Лучше быть приблизительно правым, чем точно неправым.
Мы установили различие между неопределенностью и риском. Первоначально оценка неопределенности величины сводится к присвоению нами неизвестным переменным калиброванных интервалов значений или вероятностей. При последовательных измерениях чего бы то ни было одновременно оценивается и неопределенность, при этом каждое следующее измерение все больше снижает ее.
Риск — это просто состояние неопределенности, которое влечет за собой возможный ущерб любого рода. Как правило, подразумевается, что этот ущерб довольно значителен. Владение методами калибровки позволяет точно рассчитывать первоначальную неопределенность с помощью диапазонов и вероятностей. То же можно сказать и о применении этих методов для оценки риска.
Приемы, которыми многие организации «измеряют» риск, нельзя назвать достаточно информативными. Методы оценки риска, о которых я собираюсь рассказать, хорошо знакомы актуариям, статистикам и финансовым аналитикам. Но некоторые наиболее популярные способы даже отдаленно не напоминают страховую статистику. Многие организации просто характеризуют риск как «высокий», «средний» и «низкий» или же оценивают его по пятибалльной шкале. Обнаруживая, что дело обстоит именно так, я иногда спрашиваю, насколько «средним» является данный риск. Вероятность 5 % понести убытки, превышающие 5 млн дол., — это какой риск: низкий, средний или высокий? Никто не знает. Что лучше — среднерисковые инвестиции с доходностью 15 % или высокорисковый вклад с доходностью 50 %? Опять никто не знает.
Чтобы доказать, почему подобные классификации не так полезны, как могли быть, я предлагаю участникам своих семинаров в следующий раз при оплате чеком (или через Интернет) страхового взноса за новую автомашину или дом написать в графе «сумма» вместо числа в долларах слово «средняя» и посмотреть, что из этого выйдет. Тем самым они сообщат своим страховщикам, что желают снизить риск до среднего значения. Скажет ли это страховщику что-нибудь конкретное и разумное? Думаю, что ничего, как и любому другому человеку.
Количественное выражение неопределенности с помощью интервалов, а не точных значений, определить которые невозможно, очевидно, имеет свои преимущества. При использовании интервалов значений и вероятностей не нужно делать допущения, в которых вы не уверены. Но точные значения имеют то преимущество, что их легко суммировать, вычитать, умножать и делить в электронной таблице. А можно ли выполнить подобные действия в электронной таблице, если вместо точных чисел есть только диапазоны? К счастью, это можно достаточно просто осуществить методом Монте-Карло, используя разнообразные компьютерные модели, разработанные специально для таких целей.
Наш учитель измерения Энрико Ферми одним из первых применил на практике то, что впоследствии было названо моделированием по методу Монте-Карло. Метод позволяет генерировать на компьютере большое число сценариев на основе вероятностных исходных данных. Для каждого сценария наугад выбираются конкретные значения каждой неизвестной переменной. Затем их подставляют в формулу для расчета исхода данного сценария. Обычно такие расчеты выполняют для тысяч сценариев.
Ферми использовал метод Монте-Карло для того, чтобы рассчитать поведение большого числа нейтронов. В 1930 г., начиная работу над данной проблемой, он осознавал, что ее нельзя решить обычными методами интегрального исчисления. Однако можно было присвоить некие вероятности определенным результатам при заданных условиях. Ученый понял, что можно взять наугад несколько таких ситуаций и выяснить, как будет себя вести большое число нейтронов в системе. В 1940-х и 1950-х годах несколько математиков продолжили работу над аналогичными проблемами ядерной физики и начали использовать компьютеры для составления случайных сценариев. Наибольшую известность получили труды Станислава Улама, Джона фон Нейманна и Николаса Метрополиса. Сначала они работали над созданием атомной бомбы (Манхэттенский проект), а позднее — водородной бомбы в Лос-Аламосе. По предложению Метрополиса Улам назвал свой метод компьютерного генерирования случайных сценариев методом Монте-Карло в честь своего дяди — азартного игрока[22].
