Изобретение напряжения и деформации, или барон Коши и расшифровка модуля Юнга
Чем, как не ареной ужасов, была бы жизнь без арифметики?
Кроме Ньютона и предрассудков XVIII в. главной причиной столь долгогозастоя в теории упругости было то, что те немногие ученые, которые всеже занимались атой проблемой, пытались анализировать силы и перемещения,рассматривая конструкцию целиком как это делал и Гук, - вместо того чтобыперейти, к силам и деформациям, которые существуют в каждой точке внутриматериала. Предпринимавшиеся в XVIII и XIX вв. такими выдающимися умами,как Леонард Эйлер (1707-1783) и Томас Юнг (1773-1829), попытки решать вполнестандартные с сегодняшней точки зрения задачи кажутся современному инженеруневероятнейшими интеллектуальными ухищрениями.
Концепция упругости материала в точке сводится к понятию о напряжениии деформации, которое впервые в обобщенной форме было сформулировано ОгюстомКоши (1789-1857) в его статье, направленной во Французскую академию наукв 1822 г. После работ Гука эта статья была, быть может, самым важным событиемв истории развития теории упругости. После нее появилась надежда, что этанаука наконец станет орудием в руках инженеров, а не эмпиреями несколькихэксцентричных мыслителей. На портрете, написанном примерно в то же время,Коши выглядит довольно бойким молодым человеком; несомненно, в прикладнойматематике он был большой силой.
Когда в XIX в. английские инженеры наконец снизошли до того, чтобыпознакомиться с работами Коши, то обнаружили, что, усвоив основные понятия онапряжениях и деформациях, можно сразу упростить все исследования по расчетуконструкций. Сегодня эти понятия в широком ходу, и трудно объяснить тозамешательство и смущение, которые иногда испытывают при упоминании о нихнеспециалисты. У меня как-то была аспирантка, незадолго до этого удачнозащитившая диплом по биологии. Изучение понятий о напряжениях и деформацияхвывело ее из душевного равновесия настолько, что она сбежала из университета ибесследно исчезла. Почему - я так и не пойму до сих пор.
Напряжение
Оказывается, к представлению о напряжении был очень близок еще Галилей.В "Двух новых науках" - книге, написанной им в старости в Арцетри, - онясно указывает, что растягиваемый стержень имеет прочность, которая припостоянстве остальных условий пропорциональна площади его поперечного сечения.Иными словами, если стержень сечением 2 см2 разрывается принагрузке 1000 кгс, то стержень сечением 4 см2 разрывается принагрузке 2000 кгс. Кажется почти невероятным, что потребовалось почти двастолетия, чтобы разделить разрушающую нагрузку на площадь поверхности вместе разрыва, дабы получить величину, называемую сегодня разрушающим напряжением(в упомянутом выше случае 500 кгс/см2) и относящуюся ко всемстержням из того же материала.
Коши осознал, что такое представление о напряжении можно использоватьне только для того, чтобы предсказать разрушение материала, но и для болееобщего описания состояния тела в любой его точке. Другими словами, напряжениев твердом теле напоминает давление в жидкости или газе. Оно является меройвоздействия внешних сил на атомы и молекулы, из которых состоит материали которые вынуждены под действием этих сил сближаться или удаляться другот друга.
Таким образом, сказать, что напряжение в данной точке какого-то куска сталисоставляет 500 кгс/см2, ничуть не более вразумительно и не менее таинственно,чем сказать, что давление в шинах моего автомобиля 2 кгс/см2. Однако, хотяпонятия о давлении и напряжении вполне сопоставимы, нужно иметь в виду, чтодавление действует в любом направлении внутри жидкости, тогда как напряжениеявляется величиной, характеризующейся определенными направлениями действия.Напряжение может, в частности, действовать в одном-единственном направлении; вовсяком случае, пока мы будем считать, что это именно так.
В количественном выражении напряжение в заданной точке определяется отношениемсилы, или нагрузки, приходящейся на небольшую площадку в окрестности этойточки, к величине этой площадки[5].
Если напряжение в некоторой точке мы обозначим буквой s,то напряжение = s = (нагрузка/площадь) = (Р/А),где Р - нагрузка, а А - площадь, на которую,как можно считать, эта нагрузка действует (рис. 6).
Рис. 6. Напряжение, возникающее в бруске при растяжении.(Ситуация при сжатии выглядит аналогичным образом.)
Вернемся теперь к нашему кирпичу, который в предыдущей главе мы оставиливисящим на веревке. Если кирпич весит 5 кг, а веревка имеет сечение 2 мм2, токирпич натягивает веревку с силой 5 кгс, а напряжение в веревке s =(нагрузка/площадь) = (Р/A) = 5 кгс/2 мм2 = 2,5 кгс/мм2, или, еслиугодно, 250 кгс/см2.
