Цифра шесть
Спросите кого-нибудь из ваших знакомых постарше, как давно обладает он карманными часами. Положим, окажется, что часы у него уже 15 лет. Продолжайте тогда разговор примерно в таком духе:
— А по скольку раз в день взглядываете вы на свои часы?
— Раз 20, вероятно, или около того, — последует ответ.
— Значит, в течение года вы смотрите на свои часы не менее 6000 раз, а за 15 лет видели их циферблат 6000 × 15, то есть чуть не 100 тысяч раз. Вещь, которую вы видели 100 тысяч раз, вы, конечно, должны знать и помнить отлично.
— Ну, разумеется!
— Вам поэтому прекрасно должен быть известен циферблат ваших карманных часов, и вы не затруднитесь изобразить на память, как обозначена на нем цифра шесть.
И вы предлагаете собеседнику бумажку и карандаш.
Он исполняет вашу просьбу, но… изображает цифру шесть совсем не такой, какой обозначена она на его часах.
Почему?
Ответьте на этот вопрос, не глядя на карманные часы. Покажите, как ваш собеседник изобразил цифру шесть и как ее следует изобразить.
Трое часов
В доме трое часов. 1 января все они показывали верное время. Но шли верно только первые часы; вторые отставали на одну минуту в сутки, третьи на 1 минуту в сутки спешили. Если часы будут продолжать так идти, через сколько времени все трое часов будут снова показывать верное время?
Двое часов
Вчера я проверял мои стенные часы и будильник и поставил их стрелки правильно. Стенные отстают на 2 минуты в час; будильник спешит в час на минуту.
Сегодня часы остановились: завод кончился. Стрелки на циферблате стенных часов показывают 7 часов, на циферблате будильника — 8 часов.
В котором часу я вчера проверил часы?
Который час?
— Куда спешите?
— К 6-часовому поезду. Сколько минут осталось до отхода?
— 50 минут назад было вчетверо больше минут после трех.
Что означает этот странный ответ? Который был час?
Когда стрелки встречаются?
В 12 часов одна стрелка покрывает другую. Но вы замечали, вероятно, что это не единственный момент, когда стрелки часов встречаются: они настигают друг друга в течение дня несколько раз.
Можете ли вы указать все те моменты, когда это случается?
Когда стрелки направлены врозь?
В 6 часов, наоборот, обе стрелки направлены в противоположные стороны. Но только ли в 6 часов это бывает, или же есть и другие моменты, когда стрелки так расположены?
По обе стороны шести
Я взглянул на часы и заметил, что обе стрелки отстоят от цифры VI, по обе ее стороны, одинаково. В котором часу это было?
В котором часу?
В котором часу минутная стрелка опережает часовую ровно на столько же, на сколько часовая находится впереди числа 12 на циферблате? А может быть, таких моментов бывает в день несколько? Или же вовсе не бывает?
Наоборот
Если вы внимательно наблюдаете за часами, то, быть может, вам случалось наблюдать как раз и обратное расположение стрелок, чем то, что сейчас описано: часовая стрелка опережает минутную на столько же, на сколько минутная продвинулась вперед от числа 12. Когда же это бывает?
Три и семь
Часы бьют три, и, пока они бьют, проходят три секунды. Сколько же времени должны употребить часы, чтобы пробить семь?
На всякий случай предупреждаю, что это — не задача-шутка и никакой ловушки не скрывает.
Тиканье часов
Положите свои карманные часы на стол, отойдите шага на три или на четыре и прислушайтесь к их тиканью. Если в комнате достаточно тихо, то вы услышите, что часы ваши идут словно с перерывами: то тикают короткое время, то на несколько секунд замолкают, то снова начинают идти, и т. д.
Чем объясняется такой неравномерный ход?
Ответы
Цифра шесть
Большинство непредупрежденных людей в ответ на вопрос этой задачи рисуют одно из начертаний 6, или VI. Это показывает, что можно видеть вещь 100 тысяч раз и все-таки не знать ее. Дело в том, что обычно на циферблате (мужских часов) цифры шесть вовсе нет, потому что на ее месте помещается секундник.
Трое часов
Через 740 суток. За это время вторые часы отстанут на 720 минут, то есть ровно на 12 часов; третьи часы на столько же уйдут вперед. Тогда все трое часов будут показывать то же, что и 1 января, то есть верное время.
Двое часов
Будильник уходит в течение часа на 3 минуты по сравнению со стенными часами. На 1 час, то есть на 60 минут, он уходит в течение 20 часов. Но за эти 20 часов будильник ушел вперед по сравнению с верным временем на 20 минут. Значит, стрелки были поставлены верно 19 часов 20 минут назад, то есть в 11 часов 40 минут.
Который час?
Между 3 и 6 часами 180 минут. Нетрудно сообразить, что число минут, остающихся до 6 часов, найдется, если 180 — 50, то есть 130, разделим на такие две части, из которых одна в четыре раза больше другой. Значит, надо найти пятую часть от 130. Итак, было без 26 минут шесть.
Действительно, 50 минут назад оставалось до 6 часов 26 + 50 = 76 минут, и, значит, после 3 часов прошло 180 — 76 = 104 минуты; это вчетверо больше числа минут, остающихся теперь до шести.
