящих одновременно и независимо. Ускорение силы тяжести вертикально, поэтому летящая пуля движется по горизонтали по инерции с постоянной скоростью и одновременно по вертикали с постоянным ускорением падает на Землю. Как же сложить эти два движения?
Начнем с простого случая – начальная скорость горизонтальна (скажем, речь идет о выстреле из ружья, ствол которого горизонтален).
Возьмем лист миллиметровой бумаги и проведем вертикальную и горизонтальную линии (рис. 15). Так как оба движения происходят независимо, то через t секунд тело переместится на отрезок v0t вправо и на отрезок gt2/2 вниз. Отложим по горизонтали отрезок v0t и из конца его – вертикальный отрезок gt2/2. Конец вертикального отрезка укажет точку, в которой окажется тело через t секунд.
Это построение надо сделать для нескольких точек, т.е. для нескольких моментов времени. Через эти точки пройдет плавная кривая – парабола, изображающая траекторию тела. Чем чаще будут отложены точки, тем точнее будет построена траектория полета пули.
На рис. 16 построена траектория для случая, когда начальная скорость v0 направлена под углом.
Вектор v0 следует прежде всего разложить на вертикальную и горизонтальную составляющие. На горизонтальной линии будем откладывать vгорt – путь, на который сдвинется пуля вдоль горизонтали через t секунд.
Но пуля совершает одновременно движение вверх.
Через t секунд тело поднимется на высоту h = vвертt − gt2/2.
По этой формуле, подставляя в нее интересующие нас моменты времени, надо рассчитать вертикальные смещения и отложить их на вертикальной оси. Сначала величины h будут возрастать (подъем), а затем убывать.
Теперь остается нанести на график точки траектории так же, как мы это сделали в предыдущем примере, и провести через них плавную кривую.
Если держать ствол ружья горизонтально, то пуля быстро зароется в землю; при вертикальном положении ствола она упадет на то место, откуда был произведен выстрел. Значит, чтобы стрелять как можно дальше, нужно ствол ружья установить под каким-то углом к горизонту. Но под каким?
Используем опять тот же прием – разложим вектор начальной скорости на две составляющие: по вертикали скорость равна v1, а по горизонтали – v2. Время от момента выстрела до момента достижения пулей наивысшей точки пути равно v1/g. Обратим внимание на то, что столько же времени пуля будет падать вниз, т.е. полное время полета до падения пули на землю есть 2v1/g.
Так как движение по горизонтали равномерное, то дальность полета равна
(при этом мы пренебрегли высотой ружья над уровнем земли).