основаниями истинности.
5. 11. Если основания истинности, общие для некоторого количества предложений, представляют – в то же время основания истинности некоторого определенного предложения, то мы говорим, что истинность этого предложения следует из истинности упомянутых предложений.
5. 12. В частности, истинность предложения «p» следует из истинности другого – «q», если все основания истинности второго являются основаниями истинности первого.
5. 121. Основания истинности одного содержатся в основаниях истинности другого; р следует из q.
5. 122. Если р следует из q, то смысл «р» содержится в смысле «q».
5. 123. Если бог создает мир, в котором истинны некоторые определенные предложения, то он тем самым создает мир, в котором верны предложения, следующие из них. И подобно этому, он не мог бы создавать такого мира, в котором предложение «р» было бы истинно, не создавая всей совокупности его объектов.
5. 124. Предложение утверждает каждое предложение, следующее из него.
5. 1241. «p. q» есть одно из тех предложений, которые утверждают «р» и которые в то же время утверждают «q». Два предложения друг другу противоположны, если нет осмысленного предложения, которое утверждает их обоих. Каждое предложение, которое противоречит другому, отрицает его.
5. 13. Тот факт, что истинность одного предложения следует из истинности других предложений, мы усматриваем из структуры предложений.
5. 131. Если истинность одного предложения следует из истинности других, то это выражается теми отношениями, в которых находятся между собой формы этих предложений; и мы не нуждаемся в том, чтобы ставить их в эти отношения, связывая предварительно друг с другом в одно предложение, так как эти связи являются внутренними и существуют постольку, и лишь постольку, поскольку существуют эти предложения.
5. 1311. Если мы заключаем от р V q и ~р к q, то отношение между формами предложений «p\/q» и «~р» здесь затемняется способом обозначения. Но если мы, например, вместо «pVq» напишем «р / q – /- р / q и вместо «~р» – «~p/р» (р/q==ни р, ни q), тo внутренняя связь станет очевидной. (Тот факт, что можно заключить от (x) fx к fa, показывает, что общность существует также и в символе « (x) fx».)
5. 132. Если р следует из q, то я могу заключить от q к р; вывести р из q. Способ вывода всегда познается из обоих предложений. Только они могут оправдывать вывод. «Законы вывода», которые должны – как у Фреге и Рассела – оправдывать выводы, не имеют смысла и были бы излишни.
5. 133. Все выводы происходят априори.
5. 134. Из одного элементарного предложения не может следовать никакое другое.
5. 135. Никаким образом нельзя заключать из существования какого-либо одного положения вещей о существовании другого, полностью отличного от первого.
5. 136. Нет причинной связи, которая оправдывает подобный вывод.
5. 1361. События будущего не могут выводиться из событий настоящего. Вера в причинную связь есть предрассудок.
5. 1362. Свобода воли состоит в том, что будущие действия сейчас не могут быть познаны. Мы могли бы их знать только в том случае, если причинность была бы внутренней, необходимостью, как и необходимость логического вывода. Связь здания и познанного есть связь логической необходимости. («А знает, что р имеет место» не имеет смысла, если р есть тавтология.)
5. 1363. Если из того, что предложение для нас очевидно, не следует, что оно истинно, то очевидность также не является оправданием для нашей веры в его истинность.
5. 14. Если какое-либо предложение следует из другого, то последнее говорит больше, чем первое; первое меньше, чем последнее.
5. 141. Если р следует из q и q из р, то они являются одним и тем же предложением.
5. 142. Тавтология следует из всех предложений: она ничего не говорит.
5. 143. Противоречие есть то общее у предложений, что ни одно предложение не имеет общим с другими. Тавтология есть общее всех тех предложений, которые не имеют друг с другом ничего общего. Противоречие исчезает, так сказать, вне всех предложений, тавтология – внутри них. Противоречие есть внешняя граница предложений, тавтология – их лишенный субстанции центр.
5. 15. Если Иr – количество оснований истинности предложения «r», а Иrs – количество тех оснований истинности предложения «s», которые одновременно являются основаниями истинности «r», то мы назовем отношение Иrs: Иr мерой вероятности, которую предложение «r» дает предложению «s».
5. 151. Пусть в схеме, подобной той, которая приведена выше за № 5. 101, Иr – количество «И» в предложении «r»; Иrs – количество тех «И» в предложении s, которые стоят в одинаковых столбцах с «И» предложения r. Тогда предложение « r « дает предложению «s» вероятность Иrs: Иr.
