95. Все, что вам нужно сказать: «Я бедный лжец». Из этого высказывания ваша возлюбленная сразу же заключит, что вы не рыцарь (поскольку рыцарь не стал бы лгать и утверждать, что он бедный лжец). Следовательно, вы должны быть лжецом, а так как ваше высказывание ложно, то вы не бедный лжец. Но вы лжец, поэтому вы должны быть богатым лжецом.
96. Вам нужно сказать: «Я не бедный рыцарь». Услыхав такое признание, ваша возлюбленная стала бы рассуждать следующим образом. Если бы вы были лжецом, то вы действительно не были бы бедным рыцарем. Следовательно, ваше высказывание было бы истинным. Это означало бы, что вы, будучи лжецом, высказали истинное утверждение. Возникшее противоречие показывает, что вы рыцарь. Но тогда ваше высказывание истинно, и вы не бедный рыцарь. А поскольку вы рыцарь, то вы должны быть богатым рыцарем.
97. Эта задача имеет несколько решений. Простейшее из них состоит в следующем. Вы спрашиваете у брата вашей избранницы: «Вы и Элизабет однотипны?» Если он ответит «да», то Элизабет должна быть рыцарем независимо от того, будет ли ее брат рыцарем или лжецом. Если же он ответит «нет», то Элизабет должна быть лжецом независимо от того, кто ее брат. Докажем это.
Предположим, что на ваш вопрос брат Элизабет ответил «да». Мы знаем, что ее брат – либо рыцарь, либо лжец. Если он рыцарь, то его высказывание, утверждающее, что Элизабет рыцарь, истинно. Следовательно, Элизабет также должна быть рыцарем. Если брат Элизабет – лжец, то его высказывание ложно. Следовательно, он и Элизабет разнотипны, а это означает, что Элизабет и в этом случае должна быть рыцарем. Итак, если Артур отвечает вам «да», то Элизабет рыцарь.
Предположим, что Артур отвечает «нет». Если он рыцарь, то говорит правду. Следовательно, он и Элизабет разнотипны, поэтому Элизабет должна быть лжецом. Если же он лжец, то его высказывание ложно. Тогда Элизабет в действительности однотипна с ним, а следовательно, и в этом случае должна быть лжецом. Итак, если Артур отвечает вам «нет», то Элизабет – лжец.
98. Эта задача также допускает несколько решений. Простейшее и наиболее изящное из известных мне решений состоит в том, чтобы, выбрав одну из сестер (например, А), спросить у нее: «В по рангу ниже С?». Предположим, что А отвечает «да». Тогда вы выбираете себе в невесты В, рассуждая при этом следующим образом. Предположим, что А – рыцарь. Тогда В по рангу действительно ниже С. Следовательно, В – лжец, а сестра С – обычный человек. В этом случае[2] В не оборотень (так как оборотень С). Предположим, что А – лжец. Тогда В в действительности по рангу выше С. Это означает, что В – рыцарь, а С – обычный человек. Следовательно, и в этом случае В – не оборотень. Если А – обычный человек, то В заведомо не оборотень, так как оборотень А. Итак, если А отвечает на ваш вопрос «да», то независимо от того, будет ли она рыцарем или лжецом, вам следует выбрать себе в невесты сестру В.
Если бы А ответила «нет», то ее ответ был бы эквивалентен утверждению, что С по рангу ниже В. В этом случае вам следовало бы выбрать себе в невесты сестру С.
99. Все подозрения с вас могло бы снять одно-единственное высказывание: «Я виновен». Вы, будучи лжецом, могли бы сделать такое заявление на суде, поскольку оно ложно, и оно сняло бы с вас подозрения, так как присяжные, искушенные в логике, рассуждали бы следующим образом. Если бы вы действительно были виновны, то вы были бы лжецом (так как известно, что преступник – лжец). Но тогда вы, будучи лжецом, высказали бы истинное утверждение. Таким образом, предположение о том, что вы виновны, приводит к противоречию. Следовательно, вы невиновны.
Приведенное нами рассуждение присяжных может служить типичным примером рассуждения от противного (ложность утверждения доказывается тем, что высказанный тезис доводится до нелепости, отсюда латинское название этого способа доказательства reductio ad absurdum – приведение к нелепости). Присяжные могли бы прийти к тому же выводу и более прямым путем, рассуждая следующим образом. Вы либо лжец, либо не лжец (напомним, что присяжным неизвестно, лжец вы или не лжец). Если вы лжец, то ваше высказывание ложно. Следовательно, вы невиновны. Если вы не лжец, то вы заведомо невиновны, так как преступник – лжец.
100. Убедить присяжных одним-единственным высказыванием в том, что вы невиновны, невозможно. Если после того, как вы сделали свое заявление, присяжные могли бы, логически рассуждая, прийти к выводу, что вы невиновны, то (поскольку они люди умные и строили свои рассуждения по всем правилам логики) это означало бы, что вы действительно невиновны вопреки условию задачи (по предположению вы виновны в совершении преступления).
