Теория струн — физика XXI в., случайно попавшая в XX в.
Эдвард Виттен из Института перспективных исследований в Принстоне, Нью-Джерси, лидирует в сфере теоретической физики. В настоящее время Виттен — «вожак стаи», блистательный специалист в области физики высоких энергий, задающий тон в научных сообществах подобно тому, как Пикассо задавал тон в мире искусства. Сотни физиков благоговейно изучают его труды, надеясь заметить проблеск новаторской идеи, прокладывающей им дорогу. Его коллега по Принстону Сэмюэл Трейман говорит: «Он возвышается над остальными более чем на голову. Не одна группа людей уже двинулась вслед за ним по совершенно новому пути. Он предлагает искусные доказательства, от которых у слушателей захватывает дух». И Трейман заключает: «Не стоит разбрасываться сравнениями с Эйнштейном, но когда речь идёт о Виттене…»{58}
Виттен вырос в семье физиков. Его отец Луис Виттен — профессор физики в Университете Цинциннати, ведущий специалист по общей теории относительности Эйнштейна. (Вообще-то, его отец временами заявляет, что его величайшим вкладом в физику стало рождение сына.) Его жена Кьяра Наппи занимается теоретической физикой.
Виттен не похож на других физиков. У большинства учёных роман с физикой начинается сравнительно рано (в среднем и даже в младшем школьном возрасте). Виттен поначалу специализировался на истории в Университете Брандейса и проявлял нескрываемый интерес к лингвистике. Окончив учёбу в 1971 г., во время президентской предвыборной кампании он работал в команде Джорджа Макговерна, который даже написал ему рекомендацию в аспирантуру. Виттен публиковал статьи в журналах The Nation и New Republic. (Журнал Scientific American прокомментировал интервью с Виттеном: «Да, бесспорно, самый умный человек в мире — либеральный демократ»{59}.)
Как только Виттен избрал своей профессией физику, он рьяно взялся за её изучение, закончил аспирантуру в Принстоне, преподавал в Гарварде, а в возрасте 28 лет получил должность профессора опять-таки в Принстоне. Кроме того, он удостоился престижной стипендии Макартура (в прессе её иногда называют «наградой для гениев»). Его работы оказали глубокое влияние на сферу математики. В 1990 г. Виттен был награждён Филдсовской медалью — в мире математики эта награда не менее престижна, чем Нобелевская премия.
Большую часть времени Виттен сидит и смотрит в окно, производя в уме сложные преобразования. Его жена пишет: «Все вычисления он делает только в уме. Мне требуется заполнить выкладками несколько страниц, чтобы разобраться в вопросе. А Эдвард садится за стол, только чтобы вычислить знак минуса или степень двойки»{60}. Виттен говорит: «Большинство людей, не сведущих в физике, вероятно, считают, что физики занимаются преимущественно сложными расчётами, но суть их работы на самом деле не в этом. А в том, что физика — это прежде всего концепции, желание понимать идеи, принципы устройства мира»{61}.
Очередной проект Виттена стал самым масштабным и дерзким в его карьере. Новая теория суперструн вызвала в мире физики сенсацию, претендуя на звание теории, способной объединить эйнштейновскую гравитацию с квантовой теорией. Однако Виттена не устраивает нынешняя формулировка теории суперструн. Он поставил перед собой задачу найти истоки теории суперструн, что, возможно, приблизит нас к объяснению момента сотворения. Ключевая особенность этой теории, фактор, придающей ей эффективность и уникальность, — необычная геометрия: струны способны самосогласованно колебаться только в 10 и 26 измерениях.
Что такое частица?
Суть теории струн в том, что она может объяснить природу и материи, и пространства-времени, т. е. природу и «дерева», и «мрамора». Теория струн даёт ответы на ряд головоломных вопросов о частицах: например, почему в природе их так много. Чем глубже мы проникаем в мир субатомных частиц, тем больше частиц находим. В нынешнем субатомном «зоопарке» насчитывается несколько сотен частиц, описание их свойств занимает целые тома. Даже Стандартная модель дала нам ошеломляющее количество «элементарных частиц». Теория струн отвечает на этот вопрос, так как струна, которая в 100 квинтиллионов раз меньше протона, совершает колебания, а каждый тип колебаний порождает определённый резонанс или частицу. Струна настолько мала, что резонанс струны и частица почти неразличимы. Только если каким-нибудь способом увеличить частицу, можно увидеть, что это вовсе не точка, а тип колебания струны.
В этой картине каждая субатомная частица соответствует определённому резонансу, возникающему при конкретной частоте. Понятие резонанса знакомо нам в повседневной жизни. Для примера вспомним пение под душем. Даже если от природы нам достался слабый, глуховатый, дрожащий голос, все мы знаем, как легко почувствовать себя звездой оперной сцены в уединённой обстановке душевой кабинки. Это происходит потому, что волны звуков, которые мы издаём, быстро наталкиваются на стены кабинки и отражаются от них. Колебания, без труда вписывающиеся в пространство между стенами, многократно усиливаются и дают резонирующие звуки. Определённые колебания вызывают резонанс, а остальные, волны которых имеют неподходящий размер, гасятся.
Или же представим себе скрипичную струну, способную вибрировать с разными частотами, издавая звуки, соответствующие нотам ля, си и до. Струна издаёт вибрации, которые гаснут по мере приближения к её концам (так как струна закреплена с обоих концов), и совершают целое число колебаний между ними. В принципе струна может вибрировать с любой частотой из бесконечного множества. Нам известно, что ноты сами по себе — не принципиальны. Нота ля не более существенна, чем нота си. Главное — это сама струна. Незачем изучать каждую ноту отдельно от остальных. Зная, как вибрирует струна скрипки, мы сразу понимаем свойства бесконечного множества музыкальных нот.
Так и частицы Вселенной сами по себе не фундаментальны. Электрон не более фундаментален, чем нейтрино. Они кажутся фундаментальными только потому, что нашим микроскопам недостаёт мощности для выявления структуры этих частиц. Согласно теории струн, если мы каким-то образом увеличим точечную частицу, то увидим маленькую вибрирующую струну. В сущности, эта теория гласит, что материя — не что иное, как гармонии, созданные колеблющейся струной. Поскольку количество гармоний, которые можно составить для скрипки, бесконечно, из вибрирующих струн образуется бесконечное множество форм материи. Этим объясняется обилие частиц в природе. Законы физики можно сравнить с законами гармонии применительно к струне. А саму вселенную, состоящую из бесчисленного множества колеблющихся струн, уподобить симфонии.
Теория струн может объяснить природу не только частиц, но и пространства-времени. Перемещаясь в пространстве-времени, струна совершает сложную последовательность движений. Струна может распасться на более мелкие струны или столкнуться с другими и образовать длинную струну. Ключевой момент в том, что все квантовые поправки или петлевые схемы конечны и поддаются вычислениям. Это первая квантовая теория гравитации в истории физики, дающая конечные квантовые поправки. (Как мы помним, все предшествующие теории, в том числе изначальная теория Эйнштейна, концепция Калуцы — Клейна и теория супергравитации, не удовлетворяли этому основному критерию.)
Для того чтобы осуществлять сложные перемещения, струна должна подчиняться целому ряду условий самосогласованности. Условия самосогласованности настолько жёстки, что налагают чрезвычайно строгие ограничения на пространство-время. Другими словами, струна не в состоянии самосогласованно перемещаться в любом произвольном пространстве-времени, подобно точечной частице.
Когда ограничения, которые струна налагает на пространство-время, были впервые определены, потрясённые физики увидели, как из уравнений струнной теории возникли уравнения Эйнштейна. Это было поразительно: физики обнаружили, как без каких-либо допущений, связанных с уравнениями Эйнштейна, эти же самые уравнения, как по волшебству, появляются из теории струн. Оказалось, что и уравнения Эйнштейна нельзя считать фундаментальными, если их можно вывести из теории струн.
