д. Это означает, что, каково бы ни было максимальное число знаков, на которое рассчитана машина, в процессе последовательных умножений этот максимум рано или поздно будет достигнут. И как только он будет достигнут, следующее умножение даст число цифр, которое превосходит этот максимум, и в произведении будет сохранена лишь половина его цифр (первая половина цифр, соответствующим образом округленная). Поэтому ясно, что ситуация с максимальным числом знаков, равным 10, типична, и мы с полным основанием можем воспользоваться ею для того, чтобы разъяснить суть дела.
Таким образом, необходимость округления (точного) 20-значного произведения до установленного (максимального) числа из десяти цифр приводит в случае цифровых машин к качественно той же ситуации, какая была обнаружена выше в случае моделирующих машин. То, что выдает машина в качестве результата, когда требуется найти произведение, есть не само произведение, а произведение плюс малый добавочный член – ошибка округления. Понятно, что эта ошибка не является случайной величиной, подобной, например, «шуму» в моделирующей машине. Арифметически она полностью определена в каждом отдельном случае. Тем не менее способ определения этой ошибки настолько сложен, а ее варьирование в ряде случаев столь незакономерно, что обычно можно с высокой степенью приближения рассматривать ее как случайную величину.
Эти рассуждения относятся к умножению. В случае деления ситуация оказывается даже немного хуже, так как частное – в общем случае – нельзя выразить с абсолютной точностью, какое бы конечное число цифр ни брать. Следовательно, в случае деления округление обычно оказывается необходимым уже после первой операции. С другой стороны, для сложения и вычитания эта трудность не возникает. Сумма или разность имеет (если величины не превышают установленного максимума) то же число цифр, что и сами слагаемые. Переполнение разрядной сетки может создавать трудности, которые добавляются к рассмотренным выше, но здесь я не буду их рассматривать.
Существенное различие между уровнем шума цифровой машины и уровнем шума моделирующей машины вовсе не является качественным. Оно носит количественный характер. Как отмечалось выше, относительный уровень шума в моделирующей машине никогда не бывает ниже 1:105, а во многих случаях доходит до 1:102. В 10-разрядной цифровой машине, о которой речь шла выше, относительный уровень шума (являющийся результатом округления) равен 1:1010. Таким образом, практическое значение цифрового метода состоит в том, что он уменьшает уровень вычислительного шума до такого предела, который недостижим ни при какой другой (моделирующей) процедуре. Кроме того, дальнейшее понижение уровня шума сопряжено в случае моделирующего механизма с увеличением трудностей, между тем как в случае цифровой машины оно достигается со все возрастающей легкостью. В моделирующей машине легко достигнуть точности 1:103. Точность 1:104 достигается с некоторым трудом, точность же 1:105 получить уже очень трудно, а 1:106 – при современном состоянии техники – невозможно. В случае цифровой машины такое же уменьшение уровня шума достигается всего лишь за счет того, что строят машину, рассчитанную на 3, 4, 5 и 6 десятичных разрядов соответственно. В этом случае переход от одной ступени к следующей действительно становится все более легким. Переход от машины, рассчитанной на 3 разряда (если бы кто-нибудь захотел построить такую машину), к 4-разрядной машине означает возрастание сложности на 33 %, переход от 4-разрядной машины к машине, рассчитанной на 5 разрядов, означает увеличение еще на 25 %, а переход от 5-разрядной машины к 6разрядной – на 20 %. Переход от 10 разрядов к 11 разрядам означает увеличение сложности всего лишь на 10 %. Ясно, что с точки зрения уменьшения «случайного шума» здесь обстановка совершенно иная, чем в случае моделирующей процедуры, основанной на применении физических процессов. Именно в этом – а не в его абсолютной надежности, которая практически недостижима, – кроется важность цифрового метода.
III. Сравнение вычислительных машин с живыми организмами
Изучение центральной нервной системы обнаруживает в ней наличие элементов обеих процедур – цифровой и моделирующей.
Нейрон передает импульс. По-видимому, в этом состоит основная его функция, хотя последнее слово относительно этой функции и о том, ограничивается ли ею роль нейрона в центральной нервной системе, еще далеко не сказано. Нервный импульс в основном подчиняется принципу «включено – выключено», «все или ничего», и его можно сравнивать с двоичной цифрой. Таким образом, наличие цифрового элемента очевидно, но также очевидно, что это еще не все. Многое из того, что происходит в организме, обусловлено не явлениями этого рода, а зависит от общего химического состава крови и других гуморальных сред. Хорошо известно, что в организме имеется множество сложных функциональных цепей, в которых переход от первоначального раздражения к конечному эффекту осуществляется через целый ряд этапов; некоторые из этих этапов являются нейронными, т. е. цифровыми, другие – гуморальными, т. е. моделирующими. Цифровые и моделирующие участки такого рода цепи могут различным образом чередоваться. В некоторых случаях этого типа цепь может фактически иметь обратную связь «на себя», т. е. стимул на ее выходе может, в свою очередь, оказывать воздействие на ее начальный вход.