То, что начал Ферми и в последствии продолжили Улам, фон Нейманн и Метрополис, сегодня широко используется в бизнесе, государственном управлении и научных исследованиях. Этот метод применяется, в частности, для определения доходности инвестиций в случае, когда точные затраты и выгоды не известны. Как-то руководитель информационной службы одной чикагской инвестиционной компании советовалась со мной по поводу того, как определять ценность информационной технологии. Она сказала: «Мы очень неплохо научились оценивать риски, но даже не представляем себе, как можно рассчитать выгоды».
При ближайшем рассмотрении ситуация оказалась очень любопытной. Она объяснила, что, вкладывая средства в информационные технологии, компания прежде всего старается добиться повышения на несколько базисных пунктов (1 б. п. = 0,01 %) доходности инвестиций, которыми она управляет по поручению своих клиентов. Руководство надеется, что грамотные инвестиции в ИТ позволят добиться конкурентного преимущества в сборе и анализе данных, на основе которых принимаются инвестиционные решения. Но когда я спросил свою собеседницу, как компания оценивает выгоды сейчас, она ответила, что специалисты «просто выбирают число наугад». Иными словами, пока достаточное число людей соглашались или, по крайней мере, не возражали против предложенного значения, отражающего рост базисных пунктов, именно на нем и строилось экономическое обоснование решения. Конечно, выбранный параметр мог отражать предыдущий опыт, но очевидно, что в нем руководство могло быть уверено не больше, чем в любых других значениях. Но если это так, то как же компания измеряет свои риски? Ясно, что самой серьезной опасностью оказалась бы связанная с неопределенностью получения данной выгоды по сравнению с другими. Компания не пользовалась интервалами значений для выражения неопределенности в росте базисных пунктов, поэтому включить ее в расчет риска было невозможно. Таким образом, хотя руководитель ИТ-службы была убеждена, что в фирме хорошо анализируют риски, похоже, что на самом деле их там даже не рассчитывали.
В действительности весь инвестиционный риск можно выразить количественно одним-единственным способом: задав интервалы значений неопределенностям, связанным с затратами и выгодами от решения. Когда вы точно знаете сумму и сроки осуществления затрат и получения выгод (что предполагается при традиционном экономическом обосновании проектов, когда используются точные числа), риск буквально не существует. Ведь выгоды или затраты не могут оказаться ниже или выше ожидавшихся. Но на самом деле все, что мы о них знаем, — это интервалы, а не точные параметры. А раз у нас есть только широкие интервалы значений, значит, существует и вероятность отрицательной доходности. Вот что лежит в основе оценки риска, и вот для чего служит моделирование методом Монте-Карло.
Пример применения метода Монте-Карло и расчета риска
Приведем очень простой пример моделирования методом Монте-Карло для тех, кто никогда не работал с ним ранее, но имеет определенное представление об использовании электронных таблиц Excel. А люди, уже пользовавшиеся данным методом, могут просто пропустить несколько следующих страниц.
Предположим, что вы хотите арендовать новый станок для некоего этапа производственного процесса. Стоимость годовой аренды станка 400 000 дол., и договор нужно подписать сразу на несколько лет. Поэтому, не достигнув точки безубыточности, вы не сможете сразу вернуть станок. Вы собираетесь подписать договор, думая, что современное оборудование позволит сэкономить на трудозатратах и стоимости сырья и материалов, а также поскольку считаете, что материально-техническое обслуживание нового станка обойдется дешевле.
Ваши калиброванные специалисты по оценке дали примерные интервалы значений ожидаемой экономии. Кроме того, они рассчитали ожидаемые годовые объемы производства для данного процесса:
Рассчитаем теперь годовую экономию по следующей очень простой формуле:
Годовая экономия = (MS + LS + RMS) × PL.
Конечно, этот пример слишком прост, чтобы быть реалистичным. Объем производства каждый год меняется, какие-то затраты снизятся, когда рабочие окончательно освоят новый станок, и т. д. Но мы в этом примере намеренно пожертвовали реализмом ради простоты.
