Вот еще несколько примеров разложения чисел:
42 = 7 х 6
63 = 9 х 7
84 = 7 х 6 х 2 или 7 х 4 х 3
Чтобы посмотреть, как разложение облегчает процесс умножения, рассмотрим следующий пример.
Ранее мы решали его путем умножений 46 х 40 и 46 х 2 и последующего сложения сумм. Чтобы использовать метод разложения, представим 42 как 7 х 6 и начнем с умножения 46 х 7, что равняется 322. Затем умножим 322 х 6 и получим ответ 1932. Вы знаете, как решать задачи на умножение типа «2 на 1» и «3 на 1», так что решить этот пример для вас не составит труда.
46 х 42 = 46 х (7 х 6) = (46 х 7) х 6 = 322 х 6 = 1932.
Конечно, множители при разложении числа 42 можно поменять местами:
46 х 42 = 46 х (6 х 7) = (46 х 6) х 7 = 276 х 7 = 1932.
В данном примере легче умножить 322 х 6, чем 276 х 7. Чаще всего я предпочитаю использовать больший множитель при решении исходной задачи типа «2 на 1» и сохраняю меньший множитель для его применения в случае задачи «3 на 1». Разложение упрощает задачу на умножение типа «2 на 2» до более легкой задачи типа «3 на 1» (иногда даже до «2 на 1»).
Преимущество этого метода разложения для устных вычислений состоит в том, что вам не приходится слишком многое держать в памяти. Рассмотрим другой пример 75 х 63.
75 х 63 = 75 х (9 х 7) = (75 х 9) х 7 = 675 х 7 = 4725.
Как и прежде, вы упрощаете этот пример типа «2 на 2» путем разложения 63 на 9 х 7 и затем умножаете 75 на эти числа.
(Кстати, мы можем переставить скобки во втором шаге вычислений по ассоциативному, или сочетательному, закону умножения.)
63х75 = 63х(5х5х3) = (63х5)х5х3 = 315x5x3 = 1575x3 = 4725.
Потренируйтесь на следующем примере:
57 х 24 = 57 х 8 х 3 = 456 х 3 = 1368.
Здесь можно разложить 24 как 6 х 4 для перехода к другому простому варианту вычислений:
57 х 24 = 57 х 6 х 4 = 342 х 4 = 1368.
Сравните данный подход с методом сложения.
В рамках метода сложения необходимо решить две задачи на умножение типа «2 на 1», а затем суммировать результаты.
При использовании метода разложения вам нужно выполнить только два действия на умножение типа «2 на 1» и «3 на 1». Метод разложения обычно снисходителен к вашей памяти.
Помните ту трудную задачу на умножение из предыдущей части этой главы? Вот она:
Мы решили ее достаточно легко с помощью метода вычитания, но разложение работает еще быстрее:
89 х 72 = 89 х 9 х 8 = 801 х 8 = 6408.
Задача существенно облегчается тем, что в середине числа 801 находится 0. Следующий пример показывает, что поиск варианта разложения чисел, позволяющего воспользоваться подобной ситуацией (когда есть 0 в середине числа), часто бывает оправданным. Рассмотрим два способа вычисления 67 х 42.
67 х 42 = 67 х 7 х 6 = 469 х 6 = 2814.
67 х 42 = 67 х 6 х 7 = 402 х 7 = 2814.
Обычно 42 раскладывают как 7 х 6, следуя правилу «используй больший множитель в первую очередь». Но задачу легче решить, разложив 42 как 6 х 7, поскольку это приводит к созданию числа с 0 в середине, что облегчает умножение.
Я называю такие числа дружелюбными произведениями.
Ниже поиск дружелюбного произведения проведен в процессе умножения двумя способами.
43 х 56 = 43 х 8 х 7 = 344 х 7 = 2408.
43 х 56 = 43 х 7 х 8 = 301 х 8 = 2408.
Не показался ли вам второй вариант более легким?
Применяя метод разложения, выгодно отыскивать дружелюбные произведения везде, где только можно. Следующий список должен в этом помочь. Я жду от вас не столько его запоминания, сколько простого ознакомления с ним.
Практикуясь, вы научитесь интуитивно определять дружелюбные произведения, и этот список станет для вас хорошим подспорьем.
Числа с дружелюбными произведениями
12: 12 х 9 = 108.
13: 13 х 8 = 104.
15: 15 х 7 = 105.
17: 17 х 6 = 102.
18: 18 х 6 = 108.
21: 21 х 5 = 105.
23: 23 х 9 = 207.
25: 25 х 4 = 100, 25 х 8 = 200.
26: 26 х 4 = 104, 26 х 8 = 208.
27: 27 х 4 = 108.
29: 29 х 7 = 203.
34: 34 х 3 = 102, 34 х 6 = 204, 34 х 9 = 306.
35: 35 х 3 = 105.
36: 36 х 3 = 108.
38: 38 х 8 = 304.
41: 41 х 5 = 205.
43: 43 х 7 = 301.
44: 44 х 7 = 308.
45: 45 х 9 = 405.
51: 51 х 2 = 102, 51 х 4 = 204, 51 х 6 = 306, 51 х 8 = 408.
52: 52 х 2 = 104, 52 х 4 = 208.
53: 53 х 2 = 106.
54: 54 х 2 = 108.
56: 56 х 9 = 504.
61: 61 х 5 = 305.
63: 63 х 8 = 504.
67: 67 х 3 = 201, 67 х 6 = 402, 67 х 9 = 603.
68: 68 х 3 = 204, 68 х 6 = 408.
72: 72 х 7 = 504.
76: 76 х 4 = 304, 76 х 8 = 608.
77: 77 х 4 = 308.
78: 78 х 9 = 702.
81: 81 х 5 = 405.
84: 84 х 6 = 504.
88: 88 х 8 = 704.
89: 89 х 9 = 801.
Ранее в этой главе вы обучились легкому способу умножать числа на 11. Он применим в методе разложения в ситуации, когда один из множителей равен 11, как в данном примере.
52 х 33 = 52 х 11 х 3 = 572 х 3 = 1716.
83 х 66 = 83 х 11 х 6 = 913 х 6 = 5478.
Я уже упоминал в начале главы, что решать задачи на умножение — одно удовольствие, так как это можно сделать любым количеством способов. Теперь, когда вы поняли, что я имею в виду, применим все три метода, приведенные в этой главе, к одной задаче. Начнем с метода сложения.
Теперь метод вычитания.
Обратите внимание, что две последние цифры могут быть получены путем сложения