-1)·(n-2)·…·2·1. Например, 5! = 5–4 — 3–2 — 1 = 120. В нашем примере формула записывается так:
возможных маршрутов.
* * *
Расстояние, которое изучается в школе, является евклидовым расстоянием. Оно находится по теореме Пифагора, поэтому расстояние между двумя точками Р и Q с координатами Р = (x1, y1) и Q = (x2, у2) выражается следующей формулой:
В отличие от евклидова расстояния, минимальное расстояние в городе с прямоугольной сеткой улиц считается как dT(P, Q) = |x2 — x1| + |y2 — y1|
* * *
АБСОЛЮТНОЕ ЗНАЧЕНИЕ
Выражение |А| означает «абсолютное значение числа А», которое получается путем игнорирования знака числа. Если число А положительно, то |А| = А, а если число А отрицательно, то |А| = — А, например, |-5| = 5.
* * *
Это альтернативное расстояние называется манхэттенским расстоянием, или расстоянием Минковского, в честь немецкого математика Германа Минковского.
На более популярном языке это расстояние называют также расстоянием такси. На рисунке ниже пунктирная линия отмечает евклидово расстояние, а сумма длин вертикальных и горизонтальных отрезков соответствует расстоянию такси.
Если точка С является началом координат, то точка А имеет координаты (2, 1), а точка В — координаты (0, 5). Таким образом, евклидово расстояние составляет 4,47 единиц, а расстояние такси — 6 единиц. Обратите внимание, что положение начала координат не влияет на результат при расчете расстояний.
В математике метрикой или расстоянием между двумя точками А и В называется такое соотношение, которое удовлетворяет условиям положительности, симметрии и неравенства треугольника. А именно,
1) δ(A, В) >= 0, и из δ(A, В) = 0 следует, что А = В;
2) δ(A, В) = δ(В, A);
3) δ(А, В) =<δ(А, С) + δ(С, В).
Евклидово расстояние d(A, В) и расстояние такси dt(A, В) — два примера расстояний, которые удовлетворяют указанным выше условиям. В общем случае d(A, В) =<dT(A, В).
* * *
ГЕРМАН МИНКОВСКИЙ (1864–1909)
Немецкий математик Герман Минковский разработал геометрическую теорию чисел — геометрический метод решения задач из теории чисел. В 1907 г. он понял, что специальная теория относительности Эйнштейна может быть лучше выражена в терминах неевклидовой геометрии четырехмерного пространства. Это пространство с тех пор называется пространством Минковского. В нем время и пространство являются взаимосвязанными измерениями и образуют четырехмерное пространство, так называемое пространство-время. Именно таким подходом позже воспользовался Эйнштейн при работе над общей теорией относительности.
* * *
В евклидовой геометрии имеется признак равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними, который работает следующим образом.
Пусть у нас имеются два треугольника АВС и А1В1С1 со сторонами соответственно АВ, АС, ВС и А1В1, A1C1, B1C1. Тогда, если АВ = A1B1, АС = А1С1и угол ВАС равен углу В1A1С1, то сторона ВС равна стороне B1C1, то есть треугольники равны.
Другими словами, если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то третьи стороны в треугольниках также будут равны. Такие треугольники равны. Однако этот очевидный результат оказывается ложным в геометрии такси.
Рассмотрим треугольники с вершинами А = (3,1), В = (1, 3), С = (5, 3) и А1 = (4, 4), В1 = (8, 4), С1 = (4, 0), как изображено на рисунке:
Можно показать, что
dT(A, B) = 4 = dT(A1, B1),
а также
dT(A, C) = 4 = dT(A1, C1),
Таким образом, по формуле расстояния такси b = b1и с = с1. Обратите внимание, что угол ВАС также равен углу В1А1С1(в данном примере они равны 90°). Несмотря на выполнение условий признака равенства, стороны а и а; наших треугольников имеют разную длину. Это совершенно разные треугольники, так что для них признак равенства треугольников из евклидовой геометрии не работает.