Когда стрелки встречаются?
Начнем наблюдать за движением стрелок в 12 часов. В этот момент обе стрелки друг друга покрывают. Так как часовая стрелка движется в 12 раз медленнее, чем минутная (она описывает полный круг в 12 часов, а минутная в 1 час), то в течение ближайшего часа стрелки, конечно, встретиться не могут. Но вот прошел час; часовая стрелка стоит у цифры 1, сделав 1/12 долю полного оборота; минутная же сделала полный оборот и стоит снова у XII — на 1/12 долю круга позади часовой. Теперь условия состязания иные, чем раньше: часовая стрелка движется медленнее минутной, но она впереди, и минутная должна ее догнать. Если бы состязание длилось целый час, то за это время минутная стрелка прошла бы полный круг, а часовая 1/12 круга, т. е. минутная сделала бы на 1/12 круга больше. Но, чтобы догнать часовую стрелку, минутной нужно пройти больше, чем часовой, только на ту 1/12 долю круга, которая их отделяет. Для этого потребуется времени не целый час, а меньше во столько раз, во сколько раз 1/12 меньше 11/12, т. е. в 11 раз. Значит, стрелки встретятся через 1/11 часа, т. е. через 60/11 = 5 5/11 минуты.
Итак, встреча стрелок случится спустя 5 5/11 минуты после того, как пройдет 1 час, т. е. в 5 5/11 минут второго.
Когда же произойдет следующая встреча?
Нетрудно сообразить, что это случится спустя 1 час 5 5/11 мин., т. е. в 2 часа 10 10/11 мин. Следующая — спустя еще 1 час 5 5/11 мин., т. е. в 3 часа 16 4/11 мин., и т. д. Всех встреч, как легко видеть, будет 11; одиннадцатая наступит через 1 1/11 × 11 = 12 часов после первой, т. е. в 12 часов; другими словами, она совпадает с первой встречей, и дальнейшие встречи повторятся снова в прежние моменты.
Вот все моменты встреч:
Когда стрелки направлены врозь?
Эта задача решается весьма сходно с предыдущей. Начнем опять с 12 часов, когда обе стрелки совпадают. Нужно вычислить, сколько времени потребуется для того, чтобы минутная стрелка обогнала часовую ровно на полкруга, — тогда обе стрелки и будут направлены как раз в противоположные стороны. Мы уже знаем (см. предыдущую задачу), что в течение целого часа минутная стрелка обгоняет часовую на 11/12 полного круга; чтобы обогнать ее всего на 1/2 круга, понадобится меньше времени, чем целый час, — меньше во столько раз, во сколько 1/2 меньше 11/12, т. е. потребуется всего 6/11 часа. Значит, после 12 часов стрелки в первый раз располагаются одна против другой спустя 6/11 часа, или 32 8/11 минуты. Взгляните на часы в 32 8/11 минуты первого, и вы убедитесь, что стрелки направлены в противоположные стороны.
Единственный ли это момент, когда стрелки так расположены? Конечно, нет. Такое положение стрелки занимают спустя 32 8/11 минуты после каждой встречи. А мы уже знаем, что встреч бывает 11 в течение двенадцати часов; значит, и располагаются стрелки врозь тоже 11 раз в течение 12 часов. Найти эти моменты нетрудно:
12 ч. + 32 8/11 мин. = 12 ч. 32 8/11 мин.
1 ч. 5 5/11 мин. + 32 8/11 мин. = 1 ч. 38 2/11 мин.
2 ч. 10 10/11 мин. + 32 8/11 мин. = 2 час. 43 7/11 мин.
3 ч. 16 1/11 мин. + 32 8/11 мин. = 3 ч. 49 1/11 мин. и т. д.
Вычислить остальные моменты предоставляю вам самим.
По обе стороны шести
Задача эта решается так же, как и предыдущая. Вообразим, что обе стрелки стояли у 12, и затем часовая отошла от 12 на некоторую часть полного оборота, которую мы обозначим буквою х. Минутная стрелка за то же время успела повернуться на 12?. Если времени прошло не больше одного часа, то для удовлетворения требованию нашей задачи необходимо, чтобы минутная стрелка отстояла от конца целого круга на столько же, на сколько часовая стрелка успела отойти от начала; другими словами:
1 — 12 x = x.
Отсюда 1 = 13 x (потому что 13 x — 12 x = x). Следовательно, x = 1/13 доле целого оборота. Такую долю оборота часовая стрелка проходит в 12/13 часа, т. е. показывает 55 5/13 мин. первого. Минутная стрелка в то же время прошла в 12 раз больше, т. е. 12/13 полного оборота; обе стрелки, как видите, отстоят от 12 одинаково, а следовательно, одинаково отодвинуты и от VI по разные стороны.
Мы нашли одно положение стрелок — именно то, которое наступает в течение первого часа. В течение второго часа подобное положение наступит еще раз; мы найдем его, рассуждая по предыдущему, из равенства 1 — (12 x — 1) = x или 2 — 12 x = x, откуда 2 = 13 x (потому что 13 x — 12 • x = x), и, следовательно, x = 2/13 полного оборота. В таком положении стрелки будут в 1 11/13 часа, т. е. в 50 10/13 минуты второго.
