Сноски
1
Когда южноамериканские шаманы: страница 10 в работе Benny Shanon’s, “Ayahuasca Visualizations: A Structural Typology,” Journal of Consciousness Studies 9, no. 2 (2002): 3–30, просто на случай, если вы подумали, что я говорю о собственном опыте.
2
Игра слов: Hell’s Angles звучит похоже на Hells Angels. «Ангелы ада» – один из крупнейших в мире клубов байкеров. Прим. пер.
3
Название песни можно перевести примерно так: «Круто быть нормальным», то есть не бунтарем, а законопослушным, обычным, скучным человеком. Прим. пер.
4
Можете попробовать пройти с ребенком: Jillian E. Lauer and Stella F. Lourenco, “Spatial Processing in Infancy Predicts Both Spatial and Mathematical Aptitude in Childhood,” Psychological Science 27, no. 10 (2016): 1291–98.
5
Все парни имели степени: Margalit Fox, “Katherine Johnson Dies at 101; Mathematician Broke Barriers at NASA,” New York Times, Feb. 24, 2020, из интервью 2010 года в Fayetteville (NC) Observer.
6
Перевод Т. Стамовой. Прим. ред.
7
Покоя не давал: цитируется, например, в работе Newton P. Stallknecht, “On Poetry and Geometric Truth.” The Kenyon Review 18, no. 1 (1956): 2.
8
Так я часто: John Newton, An Authentic Narrative of Some Remarkable and Interesting Particulars in the Life of John Newton, 4th ed. (Printed for J. Johnson, 1775), 75–82.
9
Вордсворт был большим поклонником: Thomas De Quincey, The Works of Thomas De Quincey, vol. 3–4 (Cambridge, MA: Houghton, Mifflin, and Co.; The Riverside Press, 1881), 325.
10
Вордсворт в математике не преуспевал: смотрите письмо от 26 июня 1791 года от сестры поэта Дороти Вордсворт к Джейн Поллард (Letters of the Wordsworth Family From 1787 to 1855, ed. William Knight, vol. 1 (Cambridge: Ginn and Company, 1907), 28), в котором говорится, что Вордсворт не смог получить стипендию в Кембридже, поскольку не смог заставить себя изучать математику. «Он читает на итальянском, испанском, французском, греческом, латинском и английском, но никогда не открывал ни одной математической книги».
11
Именно он, по мнению некоторых: Joan Baum, “On the Importance of Mathematics to Wordsworth,” Modern Language Quarterly 46, no. 4 (1985): 392.
12
Гамильтон с ранней юности был очарован: письмо Гамильтона кузену Артуру от 4 сентября 1822 года воспроизводится в книге Robert Perceval Graves, Life of Sir William Rowan Hamilton, vol. 1 (Dublin: Hodges Figgis, 1882), 111.
13
Гамильтон с честью вышел: по крайней мере, так утверждает Роберт Персеваль Грейвс в очерке о Гамильтоне в журнале Dublin University Magazine 19 (1842): 95, написанном еще при жизни Гамильтона, и то же самое он повторяет на с. 78 своей книги Life of Sir William Rowan Hamilton (указанной выше). История появляется практически во всех более поздних биографиях Гамильтона, и все они, насколько я могу судить, опираются в качестве источника на Грейвса. В письмах Гамильтон описывает встречу с Колберном в 1820 году и тот факт, что он «видел», как тот производит вычисления, однако я не нашел никаких писем, которые касались бы соревнования; Колберн в своих мемуарах, указанных ниже, также не упоминает о таком состязании и даже вообще о встрече с Гамильтоном, хотя весьма гордо говорит о других вундеркиндах, с которыми встречался и которых превзошел. А имело ли место вообще это соревнование?
14
Лондонский хирург удалил его: Zerah Colburn, A Memoir of Zerah Colburn: Written by Himself. Containing an Account of the First Discovery of His Remarkable Powers; His Travels in America and Residence in Europe; a History of the Various Plans Devised for His Patronage; His Return to this Country, and the Causes which Led Him to His Present Profession; with His Peculiar Methods of Calculation (Springfield, MA: G. and C. Merriam, 1833), 72.
15
Колберн слабо понимает причины того: Graves, Life of Sir William Rowan Hamilton, 78–79.
16
Полночную прогулку: письмо Гамильтона Элизе Гамильтон от 16 сентября 1827 года цитируется по книге Graves, Life of Sir William Rowan Hamilton, 261.
17
На званом обеде: Tom Taylor, The Life of Benjamin Robert Haydon, vol. 1 (London: Longman, Brown, Green, and Longmans, 1853), 385.
18
К 1922 году, когда Миллей это написала, Евклид фактически уже не был один: неевклидовы геометрии (по-своему столь же прекрасные без одежды) были уже не только известны, но и осознавались (благодаря Эйнштейну) как истинная геометрия пространства-времени, как мы увидим в главе 3. Меня заинтересовало, знала ли об этом Миллей и намеренно ли использовала анахроничный образ, однако мои друзья-литературоведы сказали, что она вряд ли была в курсе последних достижений в математической физике.
19
По словам Линкольна, в основе: “Mr. Lincoln’s Early Life: How He Educated Himself,” New York Times, Sep. 4, 1864: 5. Конечно, цитата из Линкольна взята из воспоминаний Гулливера и не может считаться точным воспроизведением его слов.
20
В оригинале demonstrate, demonstration – именно эти слова используются при описании действий Евклида в английских текстах. Прим. пер.
21
«Американское общество трактатов» (American Tract Society) – некоммерческая организация, которая была основана в 1825 году и занимается публикацией и распространением христианской литературы. Прим. пер.
22
Мне говорили, что: воспоминания Херндона цитируются по работе Jesse William Weik, The Real Lincoln; a Portrait (Boston: Houghton Mifflin, 1922), 240. Я узнал эту историю из замечательной книги Дэйва Ричесона: Tales of Impossibility (Princeton: Princeton University Press, 2019), в которой есть все, что вы хотите знать о квадратуре круга, трисекции угла и так далее.
23
Как геометр: перевод мой. Перевод misurar lo cerchio как квадрировать круг убедительно оправдан в работе R. B. Herzman and G. W. Towsley, “Squaring the Circle: Paradiso 33 and the Poetics of Geometry,” Traditio 49 (1994): 95–125.
24
«Божественная комедия», «Рай», песнь тридцать третья. Перевод М. Лозинского. Прим. пер.
25
Оказавшись в библиотеке некоего джентльмена: John Aubrey, ‘Brief Lives,’ Chiefly of Contemporaries, Set down by John Aubrey, between the Years 1669 & 1696, ed. Andrew Clark, vol. 1 (Oxford: Oxford University Press, 2016), 332; https://www.gutenberg.org/files/47787/47787-h/47787-h.htm.
26
Это теорема Пифагора. Прим. пер.
27
Гоббс возразил: F. Cajori, “Controversies in Mathematics Between Hobbes, Wallis, and Barrow,” Mathematics Teacher 22, No. 3 (March 1929): 150.
28
Долгая и, откровенно говоря, смешная история войны Гоббса с его терпеливыми математическими критиками изложена в главе 7 книги Амира Александра «Бесконечно малые».
29
Все, что они знают о геометрии: рецензия на Geometry without Axioms, в Quarterly Journal of Education XIII (1833): 105.
30
Слово «утверждение» (proposition): источник этой идеи – A. Kucharski, “Euclid as Founding Father,” Nautilus, Oct. 13, 2016; http://dev.nautil.us/issue/41/selection/euclid-as-founding-father.
31
Можно с уверенностью утверждать: Abraham Lincoln, The Collected Works of Abraham Lincoln, ed. Roy P. Basler et al., vol. 3 (New Brunswick, NJ: Rutgers University Press, 1953), 375; http://name.umdl.umich.edu/lincoln3.
32
Хотя оборот «Мы считаем эти истины самоочевидными» не принадлежит Джефферсону; в его проекте Декларации было написано: «Мы считаем эти истины священными и неоспоримыми». Именно Бенджамин Франклин вычеркнул эти слова и заменил их на «самоочевидные», сделав документ чуть менее библейским и чуть более евклидовым.
33
Всего лишь роскошь: Thomas Jefferson, The Essential Jefferson, ed. Jean M. Yarbrough (Indianapolis: Hackett Publishing, 2006), 193.
34
Я отказался от газет: Thomas Jefferson, The Papers of Thomas Jefferson, Retirement Series, ed. J. Jefferson Looney, vol. 4 (Princeton: Princeton University Press, 2008), 429; https://press.princeton.edu/books/ebook/9780691184623/the-papers-of-thomas-jefferson-retirement-series-volume-4.
35
Для Линкольна, в отличие от Джефферсона: о разнице между концепциями геометрии у Линкольна и Джефферсона смотрите: Drew R. McCoy, “An ‘Old-Fashioned’ Nationalism: Lincoln, Jefferson, and the Classical Tradition,” Journal of the Abraham Lincoln Association 23, no. 1 (2002): 55–67.
36
Многие молодые люди: тот же автор и та же рецензия, что уже цитировалась в связи с квадратурой круга: Quarterly Journal of Education, vol. XIII (1833): 105. Этот анонимный автор весьма часто цитируется!
37
За исключением одной, но этот спорный постулат о параллельных прямых и начавшийся с него двухтысячелетний путь к неевклидовой геометрии обсуждается во многих других местах и здесь будет лишь упомянут.
38
– Голубчики, – сказал Федор Симеонович озабоченно, разобравшись в почерках. – Это же проблема Бен Бецалеля. Калиостро же доказал, что она не имеет решения.
– Мы сами знаем, что она не имеет решения, – сказал Хунта, немедленно ощетиниваясь. – Мы хотим знать, как ее решать.
– Как-то странно ты рассуждаешь, Кристо… Как же искать решение, когда его нет? Бессмыслица какая-то…
– Извини, Теодор, но это ты очень странно рассуждаешь. Бессмыслица – искать решение, если оно и так есть. Речь идет о том, как поступать с задачей, которая решения не имеет. Это глубоко принципиальный вопрос…
Стругацкие А. и Б. «Понедельник начинается в субботу». Прим. науч. ред.
39
Поставьте куб: William George Spencer, Inventional Geometry: A Series of Problems, Intended to Familiarize the Pupil with Geometrical Conceptions, and to Exercise His Inventive Faculty (New York: D. Appleton, 1877), 16. Британское издание появилось в 1860 году.
40
Это действительно плохо поставленный вопрос: при такой расстановке очевидно, что назвать шириной, высотой и глубиной. Видимо, тут имеется тонкое различие в описании «с точки зрения куба», у которого нет выделенных длины, ширины и толщины, потому что они равны, и со стороны внешнего наблюдателя, который использует естественные для него координаты в трехмерном пространстве. Прим. науч. ред.
41
В одной из книг по арифметике, последний раз использованной в 1930 году, я нашел пометку карандашом: «Смотри страницу 170»; на 170-й странице было другое указание: «Смотри страницу 36», где я увидел новую команду, и т. д., пока не добрался до последней страницы, где было написано: «Ты дурак!» Десятилетний мальчик разыграл меня с того света.
42
Здесь уместно напомнить, что Джордж Элиот – псевдоним писательницы Мэри Анн Эванс.
43
«Мельница на Флоссе». Книга вторая, глава первая. Перевод Л. Поляковой и Г. Островской. Прим. пер.
44
«Мельница на Флоссе». Книга вторая, глава первая. Перевод Л. Поляковой и Г. Островской. Прим. пер.
45
Именно живого интереса к предмету: James J. Sylvester, “A Plea for the Mathematician,” Nature 1 (1870): 261–63.
46
В ходе опроса 1950 года: Kenneth E. Brown, “Why Teach Geometry?” Mathematics Teacher 43, no. 3 (1950): 103–6; https://www.jstor.org/stable/27953519.
47
Много раз я видел: H. C. Whitney, Lincoln the Citizen (Baker & Taylor, 1908), 177. Если честно, то пример заблуждения, который Уитни приводит сразу после этого (он включает вопрос, можно ли сказать, что у корпорации есть душа), не кажется мне неудачей дедуктивной логики.
48
Было морально невозможно: Whitney, Lincoln the Citizen, 178.
49
Отсылка к популярному прозвищу Линкольна – Честный Эйб. Прим. пер.
50
Доказательство – это: слова Орлина взяты из его поста от 16 октября 2013 года: “Two-Column Proofs That Two-Column Proofs Are Terrible,” Math with Bad Drawings (blog), mathwithbaddrawings.com/2013/10/16/two-column-proofs-that-two-column-proofs-are-terrible/.
51
Типичный формат: материал о Комитете десяти и истории доказательства в два столбца взят из работы P. G. Herbst, “Establishing a Custom of Proving in American School Geometry: Evolution of the Two-Column Proof in the Early Twentieth Century,” Educational Studies in Mathematics 49, no. 3 (2002): 283–312.
52
В сценарии Тони Кушнера для фильма Стивена Спилберга «Линкольн» президент ссылается на это в драматический момент.
53
Рогатая сфера Александера делит трехмерное пространство на две части, как и обычная сфера, но другим способом: в то время как на плоскости по теореме Шенфлиса две получающиеся части топологически эквивалентны кругу и плоскости с круглой дыркой для любой кривой без самопересечений. См. Фукс Д. Б. Рогатая сфера Александера. Квант (1990) № 6. Прим. науч. ред.
54
В математике существует немало вещей, которые кажутся очевидными, но при этом неверны. Рассмотрим утверждение: сплошной шар радиусом 1 сантиметр нельзя разбить на конечное число частей и сложить из них сплошной шар радиусом 1 километр. Утверждение кажется очевидным, однако оно ложно: такое разбиение возможно (парадокс Банаха – Тарского). Аналогично интуиция отрицает существование непрерывной функции, у которой ни в одной точке нельзя провести касательную. Однако такие функции существуют. Поэтому, увы, даже вроде бы очевидные вещи в математике приходится доказывать. Прим. пер.
55
Градиент – векторная величина, показывающая направление наибольшего возрастания числовой величины в разных точках какого-либо пространства. Здесь автор использует понятие в переносном смысле – как синоним подъема в гору. Прим. пер.
56
Градиент уверенности: Ben Blum-Smith, “Uhm Sayin,” Research in Practice (blog), http://researchinpractice.wordpress.com/2015/08/01/uhm-sayin/.
57
В истории математики его часто называют Бхаскара II, чтобы отличать от более раннего математика с таким же именем.
58
Некоторые источники полагают, что доказательство Бхаскары было взято из более раннего китайского математического текста «Чжоу би суань цзин», однако по этому поводу ведутся споры; если на то пошло, то неясно, было ли у самих пифагорейцев то, что мы именуем сейчас доказательством.
59
Он настолько высоко ценил свою схему: Bill Casselman, “On the Dissecting Table,” Plus Magazine, Dec. 1, 2000; https://plus.maths.org/content/dissecting-table.
60
Вы, несомненно, видели: Henri Poincaré, The Value of Science, trans. G. B. Halsted (New York: The Science Press, 1907), 23.
61
Это не совсем так, как сформулировано у Евклида, но эквивалентно его пятому постулату, который он сформулировал еще более топорно и запутанно. [Формулировка Евклида: «И если прямая, падающая на две прямые, образует внутренние и по одну сторону углы, меньшие двух прямых, то продолженные эти две прямые неограниченно встретятся с той стороны, где углы меньшие двух прямых». «Начала», книга I. Перевод Д. Мордухай-Болтовского. Прим. пер.]
62
Латинское выражение in medias res (буквально «в середине вещей») используется, когда в литературном произведении сюжет начинается с ключевого эпизода, без предыстории и долгих описаний. Прим. пер.
63
* Зря: если совсем строго, надо еще доказать, что прямая L пересекает отрезок ВС. Прим. науч. ред.
64
Сокращение латинских слов Quod Erat Demonstrandum, означающих «что и требовалось доказать».
65
В Соединенных Штатах стандарты образования Common Core, которые должны были обеспечить универсальную базу для обучения детей по двенадцатилетней системе K-12, сейчас явно сдают позиции. В них действительно требуется, чтобы на уроках геометрии рассматривали симметрию. Остается надеяться, что, когда стандарты Common Core отступят, обсуждение симметрии останется в программах, подобно ледниковой морене.
66
Существует как минимум одно исследование: M. J. Nathan, et al., “Actions Speak Louder with Words: The Roles of Action and Pedagogical Language for Grounding Mathematical Proof,” Learning and Instruction 33 (2014): 182–93.
67
Хотя частота построения формального доказательства сделанного вывода при этом не увеличивалась!
68
Когда ему требовалось: Jeremy Gray, Henri Poincaré: A Scientific Biography (Princeton: Princeton University Press, 2012), 26.
69
Появился в статье 1970 года: David Lewis and Stephanie Lewis, “Holes,” Australasian Journal of Philosophy 48, no. 2 (1970): 206–12.
70
Затем этот вопрос всплыл в 2014 году:https://forum.bodybuilding.com/showthread.php?t162056763&page=1.
71
Затем появился ролик: этот видеоролик был скопирован на многих сайтах, например metro.co.uk/2017/11/17/how-many-holes-does-a-straw-have-debate-drives-internet-insane-7088560/.
72
Сняла видео, которое:www.youtube.com/watch?v=W0tYRVQvKbM.
73
Нет, вы раскатываете: честно говоря, среди изготовителей бубликов есть и те, кто делает змейку и соединяет ее в кольцо, и те, кто делает круглую лепешку и пробивает отверстие в середине. Однако никто из них не делает дырку в уже готовом выпеченном хлебе без дырок.
74
Прежде всего я вспоминаю его глаза: Galina Weinstein, “A Biography of Henri Poincaré–2012 Centenary of the Death of Poincaré,” ArXiv preprint server, July 3, 2012, 6; https://arxiv.org/pdf/1207.0759.pdf.
75
Утрата Эльзаса: Gray, Henri Poincaré, 18–19.
76
В 1889 году он получил: June Barrow-Green, “Oscar II’s Prize Competition and the Error in Poincaré’s Memoir on the Three Body Problem,” Archive for History of Exact Sciences 48, no. 2 (1994): 107–31.
77
Пуанкаре отличался редкой пунктуальностью: Weinstein, “A Biography of Henri Poincaré,” 20.
78
В Париже ходила шутка: Tobias Dantzig, Henri Poincaré: Critic of Crisis (New York: Charles Scribner’s Sons, 1954), 3.
79
Он был не только: Gray, Henri Poincaré, 67.
80
Геометрия – это искусство: “La Géométrie est l’art de bien raisonner sur des figures mal faites.” Henri Poincaré, “Analysis situs,” Journal de l’École Polytechnique ser. 2, no. 1 (1895): 2.
81
Окружности, которые он рисовал: Dantzig, Henri Poincaré, 3.
82
Термин «выпуклый» означает примерно «выгибающийся только наружу, а не внутрь». Подробнее об этом – в главе 14, где мы встретимся с еще более вычурными формами избирательных округов.
83
Точнее, так: квадрат – это окружность, если нас интересуют топологические вопросы, например: сколько отверстий в фигурах, которые они ограничивают, или на сколько частей распадаются такие фигуры. Если же вас волнуют вопросы вроде «сколько касательных можно провести к кривой в одной точке», то квадрат и окружность сильно отличаются.
84
Хотя эта фигура не является всюду выпуклой. Прим. науч. ред. [Научный редактор всегда должен быть в педантичном настроении. Прим. науч. ред.]
85
Нет, я не знаю, как вы умудряетесь пить коктейль, чтобы через одну соломинку проходило в 12/3 раза больше жидкости, чем через другую. Но вы уже подарили мне соломинку в форме штанов, так что с равным успехом можете продолжать этот мысленный эксперимент.
86
Новаторство Нётер: ради справедливости по отношению к Пуанкаре отметим, что Леопольд Вьеторис, работавший на заре топологии и скончавшийся в 2002 году в возрасте 110 лет, указывал, что Пуанкаре понимал, что штаны образуют пространство, но не выразил это в своей работе. Я предпочитаю действия Нётер. (Saunders Mac Lane, “Topology Becomes Algebraic with Vietoris and Noether,” Journal of Pure and Applied Algebra 39 (1986): 305–07.) Сам Вьеторис независимо от Нётер и примерно в то же самое время формализовал это же понятие, однако в те дни математические результаты Вены не сразу становились известны в Геттингене, и наоборот.
