Uab , легко найти все токи.
Выберем положительные направления токов, например так, как показано на рисунке. Тогда по второму закону Кирхгофа для контура, проходящего по первой ветви,
откуда:
Поступая аналогичным способом, нетрудно получить формулы для токов I 2, I 3 и I 4:
По закону Ома для пятой ветви:
Для вывода формулы, позволяющей определить напряжение Uab . Преобразуем формулу по первому акону Кирхгофа:
Формула узлового напряжения в общем случае имеет вид:
Перед определением напряжения по последней формуле следует задаться его положительным направлением. Со знаком «+» должны входить ЭДС, направленные между точками а и b встречно напряжению Uab , и напряжения ветвей, направленные согласно с Uab . Знаки в последней формуле не зависят от направления токов и ветвей. При анализе и расчете электрических цепей методом узлового напряжения целесообразно выбирать положительные направления токов после определения узлового напряжения. В этом случае положительные направления токов нетрудно выбрать таким образом, чтобы все они совпадали с их действительными направлениями.
10. МЕТОД НАЛОЖЕНИЯ
Метод наложения основан на том, что в линейных электрических цепях ток любой ветви может быть определен как алгебраическая сумма токов от каждого источника в отдельности.
Расчет электрических цепей методом наложения производят в таком порядке. Из электрической цепи удаляют все источники ЭДС и напряжения, кроме одного. Сохранив в электрической цепи все резистивные элементы, в том числе и внутренние сопротивления источников, производят расчет электрической цепи. Внутренние сопротивления источников с указанными напряжениями полагают равными нулю.
Подобным образом поступают столько раз, сколько имеется в цепи источников.
Результирующий ток каждой ветви определяют как алгебраическую сумму токов от всех источников.
Для того чтобы результирующие токи совпадали с действительными направлениями, целесообразно выбирать положительные направления результирующих токов после определения токов от всех источников.
Метод наложения весьма удобен для анализа явлений, происходящих в электрических цепях при изменении их параметров.
Например, используя метод наложения, нетрудно определить характер изменения токов ветвей в цепи (см. рис. 13) при увеличении ЭДС E 1 до E 1′ .
Рис. 13. Схема электрической цепи
Действительно, предположим, что при некоторых параметрах цепи до увеличения E 1 установились токи, действительные направления которых совпадают с указанными на рисунке 13. Для решения задачи заменим мысленно увеличение ЭДС E 1 введением в первую ветвь дополнительного источника с r 0доп = 0 и Е доп = E 1′ – E 1. После этого удалим из цепи все источники, кроме источника с ЭДС Е доп, и определим действительные направления дополнительных токов от этого источника, которые очевидны.
Поскольку дополнительный ток первой ветви I 1доп будет совпадать по направлению с током I 1, для определения результирующего тока первой ветви следует воспользоваться формулой I 1′ = I 1 + I 1доп. На основании данной формулы можно сделать вывод о том, что при увеличении Е 1 ток I 1 будет возрастать.
К такому же выводу можно прийти и в отношении токов других ветвей, кроме третьей.
Так как дополнительный ток третьей ветви I 3доп направлен против тока I 3, то для определения результирующего тока нужно использовать формулу I 3′ = I 3 + I 3доп. В отношении результирующего тока третьей ветви можно сделать такой вывод: при увеличении ЭДС Е 1 ток I 3 будет сначала уменьшаться, при некотором значении Е 1 окажется равным нулю, а при дальнейшем увеличении Е 1 изменит направление ( I 3 < 0) и по абсолютному значению будет возрастать.11. МЕТОД ЭКВИВАЛЕНТНОГО ГЕНЕРАТОРА
Метод эквивалентного генератора дает возможность упростить анализ и расчет электрических цепей в том случае, когда требуется определить ток, напряжение или мощность лишь одной ветви.
Рис. 14. Схема электрической цепи эквивалентного генератора
Предположим, что требуется найти ток I ветви amb некоторой электрической цепи (рис. 14а), остальные элементы которой сосредоточены в предела прямоугольника, представляющего собой активный двухполюсник А .
Согласно методу наложения ток I не изменится, если в данную ветвь ввести два источника, ЭДС которых Е 1 иЕ Э равны и направлены в разные стороны (рис. 14б).
Ток I можно определить как разность двух токов: I = I Э + I 1,
где I 1 – ток, вызванный всеми источниками двухполюсника А и ЭДС Е 1 (рис. 14в);
I Э – ток, вызванный только ЭДС Е Э (рис. 14г).
