Упражнение 5. Если вы обернетесь и прочтете буквы на стене, что получится: «bum» или «mud»? Теперь если вы посмотрите в зеркало и прочтете отражение теневой надписи на стене, что получится: «bum» или «mud»? Попробуйте ответить на оба вопроса до того, как проведете такой эксперимент.
Билатеральную симметрию человеческого лица можно продемонстрировать вертикально, прижав зеркальце (без рамки) к середине фотографии, снятой в анфас. При этом, конечно, край зеркальца должен проходить по оси симметрии снимка лица. Видимая часть фотографии вместе с отражением выглядит, как лицо на снимке, но не в точности из-за легкой асимметрии черт.
Попробуйте это проделать с собственной фотографией или со снимками друзей, родственников и известных вам личностей в журналах. Иногда очень любопытно видеть, насколько разные получаются лица из двух левых и двух правых половинок. В начале нашего века группа немецких психологов утверждала даже, что два «составных лица», полученных таким образом, отражают две основные стороны в характере изображенного на фотографии человека. Ни один уважающий себя психолог в наше время не принимает эту гипотезу всерьез, но это не помешает вам позабавиться, подвергнув такому «зеркальному анализу» своих приятелей. Слегка отклонив зеркало от вертикали, можно сделать уродливым самое симпатичное лицо.
В вестибюлях гостиниц или учреждений часто встречаются колонны квадратного сечения, выложенные со всех сторон зеркалами. Билатеральная симметрия человеческого тела позволяет проделать забавный фокус, используя такую зеркальную колонну. Встаньте за ней, прижавшись носом к ребру колонны так, чтобы на виду оставалась ровно половина тела. Видимая часть вместе с отражением будет выглядеть как целый человек. (Подвигайтесь немножко из стороны в сторону, пока зрители не скажут вам, что вы выглядите совершенно нормально.) Поднимите ту руку, которая отражается в зеркале и подуйте на палец. Одновременно рукой, которая не видна зрителю, поднимите свою шляпу (следя за тем, чтобы она все время двигалась в горизонтальной плоскости). Это создаст иллюзию, что ваша шляпа взлетела в воздух. Отнимите палец ото рта и медленно опустите шляпу на голову. Многих людей этот простой трюк озадачивает.
Если вас вызовут на бис, то поднимите ногу, видимую зрителям. «Составной образ» подпрыгнет, дрыгая обеими ногами, как паяц на веревочке. При этом быстро вращайте глазами. Публике покажется, что один глаз у вас вращается по часовой стрелке, а другой против.
Если прижать край зеркала к любой фигуре или к любому узору, полученная составная картина будет обладать билатеральной симметрией. В детстве, наверное, вы забавлялись картинками из чернильных клякс. Капните несколько раз чернилами на листок бумаги, согните его так, чтобы сгиб попадал на кляксу и сожмите половинки. Развернув листок, вы увидите симметричный узор. В известном тесте Роршаха, используемого психиатрами в диагностике, рассматриваются картинки-кляксы, полученные именно таким образом. Линия сгиба листка является, конечно, осью симметрии полученного узора.
Если поставить два зеркала под углом и приложить их к фигуре или рисунку, получится целый ряд последовательных отражений. При подборе различных углов раствора, равных 180°, деленным на целое число, мы получим отражения, образующие необычные узоры с четным числом осей симметрии. Если угол равен 180°/2 = 90°, таких осей будет четыре. Этого еще мало, и картинки получаются неинтересные. Угол 180°/3 = 60° дает поразительно симметричную гексагональную картинку вроде снежинки с шестикратной осью симметрии. Поставьте три зеркала, раздвинутые под углом 60°, на цветную журнальную иллюстрацию и медленно вращайте их, сохраняя раствор угла постоянным. Абстрактный гексагональный узор будет ритмично меняться, сохраняя все время красивую симметрию. В большинстве калейдоскопов зеркала устанавливают именно под углом 60°, а узоры там возникают за счет отражения фигур, случайно образуемых кусочками цветного стекла.
В США в настоящее время широко распространен новый тип калейдоскопа, так называемый телейдоскоп. Вместо цветных стекляшек на его торцах укреплены увеличивающие линзы, которые превращают этот прибор также и в телескоп. Любой вид, наблюдаемый в телейдоскопе, отражается в зеркалах, установленных под углом 180°/4 = 45°[5]. В этом случае получается октагональный рисунок с осью симметрии восьмого порядка. Любопытный трюк, связанный с проблемой правого и левого, можно показать с помощью двух (или больше) пар обычных игральных костей. Если вы сложите три кубика, как показано на рис. 15, и покроете эту колонку монетой, то, осматривая эту колонку с четырех сторон, можно увидеть четыре грани каждого кубика (две грани невидимы). Можете ли вы правильно назвать показание верхней грани каждой игральной кости, изображенной на рис. 15? Поскольку сумма чисел на всех противоположных гранях равна семи, то легко определить, что для нижнего кубика это 6 или 1, для среднего 4 или 3, а для верхнего 5 или 2. Можете ли вы сказать, какое из чисел каждой пары является правильным ответом на вопрос?
