Должно быть, Непер вздохнул с облегчением, когда наконец подготовил таблицы к публикации. Однако, как выяснилось, работа была далека от завершения. Лондонский профессор математики Генри Бригс прочитал книгу Непера, и она произвела на него огромное впечатление. “Я никогда не видел книги, которая понравилась бы мне больше или заставила бы меня задуматься глубже”, – отметил Бригс в письме своему другу Джеймсу Ашшеру[140]. Однако, добавил он, кое-что нужно доработать.
Сложно найти двух столь непохожих друг на друга людей, как Непер и Бригс. Выросший в Йоркшире Бригс преподавал геометрию в Грешем-колледже, отличался прагматизмом и почти не проявлял интереса к религии, духовности и мистицизму. Непер же был непоколебим в своей протестантской вере, а еще считал себя едва ли не колдуном. Он занимался астрологией, и есть основания полагать, что он практиковал и более темные искусства. В 1594 году он заключил договор с бароном Робертом Логаном, который поручил Неперу любым способом найти сокровища, спрятанные где-то в его замке Фаст. Поскольку Непер двадцать лет провел в уединении, его (через много лет после его смерти) заподозрили в сатанизме, о чем сообщалось в вышедшем в 1795 году “Статистическом отчете”, сборнике приходских отчетов, составленных шотландскими священниками. “Ранее возникали подозрения, а теперь есть сведения, что он вступил в сделку с дьяволом, и время, которое он проводил в своем кабинете, он тратил на изучение темного искусства и беседы со стариной Ником”, – отмечается в “Отчете”[141].
Неважно: Бригс все же восхищался им. Они переписывались, и Бригс планировал поездку в Эдинбург. “Надеюсь, я встречусь с ним этим летом, если будет угодно Господу”, – писал он Ашшеру в 1615 году. И встретиться у них получилось. В одном из источников того времени сообщается, что ученые четверть часа смотрели друг на друга в полном восхищении, прежде чем хоть кто-то решился нарушить молчание.
Впрочем, в конце концов они перешли к делу. Бригс полагал, что логарифмы Непера прекрасно подходят для тригонометрических вычислений, но для использования с обычными числами их следует доработать. Непер выбрал 10 миллионов как число, которое даст ему достаточное количество знаков после запятой. Бригс, однако, отметил, что в результате это вызывало излишние сложности.
Бригс сразу заметил, что в модели Непера неизбежно возникала ситуация, где
log (A × B) = log A + log B – log 1
Логарифмы Непера были созданы таким образом, что log 1 не равнялся нулю. Бригс предложил изменить принцип вычисления логарифмов, чтобы приравнять log 1 к нулю. В таком случае вырисовывалась благоприятная картина:
log (A × B) = log A + log B
И это давало невероятно изящный способ связать сложение с умножением.
По сути, логарифмы – это способ выразить отношение между числами. Как мы видели, выражение 23 = 8 сообщает нам такую же информацию, как и выражение “логарифм по основанию 2 от числа 8 равен 3”. Но при использовании логарифмов мы можем менять “основание”, чтобы упрощать расчеты. Бригс понял, что полезнее других основание 10, поскольку со степенями числа 10 логарифмы справляются легко. Раз log 1 приравнен к 0, то log 10 равняется 1, log 100 – 2, log 1000 – 3 и так далее. Как видите, логарифм описывает, сколько нулей идет после единицы при использовании арабских цифр. Поскольку 100 = 10 × 10 (десять в квадрате, или 102), 1000 = 10 × 10 × 10 (десять в кубе, или 103) и так далее, становится ясно, что усовершенствованный логарифм тесно и очень просто связан с процессами умножения.
Бригсу – а затем и Неперу – стало очевидно, что астрономам и другим пользователям системы Непера теперь будет гораздо проще производить сложные расчеты. Ученым оставалось лишь пересчитать 10 миллионов значений из книги логарифмов Непера. Именно этому они и посвятили следующие два года.
Их совместная работа завершилась, когда весной 1617 года Непер умер от подагры. Но Бригс не отступился от задачи. Таблицы были закончены (с помощью голландского математика Адриана Влакка) и опубликованы в голландском городе Гауде летом 1628 года. Это были знакомые нам “логарифмы по основанию 10” всех натуральных чисел от 1 до 100 000, вычисленные с точностью до 14 знаков после запятой. В публикации также содержались таблицы натуральных синусов с точностью до 15 знаков после запятой и другие тригонометрические данные. Через два года после выхода сборника Бригс тоже скончался, но к тому моменту их с Непером труд оказался доведен до конца.
