Готфрид Лейбниц. Он придал новый импульс логическим исследованиям в 1666 г., применив аппарат алгебры.
В этом алгебраическом духе прогресс периодически возобновлялся, достигнув кульминационных точек в работах Дж. Буля, О. Моргана, Ч. С. Пирса и Э. Шредера в период 1847–1877 гг. Причем следует отметить, что при изучении проблемы взаимодействия логики и алгебры приоритет всегда отдав ался алгебре. Более того, указанные ученые стремились скорее не синтезировать эти науки, а полностью подчинить логику математике. И только Г. Фреге в 1879 г. отказался от алгебраических аналогий и разработал оригинальный символический и понятийный аппарат, пригодный для использования в универсальной и эффективной логической теории. Только отойдя от полного подражания алгебре, Г. Фреге выяснил истинную природу центрального понятия алгебры и логики – переменной. Обнаружилось родство между переменной и неопределенным местоимением.
Продолжением развития символической логики занимались Б. Рассел и А. Н. Уайтхед. Новая логика позволила с большой точностью описать формы суждений и отношения между ними. На целый ряд философских вопросов, в частности касавшихся природы математики, были сразу даны новые и четкие ответы, и стало казаться, что с помощью формальной логики можно будет найти окончательное решение философских проблем.
Например, очень интересен подход к разрешению вечного вопроса: «В чем смысл жизни?» Сам вопрос кажется простым, хотя и не имеющим простого ответа. Но при более внимательном рассмотрении оказывается, что он тоже нуждается в прояснении. Понимаем ли мы, что такое «смысл» и что такое «жизнь»? Верно ли, что существует только один смысл и что вся жизнь имеет этот смысл? Допущения, которые мы принимаем, крайне сомнительны, следовательно, сомнительна и сама формулировка вопроса. Вопрос о смысле жизни должен быть задан как—то иначе, чтобы не были безнадежными все попытки его решения.
В современной науке значение символической логики очень велико. Она находит приложение в кибернетике, нейрофизиологии, лингвистике.
Символическая логика является современным этапом в развитии формальной логики. Она изучает процессы рассуждения и доказательства посредством его отображения в логических системах (исчислениях). Таким образом, по своему предмету эта наука является логикой, а по методу – математикой.13 НЕКЛАССИЧЕСКАЯ ЛОГИКА
Непосредственным результатом революции, произосшедшей в логике в конце XIX – начале XX в., было возникновение логической теории, получившей название математической логики. Со временем это направление получило название классической логики.
Разнообразные неклассические направления, возникшие позднее, объединяются в такое понятие, как неклассическая логика. Возникновение новых разделов логики было связано с начавшейся в XX в. критикой классической логики.
В 1908 г. Л. Брауер, голландский математик и логик, подверг сомнению неограниченную реализацию в математических рассуждениях классических законов исключенного третьего, двойного отрицания, косвенного доказательства. Одним из результатов анализа таких рассуждений явилось возникновение интуиционистской логики, сформированной в 1930 г. А. Гейтин—гом и не содержащей указанных законов.
Еще в 1912 г. американский логик и философ К. И. Льюис обратил внимание на так называемые парадоксы импликации, характерные для формального анализа высказывания в классической логике – материальной импликации. К. И. Льюис разработал первую неклассическую теорию логического следования, в основе которой лежало понятие строгой импликации, определившейся в терминах логической невозможности. К настоящему времени предложен целый ряд теорий, претендующих на более адекватное, чем даваемое классической логикой описание логического следования и условий связи. Среди них можно отметить релевантную логику и паранепротиворечивую логику, а также многие другие. Следует отметить, что наиболее значимым из этих направлений является релевантная логика, развитая американскими логиками А. Р. Андерсоном и Н. Д. Белнапом.
На рубеже 1920–х гг. К. И. Льюисом и Я. Лу—касевичем были построены первые современные модальные логики, рассматривающие понятия «необходимость», «возможность», «случайность» и т. п.
В 1920–е гг. начали складываться новые логические теории:
1) многозначная логика, предполагающая, что утверждения могут быть не только истинными или ложными, но иметь также другие истинностные значения;
2) деонтическая логика, изучающая логические связи нормативных понятий;
3) логика абсолютных оценок, исследующая логическую структуру и логические связи оценочных высказываний;
4) вероятностная логика, использующая теорию вероятности для анализа проблематичных рассуждений.
