П. К. Рашевский длительное время возглавлял кафедру дифференциальной геометрии на механико-математическом факультете МГУ (1964–1983). После его смерти кафедра временно была слита с другим коллективом и была вновь восстановлена в 1992 году под слегка измененным названием «Кафедра дифференциальной геометрии и приложений» (заведующий А. Т. Фоменко). Эта кафедра активно развивается, причем в значительной степени благодаря тем задачам и идеям, которые были высказаны П. К. Рашевским.
П. К. Рашевский интересовался самыми разными проблемами современной геометрии. У него была чрезвычайно развита математическая интуиция, он удачно ставил задачи своим ученикам. Много лет под руководством Рашевского работал известный семинар «Тензорный анализ и его приложения». Он был центром притяжения не только для московских геометров, но и многих коллег из других городов. Исследования различных ученых, выполненных в рамках этого семинара, составили содержание известной периодической серии трудов под названием «Труды семинара по векторному и тензорному анализу с их приложениями к геометрии, механике и физике». Эти труды, хоть и не всегда регулярно (ввиду проблем с финансированием), издаются и сегодня.
Перечислю основные научные направления сегодняшней кафедры «Дифференциальной геометрии и приложений».
Рашевский много внимания уделял изучению геометрии и топологии групп Ли и однородных пространств. Отсюда выросло несколько научных направлений. Например, исследование подгрупп Ли, негомологичных нулю в объемлющей группе Ли, и вычисление полиномов Пуанкаре однородных пространств. А. Т. Фоменко получил описание вполне геодезических поверхностей, реализующих нетривиальные циклы гомологий в симметрических пространствах, в том числе и в группах Ли. В частности, были описаны вполне геодезические и гомологически нетривиальные сферы в симметрических пространствах.
Именно П. К. Рашевский направил когда-то мои интересы на исследование глобально минимальных поверхностей в римановых многообразиях. Отсюда выросла теория, созданная мною и моими учениками. В частности, А. Т. Фоменко доказал существование глобально минимальных поверхностей в каждом классе спектральных бордизмов риманова многообразия. А также – в каждом классе экстраординарных гомологий и когомологий многообразия (спектральные бордизмы – это частный случай). Эти идеи были развиты затем в работах профессоров Дао Чонг Тхи и Ле Хонг Ван.
Затем профессора А. О. Иванов и А. А. Тужилин получили крупные результаты в проблеме Штейнера – классификации одномерных минимальных сетей с закрепленными концами (т. е. ветвящиеся геодезические) или вообще без граничных точек) на двумерных поверхностях.
Рашевский часто беседовал со мной об общих свойствах групп и алгебр Ли. Его интересовали свойства, выполняющиеся одновременно для всех алгебр Ли из того или иного достаточно широкого класса.
Некоторые вопросы, интересовавшие Рашевского, получили впоследствии решение в рамках теории интегрируемых систем на алгебрах и группах Ли, созданной мною совместно с А. С. Мищенко. В частности, нами было сформулировано, а затем доказано – для большого класса редуктивных алгебр Ли, – следующее фундаментальное утверждение: на любой конечномерной алгебре Ли всегда есть полный коммутативный набор независимых полиномов, т. е. находящихся в инволюции относительно скобки Пуассона. Последний важный шаг для оставшихся алгебр Ли был сделан потом С. Т. Садэтовым. Итак, оказалось, что число таких замечательных полиномов равно половине суммы размерности алгебры и ее индекса. Индекс – это размерность аннулятора ковектора общего положения. Такие наборы полиномов порождают вполне интегрируемые системы дифференциальных уравнений в смысле Лиувилля. Повторю, что в случае редуктивных алгебр Ли, в частности, полупростых, эта важная теорема Мищенко-Фоменко-Садэтова была доказана именно Мищенко и Фоменко, а в оставшихся случаях – С. Т. Садэтовым.
Рашевский много внимания уделял геометрии в математической физике.
Недаром в его известной книге «Риманова геометрия и тензорный анализ» много говорится о теории относительности и спинорных представлениях ортогональной группы. Сегодня на кафедре продолжает активно действовать научное направление, возглавляемое профессорами В. Л. Голо и А. И. Шафаревичем, «Математическая физика, геометрия и топология». Отдельно выделились исследования по геометрии и топологии сложных белковых молекул: профессора В. Л. Голо, А. О. Иванов и А. А. Тужилин со своими учениками, совместно с биологическим факультетом МГУ (лаборатория профессора К. В. Шайтана, известного биолога). Еще одно направление: «Дифференциальные уравнения в геометрических вопросах небесной механики и математической физики» развивается доцентом Е. А. Кудрявцевой.
Рашевский интересовался гладкими функциями, особенности которых заполняют невырожденные подмногообразия. В 80-е годы А. Т. Фоменко создал «теорию Морса интегрируемых динамичевских систем», где возникают именно такие функции. В результате, А. Т. Фоменко, его коллегами и ученикам, в первую очередь, Х. Цишангом, А. В. Болсиновым и А. А. Ошемковым, была создана теория классификации интегрируемых гамильтоновых систем с двумя степенями свободы.