Если теория струн верна, значит, она даёт ответ на давнюю загадку о природе «дерева» и «мрамора». Эйнштейн полагал, что когда-нибудь один только «мрамор» объяснит все свойства «дерева». Для Эйнштейна «дерево» оставалось всего лишь изъяном или вибрацией пространства-времени — не больше и не меньше. Однако специалисты в области квантовой физики придерживались прямо противоположного мнения. Они считали, что «мрамор» можно превратить в «дерево», т. е. метрический тензор Эйнштейна можно преобразовать в гравитон, дискретную порцию энергии, переносящей силу гравитации. Эти точки зрения диаметрально противоположны, долгое время компромисс между ними считался недостижимым. А оказалось, что струнная теория и есть то самое «недостающее звено» между «деревом» и «мрамором».
Теория струн может определять частицы материи как резонансные колебания струны. Кроме того, из теории струн можно вывести уравнения Эйнштейна при условии самосогласованного движения струны в пространстве-времени. Таким образом, мы располагаем всеобъемлющей теорией и материи-энергии, и пространства-времени.
Ограничения самосогласованности на удивление строги. К примеру, они запрещают струне перемещаться в трёх или четырёх измерениях. Далее мы убедимся, что условия самосогласованности вынуждают струну перемещаться в конкретном количестве измерений. По сути дела, единственные «магические числа», которые допускает теория струн, — 10 и 26 измерений. К счастью, теории струн, определённой для этих измерений, хватает для объединения всех основных взаимодействий.
Следовательно, теории струн достаточно для объяснения всех фундаментальных законов природы. Начав с простой теории вибрирующей струны, можно вывести теорию Эйнштейна, теории Калуцы — Клейна и супергравитации, Стандартную модель и даже теорию Великого объединения. Возможность заново вывести все достижения физики последних двух тысячелетий из чисто геометрических доводов теории струн кажется настоящим чудом. Все теории, до сих пор рассматривавшиеся в этой книге, автоматически включены в теорию струн.
Нынешний интерес к теории струн начался с работы Джона Шварца из Калифорнийского технологического института и его соавтора Майкла Грина из лондонского Колледжа королевы Марии. Прежде считалось, что у концепции струн есть недостатки, препятствующие разработке полноценной самосогласованной теории. Но в 1984 г. эти два физика доказали, что струна отвечает всем условиям самосогласованности. В итоге молодые учёные наперегонки бросились решать задачи, связанные с этой теорией, в надежде заслужить признание. К концу 1980-х гг. в кругу физиков началась настоящая «золотая лихорадка». (Конкуренция между сотнями самых талантливых физиков-теоретиков мира, которые занимаются этими вопросами, резко обострилась. Недавно на обложку журнала Discovery был помещён портрет специалиста в области теории струн Димитриса Нанопулоса из Техаса. Учёный открыто заявлял о своих притязаниях на Нобелевскую премию по физике. Редко подобные страсти вспыхивают из-за абстрактной теории.)
Почему именно струны?
Однажды мы с одним нобелевским лауреатом в области физики обедали в китайском ресторане Нью-Йорка. За кисло-сладкой свининой в разговоре всплыла тема теории суперструн. Внезапно мой собеседник пустился в пространные рассуждения о том, почему теория суперструн — ошибочный путь. Это погоня за химерами, утверждал он. В истории физики никогда не было ничего подобного, идея чересчур сумасбродна, на его взгляд. Она слишком чужда и ортогональна всем предшествующим тенденциям в науке. Длительный спор свёлся к единственному вопросу: почему именно струны? Почему не вибрирующие твёрдые тела или сгустки?
Мой собеседник напомнил, что в мире физики вновь и вновь используются одни и те же концепции. Природа, подобно произведениям Баха или Бетховена, часто начинает с основной темы, а затем на протяжении всей симфонии повторяет её бесчисленные вариации. Согласно этому критерию теория струн не является основополагающей для природы.
К примеру, концепция орбит даёт о себе знать в природе постоянно и в разных формах: со времён появления трудов Коперника орбиты служат лейтмотивом, который постоянно встречается в природе в различных вариантах — от самой большой галактики до атома и мельчайшей субатомной частицы. Аналогично излюбленная тема в природе — поля Фарадея. Поля пригодны для описания магнетизма галактики и гравитации, а также для электромагнитной теории Максвелла, метрической теории Римана и Эйнштейна, полей Янга — Миллса, входящих в Стандартную модель. По сути дела, теория поля развилась как универсальный язык субатомной физики, а может, и всей Вселенной. Это самое мощное оружие в арсенале теоретической физики. Все известные формы материи и энергии выражены в показателях теории поля. Закономерности повторяются постоянно, как тема и её вариации в симфонии.
А струны? Струны вовсе не выглядят структурой, которой природа отдаёт предпочтение в соответствии с высшим замыслом. Мы не видим струн в космосе. Как объяснил мой коллега, струн мы вообще нигде не видим.
Но, если задуматься, станет ясно, что природа отвела струнам особую роль, как основному строительному материалу для других форм. К примеру, характерная особенность жизни на Земле — струновидная молекула ДНК, содержащая сложную информацию и код самой жизни. Когда возникает вопрос о строительстве всего живого, а также материи на субатомном уровне, струны выглядят идеальным ответом. И в том и в другом случае нам требуется уложить большой объём информации в сравнительно простую и воспроизводимую структуру. Отличительная особенность струны в том, что это одно из самых компактных хранилищ для больших объёмов информации, предназначенной для воспроизведения.
Для живых существ природа предназначила двойные цепочки молекулы ДНК, которые могут раскручиваться и образовывать дубликаты друг друга. Кроме того, у нас в организме содержатся миллиарды миллиардов белковых цепочек, образованных аминокислотами как строительным материалом. В каком-то смысле наши тела можно рассматривать как богатейшие коллекции цепочек — молекул протеина, окружающих наши кости.
«Струнный квартет»
В настоящее время самой удачной версией теории струн считается концепция четырёх физиков из Принстона — Дэвида Гросса, Эмиля Мартинеса, Джеффри Харви и Райана Рома, которых иногда называют «принстонский струнный квартет». Самый старший из них Дэвид Гросс. Вопросы, которые Виттен задаёт на семинарах в Принстоне тихим голосом, можно и не услышать, зато громкий, гулкий и требовательный голос Гросса слышен отчётливо. Всякий, кто проводит семинары в Принстоне, как огня боится острых вопросов, которыми сыплет Гросс. Примечательно, что обычно все они попадают в цель. Гросс и его соавторы предложили так называемую гетеротическую струну. Сегодня из всех вариантов теории Калуцы — Клейна, предложенных в прошлом, именно она с наибольшей вероятностью способна объединить все законы природы в одну теорию.
Гросс убеждён, что теория струн решает задачу превращения «дерева» в «мрамор»: «Создание материи из геометрии — в каком-то смысле именно этим и занимается струнная теория. Её можно воспринимать как таковую, особенно гетеротическую струну — по сути дела, теорию гравитации, в которой частицы материи, а также взаимодействия природы возникают так же, как гравитация возникает из геометрии».
Как мы уже подчеркнули, наиболее примечательная особенность теории струн состоит в том, что в неё автоматически входит теория гравитации Эйнштейна. В сущности, гравитон (квант гравитации) возникает как наименьшая вибрация замкнутой струны. Если теории Великого объединения упорно избегают любых упоминаний о теории гравитации Эйнштейна, то теория суперструн требует включения этой эйнштейновской теории. К примеру, если мы откажемся рассматривать теорию гравитации Эйнштейна как своего рода вибрацию струны, тогда эта теория станет непоследовательной и бесполезной. Именно по этой причине Виттен заинтересовался теорией струн. В 1982 г. он прочёл обзорную статью Джона Шварца и был поражён, когда понял, что гравитация вытекает из теории суперструн уже в силу требования самосогласованности. Он вспоминал, что за всю жизнь не испытывал «более сильного интеллектуального трепета». Виттен говорит: «Теория струн на редкость притягательна, так как мы вынуждены иметь дело с гравитацией. Во все известные и последовательные теории струн входит гравитация, так что если в квантовой теории поля в том виде, в каком она нам сейчас известна, гравитация невозможна, в теории струн она обязательна»{62}.