Позже Пьер-Симон Лаплас отметил, что сэкономленное логарифмами время, пожалуй, “удвоило продолжительность жизни астронома”[142]. В случае с Кеплером, однако, этим дело не ограничилось: складывается впечатление, что логарифмы подтолкнули его мыслить иначе. Есть основания полагать, что он вывел третий закон планетарного движения – совершив один из величайших прорывов в истории науки – во многом благодаря открытию этих численных отношений.
Кеплер опубликовал два первых закона в 1609 году, но третий сформулировал лишь в 1618-м – через два года после знакомства с работой Непера. Третий закон математически связывает время, за которое планета делает оборот вокруг Солнца, с пространственной протяженностью более длинной, “большой” оси ее орбиты. Говоря на языке математики, квадрат периода обращения планеты пропорционален кубу “большой полуоси” (большая полуось – это половина большой оси). Кеплер пришел к этому выводу не через квадраты и кубы, а через отношения. 8 марта 1618 года он сказал, что “ему в голову пришло”, что “отношение периодов обращения двух любых планет ровно в полтора раза больше отношения средних расстояний”[143]. Мы можем перевести это на язык логарифмов отношений периодов и расстояний. Если планета A совершает оборот вокруг Солнца за время TA, а радиус ее орбиты (среднее расстояние планеты от Солнца) равен rA, а планета B совершает оборот вокруг Солнца за время TB при радиусе орбиты rB, то
Если мы построим график с логарифмическим масштабом на обеих осях, связь станет очевидной. Судя по всему, в какой-то момент в промежутке с 1609 по 1618 год мозг Кеплера совершил логарифмический скачок. Логично предположить, что Непер (и Бригс), возможно, сделали непредвиденный и почти не оцененный вклад в астрономию.
Иоганн Кеплер увидел логарифмическую связь между диаметром орбиты планеты и временем обращения этой планеты вокруг Солнца
Еще больше времени и сил сэкономила автоматизация этих расчетов. Первый шаг к ней сделал Непер, который предложил использовать для вычислений деревянные палочки, названные палочками Непера (или костями Непера, когда впоследствии их начали изготавливать из слоновой кости). Как и в случае с логарифмами, Непер разработал палочки, чтобы упростить сложные вычисления. Палочки были поделены на квадраты, каждый из которых был по диагонали поделен на два треугольника. В каждом треугольнике стояла цифра, и расположение цифр превращало эти палочки в счетный инструмент, который требовал от пользователя умения не умножать, но складывать.
Набор палочек Непера
Допустим, вы хотите умножить 423 на 67. Возьмите палочки, в верхней части которых стоят цифры 4, 2 и 3, и положите их рядом. Теперь выпишите цифры из шестого ряда, складывая по диагоналям: у вас получится 2, 4+1, 2+1 и 8, то есть 2538. Теперь поступите аналогично с седьмым рядом: у вас получится 2, 8+1, 4+2 и 1, или 2961.
Умножение 423 на 67 с помощью палочек Непера
Теперь сложите полученные четырехзначные числа, сместив число из шестого ряда на один знак влево (поскольку шестерки в этой сумме символизируют десятки, а семерки – единицы). Сложите 25 380 и 2961. Получится 28 341, и это произведение 423 и 67.
Поскольку палочки Непера упрощали умножение, деление и извлечение квадратных корней, они завоевали огромную популярность и производились во множестве вариаций (включая и такие, которые позволяли извлекать квадратные и кубические корни), пока не легли в основу более сложных инструментов. Некоторые из них были автоматизированными: машина, созданная в 1623 году Вильгельмом Шиккардом, даже складывала нужные числа, чтобы вам не приходилось делать это в уме. В 1650-х годах французский инженер Пьер Пети нанес числа на бумажные полоски, которые надел на барабан, чтобы они могли двигаться относительно друг друга, еще сильнее упрощая умножение. Вскоре после этого немецкий ученый-универсал Афанасий Кирхер пошел дальше и создал машину для умножения на базе палочек Непера, добавив в нее также собственные изобретения, чтобы расчеты производились при повороте рукоятки. Однако, как бы хорошо такие машины ни справлялись с автоматизацией умножения, их роль была ничтожной в сравнении с той, что сыграло универсальное полуавтоматическое математическое оружие, называемое счетной, или логарифмической, линейкой.
Одним из первых следствий появления логарифмических таблиц Непера и Бригса стало осознание, что можно обходиться и без таблиц. Можно нанести числа на логарифмическую линейку, где промежуток между 1 и 2 равен промежутку между 2 и 4 или между 4 и 8.
Логарифмическая линейка
Сопоставление двух линеек позволяет производить расчеты: две линейки становятся, по сути, переносной логарифмической таблицей. Первым это сделал еще один профессор Грешем-колледжа – Эдмунд Гантер. Он выгравировал нужные числа на деревянной планке в два фута длиной, которую стали называть линейкой Гантера. С помощью циркуля-измерителя, заостренные ножки которого позволяют измерять расст