знатная матрона разбивает бутылку шампанского о борт спускаемого на водусудна или тучный мэр закладывает первый камень в фундамент какой-то постройки- все это следы языческих обрядов жертвоприношения.
Средневековая церковь старалась искоренить жертвоприношения, но отнюдьне поощряла наук. Чтобы изменить отношение к науке или допустить, что всевышнийможет проявлять себя через посредство ее законов, нужно было целиком изменитьобраз мыслей того времени. Сегодня трудно оценить масштабы необходимыхдля этого умственных усилий. Это требовало совершенно невероятного сочетаниявоображения и умственной дисциплины в условиях, когда едва ли существовалсам язык науки.
Случилось так, что старые мастера не приняли этого вызова, но любопытно, чтосерьезное изучение конструкций обязано своим началом гонениям и мракобесиюинквизиции. В 1633 г. Галилей (1564-1642) был проклят церковью за своиреволюционные астрономические открытия, в них усмотрели угрозу самим основам нетолько религии, но и светской власти. Галилей был самым непреклонным образомотлучен от астрономии и после своего знаменитого отречения[2] был, вероятно, весьма рад удалиться навиллу Арцетри возле Флоренции. Живя там, по существу, под домашним арестом, онстал изучать сопротивление материалов, полагая, как я думаю, что это наиболеебезопасный и наименее крамольный предмет, который только можно было тогда себепредставить.
Вклад Галилея в наши знания о сопротивлении материалов оказался не оченьзаметным, но нельзя забывать, что великому ученому было почти семьдесят,когда он начал заниматься этими вопросами, что он многое испытал и, посуществу, находился в положении узника. Однако Галилею позволили переписыватьсяс европейскими учеными, а его высокая репутация повышала престиж и привлекалавнимание к любому предмету, за который он брался.
В эпистолярном наследии Галилея сохранилось несколько писем, где речьидет о конструкциях; особенно плодотворной, по-видимому, была его перепискас Мерсенном, работавшим во Франции. Марэн Мерсенн (1588-1648) был иезуитскимсвященником, но, надо думать, его исследования прочности металлическойпроволоки не могли вызывать ничьих возражений. Вторым ученым корреспондентомГалилея был Эдме Мариотт (1620-1684), значительно моложе Мерсенна, он тожепринадлежал к служителям церкви - был настоятелем собора св. Мартина близДижона в Бургундии. Большую часть своей жизни он изучал законы земной механикии прочность стержней при растяжении и изгибе. При Людовике XIV он принялучастие в основании Французской академии наук и пользовался благосклонностьюн церкви, и государства. Заметьте, ни один из троих не был профессиональнымстроителем или корабелом.
Весь предмет о поведении материалов и конструкций под действием нагрузок,зародившийся во времена Мариотта, по причинам, которые станут ясными изследующей главы, принято называть теорией упругости, и в дальнейшем мыбудем пользоваться именно этим названием. Поскольку предмет обрел популярностьу математиков полтораста лет назад, я боюсь, что о нем написано громадноеколичество непонятных и непригодных для чтения книг; поколения студентовумирали от скуки на лекциях о материалах и конструкциях. На мой взгляд,значение всей этой математической мистики для инженера преувеличено, апорой она и вовсе не имеет отношения к делу. Однако нельзя не согласитьсяс тем, что "высшие этажи" теории упругости математичны и очень трудны,но не менее справедливо и то, что такого рода теория редко бывает нужнаинженерам-проектировщикам. То, что бывает действительно необходимо в большинствеслучаев, сможет легко понять любой разумный человек, нежелающий вникнутьв существо предмета.
Многие полагают, что они вовсе не нуждаются в каких-либо теоретическихпознаниях. Рафинированный инженер, напротив, склонен считать, что получитьчто-либо стоящее без математики просто невозможно, а если и возможно, тонекоторым образом "аморально". Мне кажется, что обычные смертные, такие,как мы с вами, могут продвинуться удивительно далеко на основе некоторогопромежуточного состояния знаний. Я надеюсь, что это будет и более интересно.