Гроссу хочется верить, что, если бы Эйнштейн был жив, он оценил бы теорию суперструн. Ему понравилось бы, что красота и простота теории суперструн в конечном итоге исходят из геометрического принципа, точная природа которого до сих пор неизвестна. Гросс утверждает: «Эйнштейн был бы доволен по меньшей мере целью, если не её реализацией… Ему понравилось бы, что в основе лежит геометрический принцип, которого, к сожалению, мы не понимаем»{63}.
Виттен даже рискует заявлять, что «все по-настоящему великие идеи в физике» — «побочные продукты» теории суперструн. Он имеет в виду, что в теорию суперструн укладываются все крупные достижения теоретической физики. И даже утверждает, что открытие Эйнштейном общей теории относительности раньше теории суперструн — «просто случайное событие в развитии планеты Земля». По мнению Виттена, где-то в космосе «другие цивилизации Вселенной» вполне могли открыть теорию суперструн первой, а из неё вывести общую теорию относительности{64}.
Компактификация и красота
На теорию струн в физике возлагают столько надежд по той причине, что она даёт простые объяснения истоков симметрии, присутствующей и в физике частиц, и в общей теории относительности.
В главе 6 мы видели, что супергравитация неперенормируема и слишком мала, чтобы вместить симметрию Стандартной модели. Таким образом, она не самосогласованна и не даёт реалистичного описания известных частиц. И тем и другим свойством обладает теория струн. Как мы вскоре убедимся, она решает проблему бесконечных величин, обнаруженную в квантовой теории гравитации, и даёт конечную теорию квантовой гравитации. Уже за одно это теорию струн следует считать серьёзной претенденткой на звание теории Вселенной. Но у неё есть и дополнительное преимущество. Если компактифицировать некоторые измерения теории струн, выяснится, что она соотносима с симметрией Стандартной модели и даже теориями Великого объединения.
Гетеротическая струна представляет собой замкнутую струну, для которой характерны два типа вибраций — по часовой и против часовой стрелки, — которые рассматриваются отдельно. Колебания по часовой стрелке существуют в 10-мерном пространстве, колебания против часовой стрелки — в 26-мерном пространстве, в котором 16 измерений компактифицированы. (Как мы помним, в исходной пятимерной теории Калуцы пятое измерение компактифицировали, свернув его в круг.) Своим названием гетеротическая струна обязана тому факту, что колебания по часовой стрелке и против неё существуют в двух разных измерениях, но в сочетании дают единую теорию суперструн. Вот почему её название происходит от греческого слова гетерозис, означающего «гибридная сила».
Гораздо больший интерес представляет 16-мерное компактифицированное пространство. Как мы помним, в теории Калуцы — Клейна с компактифицированным N-мерным пространством ассоциируются симметрии, почти как в случае с пляжным мячом. Значит, все колебания (или поля), определённые для N-мерного пространства, автоматически наследуют эти симметрии. Если это симметрия SU (N), тогда все вибрации в пространстве должны подчиняться симметрии SU (N) (так же, как глина наследует симметрии литьевой формы). Таким образом, теория Калуцы — Клейна может вмещать симметрии Стандартной модели. Вместе с тем можно установить, что супергравитация «слишком мала», чтобы содержать все частицы симметрий, относящихся к Стандартной модели. Этого достаточно, чтобы развенчать теорию супергравитации как реалистичную теорию материи и пространства-времени.
Но когда «принстонский струнный квартет» проанализировал симметрии 16-мерного пространства, то обнаружил, что они представляют собой чудовищно огромную симметрию, названную Е (8) × Е (8) и значительно превосходящую все предлагавшиеся ранее симметрии теорий Великого обьединения{65}. Такого преимущества никто не предвидел. Оно означало, что все колебания струны будут наследовать симметрию 16-мерного пространства, которого более чем достаточно, чтобы вместить симметрию Стандартной модели.
В этом и заключается записанное математически выражение центральной темы данной книги: законы физики в высших измерениях упрощаются. В данном случае 26-мерное пространство вибраций, направленных против часовой стрелки и совершаемых гетеротической струной, даёт предостаточно возможностей для объяснения всех симметрий, содержащихся и в теории Эйнштейна, и в квантовой теории. Так впервые геометрия в чистом виде дала простое объяснение причин, по которым субатомный мир неизбежно должен демонстрировать определённые симметрии, возникающие при скручивании пространства высших измерений: симметрии субатомного мира — не что иное, как остатки симметрии пространства высших измерений.
Значит, красоту и симметрию, которые мы обнаруживаем в природе, можно проследить в обратном направлении до пространства высших измерений. Например, снежинки представляют собой красивые шестиугольники, среди которых нет двух совершенно одинаковых. Эти снежинки и кристаллы унаследовали свою структуру от способа геометрического расположения их молекул. Их расположение обусловлено главным образом электронными оболочками молекул, что, в свою очередь, приводит нас к вращательной симметрии квантовой теории, которую даёт О (3). Все симметрии низкоэнергетической Вселенной, которые мы видим в химических элементах, — результат симметрий, описанных Стандартной моделью, которая, в свою очередь, может быть выведена путём компактификации гетеротической струны.
В заключение скажем, что примеры симметрии, которые мы видим вокруг — от радуги до цветочных бутонов и кристаллов, — можно в конечном счёте рассматривать как проявления фрагментов изначальной десятимерной теории{66}. Риман и Эйнштейн надеялись объяснить геометрическими средствами, почему взаимодействие может определять движение и природу материи. Однако они упустили из виду ключевой ингредиент взаимоотношений между «деревом» и «мрамором». Это недостающее звено — почти наверняка теория суперструн. На примере десятимерной теории струн мы видим, что геометрия струны может в конечном итоге обуславливать и взаимодействия, и структуру материи.
Фрагмент физики XXI в.
Учитывая колоссальную мощность симметрий теории суперструн неудивительно, что эта теория кардинально отличается от любой другой, относящейся к физике. Она была открыта, в сущности, случайно. Многие физики отмечали: если бы не эта счастливая случайность, то теорию суперструн открыли бы лишь в XXI в. Дело в том, что она представляет собой решительное отступление от всех идей, предложенных в XX в. Теория суперструн — не экстраполяция и не продолжение популярных тенденций и теорий XX в., она занимает особое положение.
В отличие от неё, общая теория относительности эволюционировала «традиционно» и последовательно. Сначала Эйнштейн сформулировал принцип эквивалентности сил гравитации и инерции. Затем он математически выразил этот принцип в гравитационной теории поля, основой которой стали поля Фарадея и метрический тензор Римана. Затем появились «классические решения», такие как чёрные дыры и Большой взрыв. И наконец, последний этап — современная попытка сформулировать квантовую теорию гравитации. Таким образом, общая теория относительности развивалась последовательно, проходя в своём развитии этапы от физического принципа до квантовой теории:
В отличие от неё, теория суперструн развивалась в обратном направлении с тех пор, как была случайно открыта в 1968 г. Вот почему теория суперструн кажется большинству физиков такой странной и непривычной. Мы до сих пор заняты поисками физического принципа, лежащего в основе этой теории, — аналога принципа эквивалентности Эйнштейна.
Теория струн родилась по чистой случайности, когда в 1968 г. два молодых физика-теоретика — Габриэле Венециано и Махико Судзуки — независимо друг от друга листали книги по математике в поисках математических функций, подходящих для описания сильного взаимодействия частиц. Занимаясь исследованиями в ЦЕРНе (CERN), Европейском центре теоретической физики в Женеве, Швейцария, эти учёные независимо друг от друга обратили внимание на бета-функцию Эйлера — математическую функцию, записанную в XIX в. математиком Леонардом Эйлером. Габриэле Венециано и Махико Судзуки с изумлением обнаружили, что бета-функция Эйлера обладает почти всеми свойствами, необходимыми для описания сильных взаимодействий элементарных частиц.
