Различные виды разрушения при сжатии, или сэндвичи, весла и Леонард Эйлер
По причине слабости натуры нашей не можем всегда не согбенны быть.
Как и следовало ожидать, при действии сил сжатия конструкцииразрушаются иначе, чем при растяжении. Когда мы нагружаем твердое телорастяжением, расстояния между образующими его атомами и молекулами увеличиваются.При этом натягиваются и межатомные связи, но они могут растягиваться лишьв ограниченных пределах. Если деформации превышают примерно 20%, химическиесвязи ослабевают и в конце концов исчезают совсем. Хотя в действительностиполная картина процесса разрыва твердого тела достаточно сложна, можно,вообще говоря, утверждать, что, когда растяжение какой-то большой частимежатомных связей достигнет предельного значения, произойдет и разрушениематериала в целом. Нечто подобное происходит и тогда, когда материал разрушаетсяпри кручении. Однако при сжатии происходит несколько иное.
Если сжимать твердое тело, то расстояния между его атомами и молекулами будутуменьшаться, а межатомные силы отталкивания в любых нормальных условиях сростом деформации сжатия будут возрастать почти безгранично. И только в случае,когда действуют огромные гравитационные силы, существующие в некоторых звездах,называемых астрономами белыми карликами, силы отталкивания уже не могутпротивостоять фантастическим силам гравитационного сжатия, причем скатастрофическими последствиями[97].
Тем не менее множество обычных земных конструкций при сжатии все-такиразрушается. Дело в том, что сжимающие напряжения в любой данной конструкцииникогда не могут расти беспредельно, материал или конструкция всегда находитспособ избежать этого, просто "выскользнув" из-под нагрузки куда-нибудьв боковом направлении. С энергетической точки зрения конструкции выгодноизбавиться от избытка упругой энергии при сжатии с помощью того или иногомеханизма обмена энергией, удобного в данной конкретной ситуации.
Из-за этого сжатые конструкции обладают весьма прихотливыми свойствамии изучение их разрушения - это изучение способов, какими можно выбратьсяоттуда, где на тебя давят. Как известно, это можно сделать разными способами.Выбор возможного способа определяется формой, пропорциями и материаломсамой конструкции.
О каменной кладке мы говорили уже довольно много. И хотя здания - этопо сути своей сжатые конструкции и кладка всегда должна находиться в сжатомсостоянии, следует сказать, что от сжатия они не разрушаются никогда. Какни парадоксально, но они могут разрушиться, только если в них возникнутрастягивающие напряжения. При этом у стены появляется бурная тенденцияк порождению "шарнирных" точек; поворачиваясь вокруг этих точек, стенырушатся.
Арки - конструкции, гораздо более прочные и надежные, чем стены, нои в них иногда могут образоваться четыре "шарнирные" точки, после чегоарка может уменьшить как свою упругую энергию, так и потенциальную энергию,сложившись вначале как механизм и свалившись затем грудой камней. Во всякомслучае, согласно расчетам, проводимым нами в гл. 8, существующие напряжениясжатия в каменной кладке фактически очень невелики, они гораздо ниже общепринятогопредела прочности материала на сжатие.
Предел прочности на сжатие, или разрушение коротких стержней и колонн при сжатии
Если взять кирпич или небольшой бетонный блок и подвергнуть их действиюзначительной сжимающей нагрузки (в испытательной машине или любым другимметодом), материал в конце концов, разрушится тем способом, который условноназывают "разрушением при сжатии". Хрупкие материалы, например камень,кирпич, бетон или стекло, обычно при этом рассыпаются на куски, а иногдаи в пыль. Но, строго говоря, это вовсе не разрушение сжатием, так как вдействительности оно почти всегда происходит из-за сдвига. Как мы виделив предыдущей главе, сжатие и растяжение образца с необходимостью приводятк появлению напряжений сдвига, действующих под углом 45°, и именно этотсдвиг по наклонным площадкам и служит обычно причиной разрушения короткихобразцов при их сжатии.
Как мы уже говорили, практически во всех хрупких материалах существуетмножество микротрещин, царапин и того или иного рода дефектов. Если дажеони не возникли при изготовлении материала, то практически неизбежно появятсяпотом из-за самых разнообразных причин. Естественно, что эти трещины ицарапины в материале имеют всевозможные направления. Значительное числоих окажется направленным под углом +45° к напряжению сжатия, то есть онибудут более или менее параллельны возникающим напряжениям сдвига (рис.135).
Рис. 135. Разрушение хрупких материалов (цементили стекло) при сжатии происходит на самом деле путем сдвига.
