Обратимся к конкретному примеру. Рассмотрим следующее высказывание:
Если Джон виновен, то его жена виновна. (1)
Всякий согласится с тем, что если Джон виновен и если высказывание (1) истинно, то жена Джона также виновна.
Предположим теперь, что жена Джона виновна, но неизвестно, виновен Джон или невиновен. Как, по-вашему, будет ли в этом случае высказывание (1) истинно или ложно? Не считаете ли вы, что независимо от того, виновен Джон или невиновен, его жена виновна? Может быть, вы предпочитаете выразить свою мысль иначе: если Джон виновен, то его жена виновна, и если Джон невиновен, то его жена виновна?
Примеры такого словоупотребления мы находим в литературе. В рассказе Киплинга «Рикки-Тикки-Тави» кобра говорит перепуганному семейству: «Если вы двинетесь с места, я укушу, и если вы не двинетесь с места, я укушу». В переводе на более привычный язык это означает просто-напросто: «Я укушу». О наставнике секты дзен Токусане легенда рассказывает, что на все вопросы (и «невопросы») он отвечал ударами своего посоха. Ему принадлежит знаменитое изречение: «Тридцать ударов, если тебе есть что сказать, тридцать ударов, если тебе нечего сказать».
Итак, мы с трогательным единодушием заключаем, что если высказывание Q истинно, то условное высказывание «Если Р, то Q» (так же как и условное высказывание «Если не Р, то Q») истинно.
Наиболее спорный вопрос состоит в том, истинно или ложно условное высказывание «Если Р, то Q», когда оба высказывания Р и Q ложны. Обратимся к нашему примеру. Можно ли считать высказывание (1) истинным, если и Джон и его жена невиновны? К этому жизненно важному вопросу мы вскоре вернемся.
С интересующим нас вопросом тесно связан другой. Мы уже пришли к единому мнению относительно того, если Джон виновен, а его жена невиновна, то высказывание (1) должно быть ложным. Верно ли обратное утверждение? Иначе говоря, следует ли из ложности высказывания (1), что Джон должен быть виновен, а его жена невиновна? Ту же мысль можно сформулировать и по-другому: правильно ли утверждать, что высказывание (1) ложно лишь в том случае, если Джон виновен, а его жена невиновна? Если связку «если …, то …» понимать так, как это делают большинство логиков, математиков и других ученых, то на наш вопрос следует ответить утвердительно. Мы также будем придерживаться общепринятого соглашения. Заключается оно в том, что если нам заданы любые два высказывания Р и Q, то сложное высказывание «Если Р, то Q» означает: «Неверно, что Р истинно, a Q ложно» (не больше и не меньше). В частности, принятое соглашение означает, что если Джон и его жена невиновны, то высказывание (1) следует считать истинным. Единственный случай, когда высказывание (1) ложно, может представиться, если Джон виновен, а его жена невиновна. Это условие заведомо не выполняется, если Джон и его жена невиновны. Иначе говоря, если Джон и его жена невиновны, то заведомо неверно, что Джон виновен, а его жена невиновна, поэтому высказывание (1) не может быть истинным.
Следующий пример еще более причудлив:
Если Конфуций родился в Техасе, то я Дракула. (2) Высказывание (2) означает всего-навсего: «Неверно, что Конфуций родился в Техасе, и я не Дракула». Таким образом, высказывание (2) следует считать истинным.
К оценке истинности высказывания (2) можно подойти и с другой стороны. Высказывание (2) ложно лишь в том случае, если Конфуций родился в Техасе, а я не Дракула. Но поскольку Конфуций родился не в Техасе, то не может быть верно, что Конфуций родился в Техасе и что я не Дракула. Иначе говоря, высказывание (2) не может быть ложным. Следовательно, оно должно быть истинным.
Рассмотрим теперь любые два высказывания Р, Q. Составим из них сложное высказывание:
Если Р, то Q. (3)
Будем обозначать его Р → Q (эту сокращенную запись принято читать либо как «если Р, то Q», либо как «из Р следует Q», либо «Р влечет за собой Q», либо даже «Р имплицирует Q»). Слово «следует» (и его синонимы) не слишком удачно, но оно привилось в литературе. Понимать его, как мы видели, надлежит лишь в совершенно определенном, хотя, быть может, и несколько необычном смысле: неверно, что Р истинно и Q ложно. Итак, относительно высказывания Р → Q мы располагаем следующей информацией.
Факт 1. Если Р ложно, то Р → Q автоматически истинно.
Факт 2. Если Q истинно, то Р → Q автоматически истинно.
Факт 3. Высказывание Р → Q может быть ложно в том и только в том случае, если Р истинно, a Q ложно.
Факт 1 иногда формулируют иначе: «Из ложного высказывания следует что угодно». Такое утверждение вызывает у некоторых философов самые решительные возражения (см., в частности, задачу 244 из гл. 14). Факт 2 иногда формулируют так: «Истинное высказывание следует из чего угодно».
Если заданы два высказывания Р, Q, то их значения истинности могут распределяться четырьмя возможными способами: 1) Р и Q истинны; 2) Р истинно, Q ложно; 3) Р ложно, Q истинно; 4) Р и Q ложны.