В то же время мы не можем полностью избежать математики, которая, какговорят, зародилась в Вавилоне - возможно, именно после падения пресловутойВавилонской башни. Для ученого и инженера математика - это орудие, дляматематика-профессионала - религия, а для обычного человека - камень преткновения.Но все же все мы непрерывно и ежесекундно используем математику. В самомделе, играя в теннис или спускаясь по лестнице, мы с помощью аналоговогокомпьютера нашего мозга быстро, легко, не задумываясь, решаем дифференциальныеуравнения, которые могли бы занять многие страницы. Что мы действительнонаходим трудным, так это формальное преподавание математики с пристрастиемк символам и догме, доходящим до садизма.
Там, где нам реально понадобятся "математические" аргументы, я постараюсьобойтись простейшими графиками и диаграммами. Кроме того, нам иногда будутнужны простые вычисления и очень немного элементарной алгебры, которая- как бы недружелюбно мы ни относились к математикам - является в концеконцов простой, мощной и удобной манерой мышления. Даже если вы родилисьили думаете, что родились с неприязнью к алгебре, пожалуйста, не пугайтесьее. Но если вам все же придется пропустить те немудреные математическиеформулы, которых я не смог избежать, вы все равно проследите за моей аргументацией.
И еще одно замечание. Конструкции сделаны из определенных материалов,поэтому мы будем говорить как о конструкциях, так и о материалах, однаков действительности между теми и другими нет четко разграниченной линии.Сталь несомненно материал, а мост через реку Форт несомненно конструкция,но вот армированный бетон, дерево, живые ткани имеют довольно сложное строение,а потому их можно рассматривать и как материалы, и как конструкции. Слово"материал" в этой книге употребляется во вполне определенном смысле. Ясчел нужным отметить это, вспомнив беседу с другой дамой на другом коктейле.
- Чем вы занимаетесь?
- Я - профессор материаловедения.
- Как, должно быть, занятно иметь дело со всеми этими веселенькимитканями!
Часть I. Трудное рождение теории упругости
Глава 1
Почему конструкции выдерживают нагрузки, или упругость твердых тел
Давайте начнем с самого начала, с Ньютона, который сформулировал основной законмеханики: действие равно противодействию по величине и противоположно ему понаправлению. Это означает, что каждая сила должна быть сбалансирована точнотакой же по величине силой противоположного направления. При этом природа силне имеет никакого значения. Например, сила может быть создана каким-либонеподвижным грузом. Предположим, я стою на полу, мой вес 75 кг. Следовательно,мои подошвы давят на пол с силой 75 кг, которая направлена вниз; это дело моихступней. В то же самое время пол должен давить на мои подошвы с той же силой 75кг, направленной вверх; эта сила исходит от пола. Если доски пола окажутсяподгнившими и не смогут обеспечить силу 75 кг, я неминуемо провалюсь. Но есликаким-то чудом пол сообщит мне силу, большую, чем та, которую требовал мой вес,скажем 75,5 кг, то я - ни много ни мало - взлечу.
Мы могли бы начать с вопроса: как получается, что любое неодушевленноетвердое тело - из стали, камня, дерева или пластмассы - вообще способнооказывать сопротивление механической силе или хотя бы выдерживать свойсобственный вес. Это, в сущности, задача о том, "почему мы не проваливаемсясквозь пол", и ответ на нее вовсе не очевиден. Он лежит в основе целойнауки о конструкциях, и здесь есть над чем подумать. Так или иначе, ноэта проблема оказалась слишком трудной для Галилея, и честь первым ее понятьпринадлежит столь придирчивому человеку, как Роберт Гук (1635-1702).
В первую очередь Гук понял, что в тех случаях, когда материал или конструкцияоказывает сопротивление действию нагрузки, это возможно только за счетих ответного действия на тело, создающее эту нагрузку, с силой, равнойпо величине и противоположной по направлению. Если ваши ноги давят на полвниз, то пол должен давить на ваши ноги вверх. Если кафедральный собордавит вниз на свое основание, то основание должно давить вверх на собор.Это подразумевается в третьем законе Ньютона, который, напомним, гласит,что действие и противодействие равны по величине и противоположны по направлению.
