сон рассчитывала сначала орбиту миссии Алана Шепарда “Фридом-7”, состоявшейся в 1961 году, а год спустя – орбиту миссии Джона Гленна “Френдшип-7”, она не могла не прибегать к интегрированию. К счастью, она была в нем профи – и ее авторитет был настолько велик, что Гленн даже попросил, чтобы отныне только она проверяла данные с нового электронного компьютера[109].
Сегодня интегрирование – довольно простая операция, которая входит в стандартный инструментарий математика. Тем не менее открыть его оказалось чрезвычайно сложно. Лейбниц и Ньютон пришли к нему с разных сторон. Ньютон так далеко продвинулся в сфере дифференцирования, что даже не пытался объяснить свои приемы современникам. Однажды он довольно высокомерно заявил, что “меньше чем за четверть часа” может вычислить площадь области под любой кривой. Столь головокружительная скорость, добавил он, достигается благодаря “источнику, который [его] питает, но ничего доказывать [он] при этом не [собирается]”[110]. Он рассчитывал, что знание графиков и геометрии поможет его современникам изучить основы этой операции.
Несомненно, многие из них тогда почувствовали себя идиотами. Математический анализ часто обескураживает людей при первой встрече с ним. Хотя мы в состоянии следовать алгоритму и получать верные ответы, идеи, лежащие в основе математического анализа, его производные и требуемый полет фантазии поистине поражают своей сложностью. Архимед сделал первые шаги к решению схожих задач более чем за тысячу лет до того, как Ньютон и Лейбниц предложили свои решения. Такие светила математики, как Декарт и Ферма, сумели разглядеть лишь тень анализа. Чтобы по-настоящему погрузиться в него, нужно представлять себе бесконечное и бесконечно малое. Нужно понимать (а Ферма и Декарт не понимали), что касательная к кривой (прямая, которая касается ее в одной точке) показывает крутизну кривой в точке соприкосновения и позволяет узнать все характеристики этой кривой. Нужно уметь выстраивать длинные цепочки сумм, называемые бесконечными рядами, как умели это и Ньютон, и Лейбниц, а также замечать параметры, исключающие друг друга и открывающие скрытый путь сквозь густой подлесок ваших производных. Неслучайно математический анализ развивался целое тысячелетие.
Сейчас вы, возможно, задаетесь вопросом, кто вообще мог такое придумать. Как правило, это люди, с которыми вам, пожалуй, не захотелось бы водить компанию. Например, Пьер Ферма, который днем работал судьей и адвокатом в судах Тулузы, вечера проводил в уединении от семьи за решением математических задач. Он при этом не стремился поделиться своими открытиями с миром и не опубликовал ни одного из своих выводов. Мы знаем о них лишь потому, что их обнаружили в его записных книжках и дневниках уже после его смерти.
Впрочем, Ферма писал о некоторых своих открытиях другим математикам. Так о нем и услышал Рене Декарт, которому рассказал о нем их общий знакомый Марен Мерсенн. Декарт, в отличие от Ферма, был не лишен самодовольства. Один современник назвал его “холодным и себялюбивым”. Хвастаясь, что нашел способ строить касательные к любой кривой, Декарт сказал: “Эта задача является наиболее полезной не только среди известных мне, но также среди всех тех задач, которые я когда-либо желал знать в геометрии”[111].
Декарт ужасно огорчился, узнав от Мерсенна, что Ферма решил эту задачу на десять лет раньше. Чтобы выставить себя в лучшем свете, Декарт изучил доказательства Ферма и во всеуслышание заявил, что нашел в них целый ряд досадных ошибок, хотя на самом деле ошибок в них не было.
Через несколько десятков лет Ньютон отплатил Декарту, назвав того “очередным нерадивым математиком”[112]. Самого Ньютона, возможно, и не получилось бы упрекнуть в нерадивости, но человеком он был чрезвычайно неприятным. Говорят, он редко смеялся, а сам он признавал, что в детстве однажды пригрозил сжечь дом матери и отчима вместе с ними внутри. Он называл всех, кто безуспешно пытался понять его труды, “маленькими недоучками” и всячески избегал общения с людьми, которых не считал себе равными. “Я не вижу ничего желательного в славе, даже если бы я был способен заслужить ее, – сказал он однажды. – Это, возможно, увеличило бы число моих знакомых, но это как раз то, чего я больше всего стараюсь избегать”[113].
Лейбниц, в свою очередь, был тоже весьма доволен собой. Его работа в сфере математического анализа, хвастался он, составляла “огромную часть открытий, сделанных в этой области”. Он тоже не любил людей, но хотя бы сожалел об этом. Однажды он пожаловался другу, что “нехватка вежливости часто портит первое впечатление” о нем. Он всю жизнь был одинок и не имел детей. Декарт и Ньютон тоже не женились и не оставили потомков. Ферма хотя бы обзавелся семьей, пусть и предпочитал не тратить на нее время. И все же никто из перечисленных не сравнится в своем коварстве с первыми людьми, нашедшими применение трудам Ньютона и Лейбница. Их жизни превратились в мыльную оперу, полную диверсий, злорадства, клеветы и старого доброго соперничества между братьями. Вы наверняка уже слышали прежде о Борджиа. Но готовы ли вы ко встрече с Бернулли?