Как и в случае растяжения, для этих сдвиговых трещин существует критическаядлина по Гриффитсу. Другими словами, трещина данной длины начинает распространяться,когда касательное напряжение достигает некоторого критического значения.Если в хрупком материале, например бетоне, достигаются эти критическиеусловия, то сдвиговые трещины распространяются практически мгновенно, процессможет носить почти взрывной характер. Когда сдвиговая трещина пройдет подиагонали поперек всего образца, две его части начинают скользить относительнодруг друга. Образец уже не может больше сопротивляться сжимающей нагрузке,материал разгружается, выделяя большое количество упругой энергии, и именнопоэтому, когда хрупкие материалы (стекло, бетон, камень) сжимают или разбиваютмолотком, разлетаются осколки, которые могут быть опасными. Выделеннойэнергии деформации часто оказывается достаточно для превращения материалав пыль. Именно это происходит, когда мы толчем кусочки сахара в ступке.
Разрушение сжатием пластичного металла (скажем, масла или пластилина)происходит по аналогичным причинам. Под действием касательных напряжений слоиметалла начинают проскальзывать[99] по дислокационному механизму. И снова скольжениепроисходит вдоль плоскостей, расположенных примерно под углом 45° к сжимающейнагрузке, короткий металлический образец расползается, приобретая бочкообразнуюформу (рис. 136). Благодаря большой работе разрушения пластичного металлавероятность выброса осколков в этом случае невелика и непосредственныеследствия разрушения бывают менее опасными и драматичными. Когда мы бьеммолотком по головке заклепки или используем для этого гидравлический пресс, мырассчитываем именно на эту склонность металла расплющиваться при сжатий.
Рис. 136. Разрушение пластичного материала (металла) при сжатии происходитвследствие сдвига, но в этом случае сдвиг приводит к расплющиванию образца.
Материалы типа дерева или искусственных волокнистых композитов, напримерстеклопластика или углепластика, при сжатии обычно разрушаются иначе. Армирующиеволокна под действием сжимающих нагрузок изгибаются все вместе, "коллективно",образуя складку, бегущую поперек образца. Эти складки могут проходить подуглом 90° к направлению сжимающих сил или наклонно под различными углами(рис. 137). К сожалению, в композиционных материалах складки часто образуютсяуже при сравнительно небольших напряжениях, то есть на сжатие эти материалыработают плохо, что следует иметь в виду при использовании их в конструкциях.
Рис. 137. Разрушение волокнистых материалов (дерево или стеклопластик) присжатии. Поперечная складка (а) под углом 90°приводит к уменьшению объема, апотому возникает только в материалах, содержащих пустоты, например в дереве.Косая складка (б) характерна для композитных материалов, так как ееформирование не требует уменьшения объема.
Сравнение прочности материалов на растяжение и на сжатие
Содержимое многочисленных учебников и справочников - обширные таблицы прочностина разрыв практически всех конструкционных материалов. Как правило, книги этигораздо более сдержанны в отношении прочности на сжатие. Одна из причин этого втом, что экспериментальные значения прочности при сжатии в большей мере зависятот формы испытуемого образца. Иногда материал оказывается столь чувствительнымк ней, что становится почти бессмысленным приводить какие-либо цифры. Хотяобращаться с величинами прочности на сжатие мы обязаны очень осторожно и этооправданно, использование данного понятия все же позволяет лучше постигнутьработу конструкции. Прежде всего мы должны иметь в виду, что на самом деле несуществует никакой однозначной зависимости между прочностью материала на сжатиеи его прочностью на растяжение[100].
Весьма приблизительные величины прочности некоторых распространенныхматериалов приведены в табл. 5. Величины прочности на сжатие получены наобразцах, имеющих отношение длины к толщине от 1 до 3-4. Прочность болеетолстых или более тонких образцов может быть совершенно другой.
Таблица 5 Приблизительные значения предела прочности на сжатиеи растяжение для некоторых материалов
Материал / Предел прочности на растяжение, МН/м2 / Предел прочности на cжатие, МН/м2
Дерево / 100 / 27
Чугун / 40 / 350
Литой алюминий / 40 / 300
Литые цинковые сплавы / 35 / 300
Бакелит, полистирол и другие хрупкие пластмассы / 15 / 55
Цемент / 4 / 40
Один из очевидных выводов, который следует из табл. 5, состоит в том,что если мы конструируем элемент, например изгибаемую балку, в которойесть и область растяжения, и область сжатия, то нужно "глядеть в оба".Лучшим проектом может оказаться балка с совершенно асимметричным сечением.В чугунных балках викторианских времен площадь растягиваемой зоны обычногораздо больше, чем сжимаемой, потому что чугун лучше работает на сжатие,чем на растяжение (рис. 138). И наоборот, лонжерон крыла деревянного самолета,например планера, всегда гораздо толще сверху, то есть на сжатой стороне,так как при сжатии дерево менее прочно, чем при растяжении (рис. 139).
Рис. 138. Чугунная балкаобычно на растянутой полке делается более толстой, чем на сжатой, потомучто прочность чугуна на разрыв меньше его прочности на сжатие.
Рис. 139. Деревянныйлонжерон крыла планера обычно на сжатой стороне толще, чем на растянутой,потому что дерево при сжатии менее прочно, чем при растяжении.
