Конструирование и безопасность, или можно ли доверять расчетам на прочность?
В полнозвучные размеры
Заключить тогда б я мог
Эти льдистые пещеры,
Этот солнечный чертог.
Вольный перевод К. Д. Бальмонта
Все эти рассуждения о напряжениях и деформациях необходимы нам лишьдля того, чтобы понять способы создания безопасных и эффективно работающихконструкций и сооружений.
Природа, создавая свои конструкции, по-видимому, не испытывает затруднений.Полевые колокольчики никто не рассчитывал на прочность, однако это не мешаетим быть прекрасно сконструированными. Вообще природа как инженер намногопревосходит человека. Для одних творений она проявляет упорное однообразие,а для других - поражает множеством вариантов.
Общее расположение и соразмерность частей живых организмов контролируются впроцессе роста механизмом РНК - ДНК - знаменитой "двойной спиралью" Уилкинса,Крика и Уотсона[9]. Однако и в этих рамках каждое конкретное растение илиживотное располагает большой свободой в построении деталей своей "конструкции".Не только толщина, но и состав каждого из нагруженных элементов живойконструкции существенно зависят от степени их использования и характераиспытываемых ими в течение жизни нагрузок[10]. Таким образом, происходит оптимальное с точки зренияпрочности живой конструкции изменение отдельных ее деталей. Уприроды-конструктора скорее прагматический, чем математический склад характера,к тому же плохие конструкции всегда могут быть съедены хорошими.
К сожалению, инженерам такие методы конструирования пока недоступны,и они вынуждены прибегать к догадкам или расчетам, а чаще комбинироватьто и другое вместе. Очевидно, что как соображения безопасности, так и соображенияэкономии заставляют предсказывать распределение нагрузки между отдельнымичастями конструкции и определять их размеры. Кроме того, хотелось бы знать,каковы будут перемещения нагруженной конструкции, поскольку излишняя гибкостьможет быть столь же опасной, как и недостаточная прочность.
Французская теория и британский прагматизм
После того как сложились основные представления о прочности и жесткости,математики приступили к разработке методов анализа плоских и пространственныхупругих систем, с помощью которых было исследовано поведение самых разныхконструкций при их нагружении. Так сложилось, что в течение первой половины XIXв, теорией упругости занимались в основном французы. Хотя не исключено, чтотеория упругости как-то особенно сродни французскомутемпераменту[11], все же,представляется, практическая поддержка этих исследований прямо или косвенноисходила от Наполеона I и осуществлялась основанной в 1794 г. Политехническойшколой.
Многие из этих работ носили абстрактно-математический характер, а поэтомуостались непонятыми большинством инженеров-практиков и не получили признаниявплоть до 1850 г. Особенно это относится к Англии и Америке, где практикамвсегда отдавалось безусловное предпочтение перед теоретиками. А кроме того,как известно, "один англичанин всегда побивал трех французов".Так, о шотландском инженере Томасе Телфорде (1757-1834), чьими величественнымимостами мы восхищаемся еще и поныне, имеется следующее свидетельство современника:"Он испытывал сильнейшее отвращение к занятиям математикой и не удосужилсяпознакомиться даже с началами геометрии. Это было воистину удивительно,и когда нам случилось рекомендовать одного нашего молодого друга к немуна службу, он, узнав об отличных математических способностях претендента,не колеблясь, заявил, что, по его мнению, такого рода познания скорее говорято непригодности юноши к работе с ним, чем об обратном".
Телфорд, однако, был действительно велик и, подобно адмиралу Нельсону,компенсировал невероятную самоуверенность подкупающей скромностью. Когдатяжелые цепи висячего моста через пролив Менай (см. рис. 85) были удачноподвешены на виду у собравшейся толпы, Телфорда обнаружили вдали отаплодирующих зрителей возносящим на коленях благодарениевсевышнему[12].
Но не все инженеры были так скромны, как Телфорд, и взгляды англосаксовтого времени носили налет не только умственной лени, но и самонадеянности.При всем том, однако, основания для скептицизма относительно надежностирасчетов на прочность были. Очевидно, что Телфорд и его коллеги возражалине против количественного подхода как такового - знать силы, действующиена материалы, они хотели бы не меньше других, - а против способов полученияэтих данных. Они чувствовали, что теоретики слишком часто бывают ослепленыэлегантностью своих методов и не заботятся в достаточной мере о соответствииисходных предположений действительности, получая в результате правильныеответы для нереальных задач. Другими словами, более опасной предполагаласьсамонадеянность математиков, чем инженеров, которых практика чаще наказывалаза излишнюю самонадеянность.