101. Эта задача в известном смысле «двойственна» задаче 99 (и даже несколько проще той). Вам необходимо лишь заявить на суде: «Я невиновен». Услышав ваше заявление, присяжные стали бы рассуждать следующим образом. Если вы рыцарь (о чем они не знают), то ваше высказывание истинно. Следовательно, вы невиновны. Если же вы не рыцарь, то вы опять-таки невиновны, так как по имеющимся у присяжных сведениям преступник – рыцарь.
102. Одно из решений состоит в том, что вы должны выступить на суде с заявлением: «Либо я рыцарь и невиновен, либо я лжец и виновен». Сформулируем ваше высказывание несколько проще: «Я либо невиновный рыцарь, либо виновный лжец». Выслушав подобное заявление, присяжные принялись бы рассуждать следующим образом.
Первый шаг. Предположим, что он рыцарь. Тогда его высказывание истинно. Следовательно, он либо невиновный рыцарь, либо виновный лжец. Быть виновным рыцарем он не может, так как он не лжец. Значит, он невиновный рыцарь. Следовательно, он невиновен.
Второй шаг. Предположим, что он лжец. Тогда его заявление ложно. Следовательно, он ни невиновный рыцарь, ни виновный лжец. В частности, он не может быть виновным лжецом. Но он лжец. Следовательно, он невиновный лжец и, значит, невиновен.
Третий шаг. Если он обычный человек, то он заведомо невиновен, так как преступник – не обычный человек.
103. Эта задача решается очень просто. Вам нужно заявить на суде: «Я лжец». Ни рыцарь, ни лжец не могли бы высказать такое утверждение. Следовательно, вы обычный человек и, значит, невиновны.
104. Вы могли бы сказать: «Я невиновный рыцарь». Присяжные, выслушав ваше признание, стали бы рассуждать следующим образом.
Первый шаг. Предположим, что он (то есть вы) был бы лжецом. Тогда он не был бы рыцарем и, следовательно, не мог бы быть виновным рыцарем, поэтому его высказывание было бы истинным. Но это невозможно, так как лжецы не высказывают истинных утверждений. Следовательно, он не может быть лжецом.
Второй шаг. Нам известно, что он либо рыцарь, либо обычный человек. Если он обычный человек, то он невиновен. Предположим, что он рыцарь. Тогда его высказывание истинно. Следовательно, он не может быть виновным рыцарем. Но он рыцарь. Значит, он должен быть невиновным рыцарем.
Следует заметить, что вы могли бы сделать на суде и другие (по форме, но эквивалентные по существу) заявления, например «Либо я не рыцарь, либо я невиновен», «Если я рыцарь, то я невиновен».
105. Вы могли бы сказать: «Я виновный лжец». Выслушав ваше заявление, присяжные стали бы рассуждать следующим образом: «Ясно, что он не рыцарь. Значит, он либо обычный человек, либо лжец. Если он обычный человек, то он невиновен. Предположим, что он лжец. Тогда его высказывание ложно, и он может быть виновным лжецом. Следовательно, он невиновный лжец».
106. Любого числа высказываний недостаточно, чтобы убедить короля в вашей необычности. Действительно, любые ваши высказывания, сколько бы их ни было, могли бы принадлежать обычному человеку, так как обычный человек высказывает и истинные, и ложные утверждения. Следовательно, вам не удастся жениться на дочери этого короля! Жаль! Придется вам попытать счастья на следующем острове.
107. И в том и в другом случае достаточно одного высказывания. Короля могло бы убедить истинное высказывание «Я не рыцарь» (такое высказывание не могло бы принадлежать ни рыцарю, ни лжецу) и ложное высказывание «Я лжец».
108. В связи с этой задачей я хотел бы заметить, что если вы выскажете первое утверждение, то король узнает, что хотя вы и обычный человек, но только что вы высказали истинное утверждение. Если вы выскажете второе утверждение, то король узнает, что хотя вы и обычный человек, но только что вы высказали ложное утверждение.
Выберите на свое усмотрение любое утверждение, истинность или ложность которого неизвестна королю, например утверждение, что у вас в кармане ровно 11 долларов. Свое утверждение вы могли бы высказать в такой форме: «Либо я обычный человек и у меня ровно 11 долларов в кармане, либо я лжец».
Такое утверждение не могло бы принадлежать лжецу (потому что утверждение, в котором о лжеце говорится, что он либо обычный человек, у которого 11 долларов в кармане, либо лжец, истинно). Такое утверждение не могло бы принадлежать и рыцарю (рыцарь не может быть ни обычным человеком с 11 долларами в кармане, ни лжецом). Следовательно, король узнает, что вы обычный человек, но не сможет узнать, истинно ваше высказывание или ложно, пока ему не станет известно, сколько денег у вас в кармане.
VII. Логические задачи
Многие из задач в этой главе содержат так называемые условные высказывания, то есть сложные высказывания вида «Если Р истинно, то Q истинно», где Р и Q – некоторые высказывания. Прежде чем приступить к решению задач этого типа, необходимо выяснить, какие неоднозначности могут встретиться в истолковании условных высказываний. С одними фактами согласятся все, по поводу других могут возникнуть значительные разногласия.