Однажды за обедом в Национальной лаборатории имени Лоуренса в Беркли, Калифорния, любуясь живописной, озарённой солнцем панорамой гавани Сан-Франциско, Судзуки рассказал мне, какой трепет испытал, совершенно случайно сделав открытие, имеющее важные последствия. В физике не предполагается движение по такому пути.
Отыскав в математическом справочнике бета-функцию Эйлера, взволнованный Судзуки показал находку своему руководителю, одному из физиков ЦЕРНа. Тот выслушал Судзуки, но это не произвело на него сильного впечатления. И сообщил, что другой молодой физик, Венециано, нашёл ту же самую функцию несколькими неделями ранее. Руководитель отговорил Судзуки от публикации полученных результатов. Сегодня эта бета-функция, известная под названием модели Венециано, уже послужила источником вдохновения для нескольких тысяч научных статей, породила крупную школу физики, а теперь претендует на решающую роль в объединении всех физических законов. (Оглядываясь назад, можно сделать вывод, что Судзуки следовало бы всё же опубликовать свои результаты. Полагаю, это урок всем нам: никогда не воспринимайте советы начальства излишне серьёзно.)
В 1970 г. тайна, окружающая модель Венециано — Судзуки, была частично раскрыта, когда Ёитиро Намбу из Чикагского университета и Тэцуо Гото из Университета Нихон обнаружили, что удивительные свойства этой модели обусловлены вибрациями струны.
Поскольку теория струн была открыта в обратном порядке и вдобавок случайно, физики до сих пор не знают, какой физический принцип лежит в её основе. Последний шаг в развитии этой теории (и первого этапа в эволюции общей теории относительности) по-прежнему не сделан.
Виттен добавляет, что «человечество планеты Земля никогда не располагало понятийным аппаратом, который привёл бы его к целенаправленному созданию теории струн… Никто не изобретал её направленно, она появилась в результате счастливой случайности. По справедливости, физикам XX в. не должна была достаться привилегия изучать эту теорию. Теорию струн не должны были открыть до тех пор, пока наши познания, необходимые для её дальнейшего развития, не достигли уровня, позволяющего составить верное представление о том, что всё это означает»{67}.
Петли
Формула, выведенная Венециано и Судзуки, с помощью которой они надеялись описать свойства взаимодействующих субатомных частиц, была неполной. Она не отвечала одному из важных условий физики — унитарности, или сохранению вероятности. Сама по себе формула Венециано — Судзуки давала неверные результаты относительно взаимодействия частиц. Поэтому следующим этапом эволюции теории стало внесение небольших квантовых поправок, способных придать формуле недостающее свойство. В 1969 г., ещё до появления струнной интерпретации Намбу и Гото, три физика (Кейдзи Киккава, Бундзи Сакита и Мигель Вирасоро, в то время работавшие в Университете Висконсина) предложили верное решение: внесение всё более малых компонентов в формулу Венециано — Судзуки с целью восстановления унитарности.
Этим учёным пришлось догадываться, как восстановить всю последовательность с нуля, однако сегодня её нетрудно понять в рамках представлений о струнах, изложенных Намбу. К примеру, путь летящего шмеля в пространстве можно изобразить извилистой линией. Когда в пространстве движется отрезок струны, его траекторию можно сравнить с воображаемым двумерным листом бумаги. Когда замкнутая струна перемещается в пространстве, её путь напоминает туннель.
Струны взаимодействуют, разделяясь на струны меньшего размера или соединяясь с другими струнами. Когда эти взаимодействующие струны перемещаются, они вычерчивают фигуры, показанные на рис. 7.1. Обратите внимание: две трубы появляются слева, одна делится пополам, заменяет среднюю и отклоняется вправо. Так трубы взаимодействуют друг с другом. Конечно, эта схема — всего лишь наглядное представление чрезвычайно сложных математических выкладок. При расчёте численного выражения, соответствующего этим схемам, мы вернёмся к бета-функции Эйлера.
В этой струнной модели ключевой приём, предложенный Киккава, Сакита и Вирасоро (КСВ), сводился к добавлению всех возможных схем столкновения и распада струн. Разумеется, таких схем может быть бесчисленное множество. Процесс добавления бесконечного количества «петлевых схем», при котором каждая схема служит приближением к конечному ответу, — это теория возмущений и один из самых эффективных видов оружия в арсенале любого специалиста по квантовой механике. (Этим струнным схемам присуща прекрасная симметрия, ранее никогда не виданная в физике и названная конформной симметрией в двух измерениях. Конформная симметрия позволяет нам рассматривать трубы и листы так, словно они сделаны из резины: схемы можно перетаскивать, растягивать, сгибать, сжимать. Благодаря конформной симметрии мы можем доказать, что все математические выражения остаются неизменными.)
КСВ утверждали, что совокупность всех петлевых схем даёт точную математическую формулу, объясняющую, как именно взаимодействуют субатомные частицы. Однако модель КСВ представляла собой ряд недоказанных предположений. Кто-то должен был построить эти петли в явном виде, чтобы эти предположения не оказались бесполезными.
Заинтригованный моделью, начало которой положили КСВ, я решил попытать удачу и заняться этой проблемой. Сделать это оказалось непросто, так как в то время я в буквальном смысле слова уворачивался от пулемётных очередей.
Учебный лагерь
Я хорошо помню, как в 1969 г. была опубликована статья КСВ. Её авторы скорее намечали программу дальнейшей работы, чем вдавались в подробности. И я решил вычислить в явном виде все возможные петли и закончить модель КСВ.
То были незабываемые времена. За океаном свирепствовала война, не прекращались беспорядки в кампусах всего мира — от Кентского до Парижского университетов. Я окончил Гарвард годом ранее, когда президент Линдон Джонсон отменил отсрочки от призыва для аспирантов, чем поверг в панику высшие учебные заведения страны. В кампусах воцарился хаос. Внезапно мои друзья побросали учёбу, занялись преподаванием в школе, собрали вещи и устремились в Канаду либо пытались повредить своему здоровью, чтобы не пройти призывную комиссию.
Карьерные перспективы разбивались вдребезги. Один из моих близких друзей-физиков из Массачусетского технологического института поклялся, что лучше сядет в тюрьму, чем пойдёт воевать во Вьетнаме. Он просил нас посылать ему в тюрьму новые номера Physical Review, чтобы он мог следить, как продвигается работа над моделью Венециано. Другие мои знакомые ушли из колледжей преподавать в старших классах школы, лишь бы избежать участия в войне, и тем самым положили конец многообещающим научным карьерам. (Многие из них преподают в школах до сих пор.)
Через три дня после выпуска я покинул Кембридж и очутился на военной базе в Форт-Беннинге, Джорджия, — самом большом в мире учебном лагере пехоты, а позднее — в Форт-Льюисе, Вашингтон. Из десятков тысяч необученных новобранцев, не имеющих никакого опыта военной службы, наскоро сколачивали боевые соединения и отправляли их во Вьетнам, на замену 500 еженедельно гибнущим «джи-ай».
Однажды днём, бросая боевые гранаты под палящим солнцем Джорджии и глядя, как смертоносные осколки разлетаются во все стороны, я вдруг задумался. Сколько учёных своими глазами увидело ужасы войны? Сколько подающих надежды исследователей было сражено пулями в расцвете лет?
Я вспомнил Карла Шварцшильда, который умирал в кайзеровской армии на русском фронте во время Первой мировой войны через несколько месяцев после того, как он нашёл основное решение уравнений Эйнштейна, применяемых во всех расчётах, связанных с чёрными дырами. (В его честь назван радиус Шварцшильда. В 1916 г., после пребывания Шварцшильда на передовой и его безвременной кончины, Эйнштейн обратился к Прусской академии с просьбой увековечить труды покойного.) Сколько ещё перспективных учёных погибло ещё до того, как началась их карьера?