Единицы напряжения
В связи со сказанным возникает порой вызывающий досаду вопрос о единицахнапряжения. Напряжение можно выразить, и часто его именно так и выражают,в различных величинах, соответствующих какой-либо единице силы, деленнойна какую-либо единицу площади. Чтобы не было путаницы, в этой книге мыограничимся использованием следующих единиц.
Меганьютон на квадратный метр - МН/м2. Это единица СИ - Международнойсистемы единиц, которая в качестве единицы силы использует Ньютон - Н.
1Н = 0,102 кгс (приблизительно весу одного яблока).
1 МН (меганьютон)=1 млн. Н, что составляет почти 100 т.
Килограмм силы на квадратный сантиметр - кгс/см2
Перевод одних единиц в другие:
1 MH/м2= 10,2 кгс/см2, 1 кгс/см2=0,098 МН/м2.
Таким образом, полученное в нашей веревке напряжение составляет 250 кгс/см2или 24,5 МН/м2. Обычно для приближенного вычисления напряжений нетнеобходимости и в абсолютно точных коэффициентах перевода одних единиц вдругие.
Стоит повторить: важно осознать, что напряжение в материале, подобнодавлению в жидкости, есть величина, привязанная к некоторой точке; ононе относится к какой-либо определенной площади поперечного сечения, такой,как квадратный сантиметр или квадратный метр.
Деформация
В то время как напряжение говорит нам о том, сколь интенсивно принуждаютсяк расхождению в данной точке твердого тела атомы, деформация говорит отом, сколь далеко этот процесс растяжения зашел, то есть каково относительноерастяжение межатомных связей,
Так, если стержень, имевший первоначально длину L, поддействием силы удлинился на величину l, то деформация, илиотносительное изменение длины стержня, которую обозначим буквой е,будет e = l/L(рис. 7)
Рис. 7. Деформация, возникающая в бруске при растяжении.(Деформация при сжатии выглядит аналогичным образом.)
Возвращаясь к нашей веревке, можно сказать, что если ее первоначальнаядлина была, допустим, 2 м (200 см), а под действием веса кирпича она удлиниласьна 1 см, то деформация веревки е = l/L= 0,005, или 0,5%.
Деформации, возникающие в инженерной практике, обычно весьма малы, поэтомуинженеры, как правило, выражают их в процентах, что уменьшает вероятностьошибки, если оперировать десятичными дробями с множеством нулей.
Подобно напряжению, деформация не связана с какой-либо опеределеннойдлиной, сечением или формой материала. Она также характеризует состояниематериала в точке. Поскольку для определения деформации мы делим удлинениена первоначальную длину, она выражается безразмерной величиной - числом,не требующим какой-либо единицы измерения. В равной мере все сказанноеотносится не только к растяжению, но и к сжатию.
Модуль Юнга, или какова жесткость данного материала?
Как уже говорилось, в своей первоначальной форме закон Гука хотя и заслуживалвнимания, но свалил в одну кучу свойства материала и поведение конструкций.Произошло это в основном из-за отсутствия понятий "напряжение" и "деформация",не последнюю роль сыграли здесь существовавшие в прошлом трудности, связанныес испытанием материалов.
В настоящее время для испытания материала как чего-то отличного от конструкциииз него изготовляют так называемый образец. Форма образца может быть самойразной, но, как правило, это стержень с участком постоянного сечения, накотором и производятся измерения, и утолщенными концами для закрепленияв испытательной машине. Обычная форма металлических образцов показана нарис. 8.
Рис. 8. Типичный образец для испытаний на растяжение
Испытательные машины также могут сильно различаться размерами и конструкцией,но по существу все они представляют собой механические приспособления дляприложения к образцам нагрузки, которую при этом можно точно измерять.
Напряжение в стержне вычисляется путем деления нагрузки, регистрируемойна каждой стадии испытаний по шкале устройства, на площадь поперечногосечения образца. Растяжение стержня-образца под действием нагрузки (а следовательно,деформация материала) обычно измеряется с помощью экстензометра - чувствительногоустройства, которое крепится к двум точкам образца.
Такое оборудование позволяет довольно просто измерить напряжения и деформации,которые возникают в образце материала по мере того, как мы увеличиваемнагрузку. Графическое изображение зависимости напряжения от деформацииназывается кривой деформирования. Эта кривая, обычный вид которой представленна рис. 9, является характеристикой данного материала и практически независит от размеров испытываемого образца.
Рис. 9. Типичная кривая деформирования.
При постройке кривых деформирования для металлов и многих других твердыхтел мы неизменно будем обнаруживать, что по крайней мере для небольшихнапряжении эти кривые имеют прямолинейные участки. В этих случаях о материалеговорят, что он "подчиняется закону Гука" или является "гуковским материалом".
