По правде, что бы я ни обнаружил в своем конверте, подтвердится закон Мерфи: «Все, что может пойти не так, пойдет не так». Другой конверт в среднем всегда будет лучше моего. Если я найду в своем конверте $400, в другом будет либо $800, либо $200, а значит, среднее – $500. При таком образе мыслей я никогда не смогу выбрать верно. Выгода в оставшемся конверте всегда будет на 25 % больше моей. Так может, лучше переменить решение – если мне предложат такой вариант, прежде чем я смогу увидеть, что там, в другом конверте? Если я сделаю так, то начну «бесконечную петлю». Но почему такой простой выбор стал столь сложным?
История, которую я вам рассказал, – это знаменитый парадокс, и впервые его представил бельгийский математик Морис Крайчик (1882–1957). Впрочем, его история была о галстуках. Двое спорили о том, чей галстук лучше, и попросили третьего, ведущего галстучного эксперта Бельгии, выступить в роли судьи. Тот согласился, но при условии, что победитель отдаст свой галстук проигравшему в качестве утешительного приза. Владельцы недолго думая согласились, ведь каждый решил: «Не знаю, лучше ли мой галстук. Я могу его лишиться, но могу и приобрести лучший, так что эта игра мне на пользу, как и пари». Как мог каждый из соперников поверить в то, что преимущество на его стороне?
В 1953 г. Крайчик предложил иную версию истории, задействовав в ней двух других поссорившихся бельгийцев. Они галстуков уже не носили, потому что были так набиты бельгийским шоколадом, что едва могли дышать. Вместо этого они спорили о том, сколько денег у другого в кошельке, и решили, что тот, кто окажется богаче и счастливее, отдаст свой бумажник бедному противнику. А если все закончится ничьей, оба вернутся к своим шоколадкам.
Опять же, каждому казалось, что преимущество на его стороне. Если случится потерпеть поражение – что же, отдавать все равно придется меньше, чем может принести победа. Что же это – великая игра или нечто иное? Попытайтесь сыграть в нее на улице со случайными прохожими и посмотрите, что будет. В 1982 г. Мартин Гарднер сделал эту историю популярной в своей книге «А ну-ка, догадайся» [9][10] – одной из самых лучших, самых простых и самых увлекательных из всех самых лучших, самых простых и самых увлекательных книг, когда-либо написанных о проницательности и смекалке.
Барри Нейлбаф (профессор менеджмента на кафедре Милтона Стейнбаха в Йельской школе менеджмента), ведущий специалист по теории игр, в своей статье, опубликованной в 1989 г., предложил версию этой истории с конвертом. Возможно, вы удивитесь, но даже сегодня у этой игры нет решения, с которым были бы единодушно согласны все статистики.
Одно из предлагаемых решений подразумевает, что мы противопоставляем среднее геометрическое и среднее арифметическое. Среднее геометрическое – это квадратный корень из произведения двух чисел. Например, среднее геометрическое 4 и 9 равняется квадратному корню из их произведения (результата перемножения обоих чисел) – а именно 6. Итак, если мы нашли в своем конверте X долларов и знаем, что другой содержал 2X или ½X, то среднее геометрическое другого конверта будет равняться X – и в точности соответствовать тому, что попало к нам в руки. Логика применения среднего геометрического опирается на тот факт, что мы говорим не о сложении, а об умножении (вдвое больше). Если бы мы сказали, что в одном конверте на $10 больше, чем в другом, то использовали бы среднее арифметическое, нашли бы его, и никакого парадокса бы не возникло, ведь в нашем конверте содержится X, а в другом – X+10 или X-10, и среднее количество денег в конверте, который мы не выбрали, равняется X.
Студенты, изучающие теорию вероятностей, сказали бы: «Вам не найти равномерное распределение для множества рациональных чисел». Впечатляет?
Если вы не понимаете, что это значит, превосходно! Лучшая версия этого парадокса не имеет никакого отношения к вероятностям. Она появляется в книге «Сатана, Кантор и бесконечность», прекрасном произведении (с прекрасным названием, правда?) Рэймонда Смаллиана, американского математика, философа, классика-пианиста и фокусника[11]. Смаллиан представляет две версии парадокса:
1. Если в вашем конверте B банкнот, то вы либо получите B, либо потеряете ½B, заменив этот конверт другим. Следовательно, вам следует их поменять.
2. Если конверты содержат соответственно С и 2С, а вы решаете заменить один на другой, то вы либо получите С, либо потеряете С, так что шансы равны и вы можете получить столько же, сколько рискуете потерять.
Вы в растерянности? Я тоже.
В любом случае многие пессимистично заявляют, что здесь нет никакого парадокса, просто такова жизнь, и не имеет значения, что вы сделаете или куда пойдете: лучше всегда будет там, где нас нет. Например, если вы в браке – возможно, вам следовало никогда в него не вступать. В конце концов, как писал Чехов: «Если боитесь одиночества, то не женитесь». И все же, если решите остаться в одиночестве, вы снова неправы. В Библии слова «не хорошо» впервые встречаются в Книге Бытия: «…не хорошо быть человеку одному…» (2: 18). Это не я сказал, а Господь Бог.