87
Сегодня это считается самоочевидным: “Diese Tendenz scheint heute selbstverstandlich; sie war es vor acht Jahren nicht; es bedurfte der Energie und des Temperamentes von Emmy Noether, um sie zum Allgemeingut der Topologen zu machen und sie in der Topologie, ihren Fragestellungen und ihren Methoden, diejenige Rolle spielen zu lassen, die sie heute spielt.” Paul Alexandroff and Heinz Hopf, Topologie I: Erster Band. Grundbegriffe der Mengentheoretischen Topologie Topologie der Komplexe Topologische Invarianzsätze und Anschliessende Begriffsbildungen Verschlingungen im n-Dimensionalen Euklidischen Raum Stetige Abbildungen von Polyedern (Berlin: Springer-Verlag, 1935), ix. Благодарю Андреаса Зигера за помощь в переводе этого абзаца.
88
Одним из многих: биографический материал о Листинге взят из книги Ernst Breitenberger, “Johann Benedikt Listing,” History of Topology, ed. I. M. James (Amsterdam: North-Holland, 1999), 909–24.
89
Листинг открыл эту поверхность в июле 1858 года, а Мёбиус – в сентябре 1858-го. Прим. пер.
90
Джон Джеймс Одюбон – американский натуралист и художник, стремившийся изобразить всех птиц Америки. Прим. пер.
91
Сегодня никто не сомневается: Poincaré, “Analysis situs,” 1.
92
Для физика скорость означает не только численное значение, но и направление; вам требуется отслеживать скорость перемещения в направлении на север, восток и вверх, то есть всего три величины.
93
Сравните это с ситуацией с Джефферсоном. Он был одним из самых ярых сторонников идей свободы и равенства, которые вдохновляли революцию, но одновременно всю жизнь использовал рабский труд, несмотря на словесное неприятие, и сомневался, что чернокожий человек «способен проследить и понять исследования Евклида». Хотя он и любил Евклида, он никогда не мог прямо взглянуть на это противоречие.
94
Это минимальная эйлерова характеристика для символов на вашей клавиатуре, если только у вас нет знака доллара, перечеркнутого двумя чертами (его эйлерова характеристика – 3), или символа командной клавиши на клавиатуре Apple (⌘), для которого она равна –4. Максимальная эйлерова характеристика на клавиатуре равна 2 для символов вроде! у которых два нульмерных отверстия и нет никаких других.
95
Snapchat – мобильное приложение обмена сообщениями с прикрепленными фото и видео. Прим. ред.
96
Должен добавить, что сохранение длины влечет за собой сохранение площади треугольников, поскольку два треугольника с одинаковыми сторонами конгруэнтны, а потому имеют одинаковую площадь; вы также можете воспользоваться красивой формулой Герона (названной так в честь математика Герона Александрийского), которая выражает площадь треугольника через его стороны.
97
Преобразования такого рода хорошо известны мультипликаторам, которые называют их сквош и стрейч (сжатие/растяжение) и уже почти век используют для того, чтобы объекты на экране выглядели достаточно «мультяшными».
98
Что он может поработить А.: из личных заметок, написанных до Гражданской войны. Michael Burlingame, Abraham Lincoln: A Life (Baltimore: Johns Hopkins University Press, 2013), 510.
99
Если вы желаете узнать настоящее определение идеи, которую я здесь несколько неточно обрисовал, то вам нужно искать слово гомеоморфизм. Впрочем, предупреждаю, что на пути к формальному определению вам понадобится познакомиться с некоторым количеством обозначений. [На самом деле треугольник легко непрерывно перевести в отрезок (например, спроектировав его на одну из собственных сторон). Но это не гомеоморфизм, поскольку для гомеоморфизма нужно и обратное преобразование, а вот с ним будут проблемы. Прим. пер.]
100
В 1904 году город Сент-Луис: информация о выставке взята большей частью из книги D. R. Francis, The Universal Exposition of 1904, vol. 1 (St. Louis: Louisiana Purchase Exposition Company, 1913).
101
Хелен Келлер – американская слепоглухая писательница и политическая активистка. Прим. пер.
102
Существуют признаки серьезного кризиса: “The Present and the Future of Mathematical Physics,” trans. J. W. Young, Bulletin of the American Mathematical Society 37, no. 1 (Dec. 1999): 25.
103
В целости и сохранности: Poincaré, “The Present and the Future,” 38.
104
Дерьмо: по-немецки Mist. Colin McLarty, “Emmy Noether’s first great mathematics and the culmination of first-phase logicism, formalism, and intuitionism.” Archive for History of Exact Sciences 65, no. 1 (2011), 113.
105
Она открыла методы: “Professor Einstein Writes in Appreciation of a Fellow-Mathematician,” New York Times, May 4, 1935, 12.
106
Человек-комар уже в пути: St. Louis Post-Dispatch, Sep. 17, 1904, 3.
107
Росс выступал во второй половине дня: время лекции Росса можно найти в работе Hugo Munsterberg, Congress of Arts and Science, Universal Exposition, St. Louis, 1904: Scientific Plan of the Congress (Boston: Houghton, Mifflin, 1905), 68.
108
Как раз тогда: D. R. Francis, The Universal Exposition of 1904, vol. 1 (St. Louis: Louisiana Purchase Exposition Company, 1913), 285.
109
Всеобъемлющий математический анализ: Ronald Ross, “The Logical Basis of the Sanitary Policy of Mosquito Reduction,” Science 22, no. 570 (1905): 689–99.
110
Если вы захотите найти нужные формулы и самостоятельно вычислить эту вероятность, то задача ставится так: «Какова вероятность того, что биномиальная случайная величина с p =0,5 и n = 200 примет значение, не меньшее 120?»
111
Автор, видимо, подразумевает актера Джона Склароффа, игравшего роль руководителя кафедры математики в МТИ. Прим. пер.
112
Клэм-чаудер – американский крем-суп из морепродуктов. Минестроне – итальянский суп из овощей. Прим. пер.
113
В одной статье 2018 года говорится: Houshmand Shirani-Mehr et al., “Disentangling Bias and Variance in Election Polls,” Journal of the American Statistical Association 113, no. 522 (2018): 607–14. Один из авторов – статистик из Колумбийского университета Эндрю Гельман, блог которого – раскаленный добела центр интернета, когда дело касается соленых статистических комментариев. Смотрите также популярное описание этой статьи двумя другими ее авторами: David Rothschild and Sharad Goel, “When You Hear the Margin of Error Is Plus or Minus 3 Percent, Think 7 Instead,” New York Times, Oct. 5, 2016.
114
Однако будьте осторожны. Внешне весьма похожее рассуждение: «Я много езжу пьяным и до сих пор никого не сбил, так что это не должно быть особо опасно» – может привести к плохим последствиям.
115
Еще на прошлой неделе: A. Prokop, “Nate Silver’s Model Gives Trump an Unusually High Chance of Winning. Could He Be Right?” Vox, Nov. 3, 2016; https://www.vox.com/2016/11/3/13147678/nate-silver-fivethirtyeight-trump-forecast.
116
FiveThirtyEight – сайт американского статистика Нейта Сильвера, анализирующий шансы в бейсболе, баскетболе и на выборах. Прим. пер.
117
Ван по профессии нейробиолог, а не математик, но для меня математиком является любой, кто в конкретный момент занимается математикой.
118
Я немного упростил. Ван тоже не отказывался от идеи корреляции, но просто счел ее слишком маленькой. После выборов он писал: «Пусть на выборах случилась неудача, но опросы четко показывали, насколько упорной была борьба. Я ошибся в июле: когда я настраивал свою модель, моя оценка для коррелированной ошибки на последней стадии выборов (которую также называют систематической неопределенностью) была слишком маленькой. Честно говоря, в тот момент этот параметр казался малозначимым. Однако в последние недели он стал важным».
119
Можем ли мы после 2016 года: The New Republic, Dec. 14, 2016.
120
Точнее, возродил староанглийское слово sibling, придав ему нужное значение. Позднее термин «сиблинг» вошел и в русский язык, хотя употребляется обычно только в научном контексте. Прим. пер.
121
Мистер Пирсон национализировал: Egon S. Pearson, “Karl Pearson: An Appreciation of Some Aspects of His Life and Work,” Biometrika 28, no. 3/4 (Dec. 1936): 206. Эгон Пирсон – сын Карла Пирсона.
122
Его харизма помогала ему: кроме отмеченного, биографические данные о Пирсоне в этих двух абзацах взяты из работы M. Eileen Magnello, “Karl Pearson and the Establishment of Mathematical Statistics,” International Statistical Review 77, no. 1 (2009): 3–29.
123
Хорошо зная Карла: письмо от 9 июня 1884 года цитируется по книге Pearson, “Karl Pearson,” 207.
124
Геометр Уильям Кингдом Клиффорд, возможно, известен не всем, но он был и остается крупной фигурой в математике и физике. В его честь названа алгебра – верный признак, что вы добились успеха. [Алгебра Клиффорда – обобщение комплексных чисел, кватернионов Гамильтона и других систем чисел. Прим. пер.]
125
Клиффорд также был профессором Университетского колледжа Лондона. Прим. пер.
126
Если бы у меня была: письмо от 12 ноября 1884 года цитируется по работе M. Eileen Magnello, “Karl Pearson and the Origins of Modern Statistics: An Elastician Becomes a Statistician,” New Zealand Journal for the History and Philosophy of Science and Technology 1 (2005); http://www.rutherfordjournal.org/article010107.html.
127
Как комар Росса!
128
Грешэм-колледж не принимает студентов и не выдает дипломов. По завещанию купца Томаса Грешэма, профессора должны читать бесплатные лекции для всех желающих. Изначально профессоров было семь (астрономия, богословие, геометрия, музыка, право, риторика, физика), но сейчас добавили еще три области (бизнес, экология, информационные технологии); кроме того, для лекций приезжают приглашенные профессора. Прим. пер.
129
Однажды он швырнул на пол: M. Eileen Magnello, “Karl Pearson’s Gresham Lectures: W. F. R. Weldon, Speciation and the Origins of Pearsonian Statistics,” British Journal for the History of Science 29, no. 1 (Mar. 1996): 47–48.
130
Я полагаю, что: Pearson, “Karl Pearson,” 213.
131
Для книги по геометрии это прекрасный пример, но об этом я уже писал в другой книге; если она у вас под рукой, прочитайте прямо сейчас страницы 411–421, а затем возвращайтесь сюда. [Элленберг Д. Как не ошибаться. Сила математического мышления. М.: Манн, Иванов и Фербер, 2021.]
132
Примерно в то же время вследствие своего интереса к грандиозным социальным схемам Пирсон стал сторонником евгенических «улучшений» британского населения и наследственности психических характеристик. В одном из первых выпусков журнала Biometrika содержится исчерпывающее сравнение братьев и сестер среди тысяч школьников, каждого из которых он оценивал по бодрости, настойчивости, самоанализу, популярности, добросовестности, нраву и почерку.
133
К сожалению, я чувствовал: Pearson, “Karl Pearson,” 228.
134
Мне кажется, здесь, как всегда: письмо от 11 февраля 1895 года цитируется по работе Stephen M. Stigler, The History of Statistics (Cambridge: The Belknap Press of Harvard University Press, 1986), 337.
135
Но я ужасно боюсь: письмо от 6 марта 1895 года цитируется по работе Stigler, History of Statistics, 337.
136
Математическая постановка: “Karl Pearson and Sir Ronald Ross,” Library and Archives Service Blog, blogs.lshtm.ac.uk/library/2015/03/27/karl-pearson-and-sir-ronald-ross.
137
Урок решения: Karl Pearson, “The Problem of the Random Walk,” Nature 72 (August 1905), 342.
138
Но разве мы только что не сказали, что типичное преодоленное расстояние пропорционально квадратному корню из числа дней, которое вовсе не равно нулю? Да, тут есть определенная тонкость. Предположим, что комар летал некоторое время, и самое вероятное расстояние от дома равно, например, 10 км. Однако точки в 10 км от исходной образуют окружность, а точки в 0 км от исходной – это просто исходная точка. Поэтому шансы оказаться где-то в районе этой окружности больше, чем шансы оказаться где-то рядом с домом, однако шансы оказаться рядом с какой-то конкретной точкой этой окружности меньше, чем шансы оказаться рядом с домом.
139
Он пытался: по крайней мере, так говорит Бернар Брю в работе Murad S. Taqqu, “Bachelier and His Times: A Conversation with Bernard Bru,” Finance and Stochastics 5, no. 1 (2001): 5, откуда взята большая часть информации. Жан-Мишель Курто и другие авторы работы “Louis Bachelier on the Centenary of Theorie de la Speculation,” Mathematical Finance 10, no. 3 (July 2000): 341–53, указывают на с. 343, что оценки Башелье были вполне хорошими.
140
Дрейфуса осудили и приговорили к пожизненному заключению в 1894 году. У автора речь идет о пересмотре дела в 1899 году, когда виновность подтвердили, но срок снизили до 10 лет в силу смягчающих обстоятельств. В 1906 году очередной суд оправдал капитана. Прим. пер.
141
Дрейфуса все равно признали виновным: весь материал по делу Дрейфуса взят из книги Gray, Henri Poincaré, 166–69.
142
Можно было опасаться: Courtault et al., “Louis Bachelier on the Centenary of Théorie de la Spéculation,” 348.
143
В итоге Башелье получил должность: история Башелье взята из книги Taqqu, “Bachelier and His Times,” 3–32.
144
Издана на русском языке: Мэлкил Б. Случайная прогулка по Уолл-стрит. Минск: Попурри, 2006. Прим. пер.
145
Во «фрагменте сфинкса»: Robert Brown, “XXVII. A Brief Account of Microscopical Observations Made in the Months of June, July and August 1827, on the Particles Contained in the Pollen of Plants; and on the General Existence of Active Molecules in Organic and Inorganic Bodies,” Philosophical Magazine 4, no. 21 (1828): 167.
146
В «Академии» читали: материал об «Олимпийской академии» взят из введения Мориса Соловина к книге Albert Einstein, Letters to Solovine, 1906–1955 (New York: Philosophical Library/Open Road, 2011). В качестве первой прочитанной книги Соловин ссылается на неуказанную «научную работу Карла Пирсона», однако другие источники говорят, что это была «Грамматика науки».
147
На самом деле Пуанкаре в Риме заболел, и его доклад «Будущее математики» на конгрессе прочитал Жан Гастон Дарбу. Прим. пер.
148
Некрасов резко противится: факты и цитаты о Некрасове взяты из работы E. Seneta, “The Central Limit Problem and Linear Least Squares in Pre-Revolutionary Russia: The Background,” Math Scientist 9 (1984): 40.
149
Став сначала ректором: E. Seneta, “Statistical Regularity and Free Will: L. A. J. Quetelet and P. A. Nekrasov,” International Statistical Review/Revue Internationale de Statistique 71, no. 2 (Aug. 2003): 325.
150
Отец Маркова – Андрей Григорьевич Марков – был, как и Некрасов, выпускником семинарии и государственным чиновником. Делайте из этого какой угодно вывод, поклонники психоанализа.
151
А также Боевой Академик. Прим. пер.
152
В знак протеста против: G. P. Basharin, A. N. Langville, and V. A. Naumov, “The Life and Work of A. A. Markov,” Linear Algebra and Its Applications 386 (2004): 8.
153
Некрасов ушел в отставку еще в 1908 году. После революции он, наоборот, вернулся на работу в Московский университет и стал преподавать. Прим. пер.
154
Решительное стремление: E. Seneta, “Statistical Regularity and Free Will,” 331.
155
Наконец я получил обувь: история с обувью взята из работы Basharin et al., “The Life and Work of A. A. Markov,” 8. Связь отправителей обуви с партией взята из работы N. Kremenstov, “Big Revolution, Little Revolution: Science and Politics in Bolshevik Russia,” Social Research 73, no. 4 (Baltimore: Johns Hopkins University Press, 2006): 1173–1204.
156
Это заявление Марков сделал на заседании физико-математического отделения Академии наук 25 мая 1921 года. Цитируется по книге: Гродзенский С. Андрей Андреевич Марков. М.: Наука, 1987. Прим. пер.
157
Статистика поведения и действий людей: E. Seneta, “Statistical Regularity and Free Will,” 322–23.
158
Но необязательно в согласии с гауссовым распределением, как в случае подбрасывания монеты. Прим. науч. ред.
159
Разумеется, в статье Маркова не было ни слова о комарах, он работал в других терминах. Прим. пер.
160
Математики записывают это так: P(St + 1 | St, St – 1, St – 2, …, S1) = P(St + 1 | St). Иными словами, вероятность того, что в момент времени t + 1 система находится в состоянии St + 1, при условии, что в предыдущие моменты она была в состояниях St, St – 1, St – 2, …, S1, равна вероятности того, что в момент t + 1 система находится в состоянии St + 1, при условии, что в предыдущий момент она была в состоянии St. Все остальные предыдущие состояния не оказывают на вероятность никакого влияния. [Точнее, это цепь Маркова первого порядка. Естественное обобщение, которое также называют цепями Маркова, – считать, что состояние сейчас зависит от состояния в k предыдущих моментов: это будет цепь Маркова k-го порядка. Прим. науч. ред.]
161
Можно рассматривать и цепи Маркова с бесконечным числом состояний, и при определенных условиях предельные вероятности для них тоже существуют. Прим. пер. [Да, это будет называться марковский процесс. Прим. науч. ред.]
162
Что, конечно же, видел ее: Basharin et al., “The Life and Work of A. A. Markov,” 13.
163
Питер Норвиг, директор по исследованиям: P. Norvig, “English Letter Frequency Counts: Mayzner Revisited, or ETAOIN SRHLDCU,” 2013; norvig.com/mayzner.html. Частоты некоторых диграмм и триграмм взяты из более ранней статьи Норвига Natural Language Corpus Data в работе T. Segaran and J. Hammerbacher, eds., Beautiful Data (Sebastopol, CA: O’Reilly, 2009).
164
На первом месте TH, затем HE и IN. Однако обратите внимание, что это вовсе не закон природы: в другом наборе текстов, который Норвиг собрал в 2008 году, IN потеснило TH с первого места, а в пятерке лидеров – ER, RE и HE. Каждый набор обладает несколько различной частотой биграмм.
165
Соответственно: определенный артикль, там, этот, тот, свет, пепельница. Прим. пер.
166
Текст оригинала: Once you’re here… Прим. пер.
167
Инженер и математик Клод Шеннон первым понял: Claude E. Shannon, “A Mathematical Theory of Communication,” Bell System Technical Journal 27, no. 3 (1948): 388.
168
Для русского языка аналогичные эксперименты проводил Роланд Львович Добрушин. Для цепи Маркова порядка 3 у него получилось «ВЕСЕЛ ВРАТЬСЯ НЕ СУХОМ И НЕПО» (Добрушин Р. Математические методы в лингвистике. Математическое просвещение, 1961, вып. 6). Прим. науч. ред.
169
Вот текст, который: весь текст на основе цепей Маркова был создан невероятно забавной программой Брайана Хайеса Drivel Generator («Генератор бреда»), которая доступна по адресу: http://bit-player.org/wp-content/extras/drivel/drivel.html. Данные об именах взяты у Администрации социального обеспечения США. Более серьезная попытка «марковизовать» сочинение детских имен требует учета частоты их использования; я же просто взял полный список имен, не обращая никакого внимания на их популярность. Смотрите работу Brian Hayes, “First Links in the Markov Chain,” American Scientist 101, no. 2 (2013): 252, которая охватывает ряд вопросов этого раздела, а также содержит отличные иллюстрации.
170
Но шрифт naftalene так назвали. Прим. науч. ред.
171
А вот как выглядит реальный сгенерированный русский текст на основе текста этой книги по семеркам букв: «Какой бы ни огорчатся, если бы взять букву с вероятно, могу заявить, что каждый мой ход ведет в позиций прием. Назад дороги почти все петли можно повернутый два разных концах подковы утверждении, что любили этого потребовалось не меняется. На этой поверхности психических центра этих данных, как метафорой ранее, с заражение умение убеждение: сплошной шар радиусом километр на северо-восточной боли усилия на более предложите этот вариантов». Прим. ред. [Если же сделать цепь Маркова, символами в которой будут не буквы, а слова, и обучить ее на большом корпусе соответствующей литературы, то получится алгоритм SciGen для написания случайных «научных» статей. При помощи этой программы была написана статья, опубликованная в журнале, выдававшем себя за научный: Жуков М. Корчеватель: Алгоритм типичной унификации точек доступа и избыточности. Журнал научных публикаций аспирантов и докторантов (2008) № 8. Прим. науч. ред.]