В каждом конкретном случае мы должны иметь дело с одним и только с одним из этих четырех вариантов. Рассмотрим теперь высказывание Р → Q. Можно ли определить, в каких случаях оно истинно и в каких – ложно? Можно, если воспользоваться следующими соображениями.
Случай 1: Р и Q истинны. Так как Q истинно, то Р → Q истинно (факт 2).
Случай 2: Р истинно, Q ложно. Тогда Р → Q ложно (факт 3).
Случай 3: Р ложно, Q истинно. Тогда Р → Q истинно (факт 1 или факт 2).
Случай 4: Р ложно, Q ложно. Тогда Р → Q истинно (факт 1).
Все четыре случая мы сведем в одну таблицу, называемую таблицей истинности для импликации:
Три буквы И, И, И (истинно, истинно, истинно) в первой строке означают, что когда Р истинно и Q истинно, высказывание Р → Q истинно. Буквы И, Л, Л во второй строке означают, что если Р истинно, Q ложно, то Р → Q ложно, а буквы Л, Л, И в четвертой строке – что если Р ложно и Q ложно, то Р → Q истинно.
Заметим, что Р → Q истинно в трех из четырех случаев и ложно только во втором случае.
Еще одно свойство импликации. Импликация обладает еще одним важным свойством. Чтобы доказать истинность высказывания «Если Р, то Q», достаточно, приняв высказывание Р за посылку, убедиться в том, что из него следует высказывание Q. Иначе говоря, если из посылки Р следует заключение Q, то высказывание «Если Р, то Q» истинно.
В дальнейшем мы будем ссылаться на это свойство импликации, как на факт 4.
О каждом из двух людей А и В известно, что он либо рыцарь, либо лжец. Предположим, что А высказывает следующее утверждение: «Если я рыцарь, то В – рыцарь».
Можно ли определить, кто такие А и В: кто из них рыцарь и кто лжец?
У А спрашивают: «Вы рыцарь?» Тот отвечает: «Если я рыцарь, то съем собственную шляпу».
Докажите, что А придется съесть свою шляпу.
А утверждает: «Если я рыцарь, то дважды два – четыре». Кто такой А: рыцарь или лжец?
А заявляет: «Если я рыцарь, то дважды два – пять». Кто, по-вашему, А: рыцарь или лжец?
Относительно А и В известно, что каждый из них либо рыцарь, либо лжец. А заявляет: «Если В – рыцарь, то я лжец». Кто А и кто В?
Двух человек X и Y судят за участие в ограблении, А и В выступают на суде в качестве свидетелей. Относительно А и В известно, что каждый из них либо рыцарь, либо лжец. В ходе судебного заседания свидетели выступили со следующими заявлениями:
А: Если X виновен, то Y виновен.
В: Либо X не виновен, либо Y виновен.
Можно ли утверждать, что А и В однотипны? (Напомним, что двух обитателей острова рыцарей и лжецов мы называем однотипными, если они оба рыцари либо оба лжецы.)
У трех обитателей А, В и С острова рыцарей и лжецов взяли интервью, в ходе которого они высказали следующие утверждения:
А: В – рыцарь.
В: Если А – рыцарь, то С – рыцарь.
Можно ли определить, кто из А, В и С рыцарь и кто лжец?
Предположим, что следующие два высказывания истинны:
1) Я люблю Бетти или я люблю Джейн.
2) Если я люблю Бетти, то я люблю Джейн.
Следует ли из них непременно, что я люблю Бетти? Следует ли из них непременно, что я люблю Джейн?
Предположим, что у меня спрашивают: «Верно ли, что если вы любите Бетти, то вы также любите Джейн?» Я отвечаю: «Если это верно, то я люблю Бетти».
Следует ли отсюда, что я люблю Бетти? Следует ли отсюда, что я люблю Джейн?
На этот раз перед нами две девушки: Ева и Маргарет. У меня спрашивают: «Правда ли, что если вы любите Еву, то вы также любите Маргарет?» Я отвечаю: «Если это правда, то я люблю Еву, и если я люблю Еву, то это правда».
О какой девушке можно с уверенностью сказать, что я ее люблю?
На этот раз перед нами предстанут три девушки: Сью, Марция и Диана. Предположим, что известно следующее:
1) Я люблю по крайней мере одну из этих трех девушек.
2) Если я люблю Сью, а не Диану, то я также люблю Марцию.
3) Я либо люблю и Диану, и Марцию, либо не люблю ни одну из них.
4) Если я люблю Диану, то я также люблю Сью.
Кого из девушек я люблю?
Не кажется ли вам, что логики – народ глуповатый? Уж кому, как не мне, знать, люблю я или не люблю Бетти, Джейн, Еву, Маргарет, Сью, Марцию, Диану и всех прочих. Разве для этого непременно нужно сесть за стол и что-то прикинуть на бумаге? Не сочли бы вы странным, если бы жена, спросив у своего высокоученого мужа: «Милый, ты меня любишь?» – услышала бы в ответ: «Минуточку, дорогая», после чего муж уселся бы за письменный стол и после напряженных вычислений через час сказал бы: «Ты знаешь, милая, выходит, что я тебя люблю»?