«Золотые шары» (Golden Balls) – британское телевизионное шоу, выходившее в эфир с 2007 по 2009 г. Не будем вдаваться в детали правил и ходов, но на последней стадии игры двое оставшихся игроков должны договориться о том, как разделить между собой определенную сумму денег. У каждого игрока – два шара с наклейками: на одном написано SPLIT («Дележ»), на другом – STEAL («Кража»). Если оба решают выбрать «Дележ», деньги делят поровну; если оба выбирают «Кражу», то остаются ни с чем; а если их выбор не совпадает, тогда приз забирает тот, кто выбрал «Кражу». Сперва игроки могут обсудить то, как им поступить, – и только потом делать выбор.
C первого же взгляда на таблицу, основанную на правилах игры, совершенно ясно одно: если каждый думает лишь о своей выгоде, то «Кража» лучше, чем «Дележ». Но есть проблема: если каждый из игроков думает только о себе, проигрывают оба. (Да, это в какой-то мере похоже на «Дилемму заключенного», о которой вы, возможно, уже знаете. Эту знаменитую дилемму мы обсудим позже.)
В большинстве случаев игроки пытаются убедить друг друга выбрать «Дележ», и иногда это срабатывает. На YouTube немало записей игры с душераздирающими сценами, когда игроки, доверявшие противнику, выбирали «Дележ» – лишь для того, чтобы жестоко обмануться.
Однажды игрок по имени Ник применил неожиданный подход. Он сказал своему сопернику Ибрагиму, что выберет «Кражу», и умолял того решиться на «Дележ», обещая разделить деньги (в этом случае приз £13 600) между ними после того, как игра окончится. Ибрагим не мог поверить своим ушам: Ник снова и снова обещал сжульничать! Но почему тогда он говорил об этом заблаговременно? Да потому, говорил Ник, что я принципиально честен! «Будет тебе твоя половина, Ибрагим! Выбери “Дележ”, а то проиграешь! – говорил Ник. – Тебе все только на пользу!» В этот момент игроков попросили прекратить диалог и взять шар.
Ибрагим выбрал «Дележ» – но то же самое сделал и Ник! Почему? Просто он был на все сто уверен, что убедил Ибрагима! Так к чему лишние проблемы? Зачем делить деньги после игры? Делим прямо сейчас!
Остается лишь признать, что Ник, вероятно, был достоин звания «Стратег года».
Эта игра посвящена не только стратегиям переговоров, но и доверию между игроками.
(Все, что написано ниже, предназначено только для любителей шахмат и математики.)
Многие считают, что теория игр появилась в 1944 г., с выходом в свет каноничной книги «Теория игр и экономическое поведение», авторами которой стали великий математик Джон фон Нейман (1903–1957) и экономист Оскар Моргенштерн (1902–1977). (Впрочем, проблемы, к которым обращается теория игр, в той или иной мере существовали с начала времен. Первые примеры можно обнаружить в Талмуде, в трактате Сунь Цзы «Искусство войны» и в произведениях Платона.)
Но все же некоторые склонны полагать, что теория игр – как дисциплина – зародилась в 1913 г., когда немецкий математик Эрнст Цермело (1871–1953) представил свою теорему о шахматах, «игре королей»: «Либо белые могут форсировать выигрыш, либо черные могут форсировать выигрыш, либо обе стороны могут по крайней мере форсировать ничью». Другими словами, он утверждал, что существует всего три варианта:
1. У белых есть стратегия, следование которой всегда ведет к победе.
2. У черных есть стратегия, следование которой всегда ведет к победе.
3. И у белых, и у черных есть сочетание стратегий, следование которым всегда ведет к ничьей.
Помню, когда я впервые прочел эту теорему, то подумал (со своим обычным сарказмом): «Ух ты! Как умно… и как ново… Немецкий знаток говорит мне, что победят либо белые, либо черные, либо все кончится ничьей. А я-то думал, тут столько вариантов…» И только вчитавшись в строки доказательства, я понял, в чем именно состоит теорема.
По сути, Цермело доказал, что игра в шахматы неотличима от имеющей предел (3×3) игры в «крестики-нолики». Мы уже упоминали: если в партии в «крестики-нолики» оба игрока не сошли на время с ума (да, иногда такое бывает), все игры всегда закончатся вничью. Иного варианта нет. Даже те, кто раз за разом проигрывает в «крестики-нолики», в конце концов сумеют понять, как не проигрывать никогда, и это превратит игру, и так не особо захватывающую, в нечто столь же скучное, как чтение книги с белыми страницами без текста.
Цермело сумел доказать, что шахматы (и многие другие игры) представляют собой практически те же «крестики-нолики» и отличие – не в качестве, а в количестве.