172
Хоумран – удачный удар в бейсболе, позволяющий атакующей команде совершить пробежку. Бейбу Руту принадлежит рекорд Главной лиги бейсбола по количеству хоумранов за карьеру (714). Прим. пер.
173
Английские шашки (чекерс) отличаются от русских: простые шашки могут бить только вперед, а дамки ограничены в ходах. Прим. пер.
174
О, как она гоготала: L. Renner, “Crown Him, His Name Is Marion Tinsley,” Orlando Sentinel, Apr. 27, 1985.
175
Начиная с 1944 года: G. Belsky, “A Checkered Career,” Sports Illustrated, Dec. 28, 1992.
176
В 1975 году он проиграл: биографический материал о ранней жизни Тинсли в основном взят из книги Jonathan Shaeffer, One Jump Ahead (New York: Springer-Verlag, 1997), 127–33.
177
Если учитывать все официальные партии, то с 1950 года Тинсли проиграл пять партий людям и еще две – компьютерной программе «Чинук», о чем будет сказано ниже. Прим. пер.
178
Его стиль – непобедимость: Renner, “Crown Him, His Name Is Marion Tinsley.”
179
У меня просто нет стресса и напряжения: Schaeffer, One Jump Ahead, 1.
180
Однако машине потребовалось еще: Schaeffer, One Jump Ahead, 194.
181
Шеффер, который тогда делал ходы за свою программу, писал: «Я еще не успел отпустить шашку, когда Тинсли поднял с удивлением глаза и сказал: “Ты пожалеешь об этом”. Будучи неопытным в общении с великим Тинсли, я сидел и молча думал: “Откуда он знает? Моя программа смотрит на 20 ходов вперед и говорит, что у нее преимущество”. Через несколько ходов оценка “Чинука” упала до равенства. Еще через несколько она утверждала, что у Тинсли лучше. Потом заявила, что у нее неприятности. Наконец, ситуация стала такой плохой, что мы сдались. Комментируя партию, Тинсли сказал, что видел весь ход игры до конца и знал, что победит, с 11-го хода – следующего после нашей ошибки. “Чинуку” нужно было смотреть на 60 ходов вперед, чтобы знать, что десятый ход проигрывает». Прим. пер.
182
Никто не был счастлив: цитируется по работе J. Propp, “Chinook,” American Chess Journal, November 1997; http://www.chabris.com/pub/acj/extra/Propp/Propp01.html.
183
В 1995 году «Чинук» защитил титул, победив Дона Лафферти (1 победа и 31 ничья). После этого Шеффер решил больше не играть с людьми, а сосредоточился на том, чтобы полностью решить игру. В 2007 году было объявлено, что цель достигнута. При правильной игре в чекерс всегда получается ничья. Прим. пер.
184
Акбар и Джефф – персонажи комикса Мэтта Грейнинга «Жизнь в аду». Прим. пер.
185
Пусть Акбар и Джефф: Matt Groening, Life in Hell, 1977–2012.
186
Таковы уж математики; как только мы получаем метафору, мы выжимаем из нее всю кровь до последней капли. Но дальше лесная терминология не заходит: у математического дерева нет коры, сучков, ксилемы и флоэмы. Впрочем, группа деревьев действительно называется лесом.
187
Ветвление артерий: это рисунок 6 из работы Ronald S. Chamberlain, “Essential Functional Hepatic and Biliary Anatomy for the Surgeon,” IntechOpen, Feb. 13, 2013; https://www.intechopen.com/books/hepatic-surgery/essential-functional-hepatic-and-biliary-anatomy-for-the-surgeon.
188
Тут поучительно вспомнить, что у дерева ветвятся не только ветки, но и корни, а у реки, помимо системы притоков, часто бывает дельта. Прим. науч. ред.
189
Обратимся к порокам: взято из Walters Art Gallery, http://www.thedigitalwalters.org/Data/WaltersManuscripts/W72/data/W.72/sap/W72_000056_sap.jpg.
190
Сладострастие, распутство и безнравственность соответственно. Прим. науч. ред.
191
Когда вы слышите «шотландец XIX века» и «офицер времен Гражданской войны», то, вероятно, думаете: «Готов поспорить, что у этого парня была великолепная борода». И должен сказать, вы не ошибаетесь.
192
Мне тоже пришлось искать объяснение. Это рабочие, которые чистят и смазывают части двигателя.
193
«Сад расходящихся тропок» (El jardín de senderos que se bifurcan) – рассказ Хорхе Луиса Борхеса. Прим. науч. ред.
194
На самом деле существует более общее понятие, нежели дерево, – так называемый ориентированный ациклический граф, который более точно отражает ситуацию: в таком графе ветви могут соединяться, но циклов при этом не образуется, потому что по ветвям можно двигаться только в одном направлении. Представьте генеалогическое древо аристократа, родители которого могут иметь общего прадеда или прабабку, а то и нескольких. Анализ ориентированных ациклических графов может оказаться несколько более неприятным делом, чем анализ деревьев, однако большая часть того, о чем мы рассказываем в этой главе, к ним тоже применима.
195
Последняя фраза выглядит очевидной, и в некотором роде так и есть, однако стоит немного задуматься, что утверждение стало бы неверным, если бы я пропустил слово «положительных»: как насчет 2, 1, 0, –1, –2, –3…? А если бы не было слова «целых», то и насчет 1, 0,1, 0,01, 0,001…?
196
Что любое целое число: Ahmet G. Agargün and Colin R. Fletcher, “Al-Fārisī and the Fundamental Theorem of Arithmetic,” Historia Mathematica 21, no. 2 (1994): 162–73.
197
«Дружественность» тут означает не отношения с друзьями, а свойство натуральных чисел. Два числа называются дружественными, если сумма собственных (то есть не равных самому числу) делителей первого числа равна второму числу, а сумма собственных делителей второго числа равна первому числу. Это интересная история, но я не вижу в ней геометрии, так что подожду до другого раза.
198
«Когда же три числа, перемножаемые между собой, производят нечто, то возникающее есть телесное, стороны же его – перемножаемые между собой числа». «Начала», книга VII. Перевод Д. Мордухай-Болтовского. Прим. пер.
199
Упражнение для читателя: можете ли вы объяснить, почему это утверждение следует из предыдущего?
200
Впервые она упоминается: L. Rougetet, “A Prehistory of Nim,” College Mathematics Journal 45, no. 5 (2014): 358–363.
201
Dallas Cowboys – американский футбольный клуб (американский футбол) из техасского города Арлингтон. Прим. пер.
202
Упражнение 2: сколько флагов из девяти надо было им взять? Сейчас мы ответим на этот вопрос.
203
Одну из тех выносливых микробных спор: W. Fajardo-Cavazos et al., “Bacillus Subtilis Spores on Artificial Meteorites Survive Hypervelocity Atmospheric Entry: Implications for Lithopanspermia,” Astrobiology 5, no. 6 (Dec. 2005): 726–36; www.ncbi.nlm.nih.gov/pubmed/16379527.
204
На языке теории чисел можно сказать, что вам нужно взять остаток от деления текущего числа флагов на 4.
205
И раз уж вы оказались здесь – довольно далеко в этой книге, то я полагаю, что мы это допустили?
206
«Выстрел по луне» (shooting the moon) – ситуация в «Червах», когда игрок собирает все очковые карты за раунд и получает 0 очков, а все противники получают по 26 очков. Поскольку цель игры – набрать минимум очков, то игрок, «выстреливший по луне», получает большое преимущество. Прим. пер.
207
Болезненно удручающую: Jessica Wang, “Science, Security, and the Cold War: The Case of E. U. Condon,” Isis 83, no. 2 (1992): 243.
208
Что касается новинок, то компания Westinghouse: “Fair’s Ticket Sale Is ‘Huge Success,’ with Late Rush On,” New York Times, May 6, 1940, 9. После материала о «Ниматроне» идет объявление, что на ярмарке в специальном стеклянном будуаре будет показана Элси, «корова-звезда завтрашнего молочного мира компании Borden».
209
Вовсе не китайской, как мы убедились выше!
210
Большую часть поражений: E. U. Condon, “The Nimatron,” American Mathematical Monthly 49, no. 5 (1942): 331.
211
Алан Тьюринг, работавший: S. Barry Cooper and J. Van Leeuwen, Alan Turing (Amsterdam: Elsevier Science & Technology, 2013), 626.
212
Читатель вполне может спросить: Cooper and Van Leeuwen, Alan Turing.
213
На этой иллюстрации тоже есть несколько разных вещей с одним и тем же названием. Симметрия игры позволяет считать, что все первые ходы в угол одинаковы и все первые ходы в середину стороны – тоже, поэтому у нас на первом ходу не девять вариантов, а всего три. [Среди вторых ходов тоже есть одинаковые. Прим. науч. ред.]
214
Самая длинная из когда-либо сыгранных турнирных игр: о самой длинной теоретически возможной партии ведутся споры, но чаще всего звучит число 5898. В 1989 году в Белграде Иван Николич и Горан Арсович сыграли партию из 269 ходов. В обычной шахматной нотации ход включает по одному движению фигур каждого из игроков, так что путь на дереве, соответствующий этой партии, в реальности состоит из 538 отрезков.
215
Если проявить педантичность, то, строго говоря, дерево для шашек не конечно, поскольку в английских шашках нет четких правил фиксации ничьей. Если два игрока захотят бесконечно ходить дамками, в принципе им ничто не помешает. На практике шашисты соглашаются на ничью, если видят, что ни один не может победить.
216
Написания стихотворения, отражающего: Robert Lowell, “For the Union Dead” (1960), из его книги 1964 года с тем же названием. Вы можете прочитать это стихотворение на сайте: https://www.poetryfoundation.org/poems/57035/for-the-union-dead.
217
Четыре в ряд: этот факт почти одновременно доказали в 1888 году Джеймс Аллен и Виктор Эллис. Смотрите магистерскую работу Эллиса. Victor Allis. 1988. “A Knowledge-based Approach of Connect-Four – The Game is Solved: White Wins.” Masters thesis. Vrije Universiteit, Amsterdam.
218
Одну из первых серьезных работ: Claude E. Shannon, “XXII. Programming a Computer for Playing Chess,” London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science 41, no. 314 (1950): 256–75.
219
Можете просто держать под рукой такую табличку: иллюстрация из статьи C. J. Mendelsohn, “Blaise de Vigenère and the Chiffre Carré,” Proceedings of the American Philosophical Society 82, no. 2 (Mar. 22, 1940): 107.
220
Под поворотом против часовой стрелки подразумевается, что, например, на место буквы I встает буква K. Но с равным успехом можно трактовать, что при сдвиге происходит поворот по часовой стрелке и буква I сдвигается в то положение, где была буква K. Прим. пер.
221
Как отмечал сам Стиглер, закон Стиглера: Stephen M. Stigler, “Stigler’s Law of Eponymy,” Transactions of the New York Academy of Sciences 39 (1980): 147–58.
222
В российской традиции эта закономерность носит имя Владимира Игоревича Арнольда. Точнее: «Принцип Арнольда. Если какое-либо понятие имеет персональное имя, то это – не имя первооткрывателя. Принцип Берри. Принцип Арнольда применим к самому себе». (Арнольд В. О преподавании математики. Успехи математических наук (1998), т. 53, вып. 1 (319)). Прим. науч. ред.
223
Виженер был благородного происхождения: почти вся информация о Виженере взята из книги Mendelsohn, “Blaise de Vigenère and the Chiffre Carré”.
224
Изложенные в 1553 году: A. Buonafalce, “Bellaso’s Reciprocal Ciphers,” Cryptologia 30, no. 1 (2006): 40–47.
225
Таким изумительным совершенством: Mendelsohn, “Blaise de Vigenère and the Chiffre Carré,” 120.
226
Но здесь ситуация иная. Виженер был знаком с трудом Беллазо (и работами других криптографов) и просто описал известные ему приемы в своей книге. Прусский офицер Фридрих Касиски опубликовал свой метод в 1863 году, разработав его независимо от Бэббиджа, а приоритет Бэббиджа установили только в 1985 году. Прим. пер.
227
Надежных способов разгадать шифр: C. Flaut et al., “From Old Ciphers to Modern Communications,” Advances in Military Technology 14, no. 1 (2019): 81.
228
Джефферсон Дэвис – первый и единственный президент Конфедеративных Штатов Америки. Прим. пер.
229
By which you may: William Rattle Plum, The Military Telegraph During the Civil War in the United States: With an Exposition of Ancient and Modern Means of Communication, and of the Federal and Confederate Cipher Systems; Also a Running Account of the War Between the States, vol. 1 (Chicago: Jansen, McClurg, 1882), 37.
230
Уместно напомнить о разнице в русском языке между понятиями «расшифровка» и «дешифровка», которые часто путают. Оба понятия противоположны шифрованию, но между ними есть разница. Расшифровка (расшифровывание) – это перевод шифрованного сообщения в исходный текст с помощью ключа (так сказать, законный способ). Дешифровка (дешифрование) – это восстановление исходного текста без ключа – только по шифрованному сообщению (так сказать, доступ со стороны). Прим. пер.
231
Шеба – персонаж комикса Мэтта Грейнинга «Жизнь в аду». Прим. пер.
232
До 1990-х никто: Nigel Smart, “Dr Clifford Cocks CB,” honorary doctorate citation, University of Bristol, Feb. 19, 2008; http://www.bristol.ac.uk/graduation/honorary-degrees/hondeg08/cocks.html.
233
Matthew Flynn, Pryme Knumber, Dailey Swan Pub., 2012. Прим. пер.
234
Подросток Берни Вебер: из романа писателя и кандидата в губернаторы Висконсина Мэтта Флинна Pryme Knumber, появившегося в 2012 году. В сиквеле 2017 года Берни доказывает гипотезу Римана и вынужден бежать от китайской разведки. Почему этот текст смешной? Нельзя разложить простые числа на множители – они простые!
235
Потому что действительно был деревенским парнем, который приводил стада в Эдинбург и облапошивал там городских пижонов, ставя на то, что обыграет их десять раз на каждую проигранную партию. И действительно обыгрывал.
236
Причем двадцать восемь: Brian Christian, The Most Human Human (New York: Doubleday, 2011), 124. Кристиан, как и многие другие источники, указывает, что было 40 партий, из которых совпадала 21, но многие люди на форумах, посвященных шашкам, сейчас считают, что правильно 28/50.
237
Либер – одноклассник Эйсы Лонга в Толедо, который явно был Сан-Педро-де-Макорисом для сильных шашистов. [Сан-Педро-де-Макорис – город в Доминиканской Республике, известный тем, что в нем родилось большое количество профессиональных бейсболистов. Прим. пер.]
238
Можно устраивать забавную салонную игру «Шашечный дебют или горнолыжный склон умеренной сложности?».
239
То же самое характерно и для русских шашек, и для международных (стоклеточных). Прим. пер.
240
В целом я неуверенный в себе человек: Jim Propp, “Chinook,” American Chess Journal (1997), первоначально опубликовано на сайте ACJ; http://www.chabris.com/pub/acj/extra/Propp/Propp01.html.
241
Мой программист лучше: цитируется по работе The Independent, Aug. 17, 1992; из книги Schaeffer, One Jump Ahead, 285.
242
Педантично уточню: дерево будет конечным, если вы, как в шахматах, добавите правило, что троекратное повторение позиции означает ничью. Шеффер сделал именно так.
243
В отличие от русских шашек, где нотация совпадает с шахматной, в английских шашках используют числовую нотацию, где пронумерованы только черные поля – от 1 до 32, сверху вниз и слева направо. Первый ход 11–15 соответствует ходу f6–e5 (в английских шашках первыми ходят черные). Прим. пер.
244
Даже если я буду: “Go Master Lee Says He Quits Unable to Win Over AI Go Players,” Yonhap News Agency, Nov. 27, 2019; en.yna.co.kr/view/AEN20191127004800315.
245
Зал закрылся в 2006 году: “Checkers Group Founder Pleads Guilty to Money Laundering Charges,” Associated Press State & Local Wire, June 30, 2005; https://advance-lexis-com/api/document?collection=news&id=urn: contentItem:4GHN-NTJ0-009F-S3XV-00000-00&contex =1516831.
246
Конечно, я очень не люблю: “King Him Checkers? Child’s Play. Unless You’re Thinking 30 Moves Ahead. Like a Mathematician. This Mathematician,” Orlando Sentinel, Apr. 7, 1985.
247
Я не считаю компьютеры противниками: Martin Sandbu, “Lunch with the FT: Magnus Carlsen,” Financial Times, Dec. 7, 2012.
248
Человеческие шахматы: цитируется по подкасту Conversations with Tyler (podcast), episode 22, May 2017.
249
Я был поражен: цитируется по подкасту Conversations with Tyler (podcast), episode 22, May 2017.
250
Строго говоря, жемчуг – это не камень, он вообще не относится к минералам. Однако по традиции его с древности причисляют к драгоценным камням. Прим. пер.
251
Это прекрасно соответствует определению конгруэнтности (равенства), с которым мы встречались в главе 1, когда фигуры называются конгруэнтными (равными), если вы можете перевести одну в другую с помощью поворота или иного движения.
252
Для педантов уточним: наименьшее число больше нуля.
253
Не при каждом, а при каждом втором, четвертом и восьмом соответственно. Кого будет есть хищник в оставшиеся годы, непонятно. Прим. науч. ред.
254
Выводок – это группа периодических цикад с общим началом цикла. Теоретически возможно 17 выводков, которые традиционно нумеруются от I до XVII (но на самом деле не все варианты реализуются). Выводок I последний раз появлялся в 2012 году, а следующий раз появится в 2029, выводок II – в 2013-м и 2030-м и так далее. Большой восточный выводок, о котором пишет автор, – это выводок X, его прошлое появление было в 2004 году. При этом разные выводки появляются в разных местах США. Прим. пер.
255
Существуют также периодические цикады с периодом в 13 лет, их выводки нумеруются от XVIII до XXX, хотя реально их не 13 выводков, а меньше. Прим. пер.
256
На самом деле это всего лишь один из частных случаев теоремы Ферма. В реальности для любого числа m, а не только числа 2, число mp при делении на p дает остаток m.
257
Впервые он сформулировал малую теорему в 1640 году: Colin R. Fletcher, “A Reconstruction of the Frénicle-Fermat Correspondence of 1640,” Historia Mathematica 18 (1991): 344–51.
258
Совершенное число – это число, сумма делителей которого (не считая самого числа) равна этому числу. Например, 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14. Для современных математиков их очарование довольно неясно, но Евклид их любил, что дало им определенный статус в глазах первых специалистов по теории чисел. Приятно превзойти Евклида.
259
Если бы оно не было таким длинным: André Weil, Number Theory: An Approach Through History from Hammurabi to Legendre (Boston: Birkhäuser, 1984), 56.
260
Это было предположение о числах: A. J. Van Der Poorten, Notes on Fermat’s Last Theorem (New York: Wiley, 1996), 187.
261
О драматической истории этого доказательства см.: Сингх С. Великая теорема Ферма. М.: МЦНМО, 2000. Прим. науч. ред.
262
Брат философа Симоны Вейль, но в математических кругах она – сестра Андре.
263
Едва ли могут оставаться: Weil, Number Theory, 104.
264
Поскольку по тону писем понятно: Вейль предполагает, что эти двое хитрили и скрывали друг от друга самые свои сложные теоремы, а возможно, даже намеренно вводили друг друга в заблуждение, чтобы противник не взял верх. Weil, Number Theory, 63.
265
Надо отметить: проверить тот факт, что это число составное, – не самое простое дело. Это обнаружил только Эйлер в 1732 году. Прим. пер.
266
Почему это легче? Нам надо примерно триллион умножений двойки на себя, что кажется крайне затратным по времени. Однако существует умный метод (под названием бинарный, или быстрый алгоритм возведения в степень), который позволяет выполнять эту операцию действительно быстро. Однако здесь на полях слишком мало места, чтобы я мог объяснить его.
267
Например, подержанному Chevy Cavalier, на котором я ездил с 1998 по 2002 год, пока он окончательно не сломался на пункте сбора пошлины у моста через реку Делавэр на платной автодороге Нью-Джерси. Мысленно я все еще ощущаю запах ковриков на полу. Я так и не нашел протечку.
268
В общем виде ситуация выглядит следующим образом. Пусть A– – это отрицание A. Предположим, что исходное утверждение: A⇒B (читается: «из A следует B»). Тогда противоположное утверждение: A–⇒B–; обратное утверждение: B⇒A; контрапозитивное утверждение: B–⇒A–. Прим. пер.
