Последнее распределение кажется довольно странным. Придем ли мы к нему, если в таком же положении окажутся пять студентов-математиков? А что насчет эксперимента с пятью аспирантами-психологами? Как все эти возможности разрешат они?
Позволено ли игрокам вступать в союзы и заключать сделки? И если так, на что будет похожа игра? Математическое решение всегда предполагает, что все игроки разумны и рациональны – но разумно ли делать такое допущение? Рационально ли это? (Я не раз наблюдал за этой игрой и никогда не видел, чтобы участники делили деньги в соответствии с математическим решением. К чему бы это?) Математическое решение игнорирует важные эмоции: зависть, обиду, злорадство при виде чужих страданий… Могут ли чувства изменить математический расчет?
В любом случае, хотя распределение Эйба – 97, 0, 1, 0, 2 – математически справедливо, я бы посоветовал ему проявить великодушие и предложить сотоварищам-пиратам разделить добычу так: 57, 10, 11, 10, 12 (то есть «накинуть» каждому еще по десятке из своей доли в 97 монет). Есть надежда, что так команда будет довольна и мятежа не произойдет.
И если «Пиратская забава» – версия ультимативной игры для многих игроков – кажется вам странной, то что вы скажете о следующей игре?
Умирает старик-богач. У него двое детей – Сэм и Дэйв [8]. Братья на дух не переносят друг друга. Они уже десять лет не виделись и не общались и только сейчас встречаются в доме отца, чтобы услышать его последнюю волю и прочесть завещание.
Нотариус вскрывает конверт и зачитывает необычный документ. Оказывается, отец оставил сыновьям миллион и десять тысяч долларов – и ряд вариантов того, как те могут делить эти деньги.
Вариант первый: Сэм, старший брат, может взять себе $100, дать младшему брату $1, а остальное раздать на благотворительность (да, это будет очень милосердно!).
Сэм не обязан соглашаться и может передать право дележа младшему брату. Если деньгами распоряжается Дэйв, он забирает $1000, Сэм получает $10, а остальное уходит на благотворительность. Это второй вариант.
Но от такого, при желании, может отказаться и Дэйв – и право владения снова переходит к Сэму, а деньги делят так: Сэм забирает $10 000, отдает Дэйву $100, а остальное… ну, вы поняли.
Впрочем, теперь (да, это вы тоже поняли) Сэм снова не обязан соглашаться. У него есть право отдать «ход» Дэйву, а тому позволено разделить деньги так: забрать себе $100 000, отдать Сэму $1000, а остаток, ставший уже чуть меньше, направить на милосердные дела.
Но и это не вырезано на скрижалях. Дэйв может решить, что позволит Сэму снова делить деньги, но тогда все пройдет так: Сэм заберет $1 млн себе, $10 000 оставит ненавистному брату, а на дела милосердия не пойдет ничего.
И как думаете, что случится? Опять же, разрешить этот вопрос нам поможет обратная индукция. Кто угодно поймет, что игра никогда в жизни не продлится до последнего пятого раунда: Дэйв не позволит Сэму забрать миллион, поскольку это снизит его личную выгоду со $100 000 до $10 000. Сэм это знает и ни за что не позволит игре дойти до четвертого раунда, в котором он получает только $1000 – вместо $10 000, которые достаются ему в третьем раунде. Продолжите сами, и вы увидите: игра не дойдет даже до третьего раунда… да и до второго она тоже не дойдет. Это поражает, но, если предположить, что оба брата принадлежат к одному виду, Homo economicus statisticus (то есть они способны производить расчеты и стремятся к собственной выгоде), игра закончится на первом же раунде: Сэм забирает $100, дает Дэйву $1, а остальная огромная сумма идет на благие дела (плохие намерения могут привести к благому исходу, а братья потом, возможно, обретут награду на небесах). Это математическое решение: $100 для Сэма, $1 для Дэйва и очень много денег на милосердие.
Есть ли в этом логика? Решите сами.
Это довольно простая игра, более известная как «Хрум!» (Chomp!). За ее формулировку с плитками шоколада, которую использую я, мы в долгу перед ныне покойным американским математиком Дэвидом Гейлом. В нее играют на шахматной доске, каждая клеточка которой сделана из шоколада, но при этом крайняя левая клетка содержит смертельный яд. Вот правила.
Игрок, делающий первый ход, ставит отметку X на одной из клеток, выбирая ее по желанию.
После этого все клетки, расположенные и справа, и сверху от клетки с отметкой X, получают такую же отметку.
Теперь очередь второго игрока. Он отмечает какую-либо из клеток, оставшихся свободными, как О. Как только это произойдет, все пустые клетки справа и сверху от нее тоже получают такую отметку.
Потом первый игрок снова ставит отметку X, отчего такую же получают помеченная клетка и все клетки справа и сверху от нее (если таковые есть), а второй игрок ставит очередную отметку O – на выбранную клетку и все клетки справа и сверху от нее (если таковые есть). Игра длится до тех пор, пока кому-либо из игроков не придется выбрать яд, тогда он проигрывает и умирает (конечно же метафорически).