Хорошо известно, что такие смешанные (частично нейронные, а частично гуморальные) цепи обратной связи могут порождать весьма важные процессы. Так, механизм, поддерживающий постоянство кровяного давления, является механизмом смешанного типа. Нерв, который воспринимает давление крови и сигнализирует о его величине, осуществляет это в виде последовательности нейронных импульсов, т. е. цифровым способом. Мышечное сокращение, вызванное этой системой импульсов, можно описать как результат наложения многих цифровых импульсов. Однако влияние этого сокращения на ток крови является гидродинамическим и, следовательно, моделирующим. Воздействие изменившегося давления на нерв, сигнализирующий о давлении крови, замыкает кольцо обратной связи, и в этом месте моделирующая процедура вновь превращается в цифровую. Следовательно, в этом пункте аналогия между живыми организмами и вычислительными машинами явно не полная. Живые организмы являются очень сложными – частично цифровыми, а частично моделирующими – механизмами. Вычислительные же машины, по крайней мере в том виде, какой они имели до настоящего времени (и из которого я исхожу в настоящем изложении), являются чисто цифровыми. Мне приходится поэтому просить вас принять следующее весьма сильное упрощение системы. Хотя я прекрасно отдаю себе отчет в том, что в живом организме имеются компоненты, работающие по принципу моделирования, и отрицать их значение было бы нелепо, тем не менее для простоты рассмотрения я опущу эту часть вопроса и буду рассматривать живые организмы так, как если бы они были чисто цифровыми автоматами.
В добавление к сказанному можно привести аргументы в пользу того, что даже нейрон не является строго цифровым органом. Такие соображения высказывались неоднократно и с большой настойчивостью. Тщательный анализ фактов показывает, что в них, несомненно, содержится большая доля истины. Соображения, о которых идет речь, заключаются в том, что полностью развитый нервный импульс, которому можно приписать характер процесса, протекающего по принципу «все или ничего», является не элементарным, а весьма сложным явлением. Такой импульс представляет собой вырожденное состояние сложного электрохимического комплекса, каковым является нейрон, который – если провести полный анализ его функционирования – следует рассматривать как моделирующую машину. Действительно, можно возбудить нейрон так, чтобы не произошло скачка, вызывающего возникновение нервного импульса. Рассматривая эту область «подпорогового возбуждения», мы видим, что вначале (т. е. для самых слабых раздражений) реакции пропорциональны раздражениям, а затем (при более сильных, но все еще подпороговых уровнях раздражения) реакции начинают подчиняться более сложному нелинейному закону, оставаясь тем не менее непрерывными переменными и не приобретая скачкообразного характера. Кроме того, следует учесть, что имеются и другие сложные явления как внутри подпороговой области, так и вне ее: усталость, суммация, некоторые виды автоколебаний.
Несмотря на правильность этих замечаний, следует учитывать, что они, быть может, предъявляют чрезмерно строгие требования к органу, работающему по принципу «все или ничего». Электромагнитное реле и электронная лампа при правильном их использовании являются, несомненно, органами, работающими по принципу «все или ничего». В самом деле, электромагнитное реле и электронная лампа служат прототипом такого рода органов. И тем не менее в действительности оба являются сложными моделирующими механизмами, которые при надлежаще подобранном возбуждении реагируют непрерывно (линейно или нелинейно), обнаруживая явления типа «скачка», или «все или ничего», лишь при весьма частных условиях работы. Различие между действием этих механизмов и описанным выше поведением нейронов невелико. Выразим это несколько иначе. Ни один из этих механизмов не является органом, действующим исключительно по принципу «все или ничего» (наш опыт в технике и физиологии недостаточен для того, чтобы утверждать, что существуют органы, работающие исключительно по этому принципу), однако это несущественно. Под органом типа «все или ничего» мы понимаем орган, который удовлетворяет двум следующим условиям. Во-первых, он является механизмом, который при некоторых подходящих условиях действует по принципу «все или ничего». Во-вторых, эти условия являются условиями его нормального использования; в функциональном отношении они представляют собой нормальное состояние того большого организма, частью которого является этот орган. Таким образом, важно не то, удовлетворяет ли орган обязательно и при всех условиях принципу «все или ничего» – вероятно, так никогда и не бывает, – а то, являются ли его функции в надлежащей обстановке в основном функциями типа «все или ничего» и выступает ли он в качестве органа, предназначенного в основном для работы в этом режиме. Я отдаю себе отчет в том, что это определение привносит весьма нежелательные критерии «надлежащей» обстановки и «предназначения». Однако я не вижу, каким образом можно избежать их употребления или не учитывать того, что их применение основано просто на здравом смысле. В соответствии со сказанным выше я в дальнейшем буду пользоваться в качестве рабочей гипотезы допущением, что нейрон является цифровым органом типа «все или ничего». Я сознаю, что последнее слово в этом вопросе еще не сказано; однако надеюсь, что приведенные выше соображения, касающиеся ограниченности этой рабочей гипотезы, а также оснований ее прим