В середине XVII века Бернулли были известны лишь как торговцы специями из Базеля[114]. Математические наклонности первым из них продемонстрировал Якоб Бернулли, который родился в 1655 году. Послушавшись родителей, он изучал в университете теологию, но дополнял ее математикой и астрономией, хотя родители и были против того, чтобы их сын занимался такими мирскими вещами. Якоб выполнил все требования, необходимые для того, чтобы стать протестантским священником, но математика не давала ему покоя: он изучал ее при любой возможности и начал преподавать механику в Базельском университете. В конце концов он отошел от служения Богу и занялся академическими исследованиями. В 1687 году он получил должность профессора математики. Он изучал математический анализ Лейбница, работая вместе со своим младшим братом Иоганном.
Иоганн тоже был талантливым математиком. Он отказался от предложения отца, который хотел, чтобы он продолжил семейное дело по торговле специями, и настоял, чтобы ему позволили поступить в университет. В итоге ему разрешили получить медицинское образование. Но и он стал в дополнение к нему заниматься математикой.
Сначала братья работали слаженно и добились прекрасных результатов, сделав неочевидный и сложный математический анализ Лейбница доступным и прикладным. Потратив лишь несколько дней на изучение одного из сочинений Лейбница о дифференциальном математическом анализе, они “постигли секрет”, о чем Иоганн рассказал в автобиографии. Но через несколько лет в их отношениях стал намечаться раскол. По трудам братьев понятно, что Иоганн считал себя полноправным коллегой Якоба, но Якоб видел в нем не более чем ученика. Вскоре соперничество между братьями стало сказываться на их совместной работе.
В 1690 году Якоб написал статью, в которой обозначил словом “интеграл” метод вычисления кумулятивной характеристики, например площади под кривой. Впоследствии Иоганн неизменно утверждал, что термин предложил он. Якоб, по его словам, учился медленно и схватывал новое не сразу, а сам он себя считал ярчайшим гением с потрясающей интуицией. В статье, вышедшей в 1694 году, Якоб отметил, что предложенный Иоганном для решения конкретной задачи метод “обратного тангенса” неэффективен и применим лишь к узкому кругу примеров. Он назвал его обычным фокусом.
Противостояние началось. В письме общему знакомому Иоганн пожаловался на брата: “[Он] преисполнен злости, ненависти, зависти и ревности по отношению ко мне. Он затаил обиду… ему невыносимо, что я, младший брат, не менее уважаем, чем старший, и ему доставило бы огромное удовольствие, если бы я был обездолен и посрамлен”. Позже он написал и самому Лейбницу, с которым его брат наладил сотрудничество: “[Якоб] всячески притесняет меня… затаив ко мне ненависть”. Еще позже он обвинил брата в том, что тот “скрытен, как господин Ньютон”.
Тем временем Якоб жаловался Лейбницу на “слова [брата], пропитанные ядом”. Бернулли устроили публичную дуэль: Иоганн церемонно вручил Якобу задачу по математическому анализу, тщательно составленную таким образом, чтобы Якоб потерпел сокрушительное поражение. Якоб ответил брату тем же и составил задачу посложнее. Оставшийся неизвестным свидетель событий сказал Иоганну, что наградит его 50 серебряными экю, если тот сумеет решить задачу за три месяца. Иоганн предложил решение, на которое, по его словам, у него не ушло и трех минут. Но в него вкралась ошибка. Последовали долгие препирательства, и Якоб принялся открыто высмеивать потуги Иоганна в научном журнале.
Интерес к дуэли со стороны общественности сменился чувством неловкости. Коллеги сообщили братьям, что их введут в Королевскую академию наук, если они сумеют разрешить свои противоречия. Якоб возражал против введения Иоганна в академию и писал другу, что их коллеги “слишком высокого мнения о способностях [его] брата”. К тому времени Иоганн стал профессором математики в Гронингенском университете. Он оказался в изоляции – семья Бернулли встала на сторону Якоба, – но при этом не собирался сдавать позиций. “Я справляюсь и без него, – писал он их с братом общему другу. – Я ни в чем не завишу от него и ничего ему не должен”.
Примирения так и не случилось. В 1705 году Якоб тяжело заболел подагрой, и родственники настояли, чтобы Иоганн приехал с ним повидаться. Но Якоб скончался, пока Иоганн был еще в пути. Свое последнее слово в этой распре Якоб умудрился сказать уже после смерти. Иоганн унаследовал профессорскую должность брата в Базельском университете, но больше ему не досталось ничего: на смертном одре Якоб наказал близким не допустить, чтобы Иоганн получил доступ к его трудам, и те неукоснительно исполнили его волю.