Прочность дерева и композиционных материалов при сжатии
Он сказал, что делает мачты вот уже пятьдесят лет и, насколько знает, ихвсегда делали из целого дерева. Он сказал, что из всех, кого он встречал, япервый и единственный, кто хочет умышленно погубить хорошую мачту, вырезав еесердцевину, самое чувствительное место. Он сказал, что всякий, кто можетсделать это (и здесь я немного смягчаю его выражения), может ругаться в церкви,сморкаться в скатерть, издавать неприличные звуки и портить инструменты.
…Такие вот дела. Мы оба, Джордж и я, в душе думали, что брус выглядитчересчур гибким и поэтому не могли чувствовать себя спокойно, но передлицом этих знатоков решили, что поступим мудро, оставив эти мысли при себе.И это было правильно. Ибо знатоки есть знатоки. Позднее, когда наши главныеванты были сорваны свирепым шквалом в Гольфстриме, эта мачта гнулась игнулась, и гнулась, пока не стала похожа на букву S, но она стояла.
В реальной жизни различие между балкой и длинной колонной обычно довольнонеясно. Вытянутая колонна, например кость ноги животного, почти всегдаподвергается изгибу, в результате чего материал ее вогнутой стороны сжатбольше, чем в других местах. С другой стороны, в балках или фермах особенносложной конфигурации сжатый пояс всегда следует проверять с точки зренияего прочности на сжатие. В любом случае, идет ли речь о балке или о колонне,если материал недостаточно прочен на сжатие, разрушение начнется тогда,когда наибольшее сжимающее напряжение достигнет опасного уровня. Лучшимпримером колонн, которые, кроме сжатия, подвергаются и изгибу, служат деревьяи мачты парусных кораблей. Ствол дерева должен выдерживать сжимающий весвсех своих ветвей и листвы, но в жизни дерева изгибающие нагрузки, вызванныедавлением ветра, могут быть больше и опаснее. Точно так же и мачты, которыеноминально являются сжатыми колоннами, испытывают значительный изгиб из-занеравномерного натяжения удерживающих их тросов. Этот изгиб особенно велик,если в оснастке что-нибудь рвется.
Мачты таких больших кораблей, как "Виктория", делались из кусков дерева,соединенных вместе железными обручами, но для мачт средних размеров старыемастера предпочитали использовать один ствол сосны или ели, по возможностиоставляя его в первозданном виде. Эти специалисты не только встречали вштыки любые предложения о том, что следует делать пустотелые мачты, имеющие"более эффективное" трубчатое сечение; они старались вообще избегать какой-либообработки дерева, кроме удаления коры.
В течение многих лет образованные инженеры, которые знали все об изгибебалок, нейтральных осях и моментах инерции второго порядка, презирали этитрадиции, считая их обычно чепухой. Первое, что делает с деревом современныйинженер, - это режет его вдоль на маленькие кусочки, которые затем сновасклеивает вместе, стараясь получить нечто пустотелое в сечении. И тольконедавно мы стали осознавать, что в том, как устроен ствол растущего дерева,заключена некая высшая мудрость. Среди других хитростей у древесины естьтакая: в различных частях ствола она растет таким образом, что ствол оказывается"предварительно напряженным".
В такой балке, как лонжерон крыла планера, где наибольшие изгибающиенагрузки практически имеют всегда одно и то же направление, сжатую полкуможно сделать толще растянутой, имея в виду, что при сжатии дерево значительноболее непрочно, чем при растяжении. Но деревья или мачты должны выдерживатьизгибающие нагрузки, действующие в самых различных направлениях, - всездесь определяется прихотью ветра, - поэтому для них такое решение не подходит.Во всяком случае, ствол дерева должен иметь симметричное сечение, обычнокруглое. При изгибе распределение напряжений по сечению предварительноненагруженной балки линейно, как показано на рис. 140, а.В этом случае, когда напряжение сжатия достигнет величины около 30 МН/м2(3 кгс/мм2), балка, то есть дерево, начнет ломаться.
И вот тут-то выступает предварительно напряженная конструкция ствола.Каким-то образом дерево ухитряется расти так, что внешние слои древесиныобычно растянуты (примерно до 15 МН/м2), то есть до 4,5 кгс/мм2 в то времякак внутренние сжаты. Примерное распределение напряжений в сечении стволав обычных условиях показано на рис. 140, б. Теперь напомнимодно из важных следствий линейности закона Гука, состоящее в том, что мыможем смело складывать одно распределение напряжений с другим. Тогда, еслимы прибавим к распределению напряжений, показанному на рис. 140, а,распределение, показанное на рис. 140, б, то получим распределение,изображенное на рис. 140, в.
Рис. 140.а - поведение под ветром дерева, в древесинекоторого нет предварительных напряжений; распределение напряжений по сечениюствола линейно и наибольшие растягивающие и сжимающие напряжения одинаковы;б - предварительно напряженное деревов безветренную погоду; наружные слои ствола растянуты, внутренние - сжаты;в - предварительно напряженное деревопри сильном ветре; сжимающие напряжения уменьшились наполовину, так чтодерево может выдержать вдвое большие нагрузки, чем в случае а.
