Под электронной конфигурацией атома понимается определенное распределение электронов по nl-оболочкам:
(2.8)
Каждая (nрlр)-оболочка представляет набор спин-орбиталей, из которых νp заселены, т. е. включены в детерминант Слэтера. Эти νp спин-орбитали можно выбрать из (nрlр)-оболочки способами. Следовательно, конфигурации К соответствует однодетерминантных функций, причем их число определяется фактически лишь незамкнутыми оболочками, для которых νp<. Например, для конфигурации ls22s22p2 атома углерода можно построить детерминантов. Из них можно составить далее 15 линейных комбинаций, соответствующих определенным значениям квантовых чисел L и S и образующих атомные термы.
Термом называется совокупность многоэлектронных функций определенной конфигурации, характеризующаяся общими для; всех функций терма значениями квантовых чисел полных орбитального и спинового моментов (L и S). Отдельные волновые функции терма различаются по квантовым числам проекций указанных моментов (ML и MS). Если не принимать во внимание взаимодействие орбитального и спинового моментов, то все волновые функции терма отвечают одному и тому же (2L + 1)(2S + 1) — кратно вырожденному энергетическому уровню атома. Спин-орбитальное взаимодействие приводит к расщеплению этого вырожденного уровня на уровни тонкой структуры, характеризуемые квантовым числом полного спин-орбитального момента J. Поправка на спин-орбитальное взаимодействие определяется приближенным выражением
(2.9)
из которого следует правило Ланде для константы спин-орбитального взаимодействия
(2.10)
Легко убедиться, что
(2.11)
т. е. энергия терма равна средневзвешенному значению энергетических уровней тонкой структуры:
(2.12)
Согласно правилам Хунда, энергия EKLS,J будет наименьшей, если: 1) квантовое число S максимально; 2) при равных S максимально квантовое число L; 3) при равных S и L квантовое число J максимально при AKLS<0 и минимально при AKLS> 0.
В качестве примера использования правил Хунда рассмотрим структуру энергетических уровней атома углерода для конфигурации ls22s22p2 (рис. 4). Из пятнадцати однодетерминантных шестиэлектронных функций этой конфигурации можно составить девять функций терма 3Р (L = 1 и S = 1), пять функций терма 1D (L = 2 и S = 0) и единственную функцию терма 1S (L = 0 и S = 0). Наименьшей энергии отвечает терм 3Р, обладающий максимальной мультиплетностью по спину. За ним следует терм 1D, поскольку он характеризуется большим значением квантового числа L, чем терм 1S, при равной спиновой мультиплетности.
Рис. 4. Структура энергетических уровней атома углерода
Спин-орбитальное взаимодействие приводит к расщеплению лишь терма 3Р, так как для остальных термов полный спиновый момент равен нулю (а мультиплетность — единице). Для терма 3Р константа А > 0 и, следовательно, уровни тонкой структуры этого терма возрастают в последовательности 3Р0, 3P1, 3Р2, где нижний индекс указывает значения квантового числа J.
Строго говоря, орбитальные энергии εnl различны для разных термов одной конфигурации. Согласно расчету Клементи, атомным орбиталям 1s22s22p2-конфигурации углерода в зависимости от терма соответствуют анергии εnl (в атомных единицах):
Таким образом, расстояние между энергетическими уровнями 2s- и 2p-АО при переходе от терма 3Р к терму 1S увеличивается почти на 0,16 ат. ед., что соответствует 4,3 эВ или 98 ккал/моль.
В большей степени орбитальные энергии зависят от атомной конфигурации. Эту зависимость можно показать на примере рассмотренной выше 1s22s22p2-конфигурации и возбужденных 1s22s22p3- и 1s22р4-конфигураций атома углерода [70]. Из множества термов, соответствующих этим конфигурациям, выберем термы 3Р и 1D:
Под полной электронной энергией атомной конфигурации следует понимать средневзвешенное значение энергии ее термов:
(2.13)
Было бы ошибкой отождествлять энергию конфигурации с суммой орбитальных энергий
(2.14)
Эта величина, как и орбитальные энергии, определяется не только конфигурацией, но и термом атомного состояния. Кроме того, Eoрб составляет лишь часть, причем меньшую часть, полной электронной энергии термов.