269
Шорт-стоп – игровая позиция в бейсболе. Келвин Кел Рипкен – младший – один из лучших бейсболистов в истории, игравших на этой позиции. Прим. пер.
270
Точнее, китайская гипотеза – это оба утверждения сразу: число n является простым тогда и только тогда, когда 2n делится на n. В одну сторону это верно (частный случай малой теоремы Ферма), в другую – неверно. Прим. пер.
271
От стойкого и ошибочного утверждения: Qi Han and Man-Keung Siu, “On the Myth of an Ancient Chinese Theorem About Primality,” Taiwanese Journal of Mathematics 12, no. 4 (July 2008): 941–49.
272
По-видимому, восходит к короткой заметке: J. H. Jeans, “The Converse of Fermat’s Theorem,” Messenger of Mathematics 27 (1898): 174.
273
Тот самый человек, который спустя семь лет боролся с квантовой физикой на страницах журнала Nature по соседству с вопросом Карла Пирсона о случайных блужданиях.
274
Строго говоря, слово «китайская» в названии гипотезы полностью оправданно. Да, древние китайцы действительно ничего не знали об этой теореме (им было вообще чуждо понятие простых чисел). Однако это утверждение сделал китайский математик XIX века Ли Шаньлань, и впервые оно упомянуто в 1869 году в журнале Notes And Queries On China and Japan, выходившем в Гонконге. Заметку под названием «Китайская теорема» написал не сам Ли Шаньлань, а знакомый с ним британский миссионер Александр Уайли, впечатленный этим результатом. История заблуждения подробно изложена в статье, указанной автором книги в примечаниях. Прим. пер.
275
На самом деле Эдгар По написал эссе «Шахматный игрок Мельцеля», в котором разоблачал обман. Прим. пер.
276
Скрытого внутри механизма: история механического турка широко известна; например, подробно изложена в книге Tom Standage, The Turk: The Life and Times of the Famous Eighteenth-Century Chess-Playing Machine (New York: Berkley, 2002). Самую интересную историю об автомате рассказывает Тьюринг в статье Digital Computers Applied to Games в книге Faster Than Thought, ed. B. V. Bowden (London: Sir Isaac Pitman & Sons, 1932): махинация обнаружилась, когда кто-то заорал «Пожар!» во время партии и человек, сидевший в автомате, помчался к выходу. Я не смог найти никаких убедительных подтверждений подлинности этой истории, поэтому она перенесена в примечания.
277
Для полноты картины я должен признать, что текст о вороне несколько неясен, и толкователям пришлось дополнить историю деталями. Согласно жившему в III веке знатоку Торы (и разбойнику в молодости) Решу Лакишу (трактат «Санхедрин», 108b), ворон вообще не искал никакой суши. Описание «отлетал и прилетал» относилось разве что к небольшой области вокруг ковчега, где он мог не спускать глаз с Ноя, который, как думала подозрительная птица, отослал его искать землю в качестве предлога, чтобы заняться прелюбодеянием с миссис Ворон. Всегда читайте комментарии, там найдутся дикие вещи. [На самом деле Реш Лакиш приписывает птице сразу два опасения. «Ворон сказал ему [Ною]: “Твой Господин Бог ненавидит меня, и ты ненавидишь меня. Твой Господин ненавидит меня, поскольку приказал взять кошерных животных по семь пар, а некошерных по две пары. Ты же ненавидишь меня, поскольку игнорируешь виды по семь пар и вместо этого отправляешь вид, где две пары. Если ангел тепла или ангел холода навредит мне и убьет меня, не будет ли в мире нехватки в одном виде, поскольку останется только одна пара воронов? А может, ты отправляешь меня, потому что тебе нужна моя жена, чтобы совокупиться с нею?”» Прим. пер.]
278
В оригинале формулировка Паскаля была иной. В его варианте игроки А и В начинали с нуля, однако если А выбрасывал нужное число очков (11), то А получал очко, если у противника В в этот момент было 0 очков; если же у В было ненулевое число очков, то не А добавлял себе очко, а оно списывалось у В. Аналогично и с игроком В, которому требовалось выбросить 14 очков. Иными словами, отстающий игрок всегда имеет 0 очков. Победителем объявлялся тот, кто первым наберет 12 очков. Требовалось найти шансы А и В на победу. Прим. пер.
279
Оказалось: вся информация о задаче о разорении игрока и переписке Паскаля и Ферма взята из работы A. W. F. Edwards, “Pascal’s Problem: The ‘Gambler’s Ruin’,” International Statistical Review/Revue Internationale de Statistique 51, no. 1 (Apr. 1983): 73–74.
280
Вы можете заметить, что эта игра несколько отличается от исходной проблемы разорения игрока; в задаче, которую изучали Паскаль и Ферма, требовалось добиться преимущества в 12 очков, а не просто первым выиграть 12 партий. Но детский пример проще анализировать.
281
Фанаты тенниса заметят, что из-за поочередной подачи случайное блуждание несколько усложняется. Это верно, но существенно не влияет на природу рассматриваемой математики.
282
Первые четыре сета они сыграли 22 июня. Матч был остановлен из-за темноты и продолжен 23 июня. Прим. пер.
283
Наконец, очередной удар Изнера: Alexandre Sokolowski, “June 24, 2010: The Day Marathon Men Isner and Mahut Completed the Longest Match in History,” Tennis Majors, June 24, 2010; https://www.tennismajors.com/our-features/on-this-day/june-24-2010-the-day-marathon-men-isner-and-mahut-completed-the-longest-match-in-history-267343.html.
284
Ничего подобного больше не повторится: Greg Bishop, “Isner and Mahut Wimbledon Match, Still Going, Breaks Records,” New York Times, June 23, 2010.
285
Рекорд этого матча не будет побит, поскольку в 2019 году на Уимблдоне изменили правила. Теперь даже в решающем сете играется тай-брейк, а преимущество в два гейма не требуется. Теоретически тай-брейк тоже может длиться очень долго (в нем нужно иметь преимущество в два очка), но вероятность получить преимущество в два очка гораздо больше, чем преимущество в два гейма, так что тай-брейки намного короче. Прим. пер.
286
Большинство спортивных турниров: материалы об альтернативных форматах Мировой серии взяты из работы J. Ellenberg, “Building a Better World Series,” Slate, Oct. 29, 2004; https://slate.com/human-interest/2004/10/a-better-way-to-pick-the-best-team-in-baseball.html.
287
Но каждый отдельный бейсбольный матч в принципе может продолжаться бесконечно, если в конце каждого иннинга счет будет равным. [Иннинг – период в бейсбольной игре. Прим. пер.] Если такая возможность вас заинтриговала, настоятельно рекомендую роман Уильяма Кинселлы «Бейсбольная конфедерация Айовы».
288
То есть «очень вероятно, что если мы проведем этот эксперимент много раз, то среднее количество раз, когда игра перейдет в позицию А1, будет приближаться к 100», но я не собираюсь набирать эту фразу перед каждым числом. Не стоит благодарности.
289
Компьютерные программы для го: S. Gelly et al., “The Grand Challenge of Computer Go: Monte Carlo Tree Search and Extensions,” Communications of the ACM 55, no. 3 (2012): 106–13.
290
Не вполне ясно, в каком математическом смысле это пространство, но в любом случае оно будет конечномерным, просто с очень большим числом измерений. Прим. науч. ред.
291
Моя знакомая Мередит Бруссард: MSNBC, Velshi & Ruhle, Feb. 11, 2019. Available at www.msnbc.com/velshi-ruhle/watch/trump-to-sign-an-executive-order-launching-an-ai-initiative-1440778307720.
292
А если таких направлений несколько? Тогда выбирайте любое, которое вам нравится.
293
На самом деле речь в данном случае идет о градиентном подъеме (мы ищем самую высокую точку местности), а градиентный спуск используют для нахождения самой низкой точки. Но иногда говорят о методе градиентного спуска, подразумевая движение в обе стороны, поскольку принципиальной разницы нет, а вычисления одинаковы. Прим. пер.
294
Еще одно изящное геометрическое утверждение: только для любителей анализа: если f(x,y) – это функция, которую мы максимизируем, то формула для производной неявной функции говорит нам, что касательная к кривой f(x,y) = с (такая кривая изображает изолинию равных высот) имеет наклон – (df/dx)/(df/dy), в то время как градиент – это вектор (df/dx, df/dy), который ей ортогонален.
295
Среди настоящих компьютерщиков это обычно называется «ошибками» или «потерями».
296
Есть много способов измерить неправильность; этот не самый популярный на практике, зато его просто описать. Мы не станем вдаваться в подробности на таком уровне детализации.
297
Несколько более точная аналогия со стохастическим градиентным спуском – разместить советников в случайном порядке и просматривать их по одному в день; это как минимум гарантировало бы, что каждый получит свою долю внимания.
298
В зависимости от того, ищете вы максимум или минимум, эта точка может оказаться локальным максимумом или локальным минимумом.
299
Greed is good (в переводе «Алчность – это хорошо») – популярные слова Гордона Гекко, персонажа фильма «Уолл-стрит» (1987) в исполнении Майкла Дугласа. Прим. пер.
300
«Обходные стратегии» (Oblique Strategies) – метод для выхода из творческого ступора, разработанный композитором Брайаном Ино и художником Питером Шмидтом. Реализован в виде колоды карт с различными изречениями, которые могут помочь разрешить дилемму или выбраться из тупика. Прим. пер.
301
Это почти описание градиентного спуска!
302
А это может быть почти описанием неевклидовой геометрии!
303
Одним из ее авторов и продюсером был Брайан Ино, который также придумал и карты «Обходные стратегии»!
304
Мера неправильности, наиболее подходящая для этого случая (причины этого мы рассмотрим в другой раз), такова: мы берем квадрат разности между прогнозом, который дает линейная стратегия, и истинным значением и суммируем эти квадраты по всем бейсбольным командам, поэтому описанный метод называется «методом наименьших квадратов». Метод известен очень давно и к настоящему моменту настолько отлажен, что оптимальную линию в нем можно найти гораздо быстрее, чем с помощью градиентного спуска, однако и градиентный спуск будет работать.
305
Кидуш – один из обрядов в иудаизме, чтение благословения, которое производится над бокалом (стаканчиком) вина. Прим. пер.
306
Машина Руба Голдберга – устройство, которое выполняет несложное действие (например, переворачивание страницы) крайне хитроумным образом («зачем просто, если можно сложно?») с помощью сложного многоступенчатого механизма с ременными передачами, катящимися шариками, перемещающимися деталями и так далее. Название дано в честь американского художника и изобретателя Руба Голдберга. Прим. пер.
307
Возможно, тут уместно напомнить тем, кто не знает, что подарки на бар-мицву вы получаете, когда вам исполнилось тринадцать лет.
308
Психолог Фрэнк Розенблатт: Frank Rosenblatt, “The perceptron: a probabilistic model for information storage and organization in the brain.” Psychological Review 65, no. 6 (1958): 386. Перцептрон Розенблатта был обобщением менее тонкой математической модели нейронной обработки, созданной в 1940-е годы Уорреном Маккаллоком и Уолтером Питтсом.
309
Число 538 – это общее количество выборщиков в коллегии, а числитель дробей – количество выборщиков от каждого штата (например, на президентских выборах 2020 года Калифорния имела 55 голосов, Техас – 38 голосов, Флорида и Нью-Йорк – по 29 и так далее до минимальных 3 голосов у Аляски, Вайоминга, Вермонта, Делавэра, Монтаны, Северной Дакоты, Южной Дакоты и округа Колумбия). Распределение голосов по штатам меняется со временем в зависимости от изменения количества населения в них. Прим. пер.
310
Коллегия выборщиков немного отходит от определения Розенблатта. Последний блок выдает 1, если входной сигнал больше 0,5, и 0, если меньше 0,5. Однако если входной сигнал в точности равен 0,5, то блок передает ответственность за принятие решения в Палату представителей.
311
Визуализируйте трехмерное пространство: Lecture 2c of Geoffrey Hinton’s notes for “Neural Networks for Machine Learning”; www.cs.toronto.edu/~tijmen/csc321/slides/lecture_slides_lec2.pdf.
312
Его прапрадед Чарльз: о семейных отношениях между двумя Хинтонами смотрите статью K. Onstad, “Mr. Robot,” Toronto Life, Jan. 28, 2018.
313
Старший Хинтон также написал много научно-фантастических романов, которые тогда назывались научными романами, был осужден за двоеженство и был вынужден уехать из Англии в Японию, затем преподавал математику в Принстоне, где создал для бейсбольной команды работавшую на порохе машину, которая выстреливала мячи. Машина принесла ему большую известность, но от нее отказались после того, как она травмировала нескольких игроков.
314
Разве я не говорил о нелинейности? Да, но этот перцептрон кусочно-линейный. Это означает, что он линеен по-разному в различных областях пространства. Более общие нейронные сети могут дать более округлые формы.
315
И больших наборах данных для обучения. Прим. науч. ред.
316
Для знатоков математического анализа: настоящая причина простоты заключается в том, что функция, которую вычисляет нейронная цепь, строится путем сложения и суперпозиции других функций, а потому их производные легко вычислить с помощью правила дифференцирования сложной функции (цепного правила).
317
От др.-греч. ἴσος (изос) «равный» и χρόνος (хронос) «время». Прим. пер.
318
В русском языке родители одного из супругов по отношению к родителям другого супруга – это сват и сватья. Прим. пер.
319
Обратите внимание, что здесь речь о круге, а не об окружности. Окружность – это множество точек, находящихся на данном расстоянии от центра. Круг – это множество точек, находящихся не дальше данного расстояния, то есть круг включает еще и точки внутри окружности. Соответственно, когда мы говорим о круге родственников радиусом 2, то в него входят не только родственники на границе, но и вы сами, потому что находитесь на расстоянии 0 от центра круга. Аналогично и далее. Прим. пер.
320
Целые книги о геометрии аккордов: Dmitri Tymoczko, A Geometry of Music (New York: Oxford University Press, 2010).
321
Если известно, что все эти точки расположены на плоскости, то проблемы нет: можно просто достраивать треугольники. Однако не любая матрица расстояний задает множество точек на плоскости, см. ниже. Прим. науч. ред.
322
Для четырех точек это утверждение означает, что форма четырехугольника однозначно определена, если вы знаете все четыре стороны и две диагонали. Полезно поразмышлять, чтобы убедиться в этом. Было бы достаточно длины одной диагонали? [Зависит от того, признаем ли мы невыпуклые четырехугольники. Прим. науч. ред.]
323
В 1968 году: Seymour Rosenberg, Carnot Nelson, and P. S. Vivekananthan, “A Multidimensional Approach to the Structure of Personality Impressions,” Journal of Personality and Social Psychology 9, no. 4 (1968): 283. Однако я в детстве читал об этом в главе Джозефа Крускала «Значение слов» в книге Statistics: A Guide to the Unknown, ed. Judith Tanur (Oakland: Holden-Day, 1972); это отличный пример математического изложения, уроки которого актуальны до сих пор, и с этой книгой следует активнее знакомиться.
324
На самом деле этого оказалось недостаточно, поскольку слишком много пар черт вообще фактически никогда не группировали вместе. Чтобы получить более точную картину, вы считаете слова reliable и honest близкими не только потому, что их часто располагают вместе, но и потому, что какие-то третьи слова, например finicky («разборчивый»), как правило, примерно одинаково часто объединяют как с reliable, так и с honest.
325
По вертикали проведена ось «жесткий – мягкий», по горизонтали «плохой – хороший». Кроме того, экспериментаторы провели линии, отражающие, на их взгляд, активность, интеллектуальные способности и уровень «социальности» человека.
326
В общем случае для точного размещения N точек понадобится примерно N/2-мерное пространство. Прим. науч. ред.
327
Вы можете расставить: здесь я ссылаюсь на числа метода DW-Nominate, который разработали Кейт Пул и Ховард Розентал; его можно найти на voteview.com. Метод, дающий такие числа, не всегда является многомерным шкалированием и, строго говоря, не включает понятие расстояния между законодателями; подробности смотрите в работе Keith T. Poole and Howard Rosenthal, “D-Nominate After 10 Years: A Comparative Update to Congress: A Political-Economic History of Roll-Call Voting,” Legislative Studies Quarterly 26, no. 1 (Feb. 2001): 5–29.
328
Расстояние между двумя точками вычисляется так: найдите разность между двумя долготами, двумя широтами, двумя высотами, двумя мелкотами и так далее. Теперь у вас есть триста чисел. Возведите их в квадрат, сложите квадраты и извлеките квадратный корень. Это и есть расстояние. Это трехсотмерный вариант теоремы Пифагора, хотя сам Пифагор вполне мог бы отвергнуть такие вещи как нечто далекое от физической геометрии.
329
Официальные границы Нью-Йорка довольно широки, так что давайте оговорим, что здесь под Нью-Йорком будем понимать определенную точку – книжный магазин Strand в районе Ист-Виллидж на Манхэттене.
330
Word2vec работает с лексемами, которые обычно являются словами, но иногда это имена или короткие выражения.
331
Шаг в мужскую сторону от имени Карен: источник всех данных – мой ноутбук; векторы для слов получаются с помощью бесплатной программы Word2vec, и вы можете самостоятельно повозиться с ними с помощью языка Python.
332
Карен – популярный американский мем: белая американка среднего класса, которая постоянно борется за свои права как покупателя, клиента, потребителя и так далее (ее типичная фраза: «Я хочу поговорить с менеджером»). Стив – слабо выраженный мужской аналог Карен. Похоже, программа сумела это отследить. Прим. пер.
333
Бейгл – выпечка, происходит из еврейской кухни. Прим. пер.
334
Маргарет Джорджиана Спенсер, графиня Спенсер (1737–1814) – аристократка и филантроп, дальний предок принцессы Дианы (урожденной Дианы Спенсер). Прим. пер.
335
Если бы мы честно признались: то, что я говорю о «выглядеть глупо», в основном вдохновлено обсуждением в Twitter сообщения от моего коллеги Sami Schalk (@DrSamiSchalk), сделанного 8 мая 2019 года.
336
Согласно Мартину Гарднеру, это история из книги Эрика Темриля Белла «Математика – царица и служанка науки». См. Гарднер М. Математические досуги. М.: Мир, 1972, с. 419. Прим. науч. ред.
337
На заседании Американского математического общества в 1903 году: Andrew Granville, Number Theory Revealed: An Introduction (Paw-tucket, RI: American Mathematical Society, 2019), 194.
338
Я только что разложил его: с помощью команды ntheory.factorint в пакете SymPy языка Python, если вы захотите сами убедиться, насколько это быстро.
339
Почему к диагонали? Я считаю ее хорошим аналогом диаметра, потому что это самое большое расстояние между точками фигуры.
340
А вот алгоритм машинного обучения не знает: Andrew Trask et al., “Neural Arithmetic Logic Units,” Advances in Neural Information Processing Systems 31, NeurIPS Proceedings 2018, ed. S. Bengio et al; https://arxiv.org/abs/1808.00508. Введение объясняет, как традиционные архитектуры нейронных сетей не могут справиться с этой конкретной проблемой, а основная часть статьи предлагает возможный метод исправления ситуации.
341
Я убежден, что: CBS. “The Thinking Machine” (1961). Видеоролик на YouTube. 16 июля 2018 года. Дэвид Уэйн и Джером Визнер на видеокомпиляции с 1:40 до 1:50; www.youtube.com/watch?time_continue=154&v=cvOTKFXpvKA&feature=emb_title.
342
Решила давнюю геометрическую задачу: Lisa Piccirillo, “The Conway Knot Is Not Slice,” Annals of Mathematics 191, no. 2 (2020): 581–91. Изложение открытия Пиччирилло доступным языком смотрите в работе E. Klarreich, “Graduate Student Solves Decades-Old Conway Knot Problem,” Quanta, May 19, 2020; https://www.quantamagazine.org/graduate-student-solves-decades-old-conway-knot-problem-20200519.
343
Один из моих наиболее часто цитируемых результатов: Jordan S. Ellenberg and Dion Gijswijt, “On Large Subsets of F n/q with No Three-Term Arithmetic Progression,” Annals of Mathematics (2017): 339–43.
344
Тополог по имени Марк Хьюз: Mark C. Hughes, “A Neural Network Approach to Predicting and Computing Knot Invariants,” Journal of Knot Theory and Its Ramifications 29, no. 3 (2020): 2050005.