Другими словами, сила не может исчезнуть просто так. Всегда и во всехслучаях каждая сила должна быть уравновешена другой силой, равной ей повеличине и противоположной по направлению, в каждой точке конструкции.Это справедливо для любых конструкций независимо от того, малы ли они ипросты или велики и сложны. Это справедливо не только для полов и соборов,но и для мостов и самолетов, воздушных шаров и мебели, львов и тигров,капусты и земляных червей. Если это условие нарушено, то есть если где-тонарушено статическое равновесие, то либо конструкция развалится, либо онадолжна взлететь подобно ракете и исчезнуть из поля зрения. (Нередко последнеескрыто следует из ответов будущих инженеров на экзаменах.)
Представим на минуту простейшую из возможных конструкций. Предположим,что мы подвешиваем с помощью веревки груз, например обыкновенный кирпич,к опоре, которой может быть ветка дерева (рис. 1). Вес кирпича, как и весньютоновского яблока, обусловлен воздействием гравитационного поля Землина его массу, и сила веса всегда направлена вниз. Кирпичу не суждено упасть,если его удерживает в воздухе постоянно действующая сила, равная по величинеего весу и направленная вверх - в данном случае натяжение веревки. Есливеревка слишком слаба и не может создать направленную вверх силу, равнуювесу кирпича, то она неминуемо оборвется и кирпич упадет на Землю, какупало ньютоновское яблоко.
Рис. 1. Направленная вниз сила веса кирпича должна бытьуравновешена равной по величине и противоположной по направлению силойнатяжения веревки
Но если веревка достаточно крепкая и на нее можно подвесить не один,а два кирпича, то она должна создать вдвое большую силу вверх, которойбудет достаточно, чтобы удержать оба кирпича. То же самое справедливо идля любых других изменений нагрузки. Кроме того, нагрузка - это не всегдаобязательно "мертвый" вес, подобный нашему кирпичу; всякой силе, напримернапору ветра, должно быть оказано такое же противодействие.
Если кирпич подвешен к ветке дерева, то груз удерживается за счет растяженияверевки, другими словами, за счет натяжения. Во многих конструкциях, таких,как здания, нагрузка выдерживается за счет сжатия, давления. И в том ив другом случае общий принцип не меняется. Таким образом, всякая конструкция,предназначенная для выполнения определенных функций, то есть должным образомвыдерживать нагрузку, чтобы не происходило ничего непредвиденного, должнасуметь каким-либо образом создать давление или натяжение, в точности равноепо величине и противоположное по направлению приложенной к ней силе. Иначеговоря, конструкция должна оказывать сопротивление всем возможным внешнимнатяжениям и давлениям посредством ответных растяжений и сжатий нужнойвеличины.
Все это очень хорошо, и не составляет особого труда понять, почему нагрузкасжимает или растягивает конструкцию. Но гораздо сложнее представить себе,как конструкция должна в ответ давить на тело, создающее нагрузку (илирастягивать его). Случается, об этой проблеме подозревают совсем маленькиедети.
— Да не тяни же кошку за хвост!
— Я не тяну, мама, тянет Пусси.
В случае с кошкиным хвостом противодействие создано биологическими процессамив мышцах кошки, развивающих усилие, противоположное усилию, которое создаютмышцы ребенка, но этот вид активного мышечного противодействия не является,конечно, ни очень распространенным, ни необходимым.
Если бы кошкин хвост оказался закрепленным на чем-то неживом, напримербыл привязан к стене, то "тянуть" должна была бы стена; создает ли сопротивлениетянущему ребенку кошка (активно) или стена (пассивно), безразлично какдля ребенка, так и для хвоста (рис. 2).
Но как неживой, пассивный предмет, такой, как стена или веревка, кость,стальная балка или собор, может создавать необходимые силы противодействия?
Рис. 2. а. - Да не тяни же кошку за хвост! - Я не тяну, мама, тянет Пусси.
Рис. 2. б. Пусси ли тянет или нет, значения не имеет.
Закон Гука, или упругость твердых тел
Сила любого упругого тела находится в постоянном отношении с удлинением,поэтому если одна сила растягивает или изгибает его на определенную величину,то две силы будут изгибать его на две такие величины, три - на три и так далее.И это есть Правило, или Закон, Природы, в соответствии с которым и происходятвсе виды Восстанавливающего, или Упругого, движения.