В этой связи проницательные технические эксперты севера осознали (аэто следовало бы сделать и всем остальным практикам), что, анализируя туили иную ситуацию с помощью математики, мы в действительности создаем рабочуюмодель исследуемого предмета. При этом мы надеемся, что наша модель, илиматематический аналог реальности, с одной стороны, имеет достаточно многообщего с реальным предметом, а с другой - позволяет нам сделать какие-тополезные предсказания.
Для таких модных предметов, как физика или астрономия, соответствие междумоделью и действительностью столь точно, что некоторые склонны рассматриватьПрироду как нечто вроде Математика свыше. Однако сколь привлекательной никазалась бы эта доктрина земным математикам, имеются явления, для которых былобы благоразумным использовать математические аналогии лишь с очень большойосторожностью. "Пути орла на небе, пути змея на скале, пути корабля среди моряи пути мужчины к девице" не предскажешь аналитически. (Кое-кто дажеудивляется, каким образом математики все же ухитряютсяжениться[13].) А, построив свой дворец, царь Соломон, вероятно, мог бы добавить,что поведение конструкции под нагрузкой не менее непостижимо, чем пути кораблейи орлов.
В случаях, подобных упомянутым, главную трудность составляет сложностьвозникающих ситуаций, что не позволяет создать для них полную и простуюматематическую модель. Обычно имеется несколько возможных путей разрушенияконструкций, но ломаются они, естественно, способом, требующим наименьшихусилий, и именно об этом способе часто никто не догадывается, не говоряуже о каких-либо расчетах.
Интуитивное понимание возможных слабостей, присущих материалам и конструкциям,-одно из наиболее ценных качеств инженера. Никакие другие интеллектуальныесвойства не могут его заменить. Не случайно иногда рушились мосты, сконструированныепо лучшим "современным" теориям такими представителями Политехническойшколы, как Навье. Но, насколько мне известно, ни с одним из сотен мостови других сооружений, построенных за свою долгую жизнь Телфордом, не случалосьдаже сколько-нибудь серьезных неприятностей. Именно поэтому, наверное,в пору расцвета французской теории расчетов конструкций многие мосты ижелезные дороги на континенте были построены нахрапистыми и малоразговорчивымианглийскими и шотландскими инженерами, относившимися к вычислениям безособого уважения.
Коэффициент запаса и коэффициент незнания
Как бы то ни было, но примерно с 1850 г. даже британские и американскиеинженеры вынуждены были начать рассчитывать на прочность ответственныеконструкции, например крупные мосты. Пользуясь разработанными к тому времениметодами, они вычисляли наибольшие возможные напряжения в конструкции иследили за тем, чтобы они не превышали некоторой узаконенной официальныминормами прочности материала на разрыв.
Для полной безопасности они делали наибольшее вычисленное действующеенапряжение много меньшим - в три-четыре или даже в семь-восемь раз, - чемпрочность материала, найденная путем разрушения простых, однородных егообразцов, очень аккуратно нагружаемых в лабораторной установке. Эту процедуруони называли введением коэффициента запаса[14]. Любая попытка уменьшения веса и стоимости засчет снижения коэффициента запаса грозила обернуться бедой.
Причиной несчастных случаев чаще всего склонны были признавать дефектыматериала; возможно, иногда так оно и было. Прочность металлов действительноменяется от образца к образцу, и всегда присутствует некоторый риск, чтодля изготовления конструкции использован плохой материал. Но прочностьжелеза и стали обычно изменяется лишь в пределах нескольких процентов ичрезвычайно редко возможны колебания в три-четыре раза, не говоря уже осеми или восьми. На практике столь большие расхождения между рассчитаннойи действительной прочностью всегда бывают вызваны иными причинами. Действительноенапряжение в каком-то не известном заранее месте конструкции может намногопревышать вычисленное. Поэтому о коэффициенте запаса иногда говорят како коэффициенте незнания.
В таких конструкциях, как котлы, балки, корабли, где действуют растягивающиенапряжения, в XIX в. материалом обычно служили пуддлинговое железо илимягкая сталь, которые не без оснований имели репутацию "безопасных" материалов.Если в расчет на прочность вносился большой коэффициент незнания, то соответствующиеконструкции часто оказывались вполне удовлетворительными, хотя и при этомаварии случались не так уж и редко.