345
На самом деле мне надо было начать дискуссию: Ronald Ross, Memoirs, with a Full Account of the Great Malaria Problem and Its Solution (London: J. Murray, 1923), 491.
346
Некоторые представители: E. Magnello, The Road to Medical Statistics (Leiden, Netherlands: Brill, 2002), 111.
347
У сэра Рональда Росса была репутация: M. E. Gibson, “Sir Ronald Ross and His Contemporaries.” Journal of the Royal Society of Medicine, vol. 71, no. 8 (1978): 611.
348
Грасси не только независимо от Росса показал перенос малярии комарами, но и первым заразил человека в эксперименте через укус комара. Изначально Нобелевскую премию 1902 года по физиологии и медицине хотели поделить между ними, однако Росс развернул активную кампанию по обвинению Грасси в плагиате, и в итоге Нобелевский комитет сдался, и премия досталась одному Россу. Прим. пер.
349
Лекция Росса в Сент-Луисе: E. Nye and M. Gibson, Ronald Ross: Malariologist and Polymath: A Biography (Berlin: Springer, 1997), 117.
350
Pez – ручной дозатор-игрушка с конфетами-пастилками, созданный в Австрии и распространившийся по всему миру. Некоторые ранние или редкие разновидности диспенсеров – предмет коллекционирования. Прим. пер.
351
Начало стихотворения «Геспер» (Hesperus). Геспер – название вечерней Венеры. Текст содержит архаичные английские слова, так что русский эквивалент выглядел бы примерно так: «Ах, куда плывеши, милая безмолвная звезда / В потоках гаснущего вечернего света?» Прим. пер.
352
Что касается математики: Ross, Memoirs, 23–24.
353
До конца вариационного исчисления: Ross, Memoirs, 49.
354
Образование должно в основном: почти идентично фразе «единственное настоящее образование – это самообразование» из книги Уильяма Спенсера «Изобретательная геометрия». Мог ли Росс ее читать?
355
Это был как интеллектуальный: Ross, Memoirs, 50.
356
Почти все идеи в науке: Ross, Memoirs, 8.
357
Мы в итоге создадим: эта цитата и большая часть остального материала о Россе, Хадсон и теории событий взята из книги Adam Kucharski’s The Rules of Contagion (New York: Basic Books, 2020).
358
Ее первой публикацией: Hilda P. Hudson, “Simple Proof of Euclid II, 9 and 10,” Nature 45 (1891): 189–90.
359
Центр это окружности – это точка (0, 5). Прим. науч. ред.
360
Названы в честь предложившего их итальянского математика Луиджи Кремона. Прим. пер.
361
Звучит похоже на координаты, которые использовал Пуанкаре для задачи трех тел, где ему нужно было отслеживать не только положение каждой планеты, но и направление ее движения. Да, это то же самое.
362
С помощью циркуля и линейки: Hilda P. Hudson, Ruler & Compasses (London: Longmans, Green, 1916).
363
Мы можем думать о присутствии: Hilda P. Hudson, “Mathematics and Eternity,” Mathematical Gazette 12, no. 174 (1925): 265–70.
364
Брат Лаврентий (брат Лоренс) – монах XVII века, который работал поваром в кармелитском монастыре в Париже и утверждал, что о Боге можно думать не только во время молитвы. В одном из писем он писал: «Рабочее время для меня не отличается от времени молитвы; а в кухонном шуме и гаме, когда несколько человек одновременно выкрикивают разные требования, я обладаю Богом в столь великой безмятежности, как если бы я стоял на коленях пред святым причастием». Прим. пер.
365
Идеи чистой математики истинны: Hudson, “Mathematics and Eternity”.
366
По некоторым сведениям, он считал: Luc Brisson and Salomon Ofman, “The Khora and the Two-Triangle Universe of Plato’s Timaeus” (preprint, 2020), arXiv:2008.11947, 6.
367
Если вы любите алгебру, умножьте обе части этого уравнения на xy. Тогда получится y2 = xz; слева – площадь квадрата со стороной y, справа – площадь прямоугольника со сторонами x и z. То есть два определения действительно эквивалентны.
368
Прекраснейшая же из связей такая: Plato, Timaeus, trans. Donald J. Zeyl (Indianapolis: Hackett Publishing, 2000), 17.
369
Платон, диалог «Тимей». Перевод С. Аверинцева. Прим. пер.
370
Ладно-ладно, это был президент Соединенных Штатов, но сейчас это неважно.
371
Во время весенней волны эпидемии испанки в 1918 году: значения R_0 взяты из работы: P. van den Driessche, “Reproduction Numbers of Infectious Disease Models,” Infectious Disease Modelling 2, no. 3 (Aug. 2017): 288–303.
372
Происходит постоянное ветвление: эти рисунки создал Косма Шализи – восхитительно самоуверенный статистик и специалист по теории чисел; они включены в его лекции, посвященные эпидемии; www.stat.cmu.edu/~cshalizi/dm/20/lectures/special/epidemics.html#(16).
373
77 триллионов человек: M. I. Meltzer, I. Damon, J. W. LeDuc, and J. D. Millar, “Modelling Potential Responses to Smallpox as a Bioterrorist Weapon,” Emerging Infectious Diseases 7, no. 6 (2001): 959–69.
374
Centers for Disease Control and Prevention (Центры по контролю и профилактике заболеваний) – федеральное агентство Министерства здравоохранения США. Прим. пер.
375
Это число почти в 10 000 раз больше, чем население нашей планеты. Прим. пер.
376
Время от времени: M. Stobbe, “CDC’s Top Modeler Courts Controversy with Disease Estimate,” Associated Press, Aug. 1, 2015.
377
6 футов – примерно 1,8 метра. Прим. пер.
378
Строго говоря, название R0 относится к среднему числу новых случаев в популяции в тот момент, когда никто еще не заразился вирусом, а тот показатель, что меняется во времени, обозначают R или Rt, однако многие люди говорят об изменении R0 во время эпидемии, и если вы не собираетесь писать статьи по математической эпидемиологии на основании исключительно того, что узнали из этой книги, то ничего страшного, если вы не будете проводить такие различия. Кстати, не пишите статьи по математической эпидемиологии исключительно на основании того, что узнали из этой книги.
379
Во всяком случае, мы на это надеемся. Мы еще точно не знаем, дает ли заболевание COVID-19 и выздоровление долговременный иммунитет. Без такого предположения вы получаете другой долгосрочный сценарий, и, как нетрудно догадаться, он будет не так хорош.
380
Этот порог может быть ниже, хотя, видимо, ненамного, по причинам, связанным с неоднородностью: не каждый больной инфицирует одно и то же число людей. Подробнее об этом в главе 12.
381
Он был геометром: часть материала этого раздела взята из статьи J. Ellenberg, “A Fellow of Infinite Jest,” Wall Street Journal, Aug. 14, 2015.
382
Орудием убийства: István Hargittai, “John Conway – Mathematician of Symmetry and Everything Else,” Mathematical Intelligencer 23, no. 2 (2001): 8–9.
383
Он был заядлым изобретателем игр: R. H. Guy, “John Horton Conway: Mathematical Magus,” Two-Year College Mathematics Journal 13, no. 5 (Nov. 1982): 290–99.
384
Col – седло, snort – фырканье, loony – недоумок, dud – негодная вещь, sesqui-up – на полтора, phutball – сокращение слов Philosopher’s Football, то есть философский футбол. Прим. пер.
385
Издана на русском языке: Кнут Д. Сюрреальные числа. М.: Бином. Лаборатория знаний, 2014. Прим. ред.
386
Начал создавать числа: Donald Knuth, Surreal Numbers: How Two Ex-Students Turned on to Pure Mathematics and Found Total Happiness (Boston: Addison-Wesley, 1974). Книга Кнута знакомит с системой чисел Конвея, однако связь этих чисел устанавливается в книге Конвея 1976 года On Numbers and Games.
387
В русскоязычной литературе они также могут называться связками или танглами. Прим. пер.
388
Одним из поклонников игры был Брайан Ино, который увидел демонстрацию в научном музее в Сан-Франциско в 1978 году и стал «полностью зависимым» от нее, часами наблюдая за изменением конфигураций. Через два года он поучаствует в создании песни «Лишь раз в жизни». Вы можете спросить себя…
389
Которую он доказал вместе с Кэмероном Гордоном: John H. Conway and C. McA. Gordon, “Knots and Links in Spatial Graphs,” Journal of Graph Theory 7, no. 4 (1983): 445–53. Статья включает несколько теорем, в том числе описанную в книге и также доказанную Хорстом Саксом.
390
В июле 2020 года: все статистические данные из этого раздела взяты из работы Dana Mackenzie, “Race, COVID Mortality, and Simpson’s Paradox,” Causal Analysis in Theory and Practice (blog); causality.cs.ucla.edu/blog/index.php/2020/07/06/race-covid-mortality-and-simpsons-paradox-by-dana-mackenzie. Числа на момент написания этих строк (сентябрь 2020) не такие, – однако, похоже, все равно демонстрируют парадокс Симпсона.
391
У какой монеты сифилис? Этот раздел взят из работы J. Ellenberg, “Five People. One Test. This Is How You Get There,” New York Times, May 7, 2020.
392
В 1941 году статья «Нью-Йорк Таймс» обвинила: P. de Kruif, “Venereal Disease,” New York Times, Nov. 23, 1941, 74.
393
Однако в 1942 году: биографическая информация о Дорфмане и истории группового тестирования взята из статей “Economist Dies at 85,” Harvard Gazette, 18 июля 2002 года, и Dingzhu Du and Frank K. Hwang, Combinatorial Group Testing and Its Applications, vol. 12 (Singapore: World Scientific, 2000), 1–4.
394
Обнаружение дефектных членов больших групп: R. Dorfman, “The Detection of Defective Members of Large Populations,” Annals of Mathematical Statistics 14, no. 4 (Dec. 1943): 436–40.
395
Разбавление образцов: Du and Hwang, Combinatorial Group Testing, 3.
396
В больницах Германии: K. Bennhold, “A German Exception? Why the Country’s Coronavirus Death Rate Is Low,” New York Times, Apr. 5, 2020.
397
А одна лаборатория в Небраске: Ellenberg, “Five People. One Test. This Is How You Get There”.
398
Ухань – город в центральном Китае: BBC report, June 8, 2000; www.bbc.com/news/world-asia-china-52651651.
399
Более сложный вариант этой модели учитывал бы ту мрачную реальность, что некоторые зараженные люди умирают, а не выздоравливают. К счастью, доля смертей для COVID-19 не очень велика, поэтому для начала можно запустить модель без их учета.
400
Он также имел привычку: James Norman David on, “William Ogilvy Kermack, 1898–1970,” Biographical Memoirs of Fellows of the Royal Society 17 (1971), 413–14.
401
Обнаружили, что SIR-модель: Takayasu et al., “Rumor Diffusion and Convergence During the 3.11 Earthquake: A Twitter Case Study,” PLoS ONE 10, no. 4 (2015): 1–18. Чинелли с соавторами в своем препринте 2020 года The COVID-19 Social Media Infodemic утверждает, что распространение информации вокруг начала пандемии COVID-19 следует анализировать аналогично и что слухи в Instagram♦ имеют гораздо более высокий показатель R_0, чем в Twitter.
402
Он также соавтор Джона Конвея в работе над геометрической задачей о максимально плотной упаковке многомерных апельсинов в многомерный ящик.
403
Индийский ударный музыкальный инструмент – небольшой барабан. Прим. пер.
404
В санскритской поэзии: материал об индийском стихосложении взят из работы Parmanand Singh, “The So-Called Fibonacci Numbers in Ancient and Medieval India,” Historia Mathematica 12, no. 3 (1985): 229–44.
405
Это хорошее напоминание о том, что санскрит относится к индоевропейским языкам и имеет общего предка с английским и романскими языками. Слово mātrā напоминает английские слова measure («мера») и meter («метр»); vrrta происходит от протоиндоевропейского корня wert, который означает «поворот», от того же корня происходит английское слово verse («стих», «поэзия»). [К тому же протоиндоевропейскому корню восходит и русское слово «вертеть». Прим. пер.] Слова laghu и guru – кузены английских слов light («свет») и grave («могила»).
406
В русском языке спондеем называют два стоящих рядом ударных слога в двусложном размере. Например, в пушкинской ямбической строке «Скучна мне оттепель; вонь, грязь – весной я болен» слог «вонь» является ударным, хотя занимает безударное место. Прим. пер.
407
Вы никогда не слышали о стихах, написанным пятистопным пиррихием, потому что никто их не пишет. Эдгар По, который хорошо разбирался в метрике стиха, сказал: «От пиррихия справедливо отказались… настаивание на такой трудной для понимания пустышке, как размер с двумя безударными слогами, дает, пожалуй, лучшее подтверждение грубой иррациональности и угодничества перед авторитетом, которые демонстрирует наше стихосложение». [В русском языке написать строку пиррихием тоже невозможно, однако термин используется для обозначения двух смежных безударных слогов. Например, пушкинская «Полтава» написана ямбом, но в первой строке «Богат и славен Кочубей» ударения на слоге «Ко» нет, и получается два безударных слога («вен» и «Ко») подряд. Прим. пер.]
408
Можно считать, что в стопе амфимакра два ударных слога, между которыми стоит безударный. Соответственно, слоган произносится с выделением слогов why, why, try, dry. Прим. пер.
409
Уравнение для скорости при вертикальном подбрасывании мяча в зависимости от времени t выглядит так: v(t) = v0 – gt, где v0 – начальная скорость, а g ≈ 9,8 м/с2 – ускорение свободного падения. Поэтому разностное уравнение для движения вверх v(t+1) – v(t) = –g. Прим. пер.
410
Разность арифметической прогрессии будет не 9,8, а 8,87 м/с, потому что гравитация на Венере несколько ниже, а ускорение свободного падения равно 8,87 м/с2.
411
Что древние подразумевали: Henri Poincaré, “The Present and the Future of Mathematical Physics,” trans. J. W. Young, Bulletin of the American Mathematical Society 37, no. 1 (1999): 26.
412
Что дает превосходный вопрос для викторины: «Искоренить полностью удалось только две природные болезни: оспу и что еще?» Сработает, если на вашу викторину не придут ветеринары-эпидемиологи.
413
Примерно в середине Средних веков: Y. Furuse, A. Suzuki, and H. Oshitani, Origin of Measles Virus: Divergence from Rinderpest Virus Between the 11th and 12th Centuries, Virology Journal 7, no. 52 (2010); doi.org/10.1186/1743-422X-7-52.
414
19 мая 1865 года: S. Matthews, “The Cattle Plague in Cheshire, 1865–1866,” Northern History 38, no. 1 (2001): 107–19; doi.org/10.1179/nhi.2001.38.1.107.
415
К концу октября: A. B. Erickson, “The Cattle Plague in England, 1865–1867,” Agricultural History 35, no. 2 (Apr. 1961): 97.
416
Фарр представлял: об истории со Сноу, Фарром и эпидемией холеры написано очень много; описание взято из статьи N. Paneth et al., “A Rivalry of Foulness: Official and Unofficial Investigations of the London Cholera Epidemic of 1854,” American Journal of Public Health 88, no. 10 (Oct. 1998): 1545–1553.
417
Мы рискнем сказать: British Medical Association, British Medical Journal 1, no. 269 (1866): 207.
418
Это более обширные сведения: General Register Office, Second Annual Report of the Registrar-General of Births, Deaths, and Marriages in England (London: W. Clowes and Sons, 1840), 71.
419
Внезапно поднимаются: Second Annual Report of the Registrar-General, 91.
420
Крошечные насекомые: Second Annual Report of the Registrar-General, 95.
421
Вероятно, почти 5,4: метод в стиле Фарра «закройте глаза и притворитесь, что это арифметическая прогрессия» – это не только ваш выбор; аналогичный подход, который называется методом Ньютона (при тех же предположениях он основан на математическом анализе), дает в этом случае приближение 5,4, почти такое же хорошее, как 54/11, и он ощутимо лучше для чисел, квадратный корень из которых близок к целому числу. Чтобы быть Великим Вычислителем Корней, нужно иметь в запасе несколько козырей.
422
Примерно в 600 году: информация о начале истории интерполяции взята из книги E. Meijering, “A Chronology of Interpolation: From Ancient Astronomy to Modern Signal and Image Processing,” Proceedings of the IEEE 90, no. 3 (2002): 319–42.
423
Да, мы не сократили дроби, и ваш учитель математики в десятом классе мог бы сказать, что ответ неверен. Он верен! Выражения 80/990 и 8/99 – различные названия для одного числа, и если мы выражаем все дробями со знаменателем 990, то в использовании первого из них нет ничего плохого.
424
Это был Джон Джозеф Мерлин – плодовитый бельгийский умелец, который также изобрел роликовые коньки. Спустя много лет выросший Бэббидж купил этот автомат на аукционе у разорившегося музея и установил в своей гостиной.
425
Восхитительная танцовщица: Charles Babbage, Passages from the Life of a Philosopher (London: Longman, Green, 1864), 17.
426
Однажды вечером: Babbage, Passages from the Life of a Philosopher, 42.
427
Мы уже видели в главе 7, что даже очень мощная нейронная сеть может потерпеть неудачу, когда ее просят экстраполировать за пределами обучающего множества.
428
На том же самом эвристическом рассуждении: в любом случае ничего лучше я предположить не могу. Хассетт не изложил точный механизм, который выдал его кривую (а только назвал его кубической экстраполяцией), однако подбор полинома третьей степени к логарифму наблюдаемых величин, как делал Фарр, дал мне вполне хорошее совпадение с кривой в пресс-релизе.
429
Спроецируйте кривую для США: Justin Wolfers (@JustinWolfers), Twitter, Mar. 28, 2020, 2:30 p.m.
430
Он совершенно забывает: British Medical Association, British Medical Journal 1, no. 269 (1866): 206–07.
431
В частности, очень широко распространенная модель Института измерения показателей и оценки здоровья (IHME) Вашингтонского университета в Сиэтле. Позже в ходе пандемии IHME мудро отказался от предположения о симметрии. Честно говоря, во время первоначальной вспышки в Ухане подъем и снижение эпидемии шли примерно симметрично; это быстрое падение сейчас считается результатом крайне жестких мер противодействия со стороны китайских властей.
432
Арка в Сент-Луисе «Ворота Запада»: оказывается, форма «Ворот Запада», несмотря на то что архитектор Ээро Сааринен называл ее цепной линией, на самом деле является более общей кривой. Смотрите R. Osserman, “How the Gateway Arch Got Its Shape,” Nexus Network Journal 12, no. 2 (2010): 167–189.
433
Роберт Плот считал, что слона в Британию мог привезти император Клавдий. Однако визит Клавдия – миф, и Плот не нашел никаких документов, подтверждающих наличие слонов на Британских островах. Прим. пер.
434
Его ответ: Robert Plot and Michael Burghers, The Natural History of Oxford-Shire: Being an Essay Towards the Natural History of England (printed at the Theater in Oxford, 1677): 136-Biodiversoty Heritage Library; https://www.biodiversitylibrary.org/item/186210#page/11/mode/1up.
435
Плот был по-своему логичен. Во-первых, эта кость была найдена около кладбища. Во-вторых, в XVII веке, когда жил натуралист, люди доверяли написанному в XII веке труду Гальфрида Монмутского «История королей Британии», где упоминались «гиганты Альбиона», с которыми воевал прибывший сюда Брут, потомок Энея. Поэтому Плот счел, что это кость одного из тех великанов. Прим. пер.
436
Не предполагается, что модели коронавируса верны: Z. Tufekci, “Don’t Believe the COVID-19 Models,” Atlantic (Apr. 2, 2020); https://www.theatlantic.com/technology/archive/2020/04/coronavirus-models-arent-supposed-be-right/609271.
437
Фотографию одного протестующего: автор Jim Mone, Associated Press; journaltimes.com/news/national/photos-protesters-rally-against-coronavirus-restrictions-in-gatherings-across-us/collection_b0cd8847-b8f4-5fe0-b2c3-583fac7ec53a.html#48.
438
Инженерный анализ (реверс-инжиниринг, обратное проектирование, обратный инжиниринг) – это изучение устройства или программы, чтобы понять схему их работы. Прим. пер.
439
В 2012 году произошел интеллектуальный спор: Y. Katz, “Noam Chomsky on Where Artificial Intelligence Went Wrong,” Atlantic (Nov. 1, 2012); https://www.theatlantic.com/technology/archive/2012/11/noam-chomsky-on-where-artificial-intelligence-went-wrong/261637/; и воинственная, но очень информативная работа P. Norvig, “On Chomsky and the Two Cultures of Statistical Learning”; norvig.com/chomsky.html.
