Теперь давайте погрузимся немного глубже, поскольку алгебра также помогает с организацией вещей за рамками наблюдаемых характеристик и поведения отдельных элементов мира. Оказывается, скрытые структуры нашей Вселенной тоже можно описать алгебраически – и потому физиков, как древних греков, восхищает идея о том, что наша Вселенная имеет математическое ядро. Эта область математики называется довольно странно – “абстрактная алгебра”, словно бы алгебра, с которой мы уже познакомились, недостаточно абстрактна. Справедливости ради отмечу, что иногда ее называют современной алгеброй. Но даже это определение кажется немного подозрительным. В конце концов, начало ей положил молодой француз Эварист Галуа, умерший еще в 1832 году.
“Не плачь, Альфред! Мне нужна вся моя смелость, чтобы умереть в двадцать лет!” Считается, что такими были последние слова Галуа, адресованные его младшему брату. Он был смертельно ранен из пистолета на дуэли. Его противник, похоже, соперничал с ним за внимание девушки по имени Стефани – по мнению историков, это, скорее всего, была дочь человека, у которого Галуа снимал квартиру.
Галуа похоронили в общей могиле на кладбище Монпарнас в Париже. Он погиб в самом расцвете своей жизни, но все равно успел обрести вечную славу. Теперь Галуа считается отцом теории групп – особого раздела математики, который напоминает зоологическую классификацию алгебраических операций. Подобно биологам, помещающим ряд организмов в одно множество млекопитающих, грибов или бактерий, математики распределяют алгебраические выражения по группам на основе общих свойств: например, в одну группу попадают уравнения, которые, как квадратное, решаются универсальным способом.
Биологическая классификация помогла нам взглянуть на вещи шире: именно она дала нам теорию эволюции путем естественного отбора. Алгебраическая классификация ничем не отличается. Она позволяет нам постигать тайны Вселенной – например, выяснять состав “зоопарка элементарных частиц”, то есть обширного множества частиц, из которых состоят все вещества. Начатое еще Галуа, это дело было завершено в 2012 году, когда в ЦЕРН в Женеве был открыт бозон Хиггса.
Чтобы понять, как алгебра получает такую значимость, – и понять это мы попробуем лишь на самом базовом уровне – представим, что мы решили кубическое уравнение и нашли три корня: a, b и c. Теперь попробуем определить, в каких отношениях они находятся друг с другом. Мы можем построить выражение вида:
(a – b) (b – c) (c – a)
и попереставлять корни с места на место. Заменим a на b, b на c, а c на a. Получим:
(b – c) (c – a) (a – b)
По сути, это эквивалентно изменению порядка выражений в скобках. Произведите расчеты, и получите тот же результат.
Что, если поменять местами только a и b? Получим:
(b – a) (a – c) (c – b)
Это эквивалентно умножению исходного выражения на –1: положительные члены становятся отрицательными и наоборот. Следовательно, если я произведу такую трансформацию и возведу результат в квадрат, у меня получится такой же ответ, как если бы я возвел в квадрат результат исходного выражения (как сказал Брахмагупта, вводя отрицательные числа, минус, умноженный на минус, дает плюс).
Галуа сделал ряд общих наблюдений такого типа, и это позволило ему сгруппировать алгебраические выражения определенного вида, выделив группы на основании того, как корни уравнений относятся друг к другу при множестве разных преобразований. Может показаться, что достижение его невелико, но оно стало настоящим столпом математики.
Очевидно, Галуа понимал ценность своего открытия, поскольку, как гласит легенда, ночью накануне дуэли он привел в порядок свои бумаги, чтобы они перешли к его другу Огюсту Шевалье[84]. Галуа извинился за скомканность записей. “Надеюсь, впоследствии найдутся люди, которые увидят смысл в том, чтобы расшифровать эту мешанину”, – написал он. Его скромность лишь обостряет горечь из-за его ранней смерти.
Ценность идей Галуа в том, что преобразования служат абстрактной математической связью с физической характеристикой симметрии. Так, перестановка a и b в приведенном выше примере подобна перемене левой и правой сторон в зеркальном отражении.
Симметрия предполагает, что можно что-то изменить и проверить, меняется ли при этом внешний вид или поведение того, что вы только что изменили. Если перемен не происходит – перед вами симметрия. Если что-то изменилось, симметрию можно назвать нарушенной. Простые примеры можно найти в геометрии: квадрат обладает зеркальной симметрией по диагонали. Если вы приставите плоское зеркало к его диагонали, то увидите точно такой же квадрат. Квадрат также имеет четыре вращательных симметрии, каждая из которых достигается при повороте фигуры на 90°. Если повернуть квадрат всего на 45°, он будет выглядеть иначе (скорее как ромб): симметрия нарушена.