Если выбрать ЭДС Е 1 таким образом, чтобы получить I 1 = 0, то ток I будет равен:
где r 0Э – эквивалентное сопротивление двухполюсника А относительно выводов а и b .
Так как при I 1 = 0 (рис. 14в) активный двухполюсник А будет работать относительно ветви amb в режиме холостого хода, то между выводами a и b установится напряжение холостого хода U = Ux и по второму закону Кирхгофа получим E 1 = I 1 r + Ux . Но по условию Е Э = Е 1, поэтому и Е Э = Ux . Учитывая это, формулу для определения тока I можно записать в такой форме:
В соответствии с последней формулой электрическая цепь (рис. 14а) может быть заменена эквивалентной цепью (рис. 14д), в которой Е Э = Ux и r 0Э следует рассматривать как ЭДС и внутреннее сопротивление некоторого эквивалентного генератора.
В результате возможности такой замены и возникло название изложенного метода.
Значения Е Э = Ux и r 0Э можно определить как расчетным, так и экспериментальным путем. Для расчетного определения Ux и r 0Э необходимо знать параметры элементов активного двухполюсника А и схему их соединения. При определении сопротивления r 0Э необходимо удалить из схемы двухполюсника все источники, сохранив все резистивные элементы, в том числе и внутренние сопротивления источников ЭДС. Внутренние сопротивления источников с указанными напряжениями следует принять равными нулю.12. ПОЛУЧЕНИЕ СИНУСОИДАЛЬНОЙ ЭДС. ОСНОВНЫЕ СООТНОШЕНИЯ
Электрические цепи, в которых значения и направления ЭДС, напряжения и тока периодически изменяются во времени по синусоидальному закону, называются цепями синусоидального тока. Иногда их называют просто цепями переменного тока.
Электрические цепи, в которых значения и направления ЭДС, напряжения и тока периодически изменяются во времени по законам, отличным от синусоидального, называются цепями несинусоидального тока.
Генераторы электрических станций переменного тока устроены так, что возникающая в их обмотках ЭДС изменяется по синусоидальному закону. Синусоидальная ЭДС в линейных цепях, где содержатся резистивные, индуктивные и емкостные элементы, возбуждает ток, изменяющийся по закону синуса.
Возникающие при этом ЭДС самоиндукции в катушках и напряжения на конденсаторах, как это вытекает из выражений:
также изменяются по синусоидальному закону, так как производная синусоидальной функции есть функция синусоидальная. Напряжение на резистивном элементе будет так-же изменяться по синусоидальному закону: u = ir .
Целесообразность технического использования синусоидального тока обусловлена тем, что КПД генераторов, двигателей, трансформаторов и линий электропередачи при синусоидальной форме ЭДС, напряжения и тока получается наивысшим по сравнению с несинусоидальным током. Кроме того, при иных формах изменения тока из(за ЭДС самоиндукции могут возникать значительные перенапряжения на отдельных участках цепи.
Важную роль играет и тот факт, что расчет цепей, где ЭДС, напряжение и ток изменяются синусоидально, значительно проще, чем расчет цепей, где указанные величины изменяются по несинусоидальному закону.
Рассмотрим механизм возникновения и основные соотношения, характерные для синусоидальной ЭДС .
Для этого удобно использовать простейшую модель – рамку, вращающуюся с постоянной угловой скоростью в равномерном магнитном поле. Проводники рамки, перемещаясь в магнитном поле, пересекают его, и в них на основании закона электромагнитной индукции наводится ЭДС. Значение ЭДС пропорционально магнитной индукции B , длине проводника l и скорости перемещения проводника относительно поля υt : е = Bl υt .
Выразив скорость υt через окружающую скорость υ и угол α, получим: е = Bl υ sin α = Em sin α.
Угол α равен произведению угловой скорости рамки ω на время t : α = ωt .
Таким образом, ЭДС, возникающая в рамке, будет равна: е = Em sin α = Em sin ωt .
За один поворот рамки происходит полный цикл изменения ЭДС.
Если при t = 0 ЭДС е не равна нулю, то выражение ЭДС записывается в виде: е = Em sin (ωt + y ),
где e – мгновенное значение ЭДС (значение ЭДС в момент времени t );
Em – амплитудное значение ЭДС (значение ЭДС в момент времени );
(ωt + ψ) – фаза;
ψ – начальная фаза.
Фаза определяет значение ЭДС в момент времени t , начальная фаза – при t = 0.
Время одного цикла называется периодом T , а число периодов в секунду – частотой f :
Единицей измерения частоты является c –1, или герц (Гц). Величина