Я понимал, что боевая подготовка пехоты — это не шутки: она призвана укрепить боевой дух и ослабить интеллект. Вдобавок из будущих пехотинцев выбивают независимость мышления. Армии не нужны умники, сомневающиеся в правильности приказов сержанта в разгар перестрелки. Зная об этом заранее, я решил взять с собой в лагерь материалы по физике. Во время кухонных нарядов и чистки картошки или стрельбы из пулемёта мне требовалось занять чем-то мозг. И я взял с собой статью КСВ.
Во время ночных учений мне пришлось преодолевать полосу препятствий, а значит, уворачиваться от пулемётных очередей, по-пластунски пробираться под колючей проволокой и ползать в вязкой бурой грязи. Пули были трассирующими, поэтому я видел тысячи красивых багровых линий, пролетающих в нескольких футах от моей головы. Но мыслями я неизменно возвращался к статье КСВ, к возможности осуществить их программу.
К счастью, особенностью представленных вычислений была строгая топологичность. Мне стало ясно, что все эти петли — совершенно новый язык физики, язык топологии. Никогда прежде в истории физики ленты Мёбиуса и бутылки Клейна не использовались для фундаментальных целей.
Поскольку во время стрельбы из пулемёта мне редко удавалось держать под рукой бумагу и карандаш, пришлось рисовать в голове картины, как струны образуют петли и выворачиваются наизнанку. По сути дела, учебные стрельбы принесли немало пользы, приучив меня оперировать большими группами уравнений в уме. К тому времени, как я завершил интенсивный курс стрелковой подготовки, я уже не сомневался, что сумею выполнить вычисления для всех петель.
И наконец, я ухитрялся выкроить время в промежутках между учениями и ездил в Калифорнийский университет в Беркли, где яростно прорабатывал детали преобразований, производимых мысленно. Этому вопросу я посвятил несколько сотен часов напряжённого обдумывания. Он и стал темой моей диссертации.
К 1970 г. последние вычисления до отказа заполнили несколько сотен страниц блокнота. Под неусыпным надзором моего научного руководителя Стэнли Манделстама мы с коллегой Лопин Юй успешно рассчитали явное выражение для всех возможных петельных диаграмм, известных на тот момент. Но проделанная работа меня не устраивала. Программа КСВ представляла собой смесь эмпирических правил и интуитивных предположений, а не набор основных принципов вычислений для петель. Как мы уже видели, с тех пор как теория струн была случайно открыта Венециано и Судзуки, её развитие шло в обратной последовательности. Следующим этапом обратной эволюции теории струн было шествие по стопам Фарадея, Римана, Максвелла и Эйнштейна и построение струнной теории поля.
Струнная теория поля
Со времён новаторского труда Фарадея все физические теории записывались в виде полей. На теории поля основана максвелловская теория света, как и теория Эйнштейна. По сути дела, вся физика частиц опирается на теорию поля. Не основана на ней только теория струн. Программа КСВ представляла собой скорее список удобных правил, нежели теорию поля.
Моей следующей задачей было исправить это положение. Однако проблемой струнной теории поля оставалось её неприятие многими видными учёными. Их доводы выглядели просто. Такие титаны физики, как Хидеки Юкава и Вернер Гейзенберг, долгие годы разрабатывали теорию поля, не опирающуюся на точечные частицы. Они считали элементарные частицы скорее пульсирующими сгустками материи, чем точками. Но, несмотря на все их старания, теории поля, основанные на идее сгустков, неизменно противоречили принципу причинности.
Если вызвать колебания сгустка в одной точке, взаимодействия распространятся быстрее скорости света, проникающего сквозь сгусток, что противоречит специальной теории относительности и создаёт всевозможные временные парадоксы. Таким образом, «нелокальные теории поля», основанные на идее сгустков, считались непосильной задачей. Многие физики утверждали, что лишь локальная теория поля, построеннная на концепции точечных частиц, может быть последовательной. А нелокальные теории поля неизбежно противоречат теории относительности.
Второй довод выглядел ещё убедительнее. Модель Венециано обладала множеством чудесных свойств (в том числе так называемой дуальностью), прежде никогда не виданных в теории поля. Несколькими годами ранее Ричард Фейнман изложил «правила», которым должна подчиняться любая теория поля. Однако правила Фейнмана представляли собой прямое нарушение принципа дуальности. В итоге многие специалисты по теории струн пришли к убеждению, что струнная теория поля невозможна по той причине, что она неизбежно нарушает свойства модели Венециано. Они утверждали, что теория струн занимает особое положение в физике, поскольку её нельзя преобразовать в теорию поля.
Над этой сложной, но важной задачей я работал вместе с Кейдзи Киккава. Шаг за шагом мы разрабатывали свою теорию поля, точно так же, как наши предшественники строили теории поля для других взаимодействий. По примеру Фарадея мы вводили поле в каждой точке пространства-времени. Но для струнной теории поля нам пришлось обобщать концепцию Фарадея и принять поле, определённое для всех возможных конфигураций струны, колеблющейся в пространстве-времени.
На втором этапе требовалось составить уравнения поля, которым подчиняется струна. С уравнением поля для одной струны, перемещающейся в пространстве-времени, проблем не было. Как и следовало ожидать, наши уравнения поля дали бесконечный ряд струнных резонансов, каждый соответствовал некой субатомной частице. Затем мы обнаружили, что на возражения Юкавы и Гейзенберга можно было ответить с помощью струнной теории поля. Когда мы вызывали колебания струны, они распространялись по струне со скоростью меньшей, чем скорость света.
Но скоро мы зашли в тупик. При попытке ввести взаимодействующие струны мы не могли корректно воспроизвести амплитуду Венециано. Дуальность и счёт кривых, приведённый Фейнманом для любой теории поля, находились в состоянии прямого конфликта. Как и полагали критики, некорректными оказались диаграммы Фейнмана. Этот результат обескураживал. Всё говорило о том, что теория поля, последний век служившая фундаментом для физики, принципиально несовместима с теорией струн.
Помню, как я, разочарованный, до поздней ночи ломал голову над этой задачей. Несколько часов подряд я методично проверял возможные альтернативные решения. И неизменно приходил к выводу, что они противоречат дуальности. Тогда я вспомнил слова Шерлока Холмса, обращённые к Ватсону в повести Артура Конан Дойля «Знак четырёх»: «Сколько раз я говорил вам: если отбросить невозможное, то, что останется, пусть даже самое невероятное, и будет истиной». Ободрённый этой мыслью, я отбросил все невозможные альтернативы. Оставалось одно невероятное решение: игнорировать свойства формулы Венециано — Судзуки. Часа в три ночи меня вдруг осенило. Я понял, что физики упустили из виду очевидное решение: формулу Венециано — Судзуки можно разделить на две части. Тогда каждая часть соответствует одной из диаграмм Фейнмана, каждая часть опровергает дуальность, но итог соответствует свойствам теории поля.
Я поспешно взял бумагу и погрузился в расчёты. Следующие пять часов я провёл проверяя и перепроверяя вычисления по всем возможным направлениям. Вывод оказался однозначным: теория поля действительно опровергает дуальность, как и следовало ожидать, тем не менее она приемлема, так как в конечном итоге воспроизводит формулу Венециано — Судзуки.
Задача была почти решена. Оставалась лишь одна диаграмма Фейнмана, соответствующая столкновению четырёх струн. В том году я читал вводный курс электричества и магнетизма студентам Городского университета Нью-Йорка, и мы с ними изучали силовые линии Фарадея. Я предлагал студентам нарисовать силовые линии вокруг зарядов различной конфигурации, повторяя действия, которые первым проделал Фарадей в XIX в. Внезапно до меня дошло: волнистые линии, которые я просил нарисовать студентов, имеют ту же топологическую структуру, что и столкновение струн. Таким образом, рассматривая заряды в студенческой лаборатории, я нашёл точную конфигурацию для столкновения четырёх струн.
Неужели всё так просто?