Круги встречаются повсеместно, как в естественных, так и в искусственных мирах, и, следовательно, это, пожалуй, простейшая из геометрических фигур, и ее легче всего описать. Подумав о круге, мы сразу вспоминаем множество круглых объектов, так что нам совсем нетрудно представить себе эту форму. Например, если взять колесо велосипеда, очевидно, что все спицы имеют одинаковую длину, иначе было бы невозможно на нем ездить. Все спицы одинаковой длины, потому что все точки на ободе находятся на одном и том же расстоянии от центра. Теперь сформулируем точное определение окружности на плоскости.
Геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от заданной точки на заданное расстояние, называется окружностью.
Данная фиксированная точка называется центром окружности, а заданное расстояние — радиусом окружности.
Таким образом, если мы выберем точку Р на окружности (с центром в точке А и радиусом r), то d(P, А) = r. Например, если центр находится в точке (2, -1), а радиус равен 3, то все точки Р, удовлетворяющие нашему соотношению для А и r, образуют окружность.
На приведенном выше рисунке для изображения точек окружности использовалась формула евклидова расстояния, но если применять формулу расстояния такси, то получится совсем другой, очень странный результат, как можно видеть на следующем рисунке.
Мы можем проверить, что точки Р на этой «окружности» такси действительно удовлетворяют соотношению dT = (Р, А) = r при А = (2, -1) и r = 3. В геометрии такси возможно то, что всегда казалось абсурдным: мы можем круг превратить в квадрат!
Если вычислить длину окружности нашего такси-круга по классической формуле l = 2·π·r, то мы получим l = 2 ·π· 3 = 18,849. Однако по формуле расстояний такси длина окружности составит 6 + 6 + 6 + 6 = 24 единицы, и, кроме того, результат совсем не будет содержать π.
Многие другие формы, известные из геометрии Евклида, выглядят странно в геометрии такси. Например, эллипс представляет собой множество точек, расположенных вокруг двух фиксированных точек, называемых фокусами. Сумма расстояний от любой точки эллипса до фокусов постоянна. Круг является частным случаем эллипса, когда оба фокуса находятся в одной точке.
В следующем примере фокусами являются точки А = (—3, 0) и В = (3, 0), а большая ось эллипса (наибольший диаметр) составляет 10 единиц. Следовательно, эллипс состоит из всех точек Р, удовлетворяющих условию d(P, А) + d(P, В) = 10:
Если евклидово расстояние заменить расстоянием такси, то множество точек Р, удовлетворяющих условию d(P, А) + d(P, В) = 10, будет выглядеть весьма странно:
Эти примеры показывают, что формы геометрических фигур не являются универсальными, вечными и неизменными. Любая форма относительна, каким бы странным этот факт ни казался. Формы зависят от метрики — так называется тип используемого «расстояния». Другими словами, они зависят от подхода к данной задаче.
Тем не менее, расстояние такси вовсе не является курьезом. Оно имеет множество применений в городском планировании. Например, оно играет важную роль при планировании эффективной дорожной сети и удобного расположения государственных учреждений (больниц, школ, туристических достопримечательностей и т. д.).
Давайте представим, что в некотором городе приняли решение соединить между собой два городских округа. Эти районы называются А и В, а улицы в них образуют прямоугольные кварталы, как в реальном Эшампле в Барселоне. Для соединения двух округов было решено построить дорогу таким образом, чтобы выполнялось одно сложное условие: в любой точке этой дороги автомобиль должен находиться на одинаковом расстоянии от точек А и В. Как можно спроектировать такую дорогу?
В математических терминах этот вопрос можно сформулировать следующим образом: какие точки на плоскости равноудалены от точек А и В?
Как всегда, в евклидовой геометрии имеется простое решение. Если на плоскости XY точка А имеет координаты (0, 0), а точка В — (4, 2), то можно провести линию, перпендикулярную отрезку АВ и проходящую через его середину. Эта линия и будет состоять из точек Р, удовлетворяющих условию:
d(P, A) = d(P, B).
Но этот подход не работает в геометрии такси. Обратите внимание, что евклидово решение потребует снести большое количество зданий, чтобы построить такой идеальный маршрут.