5. 1б11. Нет никакого особого объекта, свойственного вероятностным предложениям.
5. 152. Предложения, которые не имеют общих друг с другом аргументов истинности, мы называем независимыми друг от друга. Два элементарных предложения дают друг другу вероятность 1/2. Если р следует из q, то предложение q дает предложению «р» вероятность 1. Достоверность логического вывода есть предельный случай вероятности. (Применение к тавтологии и противоречию.)
5. 153. Предложение само по себе ни вероятно, ни невероятно. Событие наступает или не наступает; среднего не дано.
5. 154. В урне было одинаковое количество белых и черных шаров (и только их). Я вытаскиваю один шар за другим и кладу их в урну обратно. Тогда я могу установить опытом, что число вынутых черных и белых шаров приближается друг к другу при постоянном вынимании. Это, следовательно, не математический факт. Если я теперь говорю: одинаково вероятно, что я вытяну-как белый шар, так и черный, то это означает: все известные мне обстоятельства (включая и гипотетически принимаемые естественные законы) придают наступлению одного события не больше вероятности, чем наступлению другого. Это означает, что они дают – как легко понять из вышеприведенных разъяснений – каждому событию вероятность, равную 1/2. Проверить я могу только то, что наступление этих двух событий не зависит от обстоятельств, которых я не знаю более подробно.
5. 155. Единица вероятностного предложения такова: обстоятельства – о которых я больше ничего не знаю – дают наступлению определенного события такую-то и такую-то степень вероятности.
5. 156. Таким образом, вероятность есть обобщение. Она включает общее описание формы предложения. Только за неимением достоверности мы нуждаемся в вероятности. Когда мы знаем факт не полностью, но, однако, знаем что-то о его форме. (Хотя предложение, действительно, может быть не полным образом определенного положения вещей, но оно всегда какой-нибудь полный образ.) Вероятностное предложение является как бы извлечением из других предложений.
5. 2. Структуры предложении стоят друг к другу во внутренних отношениях.
5. 21. Мы можем подчеркнуть эти внутренние отношения в нашем способе выражения, изображая предложение как результат операции, которая образует его из других предложений (оснований (Basen) операций).
5. 22. Операция есть выражение отношения между структурами их результатов и их оснований.
5. 23. Операция есть то, что должно произойти с предложением, чтобы образовать из него другие.
5. 231. И это, естественно, зависит от их формальных свойств, от внутреннего подобия их форм.
5. 232. Внутреннее отношение, упорядочивающее ряд, эквивалентно операции, благодаря которой один член возникает из другого.
5. 233. Операция впервые может выступать там, где одно предложение возникает из другого логически значимым способом, т. е. там, где начинается логическая конструкция предложения.
5. 234. Функции истинности элементарных предложений являются результатами операций, которые имеют своими основаниями элементарные предложения. (Эти операции я называю операциями истинности.)
5. 2341. Смысл функции истинности р есть функция смысла р. Отрицание, логическое сложение, логическое умножение и т. д. – суть операции. (Отрицание делает противоположным смысл предложения.)
5. 24. Операция проявляется в переменной; она показывает, как из одной формы предложения можно получить другую. Она дает выражение различию форм. И общим между основаниями и результатом операции как раз и являются сами основания.
5. 241. Операция характеризует не форму, а только различие форм.
5. 242. Та же самая операция, которая выводит «q» из «p», выводит из «q» из «p» и так далее. Это может быть выражено только тем, что «р», «q», «r» и т. д. Являются переменными, которые дают общее выражение определенным формальным отношениям.
5. 25. Наличие операции не характеризует смысла предложения. Операция ведь ничего не утверждает, утверждает только ее результат, а это зависит от оснований операции. (Операцию и функцию не следует путать друг с другом.)
5. 251. Функция не может быть своим собственным аргументом, а результат операции может быть ее собственным основанием.
5. 252. Только так возможен переход от члена к члену в формальном ряду (от типа к типу в иерархии Рассела и Уайтхеда). (Рассел и Уайтхед не признавали возможности этого перехода, но всегда его употребляли.)
5. 2521. Повторное применение операции к своему собственному результату я называю ее последовательным применением («0' 0' 0', а») есть результат трехразового последовательного применения «0' « к «а»). В подобном же смысле я говорю о последовательном применении