Оказалось, что такие системы классифицируются, с точностью до лиувиллевой эквивалентности, а также с точностью до непрерывной и гладкой траекторной эквивалентности, некоторыми графами, вершинами которых служат так называемые «атомы», а на ребрах графа поставлены некоторые числовые метки. Такие инварианты были вычислены нами для многих конкретных механических и физических систем. Сравнивая эти инварианты, нам удалось, например, обнаружить неожиданные топологические траекторные изоморфизмы между некоторыми известными динамическими системами. Например, между системой Якоби и системой Эйлера (теорема Болсинова и Фоменко). А также удалось доказать топологическую и гладкую неэквивалентность некоторых известных систем.
Сам Рашевский не успел оформить свои мысли по некоторым разделам алгебраической топологии и геометрии в виде опубликованных работ. Однако он постоянно интересовался этими вопросами, следил за новыми яркими результатами. В результате сложилась благоприятная атмосфера для развития этого направления.
Оно активно развивается сейчас на кафедре дифференциальной геометрии и приложений. Это – ученики профессора Ю. П. Соловьева: доцент Ф. Ю. Попеленский и доцент И. М. Никонов. А также в алгебраической геометрии работает доцент А. Б. Жеглов.
При жизни Рашевского компьютерная геометрия только начинала свое бурное развитие. Хотя сам Петр Константинович не владел компьютером, он с интересом следил за этим направлением. Интересовался математическим моделированием физических процессов. Сегодня компьютерная геометрия – большая и важная тема на нашей кафедре, развиваемая, в частности, доцентом Г. В. Носовским и доцентом Д. П. Ильютко. Нами написан учебник по компьютерной геометрии, читается спецкурс. Подробнее см. ниже.
Рашевского волновали и вопросы оснований математики. Например, мы с ним обсуждали нестандартный математический анализ. Рашевский много размышлял о свойствах больших натуральных чисел, продумывал идею ветвящегося натурального ряда. Этот образ возникал при обсуждении возможных алгоритмов сравнения больших чисел без «обратного их отсчета до нуля». Большие числа, по его мнению, являются размытыми объектами с нечеткими границами. Отдельные идеи были опубликованы Рашевским в заметке в Успехах Математических Наук, вызвавшей в то время неоднозначную реакцию у некоторых математиков и критику.
Рашевский был человеком высокой научной честности. Если какая-то работа ему не нравилась или оказывалась ошибочной, он четко заявлял об этом, невзирая на лица. Был принципиален в вопросах научной и общественной морали. Как-то раз, будучи председателем приемной комиссии на мехмате, категорически отказался удовлетворить кулуарную просьбу, шедшую с далекого верха, об улучшении оценки некоему абитуриенту. В результате он нажил себе неприятности, но, как говорил мне, никогда не жалел о подобных своих поступках.
Вот составленный мною список учеников Рашевского и его коллег, в разное время участвовавших в семинаре Рашевского. К сожалению, список не полный, а кроме того, не все имена и отчества смог вспомнить. Итак: Акивис Макс Айзикович, Бикташев Р. А., Богаевский А. Н., Боровский Юрий Владимирович, Гуревич Григорий Борисович, Вагнер Виктор Владимирович, Васильев Анатолий Михайлович, Вайнштейн А. Г., Варфоломеев Виталий Викторович, Винберг Эрнест Борисович, Вишневский В. В., Дао Чонг Тхи, Доан Куинь, Евтушик Леонид Евгеньевич, Ефремович Вадим Арсеньевич, Камышанский Н. Р., Кантор Исайя Львович, Комраков Борис Петрович, Конюшихина Татьяна Н., Кручкович Георгий Ионович, Кушнер Гурий Федорович, Либер А. Е., Литвинов Григорий Лазаревич, Лопшиц Абрам Миронович, Мищенко Александр Сергеевич, Мантуров Олег Васильевич, Норден Александр Петрович, Персиц Давид Борисович, Петров Евгений Евгеньевич, Петрова Вера Тимофеевна, Платонов Сергей Сергеевич, Пясецкий Владимир Семенович, Розенфельд Борис Абрамович, Сабинин Лев Васильевич, Сабитов Иджад Хакович, Самборский Сергей Николаевич, Семянистый Владимир И., Сирота Александр Исаакович, Скопец И. М., Соловьев Юрий Петрович, Солодовников Александр Самуилович, Трофимов Валерий Владимирович, Феденко Анатолий Семенович, Фоменко Анатолий Тимофеевич, Шапиро Я. Л., Широков Александр Петрович, Шпиз Григорий Борисович, Элашвили Александр Григорьевич.
Эти сведения собраны на рис. 3.183. Из учеников П. К. Рашевского наиболее тесные отношения связывали меня с Мантуровым Олегом Васильевичем, Литвиновым Григорием Лазаревичем и Кантором Исайем Львовичем. В частности, Г. Л. Литвинов неоднократно выступал на нашем кафедральном семинаре, мы с ним часто перезванивались, обсуждая не только математические, но и самые разнообразные темы. Замечательный математик, доброжелательный и глубокий человек.
Рис. 3.183. Кафедра дифференциальной геометрии: от Рашевского до наших дней. Иллюстрация к докладу А. Т. Фоменко. 2007 г.