Таким образом, дерево уменьшает наибольшую величину сжимающего напряженияпримерно вдвое и тем самым удваивает эффективное сопротивление ствола на изгиб.Правда, при этом возрастает максимальное растягивающее напряжение, но деревовполне с ним может справиться. То, к чему стремится дерево, создаваяпредварительно напряженную структуру ствола, противоположно целям, которые мыпреследуем в случае предварительно напряженного железобетона. Бетон непроченпри растяжении и сравнительно прочен при сжатии, так что бетонную балку приизгибе опасность подстерегает на растянутой стороне. Чтобы избежать этого, мыармируем бетон стальными стержнями, находящимися под натяжением, так что самбетон оказывается сжатым. Поэтому балку нужно гнуть довольно сильно, прежде чемсжимающие напряжения в бетоне вблизи от одной из поверхностей балки сменятсярастягивающими. Тем самым отодвигается момент начала растрескивания бетона, таккак балку следует продолжать гнуть, прежде чем будет достигнут предел прочностибетона на растяжение[101].
Мы уже говорили, что дерево и волокнистые композиционные материалы присжатии разрушаются, образуя складки изогнутых волокон. Мой коллега д-рРичард Чаплин показал, что эти складки имеют много общего с трещинами,которые возникают при растяжении. В частности, они часто начинаются в местахконцентрации напряжений у отверстий и дефектных включений. Гвозди и шурупы,вообще говоря, не сильно ослабляют древесину, но только в том случае, еслиони плотно в ней сидят. Как только вы вытащите гвоздь или вывернете шуруп,получившееся отверстие станет опасным местом. То же самое справедливо идля сучков в древесине. В сильно нагруженных деревянных конструкциях, таких,как планер или мачта яхты, разумно поэтому оставлять ненужные гвозди ишурупы в покое и не пытаться их вытаскивать. При острой необходимости ихлучше срезать заподлицо с поверхностью дерева.
Далее, как показал Ричард Чаплин, образование складок при сжатии волокнистыхматериалов требует больших энергетических затрат, чем работа разрушенияпри растяжении. Следовательно, для развития складок необходимо подводитьк ним упругую энергию, и их поведение должно быть чем-то похоже на поведениетрещин Гриффитса. Однако здесь имеется и несколько важных различий.
Мы уже говорили, что в материалах, которые мы сейчас рассматриваем,складки изогнутых волокон могут появляться как под углом 45°, так и подуглом 90° к направлению действия нагрузки (они могут быть и под другимиуглами между 45° и 90°). Поведение складки под углом 45° похоже на поведениетрещины сдвига, при подходящих условиях она распространяется через весьобразец подобно трещине Гриффитса. Однако складка под углом 90° короченаклонной, и поэтому она потребляет меньше энергии при равной глубине,отсчитываемой по нормали от образца.
По этой причине складки под углом 90° в целом более вероятны. Однако,хотя такая складка начинает распространяться легче, она и скорее прекращаетсвой рост, продвинувшись на сравнительно небольшую длину. Происходит этопотому, что при увеличении длины складки две ее стороны прижимаются другк другу, в результате чего высвобождение упругой энергии прекращается.Поэтому полное разрушение образца, по крайней мере немедленное, становитсямаловероятным. В этих условиях может возникнуть целая цепочка короткихскладок, протянувшаяся вдоль сжатой поверхности балки. Их можно иногдаувидеть на поверхности деревянного лука или весла (рис. 141).
Рис. 141. Складки на сжатой стороне круглого изогнутого бревна.
Инженеры обычно уповают на эффективность двутаврового или коробчатого сечениябалок, но иногда это не что иное, как заблуждение. По рядупричин[102] в балках круглого сечения (как древесныйствол) высвобождение упругой энергии, необходимое для распространения трещинили складок сжатия, оказывается менее благоприятным для развития процессовразрушения. Этим, быть может, определяется рациональность круглого сечениябольшинства деревянных луков, и, несомненно, с этим связана округлая формапоперечного сечения костей животных.
Пока на материал действуют только сжимающие нагрузки, развитию складокпрепятствует довольно много причин. Отчасти поэтому дерево обычно являетсятаким надежным строительным материалом. Однако, если нагрузка реверсируется,ситуация может стать чрезвычайно опасной. Дело в том, что система согнутыхволокон, которая образует складку, имеет практически нулевую прочностьна растяжение и в условиях растяжения складки ведут себя подобно трещинам.Это особенно опасно потому, что при растяжении теперь уже ничто не препятствуетвысвобождению упругой энергии, так как две стороны "трещины" теперь могутсвободно разойтись.
Один из безотказных способов сломать крыло деревянного планера в полете- это совершить грубую посадку при предыдущем вылете. Если при посадкемашину сильно ударить о землю, то крыло резко изогнется вниз. Это можетпривести к образованию складок сжатия в полке лонжерона, нагруженной растяжениемв полете. Невероятно, чтобы возникшие складки были обнаружены при обычномосмотре, так что в следующем полете лонжерон сломается именно в этом месте,после чего, конечно, отвалится и все крыло.
