1) по логическому и фактическому объему;
2) по конгломеративности элементов объема;
3) по характеру элементов объема. Классификация понятий по первому основанию подразумевает разделения логического и фактического объема.
Логический объем – это множество предметов, мыслимых в понятии независимо от того, существуют ли они реально.
Фактический объем – это множество реальных предметов, обладающих всеми признаками, включенными в содержание понятия. Так, например, фактический объем понятия «кентавр» пуст, поскольку в реальности не существует кентавров. Однако логический объем этого понятия не пуст, так как образ кентавра хорошо известен. Существуют понятия, у которых пуст и логический объем. Существование таких понятий невозможно в принципе, например, понятие круглый «квадрат». Такие понятия называются нулевыми, или пустыми.
По второму основанию понятия делятся на собирательные и несобирательные. Объемом собирательного понятия является группа однородных предметов, мыслимая как единое целое. Если элемент объема является единичным предметом, то понятие несобирательное. Так, понятие «алфавит» является собирательным, а понятие «буква» – несобирательным.
По третьему основанию понятия делятся на конкретные и абстрактные. Элементом конкретных понятий выступает конкретный предмет или их совокупность как нечто самостоятельно существующее («треугольник», «остров», «идеал»). Элементом абстрактных понятий служит не предмет, а один из его признаков (свойств, отношений), взятый отдельно от предмета. Например, «справедливость», «равенство», «руководство» – абстрактные понятия.
Содержание понятия обусловливает разделение понятия по двум основаниям:
1) наличию отрицательного признака в содержании;
2) характеру признаков содержания.
По первому основанию понятия делятся на отрицательные и положительные. Содержание положительных понятий составляет свойства, присущие предмету. Например, «добросовестность», «изучающий логику». В содержании отрицательных понятий указывается на отсутствие у предмета определенных свойств, например, «невозможность», «не умеющий петь».
Наконец, по второму основанию понятия делятся на относительные и безотносительные. В относительных понятиях мыслятся предметы, предопределяющие существование другого предмета. Например, «родители» – «дети», «автор» – «произведение». В безотносительных понятиях мыслятся изолированные, существующие сами по себе предметы. Например, «образование», «демонстрация».28 ОТНОШЕНИЯ МЕЖДУ СОВМЕСТИМЫМИ ПОНЯТИЯМИ
Так как все предметы находятся во взаимосвязи, то и понятия, которые их обозначают, также находятся в определенных отношениях. Отношения устанавливаются только между сравнимыми понятиями. Сравнимыми называются понятия, отражающие некоторые общие существенные признаки предмета или класса однородных предметов. Отношения между понятиями делятся на два основных типа: совместимые или несовместимые. Объем совместимых понятий совпадает полностью либо частично.
Отношения между понятиями принято представлять с помощью круговых схем, которые впервые предложил Леонардо Эйлер (1707–1783) – швейцарский математик, живший в России. Каждый круг в этих схемах обозначает понятие, а каждая точка внутри круга – предмет, входящий в него.
Между понятиями совместимого типа существуют три вида отношений: эквивалентность, подчинение и перекрещивание (пересечение).
Эквивалентность. В отношениях эквивалентности находятся понятия, объемы которых
Эквивалентность родных предметов. Например,Рис. 1.
полностью совпадают (рис. 1). В таких предметах мыслится один и тот же предмет или класс однородных предметов. Различие заключается в содержании данных понятий, так как каждое из них отражает только определенный признак данного предмета или класса одноэквивалентными будут понятия «дочь» и «внучка». Чтобы установить это, необходимо составить два истинных утверждения: «Каждая дочь – внучка» и «Каждая внучка – дочь».
Перекрещивание (пересечение).
В отношении пересечения находятся понятия, объемы которых частично совпадают (рис. 2). Частично совпадет и содержание данных понятий. Например, в отношении пересечения будут находиться понятия «музыкант» и «студент». Это можно доказать, составив два истинных суждения: «Только некоторые музыканты – студенты» и «Только некоторые студенты – музыканты»
Рис. 2. Перекрещивание (пересечение)
Подчинение. В отношении подчинения находятся совместимые понятия, объем одного из которых составляет часть другого (рис. 3). Например, в отношении подчинения будут находиться понятия «энциклопедия» и «книга».
Понятия, вступающие в отношения подчинения, имеют свои статусы. Понятие с большим объемом называется родовым, или родом, по отношению к понятию с меньшим объемом, которое называется видовым, или видом. Если в отношения подчиненности вступают общее и единичное понятия, то общее понятие называют видом, а единичное – индивидом.