В физике частиц, где симметрии описываются с помощью абстрактной алгебры, происходящие изменения немного сложнее. Так, можно заменить частицу на античастицу. Если в их взаимодействиях не заметно разницы, перед вами симметрия. Хороший пример – изменение заряда двух электронов на противоположный. Два позитрона отталкивают друг друга точно так же, как и два электрона. Это зарядовая симметрия.
Симметрии лежат в основе наших представлений о физическом мире, поскольку многие процессы в физике можно описать языком отражений, вращений и простых перестановок. Такие симметрии могут быть пространственными или временными, а также могут возникать в физических свойствах, таких как электрический заряд. Симметрия тесно связана с законами сохранения, которые гласят, что определенные характеристики физической системы не могут просто бесследно исчезнуть. Взять, к примеру, закон сохранения энергии. Вероятно, из школьных уроков физики вы помните, что энергию можно преобразовывать из одной формы в другую – скажем, из кинетической в потенциальную, закатывая валун на вершину холма, – но она не исчезает из Вселенной просто так. Часть ее может рассеяться, как звук, с которым валун скатится с другой стороны холма, а часть преобразуется обратно в кинетическую энергию валуна, а также земли и камней, сдвигаемых им с места. И все же она никуда не исчезнет. Это объясняется симметрией в законах физики: если не вдаваться в детали, эти законы симметричны во времени и не меняются от минуты к минуте и даже от тысячелетия к тысячелетию. Другие симметрии обусловливают существование других законов сохранения. Так, орбиты планет вокруг Солнца имеют вращательную симметрию, связанную с законом сохранения момента импульса. Впрочем, этих идей не найти в трудах Галуа. Их появлением мы обязаны уже выдающемуся математику Эмми Нётер.
Я потрясен тем, что Амалия Эмми Нётер – первая женщина, с которой мы встречаемся лицом к лицу на страницах этой книги. Женщинам в математике приходилось преодолевать такие предубеждения, что на математической карьере Нётер едва не был поставлен крест. Ее отец преподавал математику в университете, и оба ее родителя хотели, чтобы все их дети тоже занялись наукой. Но братьям Нётер пришлось гораздо легче.
Эмми Нётер родилась в Эрлангене, в Германии, в 1882 году. Она была невероятно умна, но когда ей пришло время поступать в университет, оказалось, что дорога туда ей закрыта. Университет Эрлангена, где работал ее отец, еще не принимал женщин. В конце концов она смогла получить высшее образование, но снова оказалась в тупике: ни один университет не готов был предложить ей оплачиваемую должность, чтобы она могла заниматься исследованиями или преподавать математику.
Нётер так любила свой предмет, что семь лет преподавала в Эрлангене бесплатно. Продвинуться дальше ей удалось лишь тогда, когда о ее блестящих способностях узнали ведущие немецкие математики Давид Гильберт и Феликс Клейн, которые предложили ей позицию в своем математическом институте при Гёттингенском университете. Четыре года Нётер работала ассистенткой Гильберта и не получала жалованья. Лишь в 1922 году ей наконец удалось занять в Гёттингене оплачиваемую должность. К тому времени она уже совершила ряд своих величайших открытий, которые, пожалуй, можно причислить к величайшим достижениям во всей истории математики[85].
Если вам хочется понять, насколько именно Нётер была хороша в математике, вот факты. После того, как в пятьдесят три года она безвременно скончалась из-за осложнений после хирургической операции, Эйнштейн написал колонку для The New York Times, в которой заявил, что “фройляйн Нётер была величайшим творческим гением математики, явившимся миру с тех пор, как женщины получили доступ к высшему образованию”[86]. Впрочем, это унизительный комплимент: можно смело сказать, что Нётер была величайшим алгебраистом своего времени в принципе – как среди женщин, так и среди мужчин. Более того, Эйнштейн это знал: когда у него возникли затруднения с одной из частей его общей теории относительности, с которой ему помогла Нётер, он написал Давиду Гильберту и попросил его “поручить мисс Нётер объяснить [ему] это”[87].
Теорема Нётер позволяет превратить алгебраические группы Галуа – и многое, что было впоследствии открыто в алгебре, – в сложную систему классификации и категоризации. Такое впечатление, что остальные ученые занимались своими узкими областями науки, а Нётер сумела понять, как объединить их вклады в науку, чтобы их открытия дополняли друг друга, и как соткать полотно из отдельных нитей. Это имело важные следствия и для других областей, например для топологии – математики, описывающей изменения свойств геометрических фигур при растягивании и скручивании. В лекции, прочитанной в 1996 году, немецкий тополог Фридрих Хирцебрух отметил, что Нётер едва коснулась этой области, но “опубликовала полуфразу и произвела фурор”