Решение этой задачи основывается на том, что грани игральных костей можно занумеровать только двумя способами при условии, что сумма очков на противоположных гранях равна семи. Оба эти способа являются зеркальным отражением друг друга. Если смотреть на кубик, как показано на рис. 16, со стороны граней 1, 2 и 3 (грань 1 сверху), то видно, что числа в порядке возрастания расположены против часовой стрелки. Все игральные кости в настоящее время изготовляются именно так. В прошлые времена в ходу были оба способа. История кубической кости с постоянной суммой очков на противоположных гранях восходит к древнему Египту, где ее изготовляли и в «правой» и в «левой» модификациях.
Так как вы уже знаете, что все современные игральные кости «левые», то назвать верхние цифры кубиков на рис. 15 не составит труда. Посмотрите на две другие грани и попытайтесь представить, где могут находиться единица, двойка и тройка. Немного попрактиковавшись и помня, что сумма очков на противоположных гранях равна семи, а 1, 2 и 3 идут «против часовой стрелки», вы без особого труда решите задачу.
Упражнение 6. Назовите число очков на верхней грани каждого из кубиков на рис. 15.
Обычно и один человек из тысячи не в состоянии правильно угадать верхние грани, когда кубики сложены таким образом[6].
Я видел игроков, которые показывали этот фокус в казино. Кто-нибудь в случайном порядке укладывал столбик из шести или более костей, пока игрок отворачивался. Потом, бросив один только взгляд, он называл все верхние цифры, и их проверяли, снимая кубики по одному. Такое искусство всегда производит впечатление и вызывает споры о том, в каком порядке нумеруются грани игральной кости.
Попробуйте эти фокусы на своих друзьях — они достаточно забавны, и математическая «подкладка» делает их интереснее. А нам предстоит заняться более серьезными вещами. В следующей главе мы рассмотрим роль симметрии отражения в живописи и, как это ни удивительно, в музыке и поэзии.
Глава 5. Живопись, музыка и поэзия
Симметрия отражения — один из древнейших и самых простых способов создавать изображения, радующие глаз. Примером может служить детский чернильный узор, упомянутый в предыдущей главе. Когда ребенку показывают его впервые, он обычно взвизгивает от восторга, увидев развернутый листок с появившимся на нем симметричным узором, особенно если он сделан не темными чернилами, а разноцветными красками. Почему ребенку кажется, что картинка «красивая»? Ответ очевиден — ему нравится порядок и гармония, появившиеся в случайном узоре. Может быть, причина и в том, что в окружающем мире он также видит много билатерально симметричных вещей? Этого, кроме него, никто не знает, но вполне разумно предположить, что именно билатеральная симметрия в природе, которую ребенок видит столь часто, заставляет его с удовольствием реагировать на такие узоры. Билатеральная симметрия широко встречается в произведениях искусства примитивных цивилизаций и в древней живописи. Она занимала существенное место в древнеегипетском искусстве. Средневековые религиозные картины также часто характеризуются отчетливой билатеральной симметрией.
На современный вкус композиция такой картины скучна, поскольку симметрия слишком очевидна (хотя временами она возрождается в некоторых произведениях и в геометрических рисунках абстракционистов). Посмотрите однако, вокруг и вы увидите бесчисленные примеры симметричных форм и узоров в предметах, созданных человеком. Я говорю не о вещах, симметричных по необходимости, для удобства (двери, окна, стулья и т. д.), а о формах и узорах, которые сделаны симметричными просто потому, что так на них приятнее смотреть. Вазы, лампы, подсвечники, витражи, елочные украшения, серьги, брошки — список бесконечен. Узоры на платьях, обоях, занавесках, коврах часто создаются повторением симметричного рисунка. Марки торговых фирм и различные эмблемы обычно билатерально симметричны. Как указывал Герман Вейль в своей небольшой книге «Симметрия» (1952 год)[7], художники часто полностью жертвуют сходством с природой ради получения по обе стороны вертикальной оси совершенно одинаковых изображений. Поразительным примером является двуглавый орел на гербах царской России и старой Австро-Венгерской монархии.
Заметим, что почти в каждом случае ось симметрии на таких изображениях вертикальна. Мы настолько привыкли к вертикальным осям симметрии в природе, что нас охватило бы непонятное нам смущение, если бы, например, оси симметрии на обоях вдруг повернулись на 90°. Есть, однако, один всем нам знакомый вид, у которого ось симметрии горизонтальна: это деревья и другие растения и предметы, отраженные гладью озера или реки. Когда мы видим такой вид на картине, никакого чувства неловкости она у нас не вызывает: симметрия приятна. Поэтому брошки редко имеют только горизонтальную ось симметрии (если, конечно, они не изображают растения или животных, обладающих такой осью).