184. Такое утверждение существует: «Я надежен в том и только в том случае, если Дракула жив».
В решении задачи 122 из гл. 8 мы доказали, что если туземец с острова рыцарей и лжецов высказывает утверждение «я рыцарь в том и только в том случае, если то-то и то-то», то это «то-то и то-то» должно быть истинно (хотя мы ничего не можем сказать относительно того, рыцарь или лжец наш туземец). Аналогично, если трансильванец высказывает утверждение «я надежен в том и только в том случае, если то-то и то-то», то это самое «то-то и то-то» должно быть истинно независимо от того, надежен ли трансильванец или ненадежен. Доказательство то же, что и прежде (необходимо лишь слово «рыцарь» заменить словом «надежный»).
Приведенное нами утверждение – не единственное. Решением задачи могут служить и другие утверждения, например «я считаю, что утверждение “Дракула жив” эквивалентно утверждению, что я человек». Более забавно следующее утверждение: «Я считаю, что если кто-нибудь спросит меня, жив ли Дракула, то я бы ответил утвердительно».
185. Можно. Из утверждений (1) и (2) следовало бы, что Дракулы нет в живых.
Из утверждения (1) можно заключить, что наш трансильванец – человек. Действительно, упырь, находящийся в здравом уме, знал бы, что он в здравом уме, и заявил бы: «Я лишился рассудка». Упырь, лишившийся рассудка, считал бы, что находится в здравом уме, и заявил бы: «Я лишился рассудка». Следовательно, наш трансильванец – человек.
Напомним принцип, установленный в решении задачи 175: если человек заявляет, что считает некоторое утверждение X истинным, то X должно быть истинным (независимо от того, в здравом ли уме этот человек или лишился рассудка). Мы установили, что трансильванец – человек. Он заявил – см. утверждение (2), – что, по его мнению, Дракулы нет в живых. Следовательно, графа Дракулы не должно быть в живых.
186. Из первого утверждения («я человек») не следует, что трансильванец – человек, а следует, что он должен быть в здравом уме. (Человек, утративший рассудок, не знал бы, что он человек. Упырь, лишившийся рассудка, считал бы себя человеком и, солгав, сказал бы, что он упырь.) Итак, мы знаем, что трансильванец в здравом уме. Докажем, что он человек. Предположим, что он упырь. Тогда неверно, что наш трансильванец – человек, а так как из ложного утверждения следует что угодно, то его второе утверждение («если я человек, то граф Дракула жив») должно бы быть истинно.
Но упырь в здравом уме не может высказывать истинных утверждений, и мы приходим к противоречию. Следовательно, наш трансильванец не может быть упырем и должен быть человеком.
Итак, нам известно, что трансильванец находится в здравом уме и что он человек, поэтому высказываемые им утверждения истинны. Следовательно, его второе утверждение («если я человек, то граф Дракула жив») должно быть истинно. Он человек. Значит, граф Дракула жив.
187. Достаточно спросить трансильванца, в здравом ли он уме. Человек (независимо от того, в здравом ли он уме или лишился рассудка) ответит утвердительно, а упырь отрицательно.
188. Стоит лишь спросить первого встречного, человек ли он, как все станет ясно. Трансильванец, находящийся в здравом уме (будь то человек или упырь), ответит утвердительно, а трансильванец, лишившийся рассудка, – отрицательно.
В нескольких следующих задачах я приведу лишь ответ (то есть укажу, какой вопрос следует задать трансильванцу). Вы уже накопили достаточно опыта, чтобы самостоятельно убедиться в правильности предлагаемых решений.
189. Один из вопросов, на который все трансиль-ванцы вынуждены будут ответить утвердительно, звучит так: «Считаете ли вы себя человеком?» И дело здесь вовсе не в том, что все трансильванцы действительно считают себя людьми (так считают только люди, находящиеся в здравом уме, и упыри, лишившиеся рассудка), но тем не менее все трансильванцы будут утверждать, что считают себя людьми.
Другой вопрос, на который любой трансильванец ответит утвердительно: «Вы надежны?» Все трансильванцы станут уверять, что они надежны.
190. Чтобы установить, жив ли граф Дракула, достаточно задать трансильванцу любой из следующих вопросов:
1) Эквивалентно ли утверждение о том, что вы надежны, утверждению о том, что Дракула жив?
2) Эквивалентно ли, по-вашему, утверждение о том, что вы человек, утверждению о том, что Дракула жив?
191. Достаточно спросить гостя: «Правильно ли ответить «бал» на вопрос, в здравом ли вы уме?» Если гость ответит «бал», то он человек. Если же гость ответит «да», то он упырь.
192. Достаточно спросить гостя: «Правильно ли ответить «бал» на вопрос, человек ли вы?» Если гость ответит «бал», то он в здравом уме. Если же гость ответит «да», то он лишился рассудка.
193. Достаточно спросить гостя: «Считаете ли вы себя человеком?» Слово, которое он произнесет в ответ, должно означать «да». Можно задать и другой вопрос: «Надежны ли вы?»