Уже в 1676 г. Гук ясно понимал не только то, что сопротивление твердыхтел силам веса или другим механическим нагрузкам создается посредствомсил противодействия, но и то, что, во-первых, под механическим воздействиемвсякое твердое тело меняет свою форму, растягиваясь или сжимаясь, а во-вторых,именно это изменение формы и позволяет твердому телу создавать силу противодействия.
Когда мы на конец веревки подвешиваем кирпич, веревка удлиняется, икак раз это удлинение и позволяет веревке тянуть кирпич вверх и удерживатьего от падения. Все материалы и конструкции, хотя и в очень различной степени,под действием нагрузки испытывают смещения (рис. 3).
Рис. 3. Все материалы и конструкции, хотя и в весьма различной степени, поддействием нагрузки испытывают смещения. Теория упругости - это наука осоотношениях между нагрузками и перемещениями в твердых телах. Под действиемвеса обезьяны материал ветки растянут у ее верхней поверхности и сжат у нижней.
Важно осознать, что возникновение смещений в любой и каждой конструкциивследствие действия нагрузки является совершенно нормальным. Если эти смещенияне слишком велики с точки зрения целей, которым служит конструкция, ихвозникновение - отнюдь не "дефект" в том или ином смысле, а важное свойство,без которого ни одна конструкция не могла бы работать. Теория упругости- это наука о соотношениях между силами и смещениями в материалах и конструкциях.
Хотя под действием веса или других механических сил все твердые тела в той илииной степени деформируются, величины смещений, которые встречаются на практике,могут изменяться в огромных пределах. Так, в растении, куске резины смещения,как правило, велики и их легко наблюдать, а в случаях, когда мы прикладываемобычные нагрузки к таким твердым веществам, как металл, бетон или кость,смещения на самом деле иногда оказываются очень малыми. Хотя такие перемещениячасто бывают далеко за пределами возможностей невооруженного глаза, онисуществуют всегда и совершенно реальны, даже если для их измерения требуютсяспециальные приборы. Если вы взберетесь на колокольню кафедрального собора, врезультате добавления вашего веса он станет ниже, пусть на весьма малуювеличину, но действительно ниже. Каменная кладка на самом деле оказываетсяболее гибкой, чем можно было бы предполагать. Вы можете убедиться в этом,посмотрев на четыре главные колонны, поддерживающие колокольню собора вСолсбери: все они заметно изогнуты (рис. 4).
Рис. 4. Каждая из четырех колонн, поддерживающих 120-метровую башню собора вСолсбери, заметно изогнута. Каменная кладка является намного более гибкой, чемобычно думают.
Далее Гук пришел к важной мысли, воспринять которую некоторым труднодаже сегодня. Он понял, что под действием нагрузки смещения, о которыхмы говорили выше, возникают не только во всякой конструкции, но и в самомматериале, из которого она сделана. Он "внутренне" растягивается или сжимаетсяв каждой своей части в соответствующей пропорции вплоть до очень малыхразмеров - до молекулярных размеров, как мы знаем сегодня. Так, при деформацииветки или стальной пружины, например при сгибании их, атомы и молекулы,из которых состоит вещество, в зависимости от того, растянут или сжат материалкак целое, должны отодвинуться друг от друга или, наоборот, приблизитьсядруг к другу.
Как мы также знаем сегодня, химические связи, соединяющие атомы одинс другим и удерживающие таким образом вместе части твердого тела, являютсяочень прочными и жесткими. Так что, растягивая или сжимая материал какцелое, мы "растягиваем" или "сжимаем" многие миллионы прочных химическихсвязей. Но последние оказывают мощное сопротивление даже весьма малым деформациям,что и создает требуемые большие силы противодействия (рис. 5).
Рис. 5. Упрощенная модель межатомных связейв твердом теле при деформировании.а - исходное недеформированное состояние;б - при растяжении атомы удаляются другот друга;в- при сжатии атомы сближаются.
Несмотря на то что Гук ничего не знал в деталях о химических связяхи не очень-то многое знал об атомах и молекулах, он хорошо понимал, чтов тонкой структуре вещества происходит нечто подобное, и вознамерился установить,в чем состоит природа макроскопической связи между силами и смещениямив твердых телах. Он проделал множество опытов с самыми разными, предметамииз самых разных материалов различной геометрической формы. Здесь были ипружины, и куски проволоки, и балки. Последовательно подвешивая на нихгрузы и измеряя возникающие смещения, Гук показал, что в любой конструкциисмещение обычно пропорционально нагрузке. Так, нагрузка в 100 кгс вызываетсмещение, вдвое больше, чем нагрузка в 50 кгс, и т. д.