440
И конечно же, оба метода легко может положить на лопатки обычный человек, который изучает язык гораздо точнее, чем любой искусственный интеллект, причем его входные данные в миллиард раз меньше по объему.
441
Конвей доказал, что: J. Conway, “The Weird and Wonderful Chemistry of Audioactive Decay,” Eureka 46 (Jan. 1986).
442
Для любителей алгебры: это самый большой корень некоторого многочлена степени 71!
443
Великие равнины – область в Канаде и США. Пересекают США с севера на юг. Задевают территорию десяти штатов, включая Северную и Южную Дакоту. Прим. пер.
444
Штат Сада мира – прозвище Северной Дакоты, данное по Международному саду мира – ботаническому парку в северной части штата. Прим. пер.
445
Помимо указанных у автора, используются названия: золотое число, гармоническое деление, ф («тау», от греческого слова τομή – «сечение»). Прим. пер.
446
Первое мы можем сравнить: Karl Fink, A Brief History of Mathematics: An Authorized Translation of Dr. Karl Fink’s Geschichte der Elementarmathematik, 2nd ed., trans. Wooster Woodruff Beman and David Eugene Smith (Chicago: Open Court Publishing, 1903), 223.
447
Древние называли: H. Becker, An Even Earlier (1717) Usage of the Expression “Golden Section,” Historia Mathematica 49 (Nov. 2019): 82–83.
448
На самом деле мы можем получить точность 1/2000, округляя последнюю цифру вверх или вниз, а не просто обрывая разложение; подробности оставляем заинтересовавшемуся читателю! В любом случае мы не собираемся быть настолько мелочными, что нам понадобится возиться с коэффициентом 2.
449
Цзу Чунчжи, астроном V века: информация о Цзу Чунчжи и «милю» взята из работы L. Lay-Yong and A. Tian-Se, “Circle Measurements in Ancient China,” Historia Mathematica 13 (1986): 325–340.
450
Этот раздел рассказывает о самых началах диофантовых приближений. Если вас это заинтересует, то вещи, о которых стоит почитать, – теорема Дирихле (которую мы здесь доказываем), непрерывные дроби и теорема Лиувилля.
451
В русскоязычной литературе его называют принципом Дирихле и обычно для объяснения используют кроликов и клетки. Прим. пер.
452
Вы могли бы подумать, что это явная гебраизация греческого слова «геометрия», однако такое объяснение является лишь одной из версий.
453
Божественная пропорция: из рецензии на Geschichter der Elementär-Mathematik in Systematischer Darstellung, Nature 69, no. 1792 (1904): 409–10; рецензия подписана просто GBM, однако очевидно, что именно Мэтьюз был тем членом Королевского общества, который ее написал. Благодарю Дженнифер Нельсон за детективную работу в этом вопросе.
454
Pentagramma mirificum (лат.) – чудесная пентаграмма. Однако этим термином называют не правильный пятиугольник, как можно понять из цитаты, а пентаграмму на сфере, состоящую из дуг большого круга, причем углы при вершинах пентаграммы прямые. Прим. пер.
455
Однако нет никаких доказательств: книга Марио Ливио The Golden Ratio (New York: Broadway Books, 2002) вполне бескомпромиссно высказывается о долгой истории претензий, что канонические произведения искусства имеют скрытое золотое сечение.
456
Авторитетная статья 1978 года: E. I. Levin, “Dental Esthetics and the Golden Proportion,” Journal of Prosthetic Dentistry 40, no. 3 (1978): 244–52.
457
Набор вставных зубов: Julie J. Rehmeyer, “A Golden Sales Pitch,” Math Trek, Science News, June 28, 2007; https://www.sciencenews.org/article/golden-sales-pitch.
458
Появился «Код Диеты»: S. Lanzalotta, The Diet Code (New York: Grand Central, 2006). На самом деле рекомендации в этой книге включают не только золотое сечение, там фигурирует число 28, которое «различным образом представляет лунный цикл, возраст духовного раскрытия в йоге, один из египетских локтей (единиц измерения) и фундаментальную расчетную координату майя»; http://www.diet-code.com/f_thecode/right_proportions.htm.
459
Захватывает дух: доступно по всему интернету, например по адресу: www.goldennumber.net/wp-content/uploads/pepsi-arnell-021109.pdf.
460
Через несколько лет: биографические материалы об Эллиотте взяты из его 64-страничной биографии, которая открывает книгу R. N. Elliott’s Masterworks: The Definitive Collection, ed. Robert R. Prechter Jr. (Gainesville, GA: New Classics Library, 1994).
461
Человек – такой же природный объект: R. N. Elliott, The Wave Principle (self-published, 1938), 1.
462
Наряду с теориями Роджера Бэбсона, который считал: весь материал о Бэбсоне взят из книги Martin Gardner, Fads and Fallacies in the Name of Science (Mineola, NY: Dover Publications, 1957), chapter 8. Ненависть Бэбсона к гравитации, похоже, уходит корнями к несчастному случаю в детстве, когда утонула его сестра, как он упоминает в эссе «Гравитация – наш враг номер один».
463
Как оказалось, вовсе не неминуемый.
464
Как и все иные методы анализа: Merrill Lynch, A Handbook of the Basics: Market Analysis Technical Handbook (2007), 48.
465
Компьютерная система компании Bloomberg для анализа и контроля финансового рынка. Компания предоставляет терминалы и доступ к информации. Прим. пер.
466
Предупредил своих читателей: Paul Vigna, “How to Make Sense of This Crazy Market? Look to the Numbers,” Wall Street Journal, Apr. 13, 2020.
467
А если смотреть через два месяца? Может быть, Фибоначчи окажется прав! Хорошо, смотрите. Если под фразой «мой прогноз был верен» вы подразумеваете «в какой-то неопределенный момент в будущем фондовый рынок упадет», то ваш прогноз одновременно и верен, и совершенно не впечатляет.
468
Фея Динь-Динь (в оригинале Tinker Bell) – персонаж сказки Джеймса Барри «Питер Пэн». Может умереть, если люди перестанут верить в фей. Прим. пер.
469
Небраска примыкает с юга к Южной Дакоте, но не граничит с Северной Дакотой. Прим. пер.
470
Хотя она и содержится в Онлайн-энциклопедии целочисленных последовательностей как A028495. Там я узнал, что n-й член этой последовательности – число способов, которыми белые могут поставить мат ровно за n + 1 ход в некоей конкретной шахматной позиции, если игнорировать правило 50 ходов и правило трехкратного повторения ходов. Чудно!
471
По крайней мере поначалу. Геометрическая прогрессия моделирует раннюю стадию эпидемии, когда у вируса еще не закончились уязвимые носители.
472
Скрытыми в том смысле: J. J. Sylvester, “The Equation to the Secular Inequalities in the Planetary Theory,” Philosophical Magazine 16, no. 100 (1883): 267.
473
Слово Eigenwert, в свою очередь, вероятно, является германизированным вариантом более раннего термина Пуанкаре nombre characteristique (характеристическое число).
474
Eigenwert (нем.) – это и собственное значение, и внутренняя (собственная) ценность (стоимость). В соответствующем английском термине eigenvalue, где первая часть слова Eigenwert осталась непереведенной, сохраняется та же двузначность. Прим. пер.
475
Вы можете создать подобные модели: существует масса статей об этом, но особенно серьезной считается препринт M. G. M. Gomes et al., “Individual Variation in Susceptibility or Exposure to SARS-CoV-2 Lowers the Herd Immunity Threshold,” medarXiv (2020); https://doi.org/10.1101/2020.04.27.20081893.
476
Что делать, если вы попадете при этом на страницу без ссылок? Это похоже на проблему попадания в локальный оптимум при градиентном спуске, так что можно применить такое же решение: начните снова движение в случайном месте.
477
Вычислили предельные вероятности: Robert B. Ash and Richard L. Bishop, “Monopoly as a Markov Process,” Mathematics Magazine 45, no. 1 (1972): 26–29. В одной более поздней статье приводятся те же самые вычисления, но по не совсем понятным мне причинам получаются несколько иные числа, хотя ее авторы и соглашаются, что чаще всего посещаемое поле с собственностью – это Иллинойс-авеню. Paul R. Murrell, “The Statistics of Monopoly,” Chance 12, no. 4 (1999): 36–40.
478
Эш и Бишоп предполагали, что вы либо остаетесь в тюрьме на три хода, либо выбрасываете на кубиках дубль, а не платите 50 долларов за возможность немедленного выхода.
479
Вряд ли это очевидно. Но вы можете найти эти значения пошагово – вручную или (если вам нравятся матрицы) возводя матрицу переходных вероятностей в степень.
480
Правильнее было бы сказать – докеплеровская, поскольку именно Кеплер отказался от орбит в виде комбинаций таких окружностей, установив, что планеты двигаются по эллипсам. Прим. пер.
481
Если вам интересно, то это точка в некотором пространстве под названием «гильбертово пространство» – в честь того самого Гильберта, с которым мы в последний раз встречались, когда он возился с основами геометрии на рубеже веков.
482
Упражнение: можете ли вы найти собственную последовательность для операции сдвигокрена?
483
Мы используем здесь условие, что крен линеен; это означает, что умножение на 3 и последующий крен – то же самое, что крен с последующим умножением на 3; еще один вопрос коммутативности!
484
Как было оговорено ранее: впервые об этом аргументе я узнал не в контексте квантовой физики, а на семинаре по некоммутативной геометрии, который вел Том Невинс – замечательный геометр и обладатель различных наград из Иллинойского университета; Невинс умер 1 февраля 2020 года в возрасте всего лишь 48 лет.
485
Строго говоря, буквой ħ обозначается так называемая приведенная постоянная Планка (она же постоянная Дирака). Постоянная Планка h связана с постоянной Дирака соотношением ħ = h/2π. Прим. пер.
486
Впрочем, по сравнению с масштабами нашего сенсорного физиологического аппарата постоянная Планка крайне близка к 0, и поэтому мы воспринимаем, что объекты находятся в определенной точке и двигаются определенным образом.
487
Если вы желаете знать, что я опустил, то книга Шона Кэрролла Something Deeply Hidden («Нечто глубоко сокрытое») прекрасно и доступно излагает математику, лежащую в основе квантовой физики.
488
Именуемый улиткой: смотрите, например, Robert Fettiplace, “Diverse Mechanisms of Sound Frequency Discrimination in the Vertebrate Cochlea,” Trends in Neurosciences 43, no. 2 (2020): 88–102.
489
Они использовали марковские процессы: David Link, “Chains to the West: Markov’s Theory of Connected Events and Its Transmission to Western Europe,” Science in Context 19, no. 4 (2006): 561–89. Упоминаемая работа Пойа и Эггенбергера – Florian Eggenberger and George Pólya, “Über die statistik verketteter vorgänge,” ZAMM – Journal of Applied Mathematics and Mechanics/Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Mechanik 3, no. 4 (1923): 279–89.
490
Вы можете проверить в духе Уильяма Фарра, что разность между этими разностями будет всегда постоянна, а именно 4. [Для этого надо заметить, что член с номером N равен N2 + (N – 1)2, а это ясно из рисунков, на которых видны пары наложенных друг на друга квадратов. Прим. науч. ред.]
491
Хотя в геометрии Манхэттена, как мы видели в главе 2, этот квадрат – круг!
492
Сленговым названием для не поддающейся классификации болезни: J. Warren, “Feeling Flulike? It’s the Epizootic,” Baltimore Sun, Jan. 17, 1998. Смотрите также слово epizootic в словаре американского английского языка.
493
По крайней мере семь восьмых: A. B. Judson, “History and Course of the Epizoötic Among Horses upon the North American Continent in 1872–73,” Public Health Papers and Reports 1 (1873): 88–109.
494
Огромной больницей для заболевших лошадей: Sean Kheraj, “The Great Epizootic of 1872–73: Networks of Animal Disease in North American Urban Environments,” Environmental History 23, no. 3 (2018): 495–521; doi.org/10.1093/envhis/emy010.
495
Привели к ранним вспышкам: “The Great Epizootic,” 497.
496
А как насчет кривизны земной поверхности? Если это вас так беспокоит, подождите несколько страниц – мы доберемся и до этого!
497
И годится для рисования изохронных карт, одну из которых мы видели в главе 8.
498
Миссис Чтотут – ответ на отличный вопрос для викторины: «Какого персонажа сыграли и Элфри Вударт, и Риз Уизерспун?» [Существует две экранизации романа Мадлен Л’Энгл «Складка времени» (A Wrinkle in Time) – 2003 и 2018 года. В оригинале экранизации названы так же, как и книга, но в русском варианте названия расходятся, причем неточно переведено и название романа («Трещина во времени»), и название фильма («Излом времени»). Прим. пер.]
499
Почти непроходимые болота: Judson, “History and Course of the Epizoötic,” 108.
500
Если выражаться на языке Евклида: смотрите J. H. Webb, “A Straight Line Is the Shortest Distance Between Two Points,” Mathematical Gazette 58, no. 404 (June 1974): 137–38.
501
Почему мы пользуемся таким выражением, хотя линия – это вовсе не расстояние? По-видимому, эта странная формулировка – результат плохо сделанного в XIX веке перевода учебника геометрии Лежандра, где использовалась формулировка le plus court chemin (кратчайший путь). И знаете, какой переводчик так напортачил? Историк и эссеист Томас Карлейль, который в молодости работал учителем математики в шотландском городе Керколди.
502
Вставьте тут сравнение с вашей самой нелюбимой политической идеологией.
503
Строго говоря, этот большой круг – это круг, проходящий через противоположные точки сферы, а соответствующие линии на сфере – это большие окружности, а не круги. Однако часто, говоря о больших кругах на сфере, подразумевают большие окружности. Прим. пер.
504
На сайте extendny.com вы можете «манхэттенизировать» ваше собственное местонахождение.
505
Герарда Меркатора: детали биографии Меркатора взяты из книги Mark Monmonier, Rhumb Lines and Map Wars: A Social History of the Mercator Projection (Chicago: University of Chicago Press, 2004), chapter 3.
506
Ellenberg – это немецкое диалектное слово, означающее «локоть» (по крайней мере, так гласит наше семейное предание).
507
Математический термин для таких поверхностей – гиперболоид. Прим. пер.
508
Однако нельзя сделать и то и другое одновременно: моя дочь-фактчекер настаивает, что с некоторыми усилиями вы на самом деле можете согнуть пиццу вниз, так что, возможно, лучше сказать, что загибание сторон ломтика вверх затрудняет сгибание кончика вниз. Подробнее о теореме о пицце смотрите: A. Bhatia, “How a 19th Century Math Genius Taught Us the Best Way to Hold a Pizza Slice,” Wired, Sep. 5, 2014.
509
Недалеко от Южного полюса есть целые семейства точек, в которых может находиться палатка с соблюдением условий задачи, но там нет никаких медведей. См. Гарднер М. Математические головоломки и развлечения. М.: Мир, 1971, с. 33. Прим. науч. ред.
510
Неприятная сторона легенды об Эрдёше: она побуждает некоторых математиков считать домашнюю работу чем-то ниже их достоинства и выше их способностей одновременно. И тем не менее мы едим пищу и носим чистые рубашки. Факт: думать о математике во время мытья посуды полезно как для математики, так и для посуды (если вы так же склонны к задумчивости, как большинство математиков).
511
У меня есть кое-что получше, чем кофе: С. Кранц, рецензия на книгу Пола Хоффмана The Man Who Loved Only Numbers, College Mathematics Journal 32, no. 3 (May 2001): 232–37.
512
Расстояние между Тинсли и мною: все эти расстояния вычислены с помощью инструмента Collaboration Distance («Расстояние сотрудничества»), который доступен по адресу: mathscinet.ams.org/mathscinet/freeTools.html.
513
Строго: пусть случайная величина Xt – это число звеньев от некоторой фиксированной точки до точки с номером i. Случайная величина Xt принимает два значения: 1 с вероятностью 5/1 000 000 и 0 с вероятностью 999 995/1 000 000. Следовательно, среднее значение (математическое ожидание) величины Xt равно 1 × 5/1 000 000 + 0 × 999995/1 000 000 = 5/1 000 000. Такое же число получится, какую бы точку Xt мы ни взяли. Пусть S – это общее число звеньев, идущих от нашей точки, иными словами S = X1 + X2 + … + X1000000. Поскольку математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме их математических ожиданий, то среднее значение S равно 1 000 000 × 5/1 000 000 = 5. Прим. пер.
514
Что будет, если R = 1? Об этом написаны сотни статей. Часто случается, что именно пограничные случаи скрывают самую богатую и причудливую математику.
515
Побывав в католическом Университете Нотр-Дам: Melvin Henriksen, “Reminiscences of Paul Erdös (1913–1996),” Humanistic Mathematics Network Journal 1, no. 15 (1997): 7.
516
По воспоминаниям математика Мелвина Хенриксена, дело было немного не так. Эрдёш в 1953–1954 годах работал в этом исследовательском университете, расположенном в штате Индиана. Когда отказавшегося от религии ученого поддразнивали, что он работает в католическом учреждении, он «со всей серьезностью отвечал, что ему там очень нравится, а особенно он рад дискуссиям с доминиканцами; единственное, что его беспокоит, – там слишком много знаков плюс». Прим. пер.
517
Не смогло бы найти слов: Henri Poincaré, The Value of Science, trans. George Bruce Halsted (New York: The Science Press, 1907), 138.
518
Снимался в фильмах со всеми: Brandon Griggs, “Kevin Bacon on ‘Six Degrees’ Game: ‘I Was Horrified’,” CNN, Mar. 12, 2014; https://www.cnn.com/2014/03/08/tech/web/kevin-bacon-six-degrees-sxsw/index.html.
519
Возможно, это верно, только если не учитывать китайское и индийское кино. Прим. науч. ред.
520
Вместе с Августой Теллер, Эдвардом Теллером, Арианной Розенблют и Маршаллом Розенблютом.
521
Два соавтора Эрдёша (Дэниэл Клейтман и Брюс Резник) претендуют на число Эрдёша – Бейкона, равное 3, на основании фильмов, где снимались в массовке. Честно ли это? Не мне об этом говорить. (Впрочем, скажу: да, нечестно.)
522
У обычного линейного октана (н-октан) октановое число всего лишь 17–19. А вот у 2,2,4-триметилпентана, который обычно называют изооктаном, октановое число принято за 100. Прим. пер.
523
Разумеется, последовательность, которая считает количество предельных углеводородов с разным числом атомов углерода, тоже есть в Онлайн-энциклопедии целочисленных последовательностей. Это последовательность A000602.
524
Животворящее и вдохновляющее влияние: J. J. Sylvester, “On an Application of the New Atomic Theory to the Graphical Representation of the Invariants and Covariants of Binary Quantics, with Three Appendices [Continued].” American Journal of Mathematics 1, no. 2 (1878): 109.
525
В поэзии и алгебре: Sylvester, “On an Application”.
526
Выражение «графическая нотация»: материал о происхождении слова «граф» взят из книги N. Biggs, E. Lloyd, R. Wilson, Graph Theory 1736–1936 (Oxford: Oxford University Press, 1999), 64–67.
527
Гигантского гнома с бородой: автор описания – первый докторант Сильвестра Джордж Брюс Халстед, цитируется по работе E. E. Slosson, Major Prophets of To-Day (New York: Little, Brown, 1914), p. 137. Похоже, Халстед унаследовал склонность своего научного руководителя к спорам: его уволили из ряда университетов за критику руководства, в итоге он работал электриком в семейном магазине и продолжал публиковать работы по неевклидовой геометрии.
528
Было настоящим удовольствием наблюдать: письмо Гальтона Карлу Пирсону от 31 декабря 1901 года в работе The Life, Letters, and Labours of Francis Galton, vol. 1, ed. K. Pearson (Cambridge: Cambridge University Press, 1924).
529
Демонстрация досконального знания Евклида: D. R. McCoy, “An ‘Old-Fashioned’ Nationalism: Lincoln, Jefferson, and the Classical Tradition,” Journal of the Abraham Lincoln Association 23, no. 1 (Winter 2002): 60. Два других требования – уметь читать классических авторов и переводить с английского на латынь.