Мы обнаружим также, что наклоны этих прямолинейных участков для различныхматериалов различны (рис. 10), Очевидно, что наклон кривой деформированияявляется мерой деформации материала при заданном напряжении. Другими словами,он является мерой упругости или, наоборот, податливости данного твердоготела.
Рис. 10. Кривая деформирования. Тангенс угла наклона ее прямолинейногоучастка является параметром материала, который называется модулем упругости иобычно обозначается Е
Для любого материала, который подчиняется закону Гука, тангенс угла наклонакривой деформирования должен быть величиной постоянной. Таким образом,отношениенапряжение/деформация = s/e = Eи носит название модуля упругости, или модуля Юнга. Модуль Юнга - величинапостоянная для данного материала. Иногда при обсуждении технических вопросово нем говорят как о "жесткости". Кстати, слово "модуль" в переводе с латинскогоозначает "малая мера".
Вспомним, что деформация нашей веревки под действием веса кирпича составляла0,5%, или 0,005, при напряжении 24,5 МН/м2 Поэтому модуль ЮнгаверевкиE = s/e = 24,5/0,005 = 4900 МН/м2= ~ 5·104 кгс/см2.
Единицы измерения жесткости, или модуля Юнга
Поскольку модуль Юнга представляет собой отношение напряжения к безразмернойвеличине, то размерность его та же, что и у напряжения, например МН/м2или кгс/см2. Формально модуль Юнга можно рассматривать как напряжение,требуемое для 100%-ного удлинения материала (если с материалом при этомничего не произойдет), вследствие чего его численные значения настольковелики, что их трудно себе представить.
Фактические значения модуля Юнга
Значения модуля Юнга для многих органических веществ и инженерных материаловпредставлены в табл. 1. Они расположены в порядке возрастания - от модуляЮнга мягкого покрова взрослой самки саранчи (отнюдь не самого мягкого биологическогоматериала; кстати, покров самцов и молодых самок саранчи не многим жестче)до алмаза. Из таблицы видно, что величина жесткости материалов может изменятьсяв 6 млн. раз. Причину таких колоссальных различий мы обсудим в гл. 7.
Таблица 1. Значения модуля Юнга для различных материалов
Материал/Модуль Юнга (E), МН/м2
Мягкий покров взрослой самки саранчи[6] 0,2
Резина 7
Пленка скорлупы яйца 8
Хрящ человека 24
Сухожилие человека 600
Штукатурка 1400
Неармированный пластик, полиэтилен, нейлон 1400
Фанера 7000
Дерево (вдоль волокон) 14000
Свежая кость 21000
Магний 42000
Обычное стекло 70000
Алюминиевые сплавы 70000
Латунь и бронза 120000
Железо и сталь 210000
Окись алюминия (сапфир) 420000
Алмаз 1200000
Следует отметить, что многие очень мягкие биологические материалы отсутствуютв таблице. Дело в том, что их упругие свойства даже приближенно не описываютсязаконом Гука, а потому для них невозможно ввести модуль Юнга - во всякомслучае, в том виде, как обсуждалось выше. К упругим свойствам таких материаловмы вернемся позже.
В настоящее время модуль Юнга считается фундаментальным понятием - оногосподствует в инженерном деле, в материаловедении и начинает вторгатьсяв биологию. Однако должна была пройти вся первая половина XIX столетия,прежде чем модуль Юнга завоевал умы инженеров. Отчасти это явилось следствиемкрайнего консерватизма, а отчасти того, что все практически полезные идеио напряжениях и деформациях появились довольно поздно.
После разработки основных идей трудно было представить себе что-либоболее простое и очевидное, чем модуль Юнга, но до этого все представленияоб упругости казались исключительно сложными. От Юнга, сыгравшего важнуюроль в расшифровке египетских иероглифов и бывшего одним из проницательнейшихумов своего времени, эта работа потребовала, очевидно, огромного умственногонапряжения.
Он работал над проблемой жесткости в 1800 годы и рассуждал совершенноиначе, чем это сделали бы мы с вами. Юнг оперировал величиной, котораяв настоящее время называется удельным модулем и показывает, каким должнобыть уменьшение длины столба исследуемого материала под действием собственноговеса. Данное самим Юнгом определение своего модуля, опубликованное в 1807г., гласит: "Модуль упругости любого вещества есть столб этого вещества,способный производить давление на свое основание, которое так относитсяк весу, вызывающему определенную степень сжатия, как длина вещества к уменьшениюэтой длины"[7].
После всего этого даже египетские иероглифы могли показаться не такимиуж сложными. Один из современников сказал о Юнге: "Он употреблял словане в обычном их значении, а строй его мыслей редко походил на строй мыслейсобеседников. Я не встречал человека, который бы менее его подходил дляобмена знаниями".