Кроме того, в пределах возможной для измерений Гука точности, котораяне могла быть очень высокой, большинство твердых тел после снятия нагрузки,вызывавшей смещения, восстанавливало свою первоначальную форму. Многократнонагружая и разгружая такого типа конструкции, он установил, что после снятиянагрузок остаточных изменений их формы не происходит. Такое поведение называетсяупругим и является совершенно обычным. Слово "упругий" нередко ассоциируетсяс бельевой резинкой или изделиями из эластика, но в равной мере оно применимои к стали, камню и кирпичу, к веществам биологического происхождения, таким,как дерево, кость или сухожилие. Именно в этом более широком смысле егообычно и употребляют инженеры. Между прочим, комариный писк порождает высокаяупругость "пружинок", управляющих крылышками комара.
В то же время форма некоторых твердых и "почти твердых" тел, таких,как замазка, пластилин, полностью не восстанавливается, они остаются деформированнымии после снятия нагрузки. Такое поведение называется пластическим. Этоттермин относится не только к материалам вроде тех, которые идут на изготовлениепепельниц, но также и к глине, к мягким металлам. Свойствами пластичностиобладают, например, и сливочное масло, и овсяная каша, и патока. Многиеиз тех материалов, которые Гук считал "упругими", при более точных современныхметодах исследования таковыми не оказываются. но все же как широкое обобщениевыводы Гука остаются справедливыми, именно они легли в основу современнойтеории упругости. Мысль о том, что большая часть материалов и конструкций- не только детали механизмов, мосты и здания, но также и деревья, животные,горы и скалы и "все сущее" вокруг - ведет себя подобно упругим пружинам,сегодня может показаться довольно простой и, возможно, вполне очевидной,однако, как видно из дневников Гука, такой прыжок по пути к истине стоилему больших умственных усилий и многих сомнений. Возможно, это один изсамых больших подвигов мысли в истории.
Обсудив свои идеи с сэром Кристофером Реном[3] в нескольких частных беседах,Гук в 1679 г. опубликовал результаты своих экспериментов. Статья называлась"Сила сопротивления, или упругость". Именно в ней впервые прозвучало знаменитоеутверждение "ut tensio sic vis" - "каково растяжение, такова и сила".Вот уже триста лет этот прицип известен как закон Гука.
Как теория упругости застыла на месте
Но стать врагом Ньютона было роковым шагом:
ведь Ньютон был непримирим независимо от своей правоты.
Закон Гука сослужил инженерам очень большую службу, хотя в той форме, вкоторой Гук выдвинул его первоначально, практической пользы от него былоне так уж много. Гук фактически говорил о перемещениях законченной конструкции- пружины, моста или дерева, - когда к ней приложена нагрузка.
Если мы задумаемся на мгновение, то поймем, что величины смещений зависятот двух факторов - от размеpa и геометрической формы конструкции и от материала,из которого конструкция сделана. Материал от материала очень сильно отличаетсяприсущей ему жесткостью. Такие материалы, как резина или мягкие животныеткани, деформируются под действием столь малых сил, как нажатие пальцем.В то же время жесткость дерева, кости, камня, большинства металлов гораздовыше, и хотя абсолютно "твердых" материалов в природе не существует, некоторыетвердые тела, подобные сапфиру н алмазу, являются весьма жесткими.
Пусть два предмета, например два обычных промывочных ерша одной и тойже формы и размера, сделаны из стали и резины. Очевидно, что стальной ершбудет гораздо (примерно в 30 000 раз) более жестким, чем резиновый. С другойстороны, если мы из одного и того же материала, например стали, сделаемтонкую спиральную пружину и толстую массивную балку, то пружина, естественно,будет намного более гибкой, чем балка. Упомянутые два фактора, определяющиежесткость конструкции, необходимо уметь отличать друг от друга и оцениватьвклад каждого, поскольку в инженерном деле, как и в биологии, мы постоянноимеем дело с изменениями обоих факторов.