Леонард Эйлер и выпучивание тонких стержней и пластин
Все, о чем мы говорили до сих пор, применимо лишь к относительно короткими толстым стержням и другим сжатым элементам. Мы видели, что при сжатииони обыкновенно разрушаются вследствие сдвига или образования локальныхскладок. Однако огромное количество сжатых конструкций содержит длинныеи тонкие элементы, которые выходят из строя совершенно по-другому. Длинныйстержень, тонкий лист металла или страница этой книги выпучиваются присжатии, теряя способность нести нагрузку. В этом легко убедиться с помощьюпростейшего эксперимента: возьмите лист бумаги и попытайтесь сжать егов продольном направлении. Такой вид потери несущей способности (с ним связаныважные технические и экономические последствия) называется потерей устойчивости.Впервые он был изучен Леонардом Эйлером (1707-1783), и потому нередко говорятоб устойчивости (или неустойчивости) по Эйлеру.
Эйлер имел немецко-швейцарское происхождение, в его семье были известныематематики. Он рано приобрел имя в той же области, и еще очень молодым былприглашен Екатериной II в Россию. Большую часть жизни он провел при дворе вПетербурге, лишь по временам, в моменты острой политической ситуации, находяпристанище у Фридриха II в Потсдаме. Жизнь при дворах просвещенных деспотов всередине XVIII в. была, должно быть, интересна и колоритна, однако вмноготомных сочинениях Эйлера мы не найдем каких-либо упоминаний об этом.Насколько я мог выяснить, ни одному из его биографов не удалось установить хотябы одного случая или происшествия в его жизни, которые могли бы удовлетворитьобычное человеческое любопытство[103]. Он просто в течение оченьмногих лет постоянно занимался математикой, описывая свои результаты в огромномколичестве научных статей, которые и после его смерти все еще публиковались втечение сорока лет.
Конечно, Эйлер совсем не собирался заниматься несущей способностью сжатогостержня как конструкционного элемента. Просто среди многих других своихматематических открытий он изобрел то, что теперь называется вариационнымисчислением, и он искал задачи, к которым можно было бы применить этот новыйматематический метод. Один из его друзей предложил попробовать этот метод дляопределения наименьшей высоты тонкого вертикального стержня, при которой этотстержень начнет выпучиваться под собственным весом. Такая формулировка этой неочень реальной задачи объясняется тем, что, как мы уже упоминали в гл. 2понятия напряжения и деформации возникли лишь в значительно более поздниевремена. Для ее решения нужно было применить вариационный метод. Еслипереложить полученный Эйлером результат на современный язык, то получится то,что сейчас называется формулой Эйлера для критической нагрузки потериустойчивости продольно сжатого стержня, а именно:P=π2(EI/L2), где P - нагрузка, прикоторой выпучиваются стержень или панель; E - модуль Юнга материала;I - момент инерции поперечного сечения стержня или панели (гл. 10);L- длина стержня. Естественно, все эти величины должны быть выражены в одной и той же системе единиц. (Удивительно, что так много важных расчетных формулимеют столь простой вид[104].)
Формула Эйлера применима к длинным и тонким колоннам и стержням всехвидов - как сплошным так и пустотелым, а что, быть может, и более важно- к тонким панелям и пластинам, которые встречаются в конструкциях самолетов,кораблей и автомобилей. Если мы построим график зависимости критическойнагрузки стержня или панели от длины, то получится нечто похожее на рис.142, на котором показаны два возможных механизма разрушения.
Короткие стержни разрушаются описанным выше путем с образованием бочкиили дроблением на мелкие куски. Когда отношение длины к толщине стержнядостигает величины 5-10, эта линия пересекает кривую, соответствующую эйлеровойформе потери устойчивости. Теперь более опасным становится выпучивание,и длинный стержень выходит из строя вследствие выпучивания. В действительностипереход от разрушения материала к потере устойчивости происходит не такрезко, существует некая переходная область, отмеченная на рис. 142 пунктиром.
Рис. 142. Зависимость предельного сжимающего напряжения от длины стержня.
Приведенная выше формула Эйлера относится к тому случаю, когда стерженьили панель имеют шарнирное закрепление и могут свободно поворачиваться(рис. 143). Обычно все, что препятствует концам стержня или панели поворачиватьсяприводит к увеличению критической нагрузки потери устойчивости. В крайнемслучае, когда оба конца стержня жестко заделаны, его критическая нагрузкаувеличивается в 4 раза. Очень часто, однако, для жесткой заделки необходимосущественное стеснение концов, а это приводит к увеличению веса, сложностии стоимости всей конструкции, поэтому она становится невыгодной.
Рис. 143. Различные условия эйлеровой формы потери устойчивости.а - оба конца шарнирно оперты;б - оба конца заделаны;в - один конец заделан, а второй шарнирнооперт и может перемещаться в горизонтальном направлении.