В сферу этих, а также некоторых других направлений неклассической логики вовлекается не только математика, но также естественные и гуманитарные науки. Однако, несмотря на эту тенденцию, классическая логика по—прежнему имеет большое практическое и теоретическое значение.14 МНОГОЗНАЧНАЯ ЛОГИКА
Классическая логика основывается на принципе, согласно которому каждое высказывание является либо истинным, либо ложным. Это так называемый принцип двузначности. Логику, основанную на этом принципе, называют двузначной. Ей противопоставляют многозначные системы. В последних наряду с истинными и ложными утверждениями допускаются также разного рода неопределенные суждения, учет которых не только усложняет, но и меняет всю картину.
Принцип двузначности был известен еще Аристотелю, которые не считал его объективным. Философ утверждал, что этот принцип не реализуется в утверждениях о будущей ситуации, зависящей от воли человека, и поэтому не являющейся ни истинной, ни ложной. Этот подход вызывал ожесточенные споры. Так, Эпикур соглашался с Аристотелем и высоко оценивал его подход. В то же время древнегреческий логик Хрисипп категорически отрицал принцип многозначности, не соглашаясь с Аристотелем.
В более позднее время положение, что любое высказывание либо истинно, либо ложно, оспаривалось многими логиками. Это было связано с невозможностью применения данного принципа к несуществующим, неустойчивым или ненаблюдаемым объектам.
Первые современные многозначные логики создали независимо друг от друга польский логик Я. Лукасевич в 1920 г. и американский логик Э. Пост в 1921 г. Лукасевичем была предложена трехзначная логика, основанная на предположении, что высказывания бывают истинными, ложными и возможными, или неопределенными. Все законы трехзначной логики Лукасевича оказались также законами классической логики, однако обратное утверждение смысла не имело. Ряд классических законов в трехзначной логике отсутствовал. Среди них оказались закон противоречия, закон исключенного третьего, закон косвенного доказательства и ряд других.
Э. Пост, в отличие от Я. Лукасевича, подошел к построению многозначной логики исключительно формально. Он предложил следующие обозначения: 1 – истина, 0 – ложь, все же числа, находящиеся в промежутке между этими значениями, обозначают определенную степень истинности.
В настоящее время построен ряд систем многозначной логики и разрабатывается общая теория этих систем. Разработка систем многозначной логики имеет целью решение различных конкретных задач научного исследования, как общечеловеческих, так и специально научных. Например, трехзначная и четырехзначная логики высказывания Я. Лукасевича строились с целью создания модальной логики, трехзначное исчисление Д. А. Бочвара – с целью разрешения парадоксов классической математической логики. Следует также отметить приложение многозначной логики к обоснованию квантовой механики и к теории релейных схем.15 ИНТУИЦИОНИСТСКАЯ ЛОГИКА
В 1908 г. Л. Брауэром были заложены основания интуиционистской логики. Это направление неклассической логики основано на принципе интуиционизма.
Интуиционизм признает главным и единственным критерием правомерности методов и результатов логики ее интуитивную – наглядно—содержательную убедительность (интуицию). Данное понятие заключается в двух положениях:
1) процессе умственного построения всех логических объектов;
2) отказе от использования абстракции актуальной бесконечности.
Главным объектом критики интуиционистской логики стал классический закон исключенного третьего. Л. Брауэр полагал, что, возникнув в конечном множестве объектов, закон исключенного третьего впоследствии был распространен на бесконечные множества, в результате чего проверить, обладают ли все предметы определенным свойством или нет, не является возможным.
Еще одним важным положением интуиционистской логики было отрицание существования логики вне рамок математики. По мнению интуи—ционистов логика возникла вместе с математикой.
Чтобы избежать парадоксов, математическое доказательство должно основываться не на логической строгости, а на интуитивной очевидности: оно достоверно при условии интуитивного понимания каждой его ступени начиная
с исходных посылок и правил рассуждения. Таким образом, о применимости в доказательстве тех или иных законов логики в конечном счете также должна судить интуиция. Однако при этом интуиционизм не противопоставляет интуицию логике, а развивает понимание логики исключительно как части математики.
Одним из направлений интуиционистской логики является конструктивная логика. Основная идея конструктивной логики заключается в запрещении переносить на бесконечные множества принципы, верные для конечных множеств (например, положение о том, что целое больше частного). Само понятие «бесконечность» конструктивная логика также трактует отлично от классической. Если в последней бесконечность – завершенное понятие, то в первой она является потенциальной и становящейся. Для конструктивной логики характерно индуктивное построение объектов и логико—математических теорий в целом. В рамках конструктивной логики был разработан специальный прием исследования – конструктивный метод. Он противопоставлялся аксиоматическому методу и основан на так называемых