очень грубая оценка. Чтобы уточнить ее, берем квадрат побольше и приблизительно оцениваем длину его диагонали. Сторона каждого следующего квадрата в последовательности равна сумме стороны и диагонали предыдущего квадрата (в этом случае – 2). Чтобы получить следующую диагональ, нужно прибавить предыдущую диагональ к предыдущей стороне, умноженной на 2 (получим 3).
Представьте отношение этой следующей диагонали к следующей стороне в виде дроби, и получится 3/2, или 1,5, что уже немного ближе к √2. По мере увеличения квадратов вы получите 7/5, 17/12, 41/29, 99/70 и так далее, и эти числа будут постепенно становиться все ближе к точному значению √2. Например, 99/70 – это 1,41428…, и это весьма неплохо (как мы помним, √2 равен 1,41421…).
Далее Исидору и Анфимию предстояло выбрать из этих дробей ту, с которой легче всего было бы работать и им самим, и их прорабу. Так у них появилась S, длина стороны квадрата с известной им диагональю. Этот треугольник подобен тому, стороны которого равны 1, 1 и 2, следовательно, 1 относится к 2 так же, как S относится к 140. Заменим 2 на 99/70 и получим равенство:
Решив его по правилу трех, мы получим значение S чуть меньше 99. В наших обстоятельствах длину стороны вполне можно округлить до 99 футов, и строителям Софийского собора не составит труда разметить соответствующий квадрат. Поскольку диагональ квадрата, на котором покоится купол, кратна π, возвести купол будет относительно просто.
Возможно, Исидору и Анфимию даже не пришлось производить все описанные расчеты. Вероятно, Герон просто составил таблицы, в которых можно было по диаметру купола узнать размеры остальных его элементов. Ни одна из них не сохранилась, но до нас дошли его книги, в которых он приводит подобные таблицы для других целей. Кроме того, он создавал чертежи в помощь архитекторам, и эти чертежи подозрительно напоминают купол и некоторые своды Софийского собора.
Скорее всего, Исидор и Анфимий пользовались его приемами. До нас дошло несколько текстов, в которых упоминаются (к несчастью, утраченные) комментарии Исидора к расчетам Герона о проектировании и строительстве сводов. Не стоит также забывать, что Герон гордо стоял на плечах других математиков, в частности Архимеда, ведь в мире существует и множество других примеров того, как на практике применялись древние геометрические пропорции. При постройке Даремского собора на северо-востоке Англии явно учитывалось примерное отношение стороны квадрата к его диагонали. Инженеры, проектировавшие Миланский собор в конце XIV века, обратились за помощью к математику Габриэлю Сторнолоко, чтобы обсудить, какой должна быть постройка – ad quadratic или ad triangulum, – то есть что предпочтительнее положить в ее основу, отношение диагонали к квадрату или отношение высоты к стороне равностороннего треугольника[52]. Сторнолоко выбрал треугольники – в сочетании с квадратами, прямоугольниками и шестиугольниками. Ученые не сходятся во мнении относительно того, как именно он вычислил отношение высоты равностороннего треугольника к его стороне, которое равно √3/2:1. Как и при постройке Софийского собора, ни один каменщик не смог бы произвести необходимые расчеты, но складывается впечатление, что Сторнолоко дал ремесленникам всего три конкретных размера: ширину нефа и четырех приделов; высоту треугольника, указывающего на высшую точку свода нефа; а также расстояние между осями опор нефа – и отношение 26/30. В других средневековых европейских постройках, например в соборах в Реймсе, Праге и Нюрнберге, использовалось отношение стороны к диагонали правильного пятиугольника[53], а значит, применялись известные приблизительные значения числа (√5 + 1)/2. Вот так просто все и делалось, зачем изобретать велосипед? В конце концов, когда основные расчеты произведены, остальное труда не представляет.
Софийский собор – признанное чудо древнего мира, одна из множества архитектурных жемчужин, построенных в незапамятные времена. Почему же картины, которые принято считать мировыми шедеврами, начали появляться лишь тысячу лет спустя, в XV и XVI веках? И почему эта революция в живописи совпала с покорением океанов и составлением европейцами первых карт мира? Случайно ли так произошло? Нет. И живописи, и картографии пошло на пользу возрождение математических знаний, утраченных за столетия религиозных войн.
В начале VII века исламские народы начали покорение Западной Азии и Северной Африки. К концу столетия они даже вторглись в Европу и обосновались в Испании и на Балканах. Но в XI веке терпение христиан лопнуло. Теперь им даже не позволялось посещать Иерусалим, святой город. В ответ на это в 1095 году папа Урбан II объявил Первый крестовый поход. За ним последовало еще семь походов, растянувшихся на двести лет, впрочем, назвать их успешными сложно. Контроль над Иерусалимом и окрестными землями оставался в руках у мусульман. В такой отчаянной ситуации вселяющие надежду истории о пресвитере Иоанне производили на европейцев особенно сильное впечатление. В итоге они не только подтолкнули развитие навигации на базе тригонометрии, но и позволили искусству вступить в золотой век.