Я поспешил домой, чтобы проверить свою догадку, и убедился, что прав. Применяя метод наглядных изображений, доступный даже студенту-первокурснику, я мог продемонстрировать, что взаимодействие четырёх струн скрывается в формуле Венециано. К зиме 1974 г. мы с Киккава, пользуясь методами, восходящими ещё к временам Фарадея, закончили разработку струнной теории поля — первой удачной попытки сочетать теорию струн с математическим аппаратом теории поля.
Наша теория поля была далека от совершенства, хотя точно воспроизводила всю информацию, относящуюся к теории струн. Поскольку мы строили теорию поля, двигаясь в обратном порядке, многие симметрии остались неопределёнными. К примеру, симметрии специальной теории относительности присутствовали, но в неявном виде. Требовалось поработать, чтобы упростить найденные нами уравнения поля. Но, едва мы начали исследовать свойства нашей теории поля, в модели вдруг обнаружился серьёзный изъян.
В том году физик Клод Лавлейс из Университета Раджерса выяснил, что бозонная струна (описывающая целочисленные спины) самосогласована только в 26 измерениях. Другие учёные подтвердили этот результат и продемонстрировали, что суперструна (описывающая и целочисленные, и половинные спины) самосогласована только в десяти измерениях. Вскоре выяснилось, что в других количествах измерений, отличных от 10 и 26, теория полностью теряет все свои прекрасные математические свойства. Но никто не верил, что теория, определённая для 10 или 26 измерений, имеет хоть какое-нибудь отношение к действительности. Исследования теории струн внезапно замерли. Подобно теории Калуцы — Клейна, теория струн впала в глубокий анабиоз. На десять долгих лет эта модель оказалась прочно забытой. (Большинство учёных, и я в том числе, бросили эту модель, словно тонущий корабль, однако несколько упрямцев, таких как физики Джон Шварц и покойный Жоэль Шерк, пытались удержать её на плаву и продолжали неуклонно совершенствовать. К примеру, первоначально струнная теория считалась применимой лишь к сильным взаимодействиям с режимами колебаний, соответствующими резонансу кварковой модели. Шварц и Шерк убедительно доказали, что струнная модель действительно является объединяющей теорией для всех взаимодействий, а не только для сильных.)
Исследования в области квантовой гравитации двинулись в другом направлении. В 1974–1984 гг., пока теория струн пребывала в забвении, исследование ряда альтернативных теорий квантовой гравитации с успехом продолжалось. В этот период исходная теория Калуцы — Клейна, а затем и теория супергравитации пользовались огромной популярностью, но со временем изъяны данных моделей тоже стали очевидными. К примеру, было доказано, что и теория Калуцы — Клейна, и теория супергравитации неперенормируемы.
А затем в том же десятилетии произошло нечто странное. С одной стороны, физиков начал раздражать растущий список моделей, опробованных и отвергнутых за этот период. Одну за другой их признавали неудачными. Постепенно становилось ясно, что теории Калуцы — Клейна и супергравитации в принципе указывают верный путь, но сами по себе недостаточно совершенны, чтобы разрешить проблему неперенормируемости. И единственной теорией, достаточно сложной, чтобы охватить и теорию Калуцы — Клейна, и теорию супергравитации, оставалась теория суперструн. С другой стороны, физики постепенно привыкали работать с гиперпространством. Благодаря возрождению теории Калуцы — Клейна идея гиперпространства теперь уже не казалась надуманной или запретной. Со временем даже теория, определённая в 26 измерениях, перестала выглядеть чем-то из ряда вон выходящим. Изначальное сопротивление этим 26 измерениям со временем сошло на нет.
И наконец, когда в 1984 г. Грин и Шварц доказали, что теория суперструн — единственная самосогласованная теория квантовой гравитации, начался бум. В 1985 г. Эдвард Виттен добился значительного прогресса в струнной теории поля, которую многие считают одним из прекраснейших достижений теоретической физики. Он доказал, что наша давняя теория поля может быть выведена с применением эффективных математических и геометрических теорем (заимствованных из так называемой теории гомологии) в полностью релятивистской форме.
Благодаря новой теории Виттена открылась истинная математическая элегантность струнной теории поля, которой не было видно за нашими формулами. Сразу же появились сотни научных статей, в которых рассматривались поразительные математические свойства теории поля Виттена{68}.
Нашего интеллекта недостаточно
При условии, что струнная теория поля верна, в принципе у нас должна была появиться возможность вычислить массу протона, исходя из первых принципов, а также установить связь с известными данными, например с массами различных частиц. Если численные ответы ошибочны, значит, теорию придётся отвергнуть. Но если теория верна, можно причислить её к величайшим достижениям физики за последние две тысячи лет.
После эйфории конца 1980-х гг. (когда казалось, что ещё несколько лет и теория будет разработана полностью, а Нобелевские премии начнут раздавать десятками), ей на смену пришёл трезвый реализм. Несмотря на математическую определённость теории, никому не удаётся завершить её. Никому!
Проблема в том, что нет человека, достаточно умного, чтобы разрешить противоречия струнной теории поля или применить какой-нибудь другой непертурбативный подход к теории струн. Суть задачи ясна, но парадокс в том, что поиски решения для теории поля требуют такого подхода, который в настоящее время неподвластен ни одному физику. Это досадно. Перед нами — хорошо структурированная теория струн. В ней кроется возможность устранить все противоречия, относящиеся к многомерному пространству. До исполнения мечты о вычислении от первоначал — рукой подать. Вопрос в том, как решать эту задачу. Невольно вспоминается реплика из шекспировского «Юлия Цезаря»: «Не звёзды, милый Брут, а сами мы виновны». С точки зрения приверженца теории струн, виновата не теория, а наша примитивная математика.
Причина пессимизма — в том, что наш основной вычислительный инструмент, теория возмущений, даёт сбой. Теория возмущений начинается с формулы, подобной формуле Венециано, и продолжается вычислениями квантовых поправок к ней (имеющих петлевую форму). Специалисты по теории струн надеялись, что смогут записать более совершенное выражение наподобие формулы Венециано, определённое для четырёх измерений, которое однозначно опишет весь известный спектр частиц. Оглядываясь назад, можно сделать вывод, что им сопутствовал чрезмерный успех. Беда в том, что к настоящему времени открыто несметное множество формул, подобных формуле Венециано. Стыдно признаться, но специалисты по теории струн в буквальном смысле слова тонут в таких пертурбативных решениях.
Причина, по которой теория суперструн за последние несколько лет почти не продвинулась вперёд, — в том, что никто не знает, как выбрать верное решение из миллионов обнаруженных. Некоторые из них поразительно близки к описанию реального мира. При незначительных допущениях легко рассматривать Стандартную модель как своего рода колебания струны. Несколько групп учёных уже объявили, что нашли решения, которые согласуются с известными данными по субатомным частицам.
Как мы видим, проблема в том, что существуют миллионы других решений, описывающих миры, не имеющие никакого сходства с нашей Вселенной. В некоторых из этих решений во Вселенной либо нет кварков, либо этих кварков слишком много. Такая жизнь, какую мы знаем, в большинстве решений не существует. Наша Вселенная может оказаться затерянной среди миллионов возможных вселенных, обнаруженных с помощью теории струн. Для того чтобы найти верное решение, нам приходится обращаться к непертурбативным методам, печально известным своей сложностью. Поскольку 99 % наших знаний о физике высоких энергий основано на теории возмущений, это означает, что мы понятия не имеем, как искать истинное решение для теории.
Но есть основания и для оптимизма. Непертурбативные решения, найденные для гораздо более простых теорий, свидетельствуют о том, что многие из этих решений в действительности нестабильны. Со временем эти некорректные и нестабильные решения совершают качественный скачок и становятся корректными и стабильными. Если это справедливо и для теории струн, тогда, возможно, миллионы найденных и в настоящее время нестабильных решений со временем преобразуются в корректные.