530
Из Йельского университета в 1830 году: Clarence Deming, “Yale Wars of the Conic Sections,” The Independent Devoted to the Consideration of Politics, Social and Economic Tendencies, History, Literature, and the Arts (1848–1921) 56, no. 2886 (Mar. 24, 1904): 667.
531
В 1840 году студенты-бунтовщики: Lewis Samuel Feuer, America’s First Jewish Professor: James Joseph Sylvester at the University of Virginia (Cincinnati: American Jewish Archives, 1984), 174–76.
532
Он вернулся в Англию: биографический материал о Сильвестре взят из книги Karen H. Parshall, James Joseph Sylvester: Jewish Mathematician in a Victorian World (Baltimore: Johns Hopkins University Press, 2006), 66–80. Точные обстоятельства внезапного отъезда из Вирджинии все еще являются предметом споров: сделал ли это Сильвестр из-за вражды с Баллардом или из-за инцидента с тростью? Фойер в книге America’s First Jewish Professor утверждает, что из-за второго.
533
На профессуру в Грешем-колледже: Alexander Macfarlane, “James Joseph Sylvester (1814–1897),” Lectures on Ten British Mathematicians of the Nineteenth Century (New York: John Wiley & Sons, 1916), 109; https://projecteuclid.org/euclid.chmm/1428680549.
534
Именно линейная алгебра дает нам теорию векторов, которая является сутью машинного обучения, и именно она предоставила Джеффри Хинтону возможность описать четырнадцатимерное пространство как трехмерное, для которого всего лишь нужно громко сказать: «Четырнадцать!»
535
Подвергается в пространстве четырех измерений: J. J. Sylvester, “Inaugural Presidential Address to the Mathematical and Physical Section of the British Association,” reprinted in The Laws of Verse: Or Principles of Versification Exemplified in Metrical Translations (London: Longmans, Green, 1870), 113.
536
Красноречивый математик: J. J. Sylvester, “Address on Commemoration Day at Johns Hopkins University”, Feb. 22, 1877. Collected in The Collected Mathematical Papers of James Joseph Sylvester: Volume III (Cambridge: Cambridge University Press, 1909), 72–73.
537
Дэниэл Браун в своей чрезвычайно интересной книге «Поэзия викторианских ученых» утверждает, что это стихотворение можно прочитать как описание исключения Сильвестра из университетской системы из-за его веры, то есть «недостающий член» – это сам Сильвестр. Несмотря на свое умение находить религиозный символизм в работе ученых прошлых лет, этот Браун не имеет отношения к Дэну Брауну, написавшему «Код да Винчи».
538
Я рано изучил Евклида: J. J. Sylvester, “Mathematics and Physics,” Report of the Meeting of the British Association for the Advancement of Science (London: J. Murray, 1870), 8.
539
Америка и Германия, несмотря на географию: Sylvester, “Address on Commemoration Day,” 81.
540
Английский математик сэр Генри Савиль в 1619 году учредил две профессорские ставки – по геометрии и по астрономии. Должности савильского профессора геометрии и савильского профессора астрономии существуют до сих пор. Прим. пер.
541
Недавно я посетил Пуанкаре: James Joseph Sylvester, The Collected Mathematical Papers of James Joseph Sylvester, vol. 4 (Chelsea Publishing, 1973), 280.
542
На обеде присутствовал: слова Пуанкаре 30 ноября 1901 года, обед в Королевском обществе и присутствие там Росса – из The Times, Dec. 2, 1901, p. 13; ссылку я получил из статьи G. Cantor, “Creating the Royal Society’s Sylvester Medal,” British Journal for the History of Science 37, no. 1 (Mar. 2004): 75–92. «Таймс» упоминает только присутствовавшего «майора Росса», однако в том году Рональд Росс был избран в члены Королевского общества, позднее стал его вице-президентом и в других документах того времени упоминается как «майор Росс». Поэтому я практически уверен, что это наш человек-комар.
543
Он был так хорош: все биографические сведения о Джордане и трюке с чтением мыслей взяты из работы Persi Diaconis and Ron Graham, Magical Mathematics (Princeton: Princeton University Press, 2015), 190–91.
544
Процедура, помогающая быстро выявить победителя в ничейной ситуации. Прим. ред.
545
И главного популяризатора математики в XX веке. Например, игра Конвея «Жизнь» стала всемирно известной после того, как появилась в колонке Гарднера в Scientific American. Набоков упомянул его в романе «Ада», церковь сайентологии объявила его «подавляющей личностью», а за обедом с Сальвадором Дали он беседовал о тессерактах (четырехмерных кубах). Гарднер жил на улице под названием Евклид-авеню, а один его короткий рассказ о топологии опубликовали в журнале Esquire. Забавный парень.
546
Это число обычно обозначается: Florian Cajori, “History of Symbols for N Factorial,” Isis 3, no. 3 (1921): 416.
547
Нет, не сфера, потому что сфера – это множество точек, находящихся на расстоянии ровно 1 от данной точки. Поверхность Земли – сфера (ну хорошо, самую малость сплющенный у полюсов сфероид), а вот сама Земля – это шар. Разница такая же, как между окружностью и кругом. [В обоих случаях нужно добавлять, что речь идет о единичном шаре или единичной сфере. Если взять не 1, а другое число, то множество точек все равно будут называться шаром и сферой, но его радиус будет другим. Прим. пер.]
548
Одно из первых объяснений: Oscar B. Sheynin, “H. Poincaré’s Work on Probability,” Archive for History of Exact Sciences 42, no. 2 (1991): 159–60.
549
Который (будучи той рукой, которая пишет вместо Рассела Кроу во всех сценах с доской в биографическом фильме о Джонни Нэше «Игры разума») имеет число Бейкона, равное 2 (через Эда Харриса), и число Эрдёша, равное 2 (через Диакониса, который опубликовал совместную с Эрдёшем статью о наибольшем общем делителе через восемь лет после смерти соавтора). Эта статья, в свою очередь, первое звено на пути длиной 4 между Эрдёшем и Даникой Маккеллар.
550
Семь тасований обеспечивают: ключевое слово для меры «перемешанности», которая здесь используется, – «расстояние по полной вариации от равномерного распределения».
551
Самопроизвольное завязывание узлов при встряхивании веревки: Dorian M. Raymer and Douglas E. Smith, “Spontaneous Knotting of an Agitated String,” Proceedings of the National Academy of Sciences 104, no. 42 (2007): 16432–37.
552
Физик, читающий эти строки, поймет, что это крайне упрощенное изложение того, как сегодня думают об энтропии. Лучше (хотя все равно сильно упрощенно) представлять энтропию не как меру состояния супа, а как меру нашей неуверенности в состоянии супа. С течением времени эта неопределенность увеличивается, и сказать, что неопределенность максимальна, – значит (очень грубо) сказать, что все состояния одинаково вероятны. Однако гораздо больше состояний молекул соответствуют теплому супу, чем супу с разделением по температуре. Поэтому суп, скорее всего, в итоге будет теплым.
553
Физический закон приобрел бы: Poincaré, The Value of Science, 110–11.
554
Если из всех четырех миллиардов способов: здесь я пересказываю недавнюю теорему из статьи Harald Helfgott, Akos Seress, and Andrzej Zuk, “Random generators of the symmetric group: diameter, mixing time and spectral gap,” Journal of Algebra 421 (2015): 349–368. Не совсем строго, но думаю, что идею я передал верно.
555
Кубик Рубика имеет: Clay Dillow, “God’s Number Revealed: 20 Moves Proven Enough to Solve Any Rubik’s Cube Position,” Popular Science, Aug. 10, 2010.
556
Так называемая теория шести рукопожатий, согласно которой любые два человека на Земле разделены не более чем пятью уровнями общих знакомых (и, соответственно, шестью уровнями связей). Прим. ред.
557
В эксперименте участвовали не только жители Омахи, но и жители города Уичито (Канзас). Участникам давали описания условий эксперимента и базовую информацию о контактном лице из Шарона (это пригород Бостона). Испытуемые должны были отправить письмо (точнее, открытку) либо самому этому лицу (если его знали), либо какому-либо из своих знакомых, который, на их взгляд, имел наибольшие шансы быть знакомым с ним. Из 296 писем до цели добрались 64, однако это вовсе не означает, что в оставшихся случаях исходный и конечный человек никак не связаны: главная проблема была в том, что многие люди в цепочке просто не отправляли письмо дальше. Прим. пер.
558
В 1970 году Милгрэм действительно провел: C. Korte and S. Milgram, “Acquaintance Networks Between Racial Groups: Application of the Small World Method,” Journal of Personality and Social Psychology 15, no. 2 (1970): 101–08.
559
Технически я нахожуcь всего в шести шагах от вас: A. Legaspi, “Kevin Bacon Advocates for Social Distancing with ‘Six Degrees’ Initiative,” Rolling Stone, Mar. 18. 2020; www.rollingstone.com/movies/movie-news/kevin-bacon-social-dstancing-six-degrees-initiative-969516.
560
♦ Здесь и далее: название социальной сети, принадлежащей Meta Platforms Inc., признанной экстремистской организацией на территории РФ.
561
Facebook♦ – это граф маленького мира: информация о графе Facebook♦ взята из статей: Lars Backstrom et al., “Four Degrees of Separation,” Proceedings of the 4th Annual ACM Web Science Conference (June 22–24, 2012): 33–42, и Johan Ugander et al., “The Anatomy of the Facebook♦ Social Graph” (preprint, 2011), https://arxiv.org/abs/1111.4503.
562
И становится все теснее: описано в исследовательском блоге Facebook♦, research.fb.com/blog/2016/02/three-and-a-half-degrees-of-separation.
563
Крупномасштабный анализ: Ugander et al., “The Anatomy of the Facebook♦ Social Graph”. Так называемый парадокс дружбы был впервые описан в работе Scott L. Feld, “Why Your Friends Have More Friends Than You Do,” American Journal of Sociology 96, no. 6 (1991): 1464–77.
564
Дункан Уоттс и Стивен Строгац: Duncan J. Watts and Steven H. Strogatz, “Collective Dynamics of ‘Small-World’ Networks,” Nature 393, no. 6684 (1998): 440–42.
565
Стэнли Милгрэм считается отцом теории: в работе Judith S. Kleinfeld, “The Small World Problem,” Society 39, no. 2 (2002): 61–66, включающей обширные изыскания по архивам Милгрэма, есть информативное описание разницы между научными результатами Милгрэма и тем, как он представлял их в прессе.
566
Задумался о малом размере сетевого мира: историей исследования сетей типа маленького мира я обязан книгам Duncan Watts, Small Worlds: The Dynamics of Networks Between Order and Randomness (Princeton: Princeton University Press, 2003) и Albert-László Barabási, Mark Newman, and Duncan Watts, The Structure and Dynamics of Networks (Princeton: Princeton University Press, 2006).
567
Следует учитывать, что граф Эрдёша – Реньи, рассмотренный выше, и граф маленького мира строятся по-разному и имеют разные свойства. Распределение степеней вершин у первого – пуассоновское, а у второго – степенное. Длина среднего пути в первом пропорциональна log N (N – количество вершин), а во втором log log N, то есть гораздо короче, что и обсуждается в тексте. Прим. науч. ред.
568
Изучали «цепные взаимоотношения»: Jacob L. Moreno and Helen H. Jennings, “Statistics of Social Configurations,” Sociometry 1, no. 3/4 (1938): 342–74.
569
Эрдёш, Реньи и отец Милгрэма были венграми, и теория графов и по сей день считается венгерской темой; делайте с этим фактом, что хотите.
570
«Звенья цепи» (Láncszemek): использованный перевод принадлежит Адаму Маккаи и появился в работе Barabási, Newman, and Watts, The Structure and Dynamics of Networks, 21–26.
571
Мэдисон – столица штата Висконсин, местонахождение правительства штата. Прим. пер.
572
Очень внимательный читатель заметит, что на этой диаграмме не 99 точек, а только 61. [В Висконсине 99 избирательных округов. Прим. пер.] Причина в том, что мы рассматриваем только тот 61 округ, где своих кандидатов выставили обе партии.
573
Только два округа: округа 49 и 51. Я благодарю Джона Джонсона из Университета Маркетта за данные, лежащие в основе вышеуказанного, и за этот график.
574
Если убрать из формулы выборов Мэдисон и Милуоки: Molly Beck, “A Blue Wave Hit Statewide Races, but Did Wisconsin GOP Gerrymandering Limit Dem Legislative Inroads?”, Milwaukee Journal Sentinel, Nov. 8, 2018.
575
Как гласит старая еврейская поговорка, «если бы моя бабушка имела колеса, она была бы повозкой».
576
Этот проект – часть национальных усилий: как указано в книге Дэйва Дэйли Ratf**ked (New York: Liveright, 2016), или, если вы предпочитаете первоисточник, Karl Rove, “The GOP Targets State Legislatures: He Who Controls Redistricting Can Control Congress,” Wall Street Journal, Mar. 4, 2010.
577
Или почти в соответствии: Саманта Керкман (округ Рэндолл) – единственная из республиканцев, проголосовавшая против.
578
Однако эта гонка сделала: биографические сведения о Джо Хендрике и его цитаты взяты из книги R. Keith Gaddie, Born to Run: Origins of the Political Career (Lanham, MD: Rowman & Littlefield, 2003), 43–55.
579
Ее назвали «Агрессивный Джо»: информация о карте взята из решения по делу Уитфорд против Гилла (Whitford v. Gill) от 21 ноября 2016 года, страницы 14–15; www.scotusblog.com/wp-content/uploads/2017/04/16-1161-op-bel-dist-ct-wisc.pdf. Строго говоря, «Агрессивный Джо» была одной из нескольких весьма похожих карт; все они, в свою очередь, были очень похожи (если не полностью идентичны) на карту, введенную Актом 43; смотрите сноски 56 и 57 в решении по делу Уитфорд против Гилла.
580
Имеется в виду 54,5 % от суммы голосов демократов и республиканцев. Для простоты я отброшу голоса за мелкие партии (извините, либертарианцы) и буду считать доли для двух партий.
581
Получал большинство округов в целом: в штате Висконсин информация по результатам выборов на отдельных избирательных участках является открытой; так что если вы видите какое-то число без ссылки на источник, то это означает, что я или мой трудолюбивый сын (помощник по работе с данными) залезли в таблицы и получили эти данные самостоятельно.
582
Неустранимые изъяны: Baumgart v. Wendelberger, case nos. 01-C-0121, 02-C-0366 (E.D. Wis., May 30, 2002), 6.
583
Не все. Я убрал поражение на выборах в сенат 2006 года и довольно странные губернаторские выборы 2002 года, когда младший брат бывшего республиканского губернатора баллотировался от либертарианской партии и получил 10 % голосов.
584
Карты, которые мы принимаем: Matthew DeFour, “Democrats’ Short-Lived 2012 Recall Victory Led to Key Evidence in Partisan Gerrymandering Case,” Wisconsin State Journal, July 23, 2017.
585
В Новой Зеландии: материал по системам разбиения на округа в разных странах, а также частично другие материалы этой главы взяты из статьи J. Ellenberg, “Gerrymandering, Inference, Complexity, and Democracy,” Bulletin of the American Mathematical Society 58, no. 1 (2021), 57–77.
586
В сенате Гонконга 70 мест. При этом 35 человек избираются по географическим округам, а 35 человек – от отдельных групп. Кроме упомянутой отрасли образования, за свое место голосуют строители, юристы, медики, финансисты и так далее. Прим. пер.
587
Городок Данвич: C. Lynch, “The Lost East Anglian City of Dunwich Is a Reminder of the Destruction Climate Change Can Wreak,” New Statesman, Oct. 2, 2019.
588
Граф Грей (Earl Gray) – титул в Соединенном Королевстве. Одновременно Earl Gray («Эрл Грей») – популярный сорт черного чая с бергамотом, названный как раз в честь 2-го графа Грея. Прим. пер.
589
Представителей больше: E. Burke, “Speech on the Plan for Economical Reform,” February 11, 1780. Reprinted in Selected Prose of Edmund Burke, ed. Sir Philip Magnus (London: The Falcon Press, 1948), 4–44.
590
Правительство является республиканским: “Proposals to Revise the Virginia Constitution: I. Thomas Jefferson to ‘Henry Tompkinson’ (Samuel Kercheval), 12 July 1816,” Founders Online, National Archives; https://founders.archives.gov/documents/Jefferson/03-10-02-0128-0002.
591
Даже в XX веке: I. L. Smith, “Some Suggested Changes in the Constitution of Maryland,” July 4, 1907, опубликовано в: Report of the Twelfth Annual Meeting of the Maryland State Bar Association (1907), 175.
592
Кто-нибудь объяснит: Smith, “Some Suggested Changes,” 181.
593
В данном случае округ (county) – это не избирательный округ (district), а стандартная административно-территориальная единица США: каждый штат делится на округа. Чтобы различать понятия, далее в разделе и в этой главе в целом, если может произойти смешение, используются термины «избирательный округ» и «административный округ». Прим. пер.
594
Более крупные и густонаселенные округа: прения по делу Рейнольдс против Симса. Я не знаю, доступны ли стенограммы прений; я взял эту цитату из записи, и, чтобы ощутить весь эффект, вам нужно послушать все выступление со всем южным возмущением. Его можно найти по адресу: https://www.oyez.org/cases/1963/23.
595
Строго говоря, Гамильтон говорит здесь о Статьях Конфедерации, а не о распределении мест в сенате в только что разработанной конституции. [Статьи Конфедерации – первый конституционный документ США, принятый в 1777 году; был заменен конституцией только в 1787 году. Прим. пер.] Однако он высказывался аналогично и о ней: «В наших ли интересах менять это общее управление, жертвуя правами отдельных людей ради сохранения прав искусственных сущностей, именуемых штатами?»
596
То есть 18 % населения в 50 штатах. Процент окажется еще ниже, если вы учтете американцев, которые проживают в Вашингтоне, округ Колумбия, Пуэрто-Рико и других территориальных владениях США, которые вообще не имеют представительства в сенате.
597
Северяне и южане долгое время спорили, как считать население при определении числа мест в палате представителей. Южане считали, что положено учитывать всех, включая рабов, а северяне настаивали, что учитывать нужно только свободных. В итоге стороны пришли к компромиссу; население южных штатов определялось так: число свободных граждан плюс три пятых от числа рабов. Прим. пер.
598
Филадельфийский конвент, обсуждавший эти вопросы, проходил с 25 мая по 17 сентября. Прим. пер.
599
Пуэрто-Рико, Северные Марианские острова и Гуам имеют статус неинкорпорированных организованных территорий США. Прим. пер.
600
Гуамцы с активной гражданской позицией: A. Balsamo-Gallina and A. Hall, “Guam’s Voters Tend to Predict the Presidency – but They Have No Say in the Electoral College,” Public Radio International, The World, Nov. 8, 2016; https://www.pri.org/stories/2016-11-08/presidential-votes-are-guam-they-wont-count.
601
Крайола (Crayola) – бренд товаров для рисования (мелки, краски, маркеры, фломастеры). Автор выбрал такое название для вымышленного штата, поскольку будет пользоваться «цветовыми» названиями. Прим. пер.
602
Буквально Цветоград – от греч. χρῶμα (хрома) «краска, цвет» и πόλις (полис) «город». Прим. пер.
603
Что в Висконсине и многих других штатах: мнение Роберта Уоррена, генерального прокурора Висконсина, 58 OAG 88 (1969).
604
«Милуоки Брюэрс» (Milwaukee Brewers) – бейсбольный клуб из Милуоки. Прим. пер.
605
Пересекают границу между административными округами: информация о создании этих участков и их жульнических свойств взята из работы Malia Jones, “Packing, Cracking and the Art of Gerrymandering Around Milwaukee,” WisContext, June 8, 2018; www.wiscontext.org/packing-cracking-and-art-gerrymandering-around-milwaukee.
606
Разве я не говорил, что конституция Висконсина запрещает нарушать границы округов? Да, но до сих пор судебные обжалования этой карты проходили через федеральные суды, которые не рассматривают потенциальные нарушения конституции штата.
607
Еще один факт в подтверждение: в ноябре 2020 года демократам удалось победить еще в одном избирательном округе – 13-м. Президентское голосование в штате было почти равным, как и гонка между Уокером и Иверсом, а республиканцы при этом сохранили большинство в ассамблее 61–39.
608
Было время, когда Висконсин славился: Baldus v. Members of the Wis. Gov’t Accountability Bd., 843 F. Supp. 2d 955 (E.D. Wis. 2012).
609
Федералистская партия США официально существовала с 1792 до 1820-х годов. Прим. пер.