С радостью приглашаю вас сыграть в эту игру на доске 7×4 (7 рядов и 4 колонки, или наоборот).
Если играть в эту игру на квадрате (с равным числом рядов и колонок), то есть стратегия, следуя которой игрок, делающий первый ход, всегда побеждает. Сможете ее найти? Возьмите три минуты на размышление.
Решение: Пусть в игру играют Джоан и Джилл. Если Джоан ходит первой, она должна придерживаться следующей стратегии – и непременно одержит победу. На первом ходу она должна выбрать клетку, расположенную справа по диагонали от клетки с пометкой «Яд».
Теперь все, что ей нужно делать, – это симметрично повторять ходы противника; иными словами, делать тот же ход, что и Джилл, только на противоположной стороне доски. Картинка, приведенная ниже, объяснит это лучше всяких слов.
То, как победить в этой игре, теперь должно быть совершенно ясно.
Все становится намного сложнее, если играть на прямоугольнике. Но и тогда можно доказать, что у игрока, делающего первый ход, есть выигрышная стратегия, проблема только в том, что доказательство не определяет ее точно. В математике такой вид доказательств называют «неконструктивным доказательством существования».
Одним из самых ценных навыков, которые я получил в средней школе в родном Вильнюсе, столице Литвы, было умение играть в стратегические игры на листочке бумаги, в классе, тайком от учителей. Мне очень нравилась «бесконечная» версия «крестиков-ноликов»: они часто помогали мне выжить на скучных уроках.
Думаю, большинству знакома классическая версия игры с полем 3×3. Шестилеток она приводит в восторг. Дети постарше и взрослые, как правило, сводят все поединки вничью, если только один из игроков не уснет на середине партии (это имеет смысл, игра все-таки скучная). Впрочем, в «бесконечной» версии игра проходит на поле с бесконечной решеткой, а цель – выстроить последовательность из пяти крестиков или ноликов, которая, как и в обычной игре, может быть горизонтальной, вертикальной и диагональной. Игроки по очереди ставят на клетки поля X или O (по предварительному соглашению), и первый, кому удастся сформировать «пятерку», побеждает.
На рисунке слева игрок, выбравший «крестики», уже победил.
На рисунке справа ход игрока, выбравшего «нолики», – но он ничем не может помешать противнику одержать победу. Видите почему?
В те далекие школьные дни я верил в то, что сам изобрел эту игру, но со временем, в должный час, понял, что я далек от правды. Оказалось, сходная игра под названием гомоку была на протяжении многих лет очень популярна в Японии и Вьетнаме. «Го» в переводе с японского означает «пять». Хотя в гомоку иногда играют на той же доске, что и в древнюю игру го, эти две игры не связаны. Го – старинная китайская игра, она даже упоминается в «Анналах» Конфуция, но на Западе с ней познакомились благодаря японцам, и потому она известна под японским названием.
Пусть я и обрел немалый опыт, играя в «бесконечную» версию «крестиков-ноликов» на нескончаемых уроках или переменах (на переменах веселья меньше, потому что играть разрешено), я все еще не уверен ни в том, есть ли в ней оптимальная стратегия для игрока, который начинает игру (игрок, выбравший «крестики»), ни в том, всегда ли игра заканчивается вничью (то есть не заканчивается никогда), если в нее играют двое сильных игроков. Впрочем, я готов даже заключить пари на то, что выигрышная стратегия существует. Когда я выйду на пенсию и у меня будет много свободного времени, я постараюсь найти ее для игрока, делающего первый ход.
И все-таки, если уж быть честным до конца, я должен сказать, что не играл в «крестики-нолики» уже несколько десятков лет и вспомнил о них, только когда писал эту книгу. А поскольку мои планы на то, чтобы вновь уделить внимание стратегическим аспектам этой игры, рассчитаны на очень долгий срок, прошу – будьте первыми, найдите эту стратегию и сберегите мне время и силы.
Представьте такую ситуацию. Мне дают два конверта с наличными и говорят, что в одном из них денег в два раза больше, чем в другом. Я могу выбрать себе любой, какой хочу, и забрать его.
Предположим, я выбираю конверт, открываю его и нахожу внутри $1000. Поначалу я очень доволен, но потом начинаю гадать: а что же было в другом конверте, который я не выбрал? Конечно, я не знаю. Там могло быть $2000, и тогда я выбрал плохо, или могло быть $500. Уверен, вы понимаете, в чем проблема. Я думаю, думаю, и тут: «Несчастный я человек! Ведь в том, другом конверте потенциальных денег в среднем больше, чем у меня в руках! В конце концов, там либо $2000, либо $500, шансы равны, в среднем это $1250, а это больше, чем $1000. Я свою математику знаю!»