По мере увеличения заряда атомного ядра погрешности, связанные с пренебрежением одноэлектронным спин-орбитальньм взаимодействием, увеличиваются, и приходится учитывать расщепление каждой (nl)-оболочки на две подоболочки, различаю щиеся новым спин-орбитальным квантовым числом j:
При этом атомные спин-орбитали уже не могут быть представлены как произведение орбитали и спиновой функции (α или β), и конфигурация атома характеризуется распределением электронов по (nlj)-оболочкам:
Рис. 5. Структура энергетических уровней атома свинца
Многоэлектронные волновые функции, соответствующие уровням тонкой структуры, строятся в этом приближении, называемом приближением j-j-связи, непосредственно из детерминантов "расщепленной" конфигурации.
Схему j-j-связи иллюстрирует пример атома свинца, основная конфигурация которого (...6s26p2) аналогична основной конфигурации атома углерода (...2s22p2), но существенно отличается от последней структурой энергетических уровней (рис. 5)
Следует подчеркнуть, что выбор квантовых чисел, определяющих состояние атома, зависит от того, в каком приближении мы его рассматриваем. Так, без учета спин-орбитального взаимодействия состояние атома характеризуется квантовыми числами L и S. Однако при учете этого взаимодействия уже нельзя говорить о сохранении орбитального и спинового моментов по отдельности, и соответствующие им квантовые числа L и S не будут более "хорошими" квантовыми числами. Вместо них следует использовать квантовое число J, характеризующее полный спин-орбитальный момент импульса, который в этом приближении будет сохраняться. В то же время если спин-орбитальное расщепление энергетических уровней достаточно мало, можно установить соответствие между уровнями тонкой структуры и определяемыми в более грубом приближении энергетическими уровнями термов. Точно так же для тяжелых атомов квантовое число l, характеризующее одноэлектронный орбитальный момент импульса, перестает служить "хорошим" квантовым числом, лишь только мы учитываем спин-орбитальное взаимодействие на одноэлектронном уровне.
Атомные орбитали и их графическое представление
Рассмотрим атом водорода — простейший из атомов, включающий лишь один электрон, который взаимодействует с ядром по закону Кулона. Задача определения электронных состояний атома водорода (квантовомеханическая проблема Кеплера) — одна из немногих задач квантовой механики, имеющих точное аналитическое решение. Такая возможность обусловлена тем, что в этом случае гамильтониан допускает разделение переменных в сферической системе координат (r, υ, φ), т. е. орбиталь ψ, описывающая движение электрона в поле ядра, может быть представлена в виде произведения трех функций и каждая из них зависит только от одной независимой переменной:
(2.15)
При этом орбиталь ψnlm характеризуется тремя квантовыми числами: n, l и m (табл. 1).
Таблица 1. Атомные орбитали атома водорода для n = 1, 2, 3
Квантовое число l, целое и неотрицательное, определяет орбитальный момент импульса электрона, точнее его квадрат: l(l + 1).
Квантовое число m, целое и не превышающее по абсолютной величине l, представляет проекцию орбитального момента импульса на произвольно выбранную ось квантования z.
Главное квантовое число n нумерует орбитальную энергию εn в порядке возрастания:
(2.16)
Характерным для атома водорода является то, что энергия εn не зависит от квантового числа орбитального момента импульcа и определяется главным квантовым числом n:
(2.17)
Для многоэлектронных атомов проблема усложняется. Хотя одноэлектронное приближение и сферическая модель самосогласованного поля позволяют произвести разделение переменных r, υ, φ и в этом случае, точное аналитическое выражение для радиальных функций R(r), к сожалению, не получается. Они определяются в приближении самосогласованного поля решением уравнений Хартри-Фока (см. гл. 3). Соответствующие орбитальные энергии εnl зависят как от главного, так и от орбитального квантовых чисел, причем главное квантовое число n нумерует εnl с фиксированным l в порядке возрастания целыми числами, начиная с (l + 1).
Радиальная зависимость орбиталей в многоэлектронных атомах может быть довольно сложной, но их узловая структура подобна узловой структуре орбиталей атома водорода: радиальная функция Rnl(r) характеризуется (n-l-1) узлом, т. е. обращается в нуль при (n-l-1) конечном значении r > 0.
Графическое представление радиальных функций. Для графического представления радиальных функций используется либо график самой функции Rnl(r), либо график соответствующей ей плотности вероятности локализации электрона на расстоянии r от атомного ядра:
(2.18)
причем функция ρnl(r) нормирована на единицу:
(2.19)
Следует отметить, что в соответствии с условием формировки сферических