Все более частыми становились катастрофы на море. Требования к повышениюскорости и снижению веса судов породили трудности и для адмиралтейства,и для кораблестроителей: у кораблей возникла тенденция разламываться воткрытом море надвое, хотя наибольшие расчетные напряжения казались вполнеумеренными и безопасными. Так, в 1901 г. внезапно разломился пополам изатонул в Северном море при нормальной погоде совершенно новый эсминецбританского военно-морского флота "Кобра", в то время один из самых быстроходныхкораблей мира. Погибло 36 человек. Ни последовавшие за этим заседания военноготрибунала, ни адмиралтейская комиссия по расследованию не пролили светана технические причины несчастного случая. Поэтому в 1903 г. адмиралтействовыполнило и опубликовало результаты нескольких экспериментов, проведенныхв условиях штормовой погоды, с таким же кораблем, эсминцем "Волк". Онипоказали, что напряжения в корпусе корабля в реальных условиях несколькоменьше тех, которые были вычислены при проектировании судна. Но посколькуи те и другие напряжения оказались намного меньше известной прочности стали,из которой был сооружен корабль (значение коэффициента запаса составляло5-6), эти эксперименты мало что дали.
Концентрация напряжений, или как "запустить" трещину
К пониманию проблем такого рода впервые удалось подойти не с помощьюдорогостоящих экспериментов на натуральных конструкциях, а с помощью теоретическогоанализа. В 1913 г. К.Е. Инглис, ставший позднее профессором в Кембридже,который был полной противоположностью бесплодным представителям чистойнауки, опубликовал в "Трудах института корабельных инженеров" статью, значениекоторой выходило далеко за рамки вопроса о прочности кораблей.
Инглис перенес на механиков приписываемое лорду Солсбери высказываниео политиках: нельзя пользоваться только мелкомасштабными картами.Почти столетие механики довольствовались картиной напряжений, получаемойв широкой, наполеоновской манере, не обращая внимания на подробности. Инглиспоказал, что такой подход дает надежные результаты только в тех случаях,когда материалы и элементы конструкции имеют гладкие поверхности без резкихизменений формы.
Отверстия, трещины, острые углы и другие особенности поверхности, накоторые раньше не обращали внимания, повышают локальные напряжения; такиеобласти повышенных напряжений могут быть очень малыми, но последствия -весьма драматическими. В окрестности отверстия или надреза напряжения могутзначительно превышать разрушающие напряжения для данного материала дажев тех случаях, когда общий средний уровень напряжении невысок и, согласно"мелкомасштабным" вычислениям, конструкция кажется вполне безопасной.
Пусть в несколько ином аспекте, но этот факт был известен кондитерам,иначе зачем было делать желобки в плитках шоколада, и тем, кто имел делос почтовыми марками и бумагой: ведь не случайно и не для красоты пробивалисьна них ряды дырочек. Да и портной, прежде чем оторвать кусок ткани, непременноделал надрез на кромке. А вот серьезные инженеры до того времени почтине проявляли интереса к вопросам образования трещин и не считали, что ониимеют отношение к инженерному делу.
Легко объяснить, почему почти любое отверстие, трещина или надрез воднородной среде будет вызывать локальное увеличение напряжений. На рис.11, а изображен гладкий однородный брусок, который подвергаетсяравномерному растяжению с напряжением s. Линии, пересекающиеобразец, представляют собой так называемые траектории напряжений, можносказать, что вдоль этих линий напряжение передается от молекулы к молекуле.В данном случае это прямые параллельные линии, равноотстоящие одна от другой.
Рис. 11. Картинанапряженийв равномерно растянутом бруске,не содержащем трещины (а)и содержащем ее (б).
Если же мы разорвем некоторую группу этих линий, сделав в материаленадрез, трещину или отверстие, то силы, представляемые этими траекториями,потребуется как-то уравновесить. То, что происходит в действительности,не так уж неожиданно: силы вынуждены "обойти" разрыв, вследствие этогоплотность траекторий напряжения увеличивается до степени, зависящей главнымобразом от формы выемки (рис. 11, б). В случае длинной трещины,например, их скопление вокруг ее конца может быть очень велико. Таким образом,как раз в окрестности кончика трещины сила, действующая на единицу площади,увеличивается и, следовательно, локальные напряжения оказываются большими(рис. 12).
Рис. 12. Концентрация напряжений у кончика трещины. Распределение касательныхнапряжения в прозрачном материала визуализируется в поляризованном свете,полосы на фотографии представляют собой линии равных касательныхнапряжений.
Инглису удалось вычислить, насколько при растяжении увеличится напряжение наконце эллиптического отверстия в твердом материале, подчиняющемся законуГука[15]. Хотя эти вычисления справедливы, строгоговоря, только для эллиптических отверстий, результаты с достаточной точностьюприменимы и к отверстиям другой формы: к амбразурам, дверям и люкам на судах,самолетах и других аналогичных сооружениях, а также к трещинам, царапинам иотверстиям в других конструкциях и материалах всех сортов, даже к пломбам взубах.