Достойно удивления, что после столь многообещающего старта на протяжении120 лет после смерти Гука наука так и не нашла путей, чтобы справитьсяс этой проблемой. В действительности XVIII столетие на удивление мало продвинулоизучение упругости. Причин на это, несомненно, было много, но в общем можносказать, что если ученые XVII в. рассматривали свою науку в тесной связис прогрессом техники - такое понимание целей науки для того времени былопочти откровением,- то большинство ученых XVIII в. считали ниже достоинствамыслителя задачи промышленности и торговли. Это был явный возврат к прошлому,к древнегреческому взгляду на науку. Закон же Гука уже давал общее философскоеобъяснение довольно широкому кругу явлений, - объяснение, вполне достаточноес точки зрения джентльмена-философа, не очень интересующегося техническимидеталями.
И тут мы не можем обойти молчанием такое обстоятельство, как влияниеличности Ньютона (1643-1727), и не сказать о последствиях жестокой вражды,существовавшей между Ньютоном и Гуком. Гук, вероятно, был не менее талантлив,чем Ньютон, и, определенно, более обидчив и тщеславен, чем он, но в остальныхотношениях это были люди совершенно различных темпераментов и интересов.Довольно скромное происхождение не мешало Ньютону быть снобом, а Гуку приотсутствии снобизма - личным другом Карла II.
В отличие от Ньютона Гук принадлежал к типу "земных" людей, его занимали задачипрактического характера, касающиеся упругости, пружин, часов, зданий,микроскопов и даже анатомии обычной блохи. Среди изобретений Гука,применяющихся и поныне, - универсальное соединение, используемое в передачахавтомобиля, и ирисовая диафрагма, используемая в большинстве фотокамер. Еголампа для экипажей, в которой пламя сгорающей свечи удерживается в центреоптической системы с помощью специальной пружины, вышла из широкогоупотребления только в 20-е годы нашего века. Но и сейчас еще такую лампу можноувидеть у парадного подъезда. Что касается частной жизни, то Гук грешил большесвоего друга Сэмюеля Пепса[4], как говорится, не пропуская ни одной служанки.
Взгляд Ньютона на мир был, возможно, шире, но его интересы в науке лежализначительно дальше от практики. Подобно интересам многих академическихученых меньшего масштаба, их можно было бы во многих случаях охарактеризоватькак "антиутилитарные". Однако это не помешало Ньютону занять должностьдиректора монетного двора. Хотя, по-видимому, здесь сыграла роль не столькосклонность заниматься прикладными науками, сколько желание иметь правительственнуюдолжность, что по тем временам давало значительно более высокое общественноеположение, чем кафедра в Тринити-колледже, не говоря уже о жалованье. Немаловремени Ньютон потратил и на размышления теологического порядка. Я думаю,что у него не было склонностей да и времени для плотских радостей.
Короче говоря, Ньютон был в немалой степени предрасположен к тому, чтобыпитать отвращение к Гуку как к человеку и ко всему, что тот отстаивал,включая и теорию упругости. Так случилось, что после смерти Гука Ньютонудовелось прожить еще 25 лет, и значительную часть этого времени он посвятилочернению памяти Гука и прикладных наук. А поскольку авторитет Ньютонав научном мире был непререкаем и его точка зрения совпадала с общественнымнастроением и интеллектуальными течениями того времени, такие дисциплины,как расчет конструкций, не обрели популярности в течение многих лет дажепосле смерти Ньютона.
Таким образом, в течение всего XVIII в. сохранялось такое положение,при котором, несмотря на то, что принцип сопротивления материалов был всамом общем виде объяснен Гуком, его труды и дела не имели последователей.При таком состоянии дел какие-либо расчеты для практических целей былиедва ли возможны.
Следовательно, пользы от того, что существовали представления об упругости,для инженерных целей почти не было. Французские инженеры XVIII в. отдавалисебе в этом отчет и с сожалением создавали конструкции (которые довольночасто разваливались) с помощью той теории, которая имелась в их распоряжении.Английские же инженеры, которые также понимали это, обычно были безразличнык "теории", и конструкции промышленной революции создавались кустарнымиметодами. Они разрушались, может быть, чуть реже французских.