Если мы возьмем медиану каждого из интервалов значений, то получим:
Годовая экономия = (15 + 3 + 6) × 25 000 = 600 000 (дол.).
Похоже, что мы не только добились безубыточности, но и получили кое-какую прибыль, но не забывайте — существуют неопределенности. Как же оценить рискованность этих инвестиций? Давайте прежде всего определим, что такое риск в данном контексте. Помните? Чтобы получить риск, мы должны наметить будущие результаты с присущими им неопределенностями, причем какие-то из них — с вероятностью понести ущерб, поддающийся количественному определению. Один из способов взглянуть на риск — представить вероятность того, что мы не добьемся безубыточности, то есть что наша экономия окажется меньше годовой стоимости аренды станка. Чем больше нам не хватит на покрытие расходов на аренду, тем больше мы потеряем. Сумма 600 000 дол. — это медиана интервала. Как определить реальный интервал значений и рассчитать по нему вероятность того, что мы не достигнем точки безубыточности?
Поскольку точные данные отсутствуют, нельзя выполнить простые расчеты для ответа на вопрос, сможем ли мы добиться требуемой экономии. Есть методы, позволяющие при определенных условиях найти интервал значений результирующего параметра по диапазонам значений исходных данных, но для большинства проблем из реальной жизни такие условия, как правило, не существуют. Как только мы начинаем суммировать и умножать разные типы распределений, задача обычно превращается в то, что математики называют неразрешимой или не имеющей решения обычными математическими методами проблемой. Именно с такой задачей столкнулись физики, работавшие над расщеплением ядра. Поэтому взамен мы пользуемся методом прямого подбора возможных вариантов, ставшим возможным благодаря появлению компьютеров. Из имеющихся интервалов мы выбираем наугад множество (тысячи) точных значений исходных параметров и рассчитываем множество точных значений искомого показателя.
Моделирование методом Монте-Карло — превосходный способ решения подобных проблем. Мы должны лишь случайным образом выбрать в указанных интервалах значения, подставить их в формулу для расчета годовой экономии и рассчитать итог. Одни результаты превысят рассчитанную нами медиану 600 000 дол., а другие окажутся ниже. Некоторые будут даже ниже требуемых для безубыточности 400 000 дол.
Вы легко сможете осуществить моделирование методом Монте-Карло на персональном компьютере с помощью программы Excel, но для этого понадобится чуть больше информации, чем 90-процентный доверительный интервал. Необходимо знать форму кривой распределения. Для разных величин больше подходят кривые одной формы, чем другой. В случае 90-процентного доверительного интервала обычно используется кривая нормального (гауссова) распределения. Это хорошо знакомая всем колоколообразная кривая, на которой большинство возможных значений результатов группируются в центральной части графика и лишь немногие, менее вероятные, распределяются, сходя на нет к его краям (см. рис. 6.1).
Говоря о нормальном распределении, необходимо упомянуть о таком связанном с ним понятии, как стандартное отклонение. Очевидно, не все обладают интуитивным пониманием, что это такое, но поскольку стандартное отклонение можно заменить числом, рассчитанным по 90-процентному доверительному интервалу (смысл которого интуитивно понимают многие), я не буду здесь подробно на нем останавливаться. Рисунок 6.1 показывает, что в одном 90-процентном доверительном интервале насчитывается 3,29 стандартного отклонения, поэтому нам просто нужно будет сделать преобразование.
В нашем случае следует создать в электронной таблице генератор случайных чисел для каждого интервала значений. Следуя инструкциям рисунка 6.1, мы можем выбрать случайные значения параметра MS (экономия на материально-техническом обслуживании) по формуле Excel:
=norminv(rand(),15,(20–10)/3,29).
Проделаем то же самое для остальных интервалов значений. Некоторые предпочитают пользоваться генератором случайных цифр из Excel Analysis Toolpack. Я привожу эту формулу в таблице 6.1 на случай, если вы захотите попрактиковаться.