Результат Инглиса можно представить в виде простойформулы[16]. Пусть имеется участок материала, в котором на достаточно большомрасстоянии от трещины приложено напряжение s. Если трещина, надрез иликакая-либо другая выемка имеет длину L и если радиус конца этой трещиныили выемки равен r, то напряжение непосредственно около этого конца неостанется равным s, а возрастет до величины s(1 + 2(L/r)1/2).
В случае полукруглой выемки или круглого отверстия, когда r = L,наибольшее напряжение, таким образом, будет равно 3s, но в случаеотверстий под двери и люки, часто имеющих острые углы, r будет мало, aL - велико, и, следовательно, напряжение в этих углах может быть оченьбольшим - столь большим, что именно оно ломает пополам корабль.
В экспериментах с "Волком" датчики для измерения деформаций (упругиедеформации легко пересчитываются в напряжения) крепились к обшивке корабляв самых разных местах, но, как оказалось, ни один из них не был помещенвблизи углов люков или других отверстий. Если бы это сделали, то почтинаверняка внушающие опасения результаты были бы получены еще до выходакорабля из Портлендского канала.
В случае трещин обнаруживается еще более опасная ситуация, так как утрещины длиной в несколько сантиметров и даже метров радиус ее кончикаможет иметь молекулярные размеры - менее одной миллионной сантиметра, апотому величина L/r оказывается очень большой. Таким образом,напряжение у кончика трещины вполне может быть в сотню или даже в тысячураз больше, чем напряжение в других местах материала.
Результаты Инглиса, принятые буквально и целиком, означали, что создатьконструкцию, безопасную при растяжении, вообще вряд ли возможно. В действительностиже материалы, используемые в работающих на растяжение конструкциях, такие,как металлы, дерево, канаты, стеклопластики, текстильные ткани и большинствобиологических материалов, являются вязкими, трещиностойкими, что означает,как мы увидим в следующей главе, что они обладают более или менее хитроумнымисредствами защиты против концентрации напряжений. Однако даже в случаелучших, наиболее трещиностойких из материалов эта защита только относительнаи любая конструкция в чем-то уязвима.
Но используемые в технике хрупкие твердые тела (стекло, камень и бетон)не имеют и такой защиты. Иными словами, они весьма точно соответствуютисходным допущениям, которые были заложены в расчетах Инглиса. Более того,чтобы ослабить материал, даже не нужно искусственно создавать надрезы -концентраторы напряжении. Природа щедро позаботилась об этом: реальныетвердые тела еще до создания из них конструкций, как правило, содержатмножество всевозможных пор, щелей и трещин. По этой причине было бы опрометчивымподвергать хрупкие твердые тела заметным растягивающим напряжениям. Их,конечно, широко используют при возведении стен, строительстве дорог и т.п., где они, как принято считать, работают на сжатие. В тех случаях, когданельзя избежать некоторого растяжения, как, например, в оконных стеклах,необходимо позаботиться о том, чтобы эти напряжения были достаточно малыми,и вводить большой коэффициент запаса прочности.
Следует отметить, что не только отверстия, трещины и другие пустоты могут бытьпричиной понижения прочности материала. Вызвать концентрацию напряжений может,наоборот, и добавка материала, если это приводит к резкому локальномуувеличению жесткости. Так, если поставить заплату из нового материала на старуюодежду или толстый лист брони на тонкий борт военного корабля, из этого неполучится ничего хорошего[17].
Причина здесь в следующем. Траектории напряжений могут столь же сильнопритягиваться к более жесткой области (заплате), как и отталкиваться отобласти с более низкой жесткостью (отверстия). Любой элемент конструкции,отличающийся от окружающих его элементов своими упругими свойствами, вызываетконцентрацию напряжении и может быть опасным.
Стремясь повысить прочность с помощью добавочных материалов, стоит задуматься,а не уменьшится ли она на самом деле. Опыт научил меня, что инспекторыстраховых компаний и правительственных учреждений, настаивающие на том,чтобы сосуды высокого давления и другие конструкции были "подкреплены"дополнительными косынками и переборками, зачастую бывают ответственны зате самые несчастные случаи, которые они старались предотвратить.
Представителям живой природы в общем неплохо удается избежать такогорода перенапряжений. Однако концентрация напряжений может быть существенныммоментом ортопедической хирургии, особенно при соединении относительномягких костей жесткими металлическими протезами.