Далее, жесткая заделка концов передает любые монтажные несоосности самомустержню. При этом стержень может оказаться изогнутым еще до нагруженияи его предельная нагрузка упадет. Вот почему жесткая установка мачты, прикоторой она одновременно крепится и к палубному перекрытию, и к килю, сейчасуже вышла из употребления (рис. 144).
Рис. 144. Изогнутый до нагружения стержень (в данном случае мачта) теряетустойчивость при меньшей нагрузке.
Следует отметить, что в выписанную нами формулу Эйлера не входит пределпрочности материала. Нагрузка, при которой стержень или панель данной длинытеряет устойчивость, зависит только от момента инерции сечения I имодуля Юнга (жесткости) материала. Длинный стержень не разрушается привыпучивании. Он только упруго изгибается таким образом, чтобы "выскользнуть"из-под нагрузки. Если при выпучивании не был достигнут "предел упругости"материала, то после снятия нагрузки стержень опять выпрямится, и, спружинив,как ни в чем не бывало примет свою прежнюю форму.
Это свойство часто может быть весьма полезным, поскольку, основываясьна нем, можно создавать "неразрушающиеся" конструкции. Ковры и ковровыедорожки не портятся именно по этой причине, и природа, конечно же, широкоиспользует этот принцип, особенно в отношении низкорослых растений, напримертравы, которую всегда довольно трудно вытоптать. Так, мы спокойно гуляемпо лужайке, не причиняя ей большого вреда. Именно гениальная комбинацияострых колючек с открытием д-ра Эйлера делает живую изгородь одновременнонеразрушаемой и труднопреодолимой для людей и скота. С другой стороны,для комаров и других насекомых, использующих в качестве оружия длинноеи тонкое жало, природа вынуждена была "изобрести" прямо-таки невообразимоеколичество самых разных конструкционных уловок, чтобы предотвратить потерюустойчивости этих тонких, жалящих нас стержней.
При жизни Эйлера его формула не могла найти сколько-нибудь значительногоиспользования в технике. Практически ее могли применить лишь при проектированиикорабельных мачт и других стоек. Однако корабельные мастера тех временуже справились с этой проблемой. В замечательных справочниках XVIII в.по кораблестроению, таких, как "Основы изготовления мачт, парусов и такелажа"Стила, содержатся подробные таблицы, где приведены размеры брусьев любоготипа, основанные на опыте, и сомнительно, чтобы эти рекомендации моглибыть существенно улучшены с помощью вычислений.
Серьезный интерес к явлению потери устойчивости возник лишь столетие спустя ибыл связан с возросшим использованием листовой стали. Стальные листы были,естественно, тоньше, чем каменная кладка и деревянные детали, к которым такпривыкли инженеры. В 1848 г. при постройке железнодорожного моста через проливМенай[105]расчеты на устойчивость впервые делались для серьезных практических целей. Этотмост явился совместным детищем трех выдающихся людей: Роберта Стефенсона(1802-1859), Итона Ходжинсона (1789-1861), математика и одного из первыхпрофессоров-инженеров, и Вильяма Фейрберна (1789-1874), пионераконструкционного использования листовой стали.
Подвесные мосты Стефенсона оказались неудачными из-за своей излишнейгибкости. К тому же адмиралтейство настаивало, и не без оснований, на тридцатиметровойвысоте пролета, чтобы под мостом могли проходить корабли. Удовлетворитьтребованиям как жесткости, так и высоты можно было лишь единственным путем- спроектировав мост балочного типа невиданной до этого длины. По рядусоображений наилучшим вариантом казалась балка в форме трубы, собраннаяиз листовой стали, внутри которой двигался бы поезд. Длина каждой секциидолжна была составлять около 140 м.
Вскоре стало очевидным, что труднее всего справиться с проблемой устойчивостистальных панелей, образующих верхнюю, сжатую сторону балки. Для простыхпанелей и стержней формула Эйлера является точной, но здесь речь шла омостовых балках достаточно сложной формы, для расчета которых в то времяне было еще соответствующей теории. Выход был только один - экспериментына моделях. Как и можно было ожидать, результаты оказались довольно путанымии ненадежными, причем до такой степени, что все три проектировщика перессорилисьмежду собой. Казалось, их партнерство распадется, так и не породив конструкциидействительно надежного моста. В конце концов порешили делать для мостаклетчатые коробчатые балки (рис. 145). Ко всеобщему облегчению, мост оказалсяудачным и служит по сей день.
Рис. 145. Балка в виде трубы коробчатого сечения (мост "Британия"[105]).
Со времен Стефенсона проделано огромное количество математических расчетовустойчивости тонких оболочек, но проектирование таких конструкций все ещесопровождается значительно большей, чем обычно, неопределенностью. Поэтомуразработка ответственных конструкций такого типа может обходиться достаточнодорого из-за возможных натурных испытаний в процессе проектирования и доводки.