В 1260-х годах английский монах-францисканец Роджер Бэкон обратился к христианам, надеясь призвать их к оружию[54]. Он предложил им отвоевать Иерусалим, обратившись к своим познаниям в геометрии. Например, можно было воскресить легендарные “горящие зеркала” древнего мира. По легенде, Архимед с помощью огромных вогнутых зеркал направил солнечные лучи на корабли противника, которые сразу вспыхнули, и крестоносцы, по мнению Бэкона, могли поступить аналогичным образом. Бэкон также предположил, что геометрия сумеет разжечь в христианах огонь посредством искусства, ведь образы, созданные по принципам прекрасной в своем естестве Господней геометрии, не могут не пробуждать страсть. “Я считаю, что человеку, посвятившему себя изучению мудрости Господней, вернее всего заняться исследованием геометрических фигур”, – написал Бэкон в своем “Большом сочинении”. Этот раздел он озаглавил “О пользе оптических чудес для обращения неверных”.
У ученых есть теория, согласно которой Бэкон предлагал воскресить древнее искусство создания театральных декораций. Это позволило бы ставить вдохновляющие религиозные пьесы, чтобы настраивать европейских воинов против сарацинской угрозы. Бэкон писал, что “латиняне” обладали многими навыками, которые стоило бы перенять. Возможно, он имел в виду Витрувия, римского архитектора, жившего в I веке до нашей эры, и знал о мастерстве живописцев, которые создавали задники для театральных представлений:
По установлении в определенном месте центра сведенные к нему линии должны естественно соответствовать взору глаз и распространению лучей, чтобы определенные образы от определенной вещи создавали на театральной декорации вид зданий и чтобы то, что изображено на прямых и плоских фасадах, казалось бы одно уходящим, другое выдающимся[55].
Витрувий здесь говорит о том, что мы сегодня назвали бы перспективой. Этот термин происходит от латинского словосочетания “смотреть сквозь”, поэтому мы могли бы также назвать это оптикой, или наукой о том, как свет проходит сквозь различные среды, как он отражается и преломляется. В древнем и средневековом мире слова “перспектива” и “оптика” были взаимозаменяемыми.
История оптики и перспективы восходит к настоящему гиганту геометрии – Евклиду. Около 300 года до нашей эры этот древнегреческий ученый написал знаковый учебник математики. Он назывался “Начала” и более тысячи лет оставался одним из самых продаваемых текстов – не считая Библии. Чуть менее популярной стала другая его книга – “Оптика”. В ней Евклид описывает, как свет перемещается между объектами или сценами и человеческим глазом, по пути иногда проходя через линзы или отражаясь в зеркалах. Многие наблюдения Евклида покажутся вам знакомыми, даже само собой разумеющимися. Он, например, пишет, что свет перемещается по прямой, и потому из нескольких вы увидите тот объект, высота которого будет больше, поскольку луч света проходит по более высокой траектории.
Евклид полагал, что лучи света расходятся из глаза, а не идут от наблюдаемого объекта. В его времена такое представление было широко распространено и полностью соответствовало геометрии его теории зрения. Его лучи формировали конус света, исходящий из глаза, и видимыми оказывались только объекты, попадающие в этот конус. По мере удаления от глаза “зрительные лучи” расходились в разные стороны, их плотность уменьшалась, и потому очертания далеких объектов расплывались.
По тем временам теория Евклида была вполне состоятельной, и в последующих текстах он сумел объяснить целый ряд явлений, таких как отражение в плоских, вогнутых и выпуклых зеркалах и создаваемые линзами оптические эффекты, например увеличение. Благодаря тому, что Евклид смог свести оптические явления к взаимодействию прямых, треугольников и кривых, он применил свои познания в геометрии, чтобы построить совершенно адекватную на первый взгляд теорию визуального восприятия.
Затем в дело вступил Птолемей. Около 165 года нашей эры он доработал труды Евклида. Главным отличием стала его мысль о том, что из глаза выходит не конус, а линия. Он провел геометрическую работу с треугольниками и окружностями и устранил из расчетов точного места формирования отраженного изображения – скажем, перед сферическим зеркалом или позади него – некоторые ошибки, допущенные Евклидом (и допустил собственные). В последующую тысячу лет в оптике доминировали геометрические представления Евклида и Птолемея.
Да, тысячу лет. Нам, пожалуй, сложно понять, как прогресс может идти так медленно, но суровая правда в том, что познания в области оптики находили мало применения. Люди с древности изготавливали простые линзы и зеркала, но низкое качество не позволяло использовать их, например, в качестве очков для чтения. Ситуация начала меняться лишь тогда, когда геометрию и оптику взяли на вооружение христиане.