Рис. 3. Подчинение29 ОТНОШЕНИЯ МЕЖДУ НЕСОВМЕСТИМЫМИ ПОНЯТИЯМИ. ОТНОШЕНИЯ МЕЖДУ ПУСТЫМИ ПОНЯТИЯМИ
Объемы несовместимых понятий не совпадают ни в одном элементе, однако могут быть включены частично или полностью в объем общего для них понятия. Отношения между несовместимыми понятиями также делятся на три вида: противоречие, противоположность и соподчинение.
Противоречие. В отношении противоречия находятся понятия, которые являются видами одного и того же рода, причем одно понятие указывает на эти признаки, а другое их отрицает (рис. 4). Таким образом, в отношения противоречия обычно вступают отрицательное и положительное понятия. В сумме эти понятия исчерпывают весь родовой объем рода, видами которого они являются. Например, А – известный и не – А – неизвестный, где родовое понятие В – факт.
Рис. 4. Противоречие
Противоположность. Отношения противоположности складываются между понятиями, которые являются видами одного и того же рода, и при этом одно из них содержит какие—либо признаки, а другое заменяет эти признаки противоположными. Например, А – «низкий общий результат», В – «высокий общий результат», где родовое понятие С – «общий результат». Таким образом, противоположные понятия составляют часть объема общего для них родового понятия. Слова, выражающие противоположные понятия, называются антонимами.
Рис. 5. Противоположность
Соподчинение. В отношении соподчинения находятся два или более неперекрещивающихся понятия, принадлежащих общему родовому понятию (рис. 6).
Соподчиненные понятия А и В – это виды одного рода С , у них общий родовой признак, но различные видовые признаки. Например, А – «футболист», В – «баскетболист», С – «спортсмен».
Рис. 6. Соподчинение
Следует отметить, что несовместимость устанавливается практически только в общем виде. Различить же противоречия, соподчинения и противоположности можно лишь на уровне содержания.
Следует отметить, что отношения не возникают между пустыми, не имеющими объема понятиями. Такие понятия всегда находятся в отношении равнозначности, так как не существуют в реальности. Например, понятие «круглый треугольник» равнозначно понятию «треугольный четырехугольник». При этом объем пустого понятия всегда включается в объем любого непустого понятия.
Теория отношения между понятиями имеет важное теоретическое и практическое значение. Определение понятий между отношениями позволяет не только производить дальнейшие операции с ними, но и решает определенные задачи, возникающие в процессе обучения и исследования.30 ОПЕРАЦИИ С КЛАССАМИ
Проведение операций с классами обусловливается необходимостью установления отношения между понятиями с труднопредставляемым объемом и понятиями со сложным содержанием.
Так как именно данные операции позволяют четко выделить и зафиксировать объем. Существуют четыре вида операций с классами: объединение, пересечение, вычитание и дополнение.
Операция объединения двух классов, например А и В (АиВ), состоит в образовании класса, включающего все элементы А и элементы В. Объединение класса целых яблок с классом половинок яблок даст класс, куда будут входить все целые яблоки и все половинки яблок. Объединение класса кобр с классом змей даст класс змей, поскольку все кобры уже в него включены. Наконец, объединение класса российских ученых с классом ученых—химиков даст класс, состоящий из всех российских ученых и ученых—химиков.
Операция пересечения двух классов, например, А и В (АПВ), состоит в создании класса, включающего все те и только те элементы, которые входят в А и В одновременно. Пересечение класса российских ученых с классом ученых—химиков даст класс российских ученых—химиков. Пересечение класса кобр с классом змей даст класс кобр. А пересечение класса целых яблок с классом половинок яблок даст пустой класс, так как яблоко не может быть одновременно и целым, и половинкой.
Операция вычитания класса А из класса В (А\В) дает класс, состоящий из всех тех и только тех элементов А, которые не являются элементами В. При вычитании класса российских ученых из класса ученых—химиков получится класс нероссийских ученых—химиков, а при вычитании класса ученых—химиков из класса российских ученых получится класс российских ученых, которые не занимаются химией.
При вычитании класса кобр из класса змей результатом будет класс змей, которые не являются кобрами, а вычитание из класса кобр класса змей приведет к пустому множеству, потому что все кобры по своим основным признакам являются змеями.
Дополнением к классу А является класс, который состоит из всех тех и только тех элементов, которые не входят в А. Чтобы осуществить этот процесс, необходимо вычесть из универсального класса