К тому же не следует забывать, что Юнг старался осилить концепцию, которуюедва ли можно было сформулировать без понятия о напряжениях и деформациях,вошедших в употребление лишь 15-20 лет спустя. Современное определениемодуля Юнга (Е = напряжение/деформация) было дано в1826 г., за три года до смерти Юнга, французским инженером Навье (1785-1836).Что касается Коши, то спустя некоторое время как изобретателю напряженияи деформации ему был пожалован титул барона. Думается, он это заслужил.
Прочность
Не следует путать прочность конструкции и прочность материала. Прочностьконструкции определяется нагрузкой (в ньютонах или в килограммах), котораяприводит к разрушению конструкции. Эта величина известна как разрушающаянагрузка, и она обычно используется только применительно к некоторой конкретнойконструкции.
Прочность материала характеризуется напряжением (в МН/м2или в кгс/см2), разрушающим сам материал. Обычно величина прочностиболее или менее постоянна для всех образцов данного вещества. Мы в основномбудем рассматривать прочность материалов при растяжении, которую называютпрочностью на разрыв. Ее обычно определяют, разрушая небольшие образцыв испытательной машине. Большинство вычислений в области прочности сводится,естественно, к определению прочности конструкции по известной прочностиее материала.
Величины прочности некоторых материалов приведены в табл. 2. Из нее видно, чтопрочность биологических и инженерных материалов, как и их жесткость, меняется вочень широких пределах.
Таблица 2. Прочность на разрыв различных твердых тел
Материал / Прочность на разрыв, МН/м2
Неметаллы
Мышечная ткань[8] 0,1
Стенка мочевого пузыря[8] 0,2
Стенка желудка[8] 0,4
Кишечник[8] 0,5
Стенка артерии[8] 1,7
Хрящ[8] 3,0
Цемент и бетон 4,1
Обычный кирпич 5,5
Свежая кожа 10,3
Дубленая кожа 41,1
Свежее сухожилие 82
Пеньковая веревка 82
Дерево (сухое):
вдоль волокон 103
поперек волокон 3,5
Кость[8] 110
Обычное стекло 35-175
Человеческий волос 192
Паутина 240
Хорошая керамика 35-350
Шелк 350
Хлопковое волокно 350
Струна (из биологических материалов) 350
Льняное полотно 700
Пластик, армированный стекловолокном 350-1050
Пластик, армированный углеволокном 350-1050
Нейлоновая ткань 1050
Металлы
Стальная рояльная проволока (хрупкая) 3100
Высокопрочная сталь 1500
Малоуглеродистая сталь 400
Сварочное железо 100-300
Обычный чугун (очень хрупкий) 70-140
Современный чугун 140-300
Алюминий:
литейные сплавы 70
деформируемые сплавы 140-600
Медь 140
Латунь 120-400
Бронза 100-600
Магниевые сплавы 200-300
Титановые сплавы 700-1400
Удивительно различие в прочности мышц и сухожилий. Этим объясняетсяи разница их поперечных сечений. Так, ахиллесово сухожилие, будучи толщинойвсего с карандаш, прекрасно справляется с передачей натяжения от толстыхикроножных мышц к костям пятки (что позволяет нам ходить и прыгать). Крометого, из таблицы видно, почему инженеры не могут допустить большие растягивающиенагрузки на бетон, не армированный стальными прутьями.
В целом металлы прочнее неметаллов. А плотность почти у всех металловбольше, чем у большинства биологических материалов. (Удельный вес стали7,8 г/см3, а большинства биологических тканей около 1,1 г/см3)Поэтому высокая прочность металлов в сравнении с тканями растений и животныхне производит особого впечатления, если относить ее к единице массы.
Подытожим сказанное в этой главе.
Напряжение = нагрузка / площадь
Деформация = удлинение под действием нагрузки / первоначальная длина
Прочность - это напряжение, необходимое для разрушения материала. МодульЮнга характеризует жесткость материала.
Модуль Юнга = напряжение / деформация = E
Прочность и жесткость - свойства разные. Приведем в этой связи выдержкуиз книги "Почему мы не проваливаемся сквозь пол": "Печенье жестко, нонепрочно, сталь - и жесткая, и прочная, нейлон - нежесткий, гибкий, нопрочный, малиновое желе - и нежесткое, и непрочное. Вряд ли можно ожидатьбольшей информации о свойствах твердого тела, если пользоваться лишь двумяего характеристиками".
Если что-либо из сказанного оказалось для вас не совсем ясным, возможно,вам будет утешением узнать, что не так давно мне пришлось потратить в Кембриджецелый вечер на объяснение двум всемирно известным ученым основных различиймежду прочностью, жесткостью, напряжением и деформацией в связи с однимочень дорогим проектом, по которому им предложили дать консультацию правительству.Так, мне и до сих пор неясно, насколько я тогда преуспел.