Построим на основе наших данных таблицу, аналогичную таблице 6.1. Два последних столбца показывают результаты расчетов на основе данных других столбцов. В столбце «Общая экономия» показана годовая экономия, рассчитанная для каждой строки. Например, в случае реализации сценария 1 общая экономия составит (9,27 + 4,30 + 7,79) х 23 955 = 511 716 (дол.). Столбец «Достигается ли безубыточность?» вам на самом деле не нужен. Я включил его просто для информативности. Теперь скопируем таблицу и сделаем 10 000 строк.
Чтобы оценить полученные результаты, можно использовать пару других простых инструментов, имеющихся в Excel. Функция «=countif()» позволяет рассчитывать значения величин, отвечающие определенному критерию, — в данном случае те значения годовой экономии, которые меньше 400 000 дол. Или же для полноты картины вы можете воспользоваться инструментом построения гистограмм из Analysis Toolpack. Он подсчитает число сценариев в каждой области, или инкрементной группе значений. Затем вы строите график, отображающий результаты расчета (см. рис. 6.2). Этот график показывает, сколько из 10 000 сценариев будут иметь годовую экономию в том или ином интервале значений. Например, в более чем 1000 сценариев годовая экономия составит от 300 000 до 400 000 дол.
Из всех полученных значений годовой экономии примерно 14 % будут меньше 400 000 дол. Это означает, что вероятность ущерба составляет 14 %. Данное число и представляет содержательную оценку риска. Но риск не всегда сводится к возможности отрицательной доходности инвестиций. Оценивая размеры вещи, мы определяем ее высоту, массу, обхват и т. д. Точно так же существуют и несколько полезных показателей риска. Дальнейший анализ показывает: есть вероятность 3,5 % того, что завод вместо экономии будет терять ежегодно по 100 млн дол. Однако полное отсутствие доходов практически исключено. Вот что подразумевается под анализом риска — мы должны уметь рассчитывать вероятности ущерба разного масштаба. Если вы действительно измеряете риск, то должны делать именно это. С дополнительным материалом к данному примеру можно ознакомиться на сайте www.howtomeasureanything.com
В некоторых ситуациях можно пойти более коротким путем. Если все распределения значений, с которыми мы работаем, будут нормальными и нам надо просто сложить интервалы этих значений (например, интервалы затрат и выгод) или вычесть их друг из друга, то можно обойтись и без моделирования методом Монте-Карло. Когда необходимо суммировать три вида экономии из нашего примера, следует провести простой расчет. Чтобы получить искомый интервал, используйте шесть шагов, перечисленных ниже:
1) произвести вычитание среднего значения каждого интервала значений из его верхней границы. Для экономии на материально-техническом обслуживании — 20–15 = 5 (дол.), для экономии на трудозатратах — 5 дол. и для экономии на сырье и материалах — 3 дол.;
2) возвести в квадрат результаты первого шага — 52 = 25 (дол.) и т. д.;
3) суммировать результаты второго шага — 25 + 25 + 9 = 59 (дол.);
4) извлечь квадратный корень из полученной суммы (получится 7,68 дол.);
5) сложить все средние значения: 15 + 3 + 6 = 24 (дол.);
6) прибавить к сумме средних значений или вычесть из нее результат шага 4 и получить в итоге верхнюю и нижнюю границы диапазона: 24 + 7,68 = 31,68 (дол.) — верхняя граница; 24–7,68 = 16,32 (дол.) — нижняя граница.
Таким образом, 90-процентный доверительный интервал для суммы трех 90-процентных доверительных интервалов по каждому виду экономии составляет 16,32–31,68 дол. В итоге область значений (размах) суммарного интервала равна квадратному корню из суммы квадратов областей значений отдельных интервалов.
Иногда нечто похожее делают, суммируя все «оптимистические» значения верхней границы и «пессимистические» значения нижней границы интервала. В данном случае мы получили бы на основе наших трех 90-процентных доверительных интервалов суммарный интервал 11–37 дол. Этот интервал несколько шире, чем 16,32–31,68 дол. Когда такие расчеты выполняются при обосновании проекта с десятками переменных, расширение интервала становится чрезмерным, чтобы его игнорировать. Брать самые «оптимистические» значения для верхней границы и «пессимистические» для нижней — все равно что думать: бросив несколько игральных костей, мы во всех случаях получим только «1» или только «6». На самом же деле выпадет некое сочетание низких и высоких значений. Чрезмерное расширение интервала — распространенная ошибка, которая, несомненно, часто приводит к принятию необоснованных решений. В то же время описанный мной простой метод прекрасно работает, когда у нас есть несколько 90-процентных доверительных интервалов, которые необходимо суммировать.
