На этом этапе математика кажется неразрывно связанной с повседневной реальностью. Счет и ведение учета – прикладные инструменты земледельца и торговца, и если эти методы справляются со своей задачей, какая разница, что за концепция лежит в их основе? Простая арифметика неотделима от того, что происходит вокруг нас: овца плюс овца – две овцы, две овцы плюс две овцы – четыре овцы. Казалось бы, чего проще? Но стоит задуматься, и вы поймете, что уже произошло нечто странное. Говоря “овца плюс овца”, мы предполагаем, что овцы одинаковы или, по крайней мере, что различия между ними при подсчете не имеют значения. Но овца овце рознь. То есть мы отделили от овец то качество, что объединяет их и отличает от других объектов, а затем произвели над ним действия при помощи другой абстракции, которую мы называем сложением. Это серьезный шаг. На практике, чтобы прибавить одну овцу к другой, бывает достаточно просто пустить их пастись на одно поле. Но из той же практики мы знаем, что все овцы разные, а если копнуть глубже, то, что мы называем “овцой” (как и все остальное, что нас окружает), – неотъемлемая часть вселенной. Вдобавок к этому немного тревожит тот факт, что воспринимаемое нами как объекты окружающего мира (возьмите хоть тех же овец) на деле лишь порождения нашего разума, вызванные к жизни сигналами, воздействующими на органы чувств. Даже если предположить, что овца существует объективно, из физики нам известно, что это сложнейшая временная совокупность находящихся в постоянном движении элементарных частиц. И тем не менее, считая овец, мы способны каким-то образом игнорировать все эти сложности или, точнее, даже не отдавать себе в них отчет в повседневной жизни.
Египтяне хорошо владели практической математикой и с успехом применяли ее при строительстве пирамиды Хефрена в Гизе, изображенной на фото вместе с Большим сфинксом.
Из всех дисциплин математика – самая точная и незыблемая. Естественные науки и другие области человеческой деятельности представляют собой в лучшем случае некоторое приближение к идеалу, постоянно изменяются и эволюционируют. Как заметил немецкий математик Герман Ганкель, “в большинстве наук новое поколение разрушает созданное предыдущим; установленное одним отменяется другим. Только в математике каждое поколение достраивает новый этаж к прежнему зданию”. Это ее отличие от всех других наук неизбежно, оно заложено в самой ее сути – ведь математика начинается с того, что разум извлекает из данного нам в ощущениях только те знания, которые он определяет как наиболее фундаментальные и неизменные. Это приводит к появлению таких понятий, как натуральные числа, сложение и вычитание, позволяющих измерять количество объектов, увеличивать и уменьшать его. Абстрактное понятие количества (“один”, “два”, “три” и так далее) воспринимается как общий признак разных наборов объектов, независимо от того, что это за объекты и насколько сильно отличаются друг от друга отдельные объекты одного типа. Поэтому такое качество, как непреложность, незыблемость, присуще математике изначально и является важнейшим ее достоинством.
Математика существует – в этом никто не сомневается. Скажем, теорема Пифагора – она ведь как-никак часть нашей реальности. Но вот где она существует тогда, когда не используется и не воплощается в какой-то материальной форме, и где она существовала раньше, тысячи лет назад, до того, как пришла кому-то в голову? Платоники считают, что математические объекты, такие как числа, геометрические фигуры и отношения между ними, существуют независимо от нас, наших мыслей, языка и физической вселенной. Они, правда, не уточняют, в каких таких неземных сферах обитают эти объекты, но убеждены, что те каким-то образом реально существуют. Большинство математиков, надо признать, разделяют эту точку зрения, а значит, считают, что математические истины открывают, а не изобретают. Справедливо, впрочем, и то, что большинству математиков, скорее всего, нет дела до всей этой философии – их вполне устраивает просто заниматься наукой, точно так же как большинство физиков, как работающих в лаборатории, так и решающих теоретические задачи, вряд ли волнуют проблемы метафизики. И все же постижение истинной природы вещей – в нашем случае математических объектов – занятие интересное, пусть даже нам не суждено найти окончательного ответа. Прусский математик и логик Леопольд Кронекер считал, что человеку были даны только целые числа: по его выражению, “целые числа создал Господь Бог, остальное – дело рук человеческих”. Английский астрофизик Артур Эддингтон пошел еще дальше, сказав: “Математики не существует, пока мы ее не создаем”. Наверняка люди и дальше будут спорить о том, что же такое математика – открытие, изобретение или, возможно, сочетание первого и второго, порожденное синергизмом разума и материи. Вряд ли на этот вопрос есть простой ответ.