Трубы, корабли и бамбук, или кое-что о локальной потере устойчивости
Согласно Эйлеру, нагрузка, при которой стержень теряет устойчивость,определяется величиной EI/L2,и поэтому критические нагрузки длинных колонн на сжатие обычно очень иочень малы. Единственное, что можно здесь сделать, - это увеличивать EIпо возможности пропорционально L2. Для большинстваматериалов модуль упругости Юнга Е практически постоянен, так что в действительностимы можем лишь увеличивать момент инерции поперечного сечения I.Это значит, что колонны следует делать толще. Именно так и поступают прииспользовании каменной кладки, например в мощных колоннах дорических храмов.Но вес при этом получается чрезмерно большим, и если мы хотим сделать легкуюконструкцию, то должны каким-то образом развить поперечное сечение. Иногдаего делают в форме швеллера, а иногда придают коробчатую форму. Но, какправило, лучшим и наиболее эффективным оказывается стержень в виде трубы.
Трубы очень популярны не только среди инженеров - природа тоже повсеместноотдает предпочтение трубчатым стержням. Однако труба при сжатии может терятьустойчивость, и происходит это двумя путями. Один путь мы уже описали - этоэйлерова, или длинноволновая, форма выпучивания. Другой путь - коротковолноваяформа выпучивания, когда в каком-то месте на стенке трубы образуются вмятины ивыпучины. Если радиус трубы велик, а стенки тонки, труба может быть совершенноустойчива к длинноволновой форме выпучивания, но она выйдет из строя из-залокального сморщивания (рис. 146). Это легко продемонстрировать на примеретонкостенного мундштука папиросы. Именно этот эффект накладывает ограничения наиспользование простых труб и тонкостенных цилиндров присжатии[106].
Рис. 146. Локальная потеря устойчивости в тонкостенной трубе при осевомсжатии.
Обычный способ борьбы с потерей устойчивости такого типа состоит в подкреплениистенок конструкции с помощью таких элементов, как шпангоуты и стрингерыи т.п. Шпангоуты - это ребра жесткости, идущие по периметру сечения, аребра жесткости, идущие в продольном направлении, - это стрингеры. Жесткостькорпуса корабля чаще всего увеличивают с помощью шпангоутов и переборок,хотя с недавних пор большие танкеры строят по системе Ишервуда с использованиемпродольных стрингеров. Сложная оболочечная конструкция, подобная фюзеляжусамолета, обычно подкрепляется и стрингерами, и шпангоутами. Пустотелыестебли травы и бамбука, которые имеют тенденцию сплющиваться при изгибе,очень изящно подкреплены "узлами", или перегородками, размещенными черезопределенные интервалы по всей длине стебля (рис. 147 и 148).
Рис. 147. Два способаувеличения жесткости стеблей растений с целью предотвращения локальнойпотери устойчивости: а - продольные стрингеры; б- узлы, или перегородки, характерные для травы и бамбука.
Рис. 148. Подкрепленнаяконструкция корпуса судна, часто используемая в нефтяных танкерах.
Листья, сэндвичи и сотовые конструкции
Пластины, панели и оболочки широко используются и природой, и техникой,но, чем они протяженнее и тоньше, тем меньше их жесткость на изгиб и критическиенагрузки потери устойчивости. В принципе все, что увеличивает жесткостьстержня или пластины на изгиб, увеличивает и ее сопротивление выпучиваниюпри продольном сжатии. Один из методов повышения устойчивости состоит вустановке панели или стержня с помощью тросов и растяжек (метод, никогдане используемый в растениях). Другой и, возможно, более предпочтительныйметод состоит в устройстве ребер жесткости, гофрировании для использованииячеистых конструкций.
Древесина имеет ячеистое строение, так же как и большинство других растительныхтканей, среди которых следует обратить внимание на стенки стеблей травы ибамбука. Кроме того, в борьбе растения за существование важную роль играетконструктивная эффективность листьев, которые должны использовать дляфотосинтеза как можно большую площадь своей поверхности при минимальныхметаболических затратах. Лист - весьма важная конструкция типа панели. Чтобыувеличить свою жесткость при изгибе, листья используют большинство из известныхконструкционных решений. Почти все листья имеют развитую систему ребержесткости[107], в то время как пленки между ними представляют собойячеистую структуру, увеличивающую жесткость; в некоторых случаях они, крометого, и гофрированы. Вдобавок к этому жесткости листа как целого способствуетосмотическое давление в нем сока.
В инженерных конструкциях жесткость панелей и оболочек увеличиваетсяс помощью стрингеров и шпангоутов, которые приклеиваются, приклепываютсяили привариваются к обшивке, хотя это и не всегда самый простой или самыйдешевый путь. Другой путь решения проблемы состоит в изготовлении оболочкииз двух разнесенных слоев, пространство между которыми содержит возможноболее легкий наполнитель. Конструкции такого типа называют "сэндвич".