Однако наша цель не только суммировать интервалы, но и умножить их на объем производства, значения которого также даны в виде диапазона. Простой метод суммирования годится только для вычитания или сложения интервалов значений.
Моделирование методом Монте-Карло требуется и тогда, когда не все распределения являются нормальными. Хотя другие типы распределений не входят в предмет данной книги, упомянем о двух из них — равномерном и бинарном (см. рис. 6.3 и 6.4). И то и другое нам еще встретится, когда мы будем обсуждать стоимость информации.
Инструменты и другие ресурсы для моделирования методом Монте-Карло
К счастью, сегодня вам не придется строить модель Монте-Карло с нуля. Существуют многочисленные инструменты, облегчающие труд знакомого с теорией аналитика и повышающие его эффективность. К ним относятся и простые наборы макросов для Excel (которыми пользуюсь я), и очень сложные пакеты программ.
Горячим сторонником использования метода Монте-Карло в бизнесе является профессор Стэнфордского университета Сэм Сэвидж, разработавший инструмент, названный им Insight.xls. Сэвидж предлагает интуитивный подход к использованию вероятностного анализа. Кроме того, у него есть кое-какие соображения по поводу формализации процедуры разработки моделей методом Монте-Карло. Если такими моделями пользуются разные подразделения одной и той же организации, то, по мнению Сэвиджа, ей следует иметь объединенную базу общих распределений, а не придумывать каждый раз новые распределения для одних и тех же величин. Более того, он считает, что само определение распределения величины часто представляет собой особую задачу, требующую некоторой математической подготовки.
У Сэвиджа есть интересный метод, который он называет управлением вероятностями: «Предположим, описание распределений вероятностей мы возьмем на себя. Чем тогда вы сможете оправдать свое нежелание пользоваться распределениями вероятностей? Некоторые говорят, что не умеют описывать распределение вероятностей. Однако как выработать электроэнергию, они тоже не знают, но все же ею пользуются».
Его идея заключается в том, чтобы ввести в компаниях такую должность, как ведущий специалист по вероятностям. Он будет отвечать за управление объединенной библиотекой распределений вероятностей, которой может пользоваться каждый, кто занимается моделированием по методу Монте-Карло. Сэвидж ввел такое понятие, как стохастический информационный пакет (stochastic information packet, SIP) — заранее разработанный набор из 100 000 случайных значений того или иного показателя. Иногда разные пакеты связаны друг с другом. Например, доход компании может согласовываться с темпами роста национальной экономики. Набор таких коррелирующих между собой стохастических информационных пакетов называется стохастическими библиотечными модулями с сохраненными зависимостями (stochastic library units with relationships preserved, SLURPs). Ведущий специалист по вероятностям будет управлять SIP и SLURPs таким образом, чтобы пользователям распределений вероятностей не приходилось изобретать велосипед всякий раз, когда нужно моделировать инфляцию или затраты на здравоохранение.
Я бы добавил еще несколько аспектов, тогда модели Монте-Карло будут создаваться и использоваться в организациях так же официально, как методы бухучета. Этими аспектами являются следующие:
• официальная процедура сертификации калиброванных специалистов. Проводя занятия, я заметил, что даже высококвалифицированные специалисты, постоянно пользующиеся моделями Монте-Карло, мало что слышали о калиброванной оценке вероятностей. Как мы уже говорили, некалиброванный эксперт обычно слишком уверен в своих оценках. Любой расчет риска на основе его предположений приведет к недооценке;
• хорошо задокументированная процедура построения моделей начиная с исходных оценок калиброванных специалистов. На отладку этой процедуры всегда уходит какое-то время. Организации в большинстве своем не нуждаются в разработке модели с нуля всякий раз, когда приходится анализировать новый инвестиционный проект. Можно воспользоваться результатами других предприятий или, по крайней мере, своими предыдущими моделями;
• единый набор компьютерных инструментов. Некоторые из них перечислены в таблице 6.2.