Для того чтобы понять, какую досаду испытываем мы, физики, представим себе на минуту, как физики XIX в. отреагировали бы на получение в подарок портативного компьютера. Нажимать кнопки они научились бы без труда, освоили бы видеоигры и просмотр обучающих программ. Знакомые лишь с техникой столетней давности, учёные восхищались бы поразительными вычислительными способностями компьютера. В его памяти с лёгкостью можно было бы хранить все накопленные за столетие знания. Вскоре учёные научились бы показывать математические «фокусы», изумляя своих коллег. Но если бы они попытались вскрыть компьютер и посмотреть, что находится внутри, то пришли бы в ужас. Транзисторы и микропроцессоры оказались бы далеко за пределами их понимания. Их опыт не был связан ни с чем подобным. Принцип действия такой техники выходил бы за пределы их познаний. Они могли бы только тупо глазеть на замысловатые схемы компьютера, не имея ни малейшего представления о том, как они работают и что всё это означает.
Раздражение у этих учёных вызывал бы сам факт существования компьютера, а также то, что он стоит прямо перед ними, но их система представлений не позволяет объяснить это явление. Так и теория струн выглядит физикой XXI в. случайно открытой в XX в. Струнная теория поля тоже вмещает все физические знания. Приложив некоторые усилия, мы научимся «нажимать кнопки», вызывая теорию супергравитации, теорию Калуцы — Клейна и Стандартную модель. Но мы не сможем объяснить, почему всё это работает. Струнная теория поля существует, но словно дразнит нас, поскольку нашего интеллекта недостаточно для её решения.
Проблема в том, что если физика XXI в. попала в XX в. случайно, то математика XXI в. вообще ещё не изобретена. Видимо, нам придётся дожидаться математики XXI в., чтобы добиться хоть какого-нибудь прогресса. Или же нынешнему поколению физиков придётся изобрести математику XXI в. своими силами.
Почему измерений десять?
Одна из самых непостижимых и до сих пор неразгаданных загадок теории струн — почему она определена только для 10 и 26 измерений. Если бы теория была трёхмерной, она не могла бы хоть сколько-нибудь рациональным образом объединять известные законы физики. Таким образом, главной особенностью этой теории является геометрия высших измерений.
Выполняя расчёты для распада и соединения струн в N-мерном пространстве, мы постоянно обнаруживаем новые бессмысленные компоненты, уничтожающие удивительные свойства теории. К счастью, эти нежелательные компоненты, по-видимому, умножаются на (N - 10). Следовательно, чтобы устранить возникающие аномалии, нам не остаётся ничего другого, кроме как принять N равным 10. В сущности, теория струн — единственная известная квантовая теория, требующая, чтобы количество измерений пространства-времени выражалось определённым числом.
К сожалению, в настоящее время специалисты по теории струн не в состоянии объяснить, почему выбрано именно десять измерений. Ответ скрыт в глубинах математики, в области так называемых модулярных функций. Оперируя петлевыми диаграммами КСВ, созданными взаимодействующими струнами, мы сталкиваемся со странными модулярными функциями, где число 10 возникает в неожиданных местах. Модулярные функции так же загадочны, как человек, который исследовал их, — мистик с Востока. Если мы постараемся понять труды этого индийского гения, то, возможно, поймём, почему мы живём в нашей нынешней Вселенной.
Тайна модулярных функций
Сриниваса (Шриниваса) Рамануджан — одна из самых удивительных личностей в мире математики, а может быть, и в истории науки в целом. Его сравнивали со вспышкой сверхновой звёзды, которая освещала самые тёмные и потаённые области математики — до тех пор, пока в возрасте 33 лет Рамануджан не умер от туберкулёза, как и Риман в своё время. Работая в полной изоляции от основных направлений и ведущих специалистов в его области, он сумел пройти столетний путь западной математики самостоятельно. Трагедия в том, что его труды большей частью представляют собой бесполезные повторы всем известных математических открытий. В записях Рамануджана повсюду среди туманных формул рассеяны модулярные функции — одно из самых странных математических явлений. Они неоднократно появляются в наиболее удалённых друг от друга и никак не связанных между собой направлениях математики. Одна из функций, упорно возникающих в модулярной теории, в настоящее время носит название функции Рамануджана. Эта причудливая функция содержит элемент, возведённый в двадцать четвёртую степень.
В работах Рамануджана число 24 фигурирует постоянно. Такие числа математики называют «магическими»: они постоянно появляются там, где их совсем не ждёшь, по причинам, которых никто не понимает. Так и функция Рамануджана волшебным образом возникла в теории струн. Число 24, фигурирующее в функции Рамануджана, так же является источником удивительных сокращений в теории струн. В этой теории все 24 режима функции Рамануджана соответствуют физическим колебаниям струны. Всякий раз, когда струна совершает сложные перемещения в пространстве-времени, разделяясь и восстанавливаясь, необходимо соответствие большому количеству чрезвычайно сложных математических тождеств. Эти тождества и были открыты Рамануджаном. (Поскольку физики добавляют ещё два измерения, вычисляя общее количество колебаний, фигурирующих в релятивистской теории, это означает, что пространство-время должно иметь 24 + 2 = 26 пространственно-временных измерений{69}.)
Когда функция Рамануджана представлена в обобщённом виде, число 24 заменяется числом 8. Таким образом, критическое число для суперструн — 8 + 2, или 10. Отсюда и вытекает десятое измерение. Струна колеблется в десяти измерениях потому, что ей необходимы обобщённые функции Рамануджана, чтобы сохранять самосогласованность. Другими словами, физики не имеют ни малейшего представления о том, почему 10 и 26 измерений возникли как измерения струны. Создаётся впечатление, что в этих функциях проявляется некая скрытая нумерология, которую никто не понимает. Именно эти магические числа возникают в эллиптической модулярной функции, которая определяет количество измерений пространства-времени равным десяти.
В конечном итоге источник десятимерной теории так же загадочен, как сам Рамануджан. На вопрос слушателей, зачем природе существовать в десяти измерениях, физики вынуждены отвечать: «Не знаем». Мы имеем смутное представление о том, почему требуется выбирать несколько измерений пространства-времени (иначе струна не в состоянии колебаться самосогласованным квантовым образом), но не знаем, почему выбор падает на эти конкретные числа. Вероятно, разгадка ждёт, когда её обнаружат в утраченных тетрадях Рамануджана.
100 лет математики, открытые заново
Рамануджан родился в 1887 г. в Эроде, Индия, близ Мадраса. Его семья принадлежала к высшей индуистской касте браминов, однако обеднела и жила на скудные заработки отца Рамануджана, служившего клерком в конторе торговца платьем.
К тому времени, как Рамануджану исполнилось 10 лет, стало ясно, что он отличается от других детей. Как и Риман до него, он прославился в округе удивительными математическими способностями. Ещё ребёнком он сам вывел тождество Эйлера между тригонометрическими и экспоненциальными функциями.
В жизни каждого молодого учёного есть поворотный момент — некое событие, определяющее дальнейший ход его жизни. Для Эйнштейна таким событием стало озарение при виде стрелки компаса. Для Римана — чтение книги Лежандра по теории чисел. А для Рамануджана такой момент наступил, когда он наткнулся на ничем не примечательный и забытый труд математика Джорджа Карра. Он был единственным для Рамануджана источником сведений о западной математике того времени, что и сделало книгу знаменитой. По словам его сестры, «именно эта книга пробудила в нём дар. Он поставил перед собой задачу доказать формулы, приведённые в ней. Поскольку он не мог обратиться к другим книгам, каждое решение представляло собой исследование, в котором он заходил так далеко, как считал нужным… Рамануджан часто повторял, что богиня Намаккал вдохновляет его формулами во сне»{70}.
Блестящие способности помогли Рамануджану получить стипендию для обучения в старших классах школы. Но школьная рутина наскучила ему, вдобавок он был настолько поглощён формулами, которые постоянно роились у него в голове, что перейти в выпускной класс не смог и лишился стипендии. В досаде Рамануджан сбежал из дома. В конце концов он вернулся, но заболел и вновь провалился на экзаменах.