194. Один из вопросов, дающих решение задачи, звучит так: «Правильно ли ответить «бал» на вопрос, надежны ли вы?» (Напомним, что быть надежным означает либо быть человеком, находящимся в здравом уме, либо упырем, лишившимся рассудка.)
Другой вопрос, также дающий решение задачи: «Надежны ли вы в том и только в том случае, если «бал» означает «да»?»
Любой из этих вопросов заставит гостей ответить «бал». Доказать это можно так же, как в решении задачи 161 из гл. 11 (единственное различие состоит в том, что вместо «человек» везде следует взять «надежный человек»).
195. Любой из следующих вопросов позволит выяснить, жив ли граф Дракула.
1) Считаете ли вы, что «бал» – правильный ответ на вопрос, эквивалентно ли утверждение о том, что вы человек, утверждению «Дракула жив»?
2) Правильно ли ответить «бал» на вопрос, эквивалентно ли утверждение о том, что вы надежны, утверждению «Дракула жив»?
Единый принцип, суть которого разъяснена в решении задачи 196, позволяет дать гораздо более простое и изящное решение.
196. Единый принцип. Условимся называть представителя элиты трансильванского общества аристократом типа 1, если на вопрос «дважды два – четыре?» он отвечает «бал». Разумеется, на любой другой вопрос с правильным ответом «да» трансильванский аристократ типа 1 ответит «бал».
Условимся называть представителя трансильванской элиты аристократом типа 2, если он не типа 1. Это означает, что если X – любое истинное высказывание (например, «дважды два – четыре») и вы спрашиваете аристократа типа 2, истинно ли X, то он ответит «да» (не путать с «нашим» привычным «да»!).
Сразу же ясно, что если «бал» означает «да», то аристократы типа 1 надежны, а аристократы типа 2 ненадежны. Если же бал» означает «нет», то картина обратная (аристократы типа 1 ненадежны, а аристократы типа 2 надежны).
Единый принцип конструирования вопросов заключается в следующем. Чтобы выяснить, истинно ли любое утверждение X, достаточно спросить у любого трансильванского аристократа, эквивалентно ли утверждение о том, что он аристократ типа 1, утверждению X. Вопрос можно задать, например так: «Истинно ли X в том и только в том случае, если вы аристократ типа 1?» Докажем, что если на такой вопрос последует ответ «бал», то X должно быть истинно, а если «да», то X должно быть ложно. Следовательно, «волшебное» утверждение S – это просто-напросто утверждение «вы аристократ типа 1» (или «на вопрос “дважды два – четыре?” вы ответите “бал”»).
Доказательство. Пусть S – утверждение «вы аристократ типа 1», X – утверждение, истинность или ложность которого требуется установить. Вы задаете вопрос: «Эквивалентно ли S утверждению X?» Предположим, что вам отвечают «нет». Требуется доказать, что X должно быть истинно.
Случай 1: «бал» означает «да». В этом случае нам известны два факта: 1) аристократ типа 1 надежен; 2) наш собеседник, говорящий «бал», утверждает, что S эквивалентно X.
Подслучай 1а: аристократ типа 1. Он надежен и высказывает истинные утверждения. Следовательно, S действительно эквивалентно X. Но S истинно (так как аристократ относится к типу 1). Значит, X истинно.
Подслучай 1б: аристократ типа 2. Он ненадежен и высказывает ложные утверждения. Так как он утверждает, что S эквивалентно X, то в действительности S не эквивалентно X. Но S ложно (так как аристократ не принадлежит к типу 1), а X не эквивалентно S. Следовательно, X истинно.
Случай 2: «бал» означает «нет». В этом случае нам известны два факта: 1) аристократ типа 1 ненадежен; 2) наш собеседник, говорящий «бал», утверждает, что S не эквивалентно X.
Подслучай 2а: аристократ типа 1. Он ненадежен и высказывает ложные утверждения. По его словам (не соответствующим действительности), S не эквивалентно X. Значит, на самом деле S эквивалентно X, а так как S истинно, то X истинно.
Подслучай 2б: аристократ типа 2. Он надежен и высказывает истинные утверждения. Значит, S не эквивалентно X (так как, по его словам, S не эквивалентно X). Но S ложно. Следовательно, X должно быть истинно.
Итак, доказано, что ответ «бал» означает истинность высказывания X. Повторив аналогичные рассуждения, мы могли бы доказать, что ответ «да» означает ложность высказывания X. Но к тому же результату можно прийти и более коротким путем, если рассуждать следующим образом.
Предположим, что наш собеседник говорит в ответ «да». Ответ «да» на заданный вопрос означает то же, что и ответ «бал» на вопрос «Верно ли, что вы аристократ типа 1 в том и только в том случае, если X ложно?» (поскольку для любых двух утверждений Y и Z утверждение «Y эквивалентно Z» противоположно утверждению «Y эквивалентно не Z»). Следовательно, если бы вы задали вопрос: «Верно ли, что вы аристократ типа 1 в том и только в том случае, если X ложно?», то ваш собеседник ответил бы «бал». А так как он ответил бы «бал», то отсюда (как доказано выше) следует, что X действительно ложное утверждение.