Его история, как и все хорошие геометрические истории, начинается с прямоугольного треугольника. Длина двух его сторон равна 1. По теореме Пифагора, если возвести длины двух коротких сторон (A и B) в квадрат и сложить получившиеся числа, получится квадрат гипотенузы (C). Запишем это уравнение:
A2 + B2 = C2
Поскольку и A, и B равны 1, вывод таков: если C2 равно 2, то C – это число, которое при умножении на само себя дает 2, то есть квадратный корень из двух, или √2.
Мы не видим в этом ничего особенного. Но для пифагорейцев это было огромной проблемой. Они могли записывать числа, только если числа были целыми – 1, 2, 3 и так далее – или если они представляли собой отношение двух целых чисел. Вы точно сталкивались с математическими отношениями и их равенствами – пропорциями: например, при готовке мы в правильной пропорции смешиваем муку и масло, а еще не отступаем от пропорции, когда делаем сложные коктейли. Так, для “Манхэттена” нужны две части бурбона и одна часть сладкого вермута, а следовательно, пропорция здесь 2:1, и ее также можно выразить в виде дроби: 1/2 часть вермута при одной части бурбона. Пифагорейцы пытались найти пропорцию двух чисел, которая была бы числовым эквивалентом 2, и записать ее в виде дроби, такой как 1/3 или 5/6. Но у них ничего не получалось, несмотря на все старания.
Затем ситуация изменилась к худшему. Один из ученых Пифагорейской школы сумел доказать, что отчаянный поиск решения задачи о квадратном корне из 2 никогда не увенчается успехом. Оказывается, что √2 просто невозможно выразить отношением двух целых чисел, как ни пытайся. Дело в том, что сегодня мы назвали бы его “иррациональным” числом, то есть числом, которое невозможно записать в форме пропорции. Другой пример – число π (пи), да и вообще современная математика вообще богата на иррациональные числа, которые нередко играют в ней значимые роли.
Пифагорейцев так оскорбил этот выпад против универсальности целых чисел, что они решили держать существование иррациональных чисел в тайне. Однако, как гласит легенда, пифагореец Гиппас из Метапонта раскрыл этот секрет человеку, не входящему в их узкий круг. Когда его товарищи узнали о проступке Гиппаса, его сбросили за борт и оставили умирать посреди Адриатического моря. Мораль истории ясна: треугольники, по крайней мере прямоугольные, – это дело жизни и смерти.
Хотя нам точно не известно, чем занимались Пифагор и члены его кружка, один человек, которого занимали треугольники, действительно существовал, и это Фалес Милетский. Фалес был очень умен и предприимчив и жил на территории западного побережья современной Турции. Он родился около 640 года до нашей эры и ныне считается отцом философии науки. В глазах современников, однако, он был прирожденным дельцом. Считается, что однажды, заметив, что урожай оливок обещает быть особенно обильным, Фалес заранее скупил все прессы для отжима оливкового масла. Потом он сдавал их в аренду фермерам, заламывая огромные цены. Если же они отказывались брать пресс в аренду, он выкупал у них оливки по минимальной цене. В итоге Фалес сколотил состояние, которое позволило ему отойти от дел в среднем возрасте. Остаток жизни он посвятил науке. Новое хобби Фалеса благотворно повлияло на философию, естественные науки и математику: он первым стал использовать поддающиеся проверке гипотезы и теории для объяснения законов природы и первым записал несколько ключевых положений геометрии, которые мы изучаем и сегодня.
Скорее всего, Фалес сформулировал эти положения, странствуя по Египту. За тысячи лет до этого геометры играли важнейшую роль при проектировании таких великих египетских сооружений, как пирамиды. Но Фалес дополнил египетскую геометрию практической демонстрацией работы различных принципов. Так, он показал, что в треугольнике, который сегодня называется равнобедренным, углы при основании равны. Для этого он перевернул точную копию такого треугольника, и копия осталась идентичной. Он также продемонстрировал, что, зная длину основания и величины углов по обе стороны от него, можно получить все необходимые сведения о треугольнике. Это полезная информация. Если вы хотите узнать, насколько далеко корабль ушел в море, постройте треугольник с вершиной возле корабля. Возьмите известную длину побережья за основание треугольника, встаньте на одном конце этого основания и измерьте угол между основанием и кораблем. Затем перейдите на другой конец основания и снова измерьте, под каким углом находится корабль. Теперь постройте – если хотите, нарисуйте на песке – треугольник поменьше, в котором углы при основании равны только что измеренным. Определите отношение его высоты к основанию и умножьте полученное число на расстояние, отмеренное на побережье при построении первого треугольника. У вас получится расстояние от берега до корабля.
С помощью подобных треугольников можно определять расстояние до корабля в море
Применив другой вариант этой техники, Фалес показал, что такие “подобные треугольники” содержат полезные пропорции. По легенде, он поразил египетского фараона Амасиса II, вычислив высоту пирамиды, зная лишь высоту шеста, помещенного на кончик тени этой пирамиды.