В третий раз стрелки займут требуемое положение, когда часовая стрелка отойдет от 12 на 3/13 полного круга, т. е. в 2 10/13 часа, и т. д. Всех положений 11, причем после 6 часов стрелки меняются местами: часовая стрелка занимает те места, в которых была раньше минутная, а минутная становится на места часовой.
В котором часу?
Если начать следить за стрелками ровно в 12 часов, то в течение первого часа мы искомого расположения не заметим. Почему? Потому что часовая стрелка проходит 1/12 того, что проходит минутная, и, следовательно, отстает от нее гораздо больше, чем требуется для искомого расположения. На какой бы угол ни отошла от XII минутная стрелка, часовая повернется на 1/12 этого угла, а не на 1/2, как нам требуется. Но вот прошел час; теперь минутная стрелка стоит у 12, часовая — у 1, на 1/12 полного оборота впереди минутной. Посмотрим, не может ли такое расположение стрелок наступить в течение второго часа. Допустим, что момент этот наступил тогда, когда часовая стрелка отошла от цифры 12 на долю оборота, которую мы обозначаем через х. Минутная стрелка успела за то же время пройти в 12 раз больше, т. е. 12 x. Если вычесть отсюда один полный оборот, то остаток 12 x — 1 должен быть вдвое больше, чем х, т. е. равняться 2 x. Мы видим, следовательно, что 12 x — 1 = 2 • x, откуда следует, что 1 целый оборот равен 10 • x (действительно: 12 • x — 10 • x = 2 • x). Но если 10 • x = целому обороту, то одно × = 1/10 части оборота. Вот и решение задачи: часовая стрелка отошла от цифры 12 на 12/10 полного оборота, на что требуется 12/10 часов, или 1 час 12 мин. Минутная стрелка при этом будет вдвое дальше от 12, т. е. на расстоянии 1/5 оборота; это отвечает 60/5 = 12 минутам, — как и должно быть.
Мы нашли одно решение задачи. Но есть и другие: стрелки в течение двенадцати часов располагаются таким же образом не один раз, а несколько. Попытаемся найти остальные решения.
Для этого дождемся двух часов; минутная стрелка стоит у 12, а часовая — у 2. Рассуждая по предыдущему, получаем равенство
12 x — 2 = 2 x
откуда 2 целых оборота равны 10 x и, значит, x = 1/5 целого оборота. Это соответствует моменту 12/5 = 2 ч. 24 м.
Дальнейшие моменты вы легко вычислите сами. Тогда вы найдете, что стрелки располагаются согласно требованию задачи в следующие 10 моментов:
Ответы: «в 6 часов» и «в 12 часов» могут показаться неверными, — но только с первого взгляда. Действительно: в 6 часов часовая стрелка стоит у 6, минутная же — у 12, т. е. ровно вдвое дальше. В 12 же часов часовая стрелка удалена от 12 на нуль, а минутная, если хотите, на «два нуля» (потому что двойной нуль — то же, что и нуль); значит, и этот случай, в сущности, удовлетворяет условию задачи.
Наоборот
После предыдущих разъяснений решить эту задачу уже не трудно. Легко сообразить, рассуждая, как прежде, что в первый раз требуемое расположение стрелок будет в тот момент, который определяется равенством:
12 x — 1 = x/2,
откуда 1 = 11 1/2 x, или x = 2/23 целого оборота, т. е. через 1 1/23 часа после 12. Значит, в 1 час. 2 14/23 минуты стрелки будут расположены требуемым образом. Действительно, минутная стрелка должна стоять посредине между 12 и 1 1/23 часами, т. е. на 12/23 часа, что как раз и составляет 1/23 полного оборота (часовая стрелка пройдет 2/23 целого оборота).
Второй раз стрелки расположатся требуемым образом в момент, который определится из равенства:
12 x — 2 = x/2,
откуда 2 = 11 1/2 x и × = 4/23; искомый момент — 2 часа 5 5/23 мин.
Третий искомый момент — 3 час. 7 19/23 мин. и т. д.
Три и семь
Обычно отвечают — «7 секунд». Но такой ответ, как сейчас увидим, неверен.
Когда часы бьют три, мы наблюдаем два промежутка:
1) между первым и вторым ударом;
2) между вторым и третьим ударом.
Оба промежутка длятся 3 секунды; значит, каждый продолжается вдвое меньше — именно 1 1/2 секунды.
Когда же часы бьют семь, то таких же промежутков бывает 6. Шесть раз по полторы секунды составляют 9 секунд. Следовательно, часы «бьют семь» (т. е. делают 7 ударов) в 9 секунд.
Тикание часов
Загадочные перерывы в тиканьи часов происходят просто от утомления слуха. Наш слух, утомляясь, притупляется на несколько секунд — и в эти промежутки мы не слышим тиканья. Спустя короткое время утомление проходит, и прежняя чуткость восстанавливается, — тогда мы снова слышим ход часов. Затем наступает опять утомление, и т. д.