Парадокс риска
Построить модель методом Монте-Карло вряд ли сложнее, чем создать любую другую компьютерную экономическую модель. На самом деле модели, которые я разрабатывал для оценки рисков крупных проектов в области информатики, всегда оказывались более простыми, чем анализируемые информационные системы.
Сложны ли вообще модели Монте-Карло? Конечно, по некоторым меркам. Слишком ли они сложны для того, чтобы их можно было использовать в бизнесе? Нет, по современным деловым стандартам. К тому же, как и в любом другом трудном случае, руководство компании может пригласить специалистов, обладающих необходимыми навыками.
Несмотря на это, количественный анализ рисков с помощью метода Монте-Карло принят далеко не повсеместно. Многие организации пользуются при решении отдельных задач довольно сложными методами анализа риска. Например, актуарии в страховых компаниях определяют требования к страховому продукту, статистики анализируют рейтинги нового телешоу, а менеджеры используют подход Монте-Карло для моделирования изменения методов производства. Однако те же самые организации не пользуются регулярно теми же сложными методами анализа риска, принимая гораздо более важные решения в условиях серьезных неопределенностей и высоких вероятностей ущерба.
В 1999 г. мне довелось вести семинар для группы менеджеров, желавших научиться анализировать риски в сфере ИТ. Я начал рассказывать о методе Монте-Карло и спросил, пользуется ли уже кто-нибудь им для оценки рисков. Обычно те, кто утверждает, что рассчитывает риски, просто характеризуют их значения как «высокое», «среднее» или «низкое», даже не пытаясь дать им количественную оценку. Моя цель — помочь слушателям понять разницу между подобным псевдоанализом и расчетом, приемлемым с точки зрения актуария. Один из студентов сказал, что регулярно использует метод Монте-Карло для оценки риска. Это произвело на меня впечатление: «До сих пор мне не встречались специалисты по ИТ, которые пользовались бы данным методом». На это он сказал: «Нет, я не эксперт в информационных технологиях. Я занимаюсь анализом производственных методов в Boise Gascade, целлюлозно-бумажной и деревообрабатывающей компании». На мой вопрос «А что, по вашему мнению, более рискованно — инвестиции в ИТ или в производство бумаги?» он ответил: инвестиции в ИТ рискованнее, но добавил, что его компания никогда не применяет метод Монте-Карло для оценки риска в этой сфере.
Если организация и применяет количественный анализ рисков, то обычно это делается для принятия повседневных оперативных решений. Самые серьезные и опасные решения (чаще всего) формулируются при минимальном использовании полноценного анализа риска.
С годами я обнаружил, что если организация и применяет количественный анализ рисков, то обычно это делается для принятия повседневных оперативных решений. Самые серьезные и опасные решения чаще всего принимаются без предварительного анализа рисков, связанных с ними, — по крайней мере, таких исследований, с которыми согласился бы актуарий или статистик, не проводится. Я назвал этот феномен «парадоксом риска».
Почти все самые сложные методы анализа риска применяются при принятии простых решений, почти не влекущих серьезных негативных последствий, однако решения о слияниях, крупных инвестициях в ИТ, финансировании научных исследований и т. д. обычно формируются без этой процедуры. Почему так происходит? Может быть, из-за существующего мнения о том, что оперативные решения (одобрение кредита или расчет страховой премии) количественно оценить намного проще в отличие от действительно сложных проблем, связанных с рисками, которые с трудом поддаются точному расчету. Это серьезное заблуждение. Как я уже показал, в важных решениях нет ничего «неизмеримого».
Теперь, когда вы уже познакомились с конкретными количественными понятиями неопределенности и риска, мы можем перейти к изучению редко используемого, но очень полезного инструмента измерения: расчета стоимости информации.