Фалес показал, как вычислить высоту пирамиды, измерив длины теней
Длина тени от пирамиды P и длина тени от шеста S относятся друг к другу так же, как высота пирамиды H и длина шеста L. Можно записать это следующим образом:
Перестроим эту формулу и получим:
Следовательно, высота пирамиды равна произведению длины шеста и длины тени от пирамиды, деленному на длину тени от шеста. Мы увидим, что такие расчеты в итоге стали столпом средневековой навигации, называемым правилом трех: если при работе с подобными треугольниками вам известны три размера, можно вычислить четвертый, неизвестный, и мир окажется у ваших ног.
Свое излюбленное открытие в отношении треугольников Фалес совершил, когда построил один из них внутри окружности. Он показал, что если взять диаметр окружности (ее ширину в самой широкой части) в качестве основания, а вершину треугольника поместить на окружности (периметре круга), то полученный треугольник всегда будет прямоугольным. По легенде, выяснив это, Фалес пришел в такой восторг, что в знак благодарности за откровение принес богам в жертву вола.
Прямоугольный треугольник, вписанный в окружность
Предложенный Фалесом метод вписывания треугольника в полуокружность для построения прямого угла нашел применение в строительной сфере. Перед постройкой здания выбирается прямая – например, идеальная линия, идущая с севера на юг, которую можно провести, отметив, куда в полдень падает тень от высокой колонны, такой как египетский обелиск. Затем к колышку привязывается веревка, а колышек вбивается в землю в той точке прямой, где должен быть угол (A). С помощью другого конца веревки на земле очерчивается окружность. Далее строится еще одна окружность такого же радиуса с центром в точке B, где получившаяся окружность пересекает линию север – юг. Окружности пересекаются в точке C, и через точки B и C проводится прямая, которая продолжается до точки D на такое же расстояние, как BC, то есть CD = BC. Точки A, B и D соединяются, и получается прямоугольный треугольник, в котором сторона AD идет точно с востока на запад. Разве не прекрасный способ начать строительство храма Солнца?
Геометрический метод построения оси восток – запад на основе имеющейся оси север – юг
Хотя с методом Фалеса разберутся и восьмилетние дети, он был не первым из тех, что строители использовали для построения прямых углов. До нас дошли свидетельства того, что еще около 2000 года до нашей эры ученые, жившие на территории современного Ирака, применяли теорему, выведение которой мы ошибочно приписываем Пифагору. Краеугольным камнем строительства стало представление о наличии строгой математической связи между длинами сторон прямоугольного треугольника. Чтобы построить здание с идеально прямыми углами в основании, рабочие пользовались веревкой и колышками. Они делили веревку на 12 отрезков, а затем привязывали один ее конец к вбитому в землю колышку. Далее они отмеряли три отрезка и вбивали второй колышек в той точке, где должен был получиться прямой угол. После этого они поворачивали примерно на 90 градусов и отмеряли четыре отрезка веревки. В этом месте устанавливали третий колышек, после чего веревку протягивали обратно к первому колышку. Если ее длины не хватало, третий колышек переставляли, пока периметр не замыкался. Так у второго колышка получался идеальный прямой угол, поскольку 32 + 42 = 52.
Веревка с узелками с относительными длинами 3, 4 и 5 была полезным строительным инструментом
Именно изучив свойства треугольников, окружностей и углов, мы смогли впервые оценить размер нашей планеты. В 240 году до нашей эры Эратосфен, заведовавший Александрийской библиотекой в Египте, произвел соответствующие расчеты и вычислил длину окружности Земли.
В древних источниках (написанных, стоит сказать, спустя несколько веков после смерти нашего героя) говорится, что Эратосфен услышал, будто бы в один день в году полуденное солнце освещает всю шахту глубокого колодца в городе Сиена (ныне Асуан) на юге Египта. Это был день летнего солнцестояния, когда солнце оказывалось в самой северной точке, а следовательно, прямо над городами, стоящими на широте, которую мы сегодня называем Северным тропиком, или тропиком Рака. Эратосфен решил, что, имея эти данные и проведя измерения в Александрии, он сможет вычислить, какая доля окружности Земли приходится на идущую (примерно) с севера на юг линию между Александрией и Сиеной. В нужный день он с помощью отвеса установил шест перпендикулярно земле. В полдень он измерил угол, который образовался между тенью от шеста и вертикалью. Он составил 7,2°. Поскольку сфера покрывает 360°, Эратосфен понял, что расстояние от Сиены до Александрии должно равняться 7/360 от всей длины окружности. Он знал, что расстояние между городами составляет 5000 стадиев, и применил правило трех, чтобы вычислить длину окружности. У него получилось около 250 тысяч стадиев.