Панели типа сэндвича впервые были использованы известным конструктором ЭдвардомБишопом, главным конструктором фирмы Хэвиленд. В 1930 г. он применил их вфюзеляже теперь уже забытого самолета "Комета"[108]. Возможно, более известно использование их в самолете "Москито",преемнике "Кометы". В обоих этих самолетах в качестве наполнителяиспользовалась легкая бальсовая древесина, а внешние слои сэндвича делались изпрочной и тяжелой березовой фанеры, которая приклеивалась к наполнителю.
"Москито" был одним из наиболее удачных самолетов, но наполнитель избальсы легко впитывал воду и гнил; кроме того, поставки этой довольно мягкойи хрупкой древесины тропического происхождения были ограничены, а ее качествоне отличалось постоянством. Случилось, однако, так, что изыскание материаловдля наполнителей панелей и оболочек типа сэндвича было стимулировано главнымобразом не этими обстоятельствами, а внедрением самолетных локаторов. Вращающуюся,или сканирующую, антенну локатора нужно было поместить внутри защитногокуполообразного обтекателя. Естественно, что такой обтекатель должен былбыть прозрачен для радиоволн высокой частоты, его следовало делать из какой-либопластмассы, например из стеклопластика. Однако оказалось, что прозрачностьоболочки обтекателя значительно увеличивается - по крайней мере теоретически- благодаря использованию материала типа сэндвича, толщина которого строгоопределяется длиной волны, на которой работает локатор, точно так же, кактолщина поверхностной пленки в современной "просветленной" оптике определяетсядлиной волны видимого света.
Но сырая бальса, как и любая сырая древесина, практически непрозрачнадля радиоволн, поэтому требовалось создать более водостойкие и легкие материалы.Такие материалы были получены путем "вспенивания" искусственных смол. Сэндвичс таким наполнителем выглядит так, как показано на рис. 149. Было полученодовольно много "вспененных" смол различных типов, которые использовалисьне только в качестве наполнителя в трехслойных локаторных обтекателях,но также и во всех других трехслойных конструкциях. Некоторые из них применяютсяеще и сегодня при изготовлении лодок, поскольку стенки их ячеек практическиводонепроницаемы.
Рис. 149. Конструкция типа сэндвича со вспененным наполнителем.
Однако для использования в качестве наполнителя панелей типа сэндвича,работающих в условиях, когда требуется наивысшая эффективность, вспененныесмолы довольно тяжелы и обладают меньшей жесткостью, чем хотелось бы. Такимобразом, с изобретением пеноматериалов голод на легкие наполнители не былликвидирован.
Однажды, где-то в конце 1943 г., мне позвонил в Фарнборо один владелеццирка, некто Джордж Мэй, и попросил о встрече. После нескольких историйв духе Джеральда Даррелла о том, как трудно содержать обезьян в передвижномцирке, он извлек из кармана нечто похожее на помесь книги и гармошки. КогдаМэй потянул за концы своего изобретения, оно раскрылось подобно бумажнойгирлянде, подвешиваемой на рождество. На самом деле это было какое-то подобиебумажных сот, очень легких, но совершенно удивительных по своей прочностии жесткости. Не думаю ли я, что такая штука может быть использована в конструкциисамолета? Препятствие, как честно признался Джордж Мэй, состояло в том,что, поскольку эти соты были сделаны всего лишь из оберточной бумаги иобычного клея, они очень боялись воды и тут же расползались, стоило ихтолько слегка намочить.
Это был тот редкий случай, когда авиационные инженеры испытывали серьезноеискушение расцеловать владельца цирка всем коллективом. Однако, преодолевпервый порыв, мы сказали Мэю, как защитить бумажные соты от воды с помощьюсинтетических смол.
Именно так поступили и мы (рис. 150). Бумагу, из которой изготовлялисьсоты, предварительно пропитывали раствором фенольной смолы. Сделанные изнее и расправленные соты помещались в печь для отверждения смолы. Бумагапосле этого делалась не только водостойкой, но и более прочной и жесткой.Материал получился очень удачный и нашел широкое применение в военной технике.Хотя теперь он почти не используется в самолетостроении, зато около половиныдверей в мире имеют его между слоями фанеры или пластмассы. Особенное распространениенашел этот способ в США, велико и мировое производство бумажных сот.
Рис. 150. Бумажные соты.а - на пропитанную мономером бумагу наносятсяпараллельные полосы клея;б - листы склеиваются в толстый блок;полосы клея чередуются;в - блок растягивается в сотовую конструкцию,после чего мономер подвергается полимеризации;г - плита из сот вклеивается между листамифанеры, пластмассы или металла, образуя структуру типа сэндвича.
Хотя инженеры начали применять конструкции типа сэндвича и наполнителииз вспененных смол и бумажных сот сравнительно недавно, они с незапамятныхвремен используются в природе (рис. 151). Примером тому служат так называемые"плоские" кости нашего черепа, подвергающиеся действию изгибающих и сжимающихнагрузок.
Рис. 151. Плоская кость.