Друзья помогли Рамануджану устроиться мелким служащим в мадрасский порт. Эта неквалифицированная работа, за которую платили всего 20 фунтов стерлингов в год, освободила Рамануджана (как Эйнштейна — работа в швейцарском патентном бюро) и дала ему возможность посвятить свободное время своим увлечениям. Результаты сновидений Рамануджан отправил трём известным британским математикам, надеясь установить контакты и с другими специалистами в этой области. Двое математиков, получив письмо от никому не известного индийского клерка, не имеющего официального образования, просто выбросили его. Третьим был талантливый математик из Кембриджа Годфри Харди. Благодаря своему положению Харди привык к странным письмам от незнакомцев и не ждал от очередного послания ничего хорошего. На сплошь исписанных листах он заметил немало уже известных математических теорем. Решив, что к нему обратился явный плагиатор, Харди не стал читать дальше. Но что-то не давало ему покоя. Какая-то мысль точила Харди, не позволяя забыть о странном письме.
И вот 16 января 1913 г. Харди и его коллега Джон Литтлвуд завели за ужином разговор о письме незнакомца и решили ещё раз взглянуть на него. Оно начиналось незатейливо: «Покорнейше прошу позволения представиться: клерк бухгалтерии мадрасского порта с жалованьем всего 20 фунтов в год»{71}. Однако письмо от неимущего клерка из Мадраса содержало теоремы, совершенно не известные западным математикам. Всего в нём обнаружилось 120 теорем. Харди был ошеломлён. Он вспоминал, что доказательство некоторых из них «совершенно уничтожило» его, и писал: «Я никогда не видел ничего подобного. С первого взгляда становилось ясно, что такие записи мог сделать только математик высочайшего класса»{72}.
Литтлвуд и Харди пришли к одному и тому же поразительному выводу: перед ними явно работа гения, в одиночку проделавшего столетний путь европейских математиков. «Перед ним стояла почти невыполнимая задача: бедный индус, располагающий только своим умом, в одиночку противостоял совокупной мудрости Европы», — вспоминал Харди{73}.
Харди выписал Рамануджана в Англию и с огромным трудом в 1914 г. добился для него разрешения на длительное пребывание в Кембридже. Впервые в жизни Рамануджан мог регулярно общаться с коллегами, сообществом европейских математиков. Эти перемены сопровождались бурной деятельностью — тремя короткими, но насыщенными годами сотрудничества с Харди в кембриджском Тринити-колледже.
Харди пытался оценить математические навыки, которыми обладал Рамануджан. Способности Давида Гильберта, признанного во всём мире одним из величайших математиков XIX в., Харди оценивал на 80 баллов, а способности Рамануджана — на 100 баллов. (Харди считал собственные способности не превышающими 25 баллов.)
К сожалению, ни Харди, ни Рамануджана не интересовали психологические аспекты или процесс мышления, в ходе которого Рамануджан открыл невероятное множество теорем, особенно когда их поток регулярно, с огромной частотой выплёскивался из «сновидений». Харди признавался: «Казалось нелепым донимать его расспросами о том, как он вывел ту или иную известную теорему, когда он почти ежедневно показывал мне с полдесятка новых»{74}.
У Харди сохранились яркие воспоминания об этом периоде:
Помню, однажды я приехал проведать его, когда он заболел и лечился в Патни. Я приехал на такси с номером 1729, число показалось мне ничем не примечательным, и я выразил надежду, что это не дурной знак. «Нет, — ответил Рамануджан, — номер очень интересный: это наименьшее число, которое можно представить в виде суммы двух кубов двумя разными способами»{75}.
(Иными словами, как сумму 1×1×1 и 12×12×12, а также сумму 9×9×9 и 10×10×10.) Рамануджан экспромтом выдавал сложные арифметические теоремы, для доказательства которых потребовался бы современный компьютер.
Всегда слабый здоровьем, Рамануджан не мог придерживаться привычной ему строгой вегетарианской диеты в истерзанной войной Англии и был вынужден постоянно лечиться в санаториях. После трёхлетнего сотрудничества с Харди он заболел в очередной раз и уже не оправился. Во время Первой мировой войны пассажирские перевозки между Индией и Англией прекратились. Лишь в 1919 г. Рамануджан наконец сумел вернуться на родину, где через год скончался.
Модулярные функции
Научное наследие Рамануджана — его труды: 4000 формул на 400 страницах, три тома записей, состоящих сплошь из поразительно сильных теорем, но не содержащих ни комментариев, ни, что самое досадное, каких-либо доказательств. Мало того, в 1976 г. было сделано новое открытие. По чистой случайности в какой-то коробке в Тринити-колледже было найдено 130 страниц с запечатлённым на них результатом трудов последнего года жизни Рамануджана. Теперь эти страницы носят название «Потерянная тетрадь» Рамануджана. Об этих записях математик Ричард Эски сказал: «Работа, проделанная им в тот предсмертный год, сопоставима с тем, что мог сделать за всю жизнь какой-нибудь великий математик. Его достижения невероятны. Если бы они были описаны в романе, никто бы просто не поверил». Рассказывая о своей напряжённой работе по расшифровке «Тетради», Джонатан Борвейн и Питер Борвейн замечают: «Насколько нам известно, попыток математического редактирования такого объёма и сложности ещё не предпринималось»{76}.
Изучать последовательность уравнений Рамануджана подобно тому, как человеку, привыкшему за долгие годы к европейской музыке Бетховена, вдруг услышать совершенно иную разновидность музыки, прекрасные и неземные мелодии Востока, сочетающие гармонии и ритмы, никогда не звучавшие на Западе. Джонатан Борвейн говорит: «По-видимому, он функционировал совсем не так, как известные нам люди. Он обладал таким восприятием, что идеи буквально выплёскивались из его головы. Возможно, он и сам не мог объяснить, как это происходит. Это всё равно что наблюдать, как кто-то веселится на пиру, куда ты не приглашён».
Как известно физикам, «случайности» не возникают без причины. Когда долго делаются сложные вычисления и вдруг тысячи нежелательных элементов волшебным образом приводятся к нулю, им ясно, что тому есть причина. Сегодня физикам известно, что подобные «случайности» — свидетельство действия симметрии. В теории струн такая симметрия называется конформной — это симметрия растяжения и деформации струнного «мирового листа».
Именно к ней относится работа Рамануджана. Для того чтобы исходную конформную симметрию не разрушила квантовая теория, необходимо соответствие ряду математических тождеств. Под ними подразумеваются тождества модулярной функции Рамануджана.
Итак, мы исходили из фундаментальной предпосылки, согласно которой законы природы упрощаются, будучи выраженными в высших измерениях. Но когда речь идёт о квантовой теории, в это утверждение понадобится внести поправку, и теперь оно будет звучать так: законы природы упрощаются, когда самосогласованность выражена в высших измерениях. Слово «самосогласованность» играет здесь решающую роль. Это ограничение вынуждает нас пользоваться модулярными функциями Рамануджана, определяющими количество измерений пространства-времени равным десяти. В свою очередь, у нас появляется решающая подсказка, помогающая объяснить происхождение Вселенной.
Эйнштейн часто спрашивал себя, был ли у Бога выбор при сотворении Вселенной. По мнению теоретиков суперструн, коль скоро требуется объединение квантовой теории и общей теории относительности, у Бога выбора не было. Согласно их утверждению, одна только необходимость самосогласованности заставила бы Бога создать Вселенную так, как он и сделал.
Несмотря на то что математическая изощрённость, ассоциирующаяся с теорией суперструн, достигла головокружительных масштабов и ошеломила математиков, критики теории до сих пор указывают на её самое слабое место. Любая теория, заявляют они, должна быть доступна для проверки. А поскольку теория, определённая при планковской энергии 1019 млрд эВ, проверке не поддаётся, теория суперструн на самом деле вовсе не теория!
Как мы уже указывали, главная проблема носит скорее теоретический, чем экспериментальный характер. Будь мы достаточно сообразительны, мы нашли бы разгадку теории и верное непертурбативное решение для неё. Но это не избавляет нас от поисков каких-нибудь способов экспериментального подтверждения теории. Для того чтобы проверить её, мы должны дождаться сигналов из десятого измерения.