Одно ясно: в математике единожды доказанное положение навсегда становится истиной, не допускающей споров и не подверженной влиянию субъективных факторов. “Я люблю математику, – заметил Бертран Рассел, – за то, что в ней нет ничего человеческого, за то, что ее ничего, в сущности, не связывает ни с нашей планетой, ни со всей этой случайной вселенной”. Давид Гильберт высказал похожую мысль: “Математика не знает рас и географических границ; для математики весь культурный мир представляет собой единую страну”. Эта беспристрастность, универсальность математики – ее важнейшее достоинство, которое, однако, никак не умаляет ее эстетической привлекательности для человека с наметанным глазом. “Красота – самый первый критерий; для некрасивой математики в мире нет места”, – заявил английский математик Годфри Харолд Харди. Ту же мысль, но с точки зрения теоретической физики высказал Поль Дирак: “Природе присуща та фундаментальная особенность, что самые основные физические законы описываются математической теорией, аппарат которой обладает необыкновенной силой и красотой”[1].
Но у универсальности математической науки есть и обратная сторона: она может показаться холодной и стерильной, лишенной страсти и чувства. В результате может оказаться, что, хотя разумные существа иных миров и пользуются той же математикой, что и мы, это не самый лучший язык для общения на волнующие нас темы. “Многие предлагают использовать математику для общения с инопланетянами”, – прокомментировал ситуацию исследователь из Института поиска внеземного разума (SETI) Сет Шостак. Более того, голландский математик Ханс Фройденталь даже разработал для этого целый язык (Lincos). “Однако, – продолжает Шостак, – я лично считаю, что на языке математики трудно будет описать такие понятия, как любовь или демократия”.
Любая наука (физика уж точно) стремится в конечном итоге свести то, что она наблюдает в окружающей реальности, к математическому описанию. Специалисты по космологии, физике элементарных частиц и аналогичным дисциплинам радуются как дети, когда им удается что-нибудь измерить или выразить количественно, а затем отыскать между этими количествами зависимость. Мысль о том, что вселенная в своей основе математична, имеет древние корни и восходит еще к пифагорейцам, а то и к более раннему периоду. Еще Галилей видел мир как “великую книгу”, написанную на языке математики, а много позже, в 1960 году, венгерско-американский физик и математик Юджин Вигнер написал статью под названием “Непостижимая эффективность математики в естественных науках”.
В природе мы не сталкиваемся с числами непосредственно, поэтому не сразу очевидно, что математика – во всем, что нас окружает[2]. Зато мы видим геометрические формы – почти точные сферы планет и звезд, криволинейные траектории брошенных предметов и движущихся по орбите объектов, симметрию снежинок и многое другое, – а их уже можно описать с помощью числовых соотношений. А кроме них есть еще закономерности, которые также можно перевести на язык математики, в работе электрического и магнитного поля, во вращении галактик, в поведении электронов в атомах. Эти закономерности и описывающие их уравнения обосновывают отдельные события и явления и представляют собой глубинные, неподвластные времени истины, лежащие в основе постоянно меняющегося сложного и многогранного мира, в котором мы все существуем. Немецкий физик Генрих Герц, первым убедительно доказавший существование электромагнитных волн, писал: “Невозможно избавиться от ощущения, что математические формулы существуют независимо от нас и обладают собственным разумом, что они мудрее нас, мудрее даже тех, кто их открыл, и что мы извлекаем из них больше, чем первоначально было заложено”[3].
Несомненно, что современная наука имеет под собой прочный математический фундамент. Но это не обязательно означает, что сама реальность математична по своей сути. Еще со времен Галилея наука разделяла субъективное и объективное, или поддающееся измерению, и сосредоточивалась именно на последнем. Ученые делают все возможное, чтобы исключить любые факторы, относящиеся к наблюдателю, и принимать во внимание только то, что, по их мнению, находится за пределами “помех”, вносимых нашим мозгом и органами чувств. Весь путь развития, пройденный современной наукой, практически гарантирует, что в ее основе будет лежать математика. Но тогда за бортом остается множество областей, не так легко поддающихся научному анализу. Наиболее очевидная из них – сознание. Может быть, когда-нибудь мы построим добротную, всеобъемлющую модель работы мозга, разобравшись во всех нюансах функционирования памяти, обработки зрительной информации и многого другого. Но вопрос о том, для чего нам дан еще и внутренний опыт, ощущение того, “каково это – быть”, остается (и, возможно, всегда останется) за пределами традиционной науки, а значит, и математики.
Для чего в процессе эволюции человеческий мозг развил в себе такие выдающиеся способности к совершенно ненужной ему для выживания математике?