610
Которую он защитил в 1907 году: E. C. Griffith, The Rise and Development of the Gerrymander (Chicago: Scott, Foresman, 1907).
611
Эта практика восходит: Griffith, The Rise and Development of the Gerrymander, 26–27.
612
Мэдисон все же победил: о Генри, который, возможно, мошенничал, рассказывается в Griffith, The Rise and Development of the Gerrymander, 31–42, а в более современных терминах – в T. R. Hunter, “The First Gerrymander? Patrick Henry, James Madison, James Monroe, and Virginia’s 1788 Congressional Districting,” Early American Studies 9, no. 3 (Fall 2011): 781–820.
613
Который получил большинство в Коллегии выборщиков в 1888 году, проиграв всенародное голосование, хотя можете не соглашаться, настаивать не стану.
614
Устанавливается правление меньшинства: United States Department of State, Papers Relating to the Foreign Relations of the United States (Washington, DC: Government Printing Office, 1872), xxvii.
615
Доля «колеблющихся избирателей»: C. D. Smidt, “Polarization and the Decline of the American Floating Voter,” American Journal of Political Science 61, no. 2 (April 2017): 365–81.
616
Сравните с тем, что говорил Элмер Каммингс Гриффт о столь же поляризованной эпохе: «К 1840 году две великие партии занялись стабильной и постоянной борьбой за политическое первенство. При общей политической стабильности результаты выборов можно предсказывать с большими шансами на успех. Когда ситуация с партиями устоялась, переходы избирателей от одной партии к другой составляют небольшую долю. Поэтому результаты выборов можно с уверенностью предсказывать в определенных пределах».
617
«Узнаю, когда вижу» (I know it when I see it) – крылатое американское выражение, означающее умение определить какое-то явление без точного определения. Судья Поттер Стюарт использовал эту фразу в 1964 году в отношении порнографии. Прим. пер.
618
В современной России аналогичный интерес представляет так называемая лепестковая нарезка на выборах Государственной думы 2015 года в Новосибирской области, при которой каждый район города присоединен к нескольким сельским районам. Примечательны также округа на местных выборах в Балтийске в том же году, большая часть которых состоит из двух участков в двух разных городах, Балтийске и Приморске, соединенных длиной и очень узкой полосой, идущей вдоль косы Балтийского моря. Прим. науч. ред.
619
Великая старая партия (Grand Old Party, GOP) – неофициальное название Республиканской партии. Прим. пер.
620
Шея Гуфи – просто автостоянка: T. Gabriel, “In a Comically Drawn Pennsylvania District, the Voters Are Not Amused,” New York Times, Jan. 26, 2018.
621
В частности, инвариантом является подобие, которое мы обсуждали в главе 3.
622
Его строгое доказательство: подробный обзор этой истории можно найти в работе V. Blasjo, “The Isoperimetric Problem,” American Mathematical Monthly 112, no. 6 (June-July 2005): 526–566.
623
На самом деле сфера получится только приближенно: после заполнения углублений получатся кусочки плоскостей. Прим. пер.
624
Такие нечестные округа: я не вычислял никаких оценок компактности для висконсинских карт Акта 43, однако оспаривание округов по Акту 43 в суде основано не на компактности, так что я вполне безопасно полагаю, что с ними все в порядке. Во всяком случае, они хорошо выглядят.
625
В судебном деле Шоу против Рено, касавшемся расового джерримендеринга. Проведение границ округов с целью гарантировать (или воспрепятствовать) представительство какого-либо меньшинства – это отдельная большая тема в практике создания избирательных округов, и в нашей главе нет для этого места.
626
Американскому журналисту Генри Менкену принадлежит афоризм: «У каждой человеческой проблемы всегда есть хорошо известное решение – ясное, обоснованное и неправильное» (There is always a well-known solution to every human problem – neat, plausible, and wrong). Часто его приводят в форме: «Каждая сложная проблема имеет решение, которое просто, обоснованно и неверно». Прим. пер.
627
Похоже, извлекла пользу из джерримендеринга: P. Bump, “The Several Layers of Republican Power-Grabbing in Wisconsin,” Washington Post, Dec. 4, 2018.
628
Честно говоря, после выборов 2008 года в каждом штате на один срок был один представитель партии меньшинства.
629
Никогда ни один человек от этой партии: впрочем, Джастин Амаш из Мичигана, избранный как республиканец, вышел из этой партии и на срок исполнения обязанностей зарегистрировался как либертарианец, а затем отказался баллотироваться на второй срок.
630
Даже первый премьер-министр Канады: Anthony J. Gaughan, “To End Gerrymandering: The Canadian Model for Reforming the Congressional Redistricting Process in the United States,” Capital University Law Review 41, no. 4 (2013): 1050.
631
И поэтому давайте: R. MacGregor Dawson, “The Gerrymander of 1882,” Canadian Journal of Economics and Political Science/Revue Canadienne D’Economique et De Science Politique 1, no. 2 (1935): 197.
632
Они говорят, что: “The Full Transcript of ALEC’s ‘How to Survive Redistricting’ Meeting,” Slate, Oct. 2, 2019; https://slate.com/news-and-politics/2019/10/full-transcript-alec-gerrymandering-summit.html.
633
У двух партий? А если… да, знаю-знаю. Количественные исследования джерримендеринга в случае, когда партий больше двух, – это практически неизученная область, и я предлагаю вам поразмышлять над этим вопросом!
634
Как в нашем примере с Крайолой: а если явка по избирательным округам будет не одинаковой? Связи между разрывом эффективности и общим голосованием в такой более общей ситуации изучаются в работе Ellen Veomett, “Efficiency Gap, Voter Turnout, and the Efficiency Principle,” Election Law Journal: Rules, Politics, and Policy 17, no. 4 (2018): 249–263.
635
Указал в консультативном заключении: Brief for the State of Wisconsin as Amicus Curiae, Benisek v. Lamone, 585 U.S. (2018).
636
Еще один факт в подтверждение: в ноябре 2020 года, когда Шахтнер впервые попробовала пойти на обычные выборы, она проиграла с разницей в 19 пунктов.
637
Юридические баталии по поводу джерримендеринга: часть материалов по делу Ручо против Common Cause взята из работы J. Ellenberg, “The Supreme Court’s Math Problem,” Slate, March 29, 2019; https://slate.com/news-and-politics/2019/03/scotus-gerrymandering-case-mathematicians-brief-elena-kagan.html.
638
Автор ошибается. Вместо ушедшего на пенсию в 2018 году Энтони Кеннеди в состав суда вошел Бретт Кавано. Нил Горсач появился в составе Верховного суда еще в 2017 году вместо Антонина Грегори Скалиа. Прим. пер.
639
А сейчас позвольте мне: O. Wiggins, “Battles Continue in Annapolis over the Use of Bail and Redistricting,” Washington Post, March 21, 2017.
640
Запретил в Мэриленде избирательные округа неравного размера: в деле Maryland Committee for Fair Representation v. Tawes, 377 U.S. 656 (1964).
641
«Федералист» («Записки федералиста») – сборник из 85 статей и эссе Александра Гамильтона, Джеймса Мэдисона и Джона Джея, которые под общим псевдонимом Публий написали их в 1787–1788 годах. Упомянутое ранее эссе Гамильтона «Федералист № 22» входит в этот сборник. Прим. пер.
642
Строго говоря, «Консультативное заключение математиков, профессоров права и студентов-юристов», но большинство из нас были математиками.
643
Математики подобны энтам – разумным деревьям: J. R. R. Tolkien, The Two Towers (London: George Allen & Unwin, 1954), book 3, ch. 4.
644
За исключением Невады – единственного штата, в котором не требуется связности; подумайте об этом, позже нам это понадобится.
645
Рядом с колоссальным количеством способов: указанное число 706 152 947 468 301 получил Боб Харрис в своем препринте 2010 года “Counting Nonomino Tilings and Other Things of That Ilk”.
646
Не существует ни точной формулы, ни даже приличного приближения для этого числа. Число способов разделить 81 клетку в квадрате 9 × 9 на девять связных областей одинакового размера (если хотите, это число возможных обобщенных вариантов судоку) равно уже 706 152 947 468 301. Висконсин же имеет 6672 участка, которые нужно разделить на 99 областей.
647
Конкретно этим компьютером управляли: Gregory Herschlag, Robert Ravier, and Jonathan C. Mattingly, “Evaluating Partisan Gerrymandering in Wisconsin” (preprint, 2017), arXiv:1709.01596.
648
Здесь есть определенные проблемы, например: что делать с людьми, которые живут в округах, где выборы в реальной жизни были безальтернативными? Вам нужно оптимальным образом предположить, как голосовали бы избиратели при наличии кандидатов от обеих партий; это можно сделать с помощью экстраполяции данных, как голосовал этот округ на пост президента, губернатора или в палату представителей, когда было два кандидата.
649
Значение, которое случайная величина принимает чаще всего (место, где гистограмма дает пик), обычно называют модой – еще один термин, предложенный Карлом Пирсоном.
650
Шесть лет спустя: анализ в работе Herschlag et al., “Evaluating Partisan Gerrymandering in Wisconsin,” выполнен только до выборов 2016 года включительно, однако Грег Хершлаг был настолько любезен, что провел для меня аналогичные испытания для губернаторских выборов 2018 года.
651
Получив почти 52 % голосов: точнее, 52 % – это доля в общем голосовании, которую республиканцы (по оценке Хершлага и его коллег) получили бы, если бы выставляли кандидата во всех округах на выборах в ассамблею штата.
652
На выборах 2014 года: Herschlag et al., “Evaluating Partisan Gerrymandering in Wisconsin,” data summarized in figure 3, p. 3.
653
Как избиратель Висконсина: материал на этой странице взят из работы J. Ellenberg, “How Computers Turned Gerrymandering into a Science,” New York Times, Oct. 6, 2017.
654
Если вам очень интересно знать, то это своеобразная геометрия всех двумерных геометрий, названная в честь одного из самых ярых нацистов в математике первой половины XX века Освальда Тейхмюллера, хотя никак нельзя сказать, что он ее полностью разработал.
655
Под названием ReCom-геометрия: Daryl DeFord, Moon Duchin, and Justin Solomon, “Recombination: A Family of Markov Chains for Redistricting” (preprint, 2019); https://arxiv.org/abs/1911.05725.
656
«Балтимор Рэйвенс» (Baltimore Ravens) – клуб Национальной футбольной лиги (американский футбол). Прим. пер.
657
Одна из его первых работ: John C. Urschel, “Nodal Decompositions of Graphs,” Linear Algebra and Its Applications 539 (2018): 60–71. Я брал интервью у Джона и писал о его крайне интересном и одновременно странно типичном пути в математику в онлайн-журнале Hmm Daily (“John Urschel Goes Pro,” Sep. 28, 2018); https://hmmdaily.com/2018/09/28/john-urschel-goes-pro.
658
Если слегка не так грубо, то «количество отверстий четной размерности минус количество отверстий нечетной размерности». Если вам интересно узнать, как дела обстоят на самом деле, посмотрите книгу Дэйва Ричесона Euler’s Gem. [Переведена на русский язык: Ричесон Д. Жемчужина Эйлера. М.: ДМК Пресс, 2021. Прим. пер.]
659
Белые линии на рисунке: взято с веб-страницы Расса Лайонса по адресу: pages.iu.edu/~rdlyons/maze/maze-bostock.html; Расс создал его с помощью реализации алгоритма Уилсона, выполненной Майком Бостоком.
660
Теорема Манны, Дхара и Мажумдара 1992 года: Subhrangshu S. Manna, Deepak Dhar, and Satya N. Majumdar, “Spanning Trees in Two Dimensions,” Physical Review A 46, no. 8 (1992): R4471–R4474.
661
Доказала в 2017 году: Melanie Matchett Wood, “The Distribution of Sandpile Groups of Random Graphs,” Journal of the American Mathematical Society 30, no. 4 (2017): 915–58.
662
В смысле Эрдёша и Реньи, глава 13.
663
Когда последовательность остовных деревьев: Alexander E. Holroyd et al., “Chip-Firing and Rotor-Routing on Directed Graphs,” In and Out of Equilibrium 2, ed. Vladas Sidoravicius and Maria Eulália Vares (Basel, Switzerland: Birkhäuser, 2008), 331–64.
664
Если вы хотите знать больше, а не меньше, обратитесь к книге «Политическая геометрия» под редакцией Дачина, Ари Ниеха и Оливии Уолч.
665
Но если вы хотите получать каждое остовное дерево с равной вероятностью, нужно обдуманно выбирать удаляемое ребро; можно следовать примеру Дефорда, Дачина и Соломона и использовать «алгоритм Уилсона», который также немного быстрее.
666
Создать как можно больше: заявление Хофеллера цитируется в решении судьи Джеймса Уинна по делу Ручо против Common Cause, 318 F. Supp. 3d 777, 799 (M.D.N.C., 2018), 803.
667
Истцы просили суд: Brief for Common Cause Appellees, Rucho v. Common Cause.
668
Девять демократов и ноль республиканцев: M. Duchin et al., “Locating the Representational Baseline: Republicans in Massachusetts,” Election Law Journal: Rules, Politics, and Policy 18, no. 4 (2019): 388–401.
669
Насколько я могу судить по словам моих друзей-юристов, «выражаются в» здесь означает нечто среднее между «проистекают из» и «представляют собой». И люди еще говорят, что это математики говорят на непонятном жаргоне!
670
Приглашаю читателя обратить внимание на сходство этой идеи с доказательством по индукции, появлявшимся при разговоре об игре «Ним».
671
Палата представителей приняла закон: H.R. 1, 116th Congress, “For the People Act of 2019,” особенно раздел II, подраздел E.
672
Над которыми конгресс власти не имеет: по крайней мере, по традиционному мнению; но Питер Каллис, “The Boerne-Rucho Conundrum: Nonjusticiability, Section 5, and Partisan Gerrymandering,” 15 Harvard Law and Policy Review (готовится к печати), утверждает, что решение по делу Ручо можно истолковать так, что оно предоставляет конгрессу полномочия контролировать разделение штатов на избирательные округа.
673
Во всяком случае, так принято считать, однако в последнее время некоторые юристы утверждают, что конгресс может регулировать работу законодательных собраний штатов в силу Четырнадцатой поправки.
674
55 из 72 административных округов: “11 More Wisconsin Counties Should Vote ‘Yes’ to End Gerrymandering,” Wisconsin State Journal, Sep. 12, 2020.
675
Впрочем, когда я однажды заметил одному висконсинскому судье в отставке, что не понимаю, каким образом текста конституции Висконсина было достаточно для какой-то юридической претензии, он посмотрел на меня усталым взглядом и сказал: «Я вижу, что вы не юрист, работающий в суде».
676
Удостоверяющая, что платные агитаторы: M. R. Wickline, “3 Ballot Petitions in State Ruled Insufficient,” Arkansas Democrat-Gazette, July 15, 2020. О количестве собранных подписей: J. Lynch, “Backers of Change in Arkansas’ Vote Districting Sue in U.S. Court,” Arkansas Democrat-Gazette, Sep. 3, 2020. На ноябрьском голосовании в Арканзасе этот вопрос не появился.
677
Разбивая регулярные парки, идеальные линии которых: цитата Бейкера и эта интерпретация французских регулярных парков – из книги Амира Александера Proof! How the World Became Geometrical (New York: Scientific American/Farrar, Straus and Giroux, 2019). Стоит отметить: в то время как Бейкер считает строгие геометрические конструкции проявлением британской колониальной власти, ранее англичанин Энтони Троллоп считал прямолинейную планировку американских городов совершенно не британской, упоминая «параллелограммную болезнь» Филадельфии и Верхнего Манхэттена.
678
Издана на русском языке: Эбботт Э. Флатландия. Бюргер Д. Сферландия. СПб.: Амфора, 2015. Прим. ред.
679
Возможно, это был математический каламбур: полное имя писателя – Эдвин Эбботт Эбботт (Edwin Abbott Abbott), и инициалы EAA можно воспринять алгебраически как «E A в квадрате».
680
Это очень загадочная: New York Times, Feb. 23, 1885.
681
Он входил в совет организации: Edwin Abbott Abbott, W. Lindgren, and T. Banchoff, Flatland: An Edition with Notes and Commentary (Cambridge: Cambridge University Press, 2010), 262.
682
В XVII веке в Италии: об этой истории смотрите первую часть книги Amir Alexander, Infinitesimal (New York: Scientific American/Farrar, Straus and Giroux, 2014).
683
Первым чернокожим химиком-исследователем: “Comprehensive Biography of Rita Dove,” University of Virginia, people.virginia.edu/~rfd4b/compbio.html.
684
Мы с братом: “A Chorus of Voices: An Interview with Rita Dove,” Agni 54 (2001), 175.
685
Двусторонние карточки с различными заданиями, часто выполняемыми на скорость. Иногда называются флеш-картами. Прим. пер.
686
Тюльпанное дерево (лириодендрон) – дерево семейства магнолиевых. Прим. пер.
687
Вы также осознаете, что вас любят: “A Chorus of Voices,” 175.
688
Не думаю, что Дав завуалированно намекает на расширение палаты представителей, чтобы обеспечить более равное представительство в коллегии выборщиков, однако поэтическая строка содержит много перекрывающихся смыслов, так что, если вы хотите, чтобы здесь подразумевалось это, давайте скажем, что так и есть. [В стихотворении использовано слово house, палата представителей – House of Representatives. Прим. пер.]
689
Только что сказанного мною достаточно: Henri Poincaré, “The Future of Mathematics” (1908), trans. F. Maitland, appearing in Science and Method (Mineola, NY: Dover Publications, 2003), 32.
690
Подождите, но разве Эйнштейн не показал, что наше пространство тоже такое? В некотором роде да, однако в теории относительности мы имеем дело с геометрией, где инвариантами являются углы, в то время как вопрос Пуанкаре относится к более свободному виду геометрии, который мы называем топологией (потому что именно так она и называется), где окружность, квадрат и треугольник – одно и то же.
691
На самом деле это сюжет продолжения «Флатландии», написанный в 1950-х годах нидерландским учителем Дионисом Бюргером; его книга называется «Сферландия». Общество оказывается потрясено открытием, что у очень больших треугольников сумма углов превышает 180 градусов.
692
Сам Перельман в этом не участвовал: Luke Harding, “Grigory Perelman, the Maths Genius Who Said No to $1m,” Guardian, Mar. 23, 2010.
693
Мы не пытаемся: William P. Thurston, “On Proof and Progress in Mathematics,” Bulletin of the American Mathematical Society 30, no. 2 (1994): 161–77.
694
Вообще-то мне неинтересно: William Grimes, “David Blackwell, Scholar of Probability, Dies at 91,” New York Times, July 17, 2010.
695
Я все еще помню понятие: Donald J. Albers and Gerald L. Alexanderson, Mathematical People: Profiles and Interviews (Boca Raton, FL: CRC Press, 2008), 15.
696
В Талмуде есть знаменитая история: Bava Metzia 59a-b. Комментарии к этой истории и ее связь с современным юридическим мышлением смотрите в работе D. Luban, “The Coiled Serpent of Argument: Reason, Authority, and Law in a Talmudic Tale” Chicago-Kent Law Review 79, no. 3 (2004); https://scholarship.kentlaw.iit.edu/cklawreview/vol79/iss3/33. Момент, где стены при доказательстве накреняются, эхом отражен в стихотворении Дав «Геометрия» – совпадение?
697
Если быть точным, когда стены накренились, Йеошуа рявкнул на них: «Когда мудрые люди ведут спор, какое у вас право вмешиваться?» И стены из уважения к рабби Йеошуа прекратили наклоняться, но из уважения к рабби Элиэзеру не стали и выпрямляться, оставшись наклонными. Прим. пер.
698
Он безжалостно анализировал: William Henry Herndon and Jesse William Weik, Herndon’s Lincoln, ed. Douglas L. Wilson and Rodney O. Davis (Champaign, IL: University of Illinois Press, 2006), 354.
699
Элиэзер мне также нравится: Визель цитируется по работе “Wiesel: ‘Art of Listening’ Means Understanding Others’ Views,” Daily Free Press, Nov. 15, 2011; https://dailyfreepress.com/2011/11/15/wiesel-art-of-listening-means-understanding-others-views.
700
В те критические годы: из книги A. Grothendieck, Recollte et Semailles, trans. Roy Lisker, доступно в Ferment Magazine по адресу: https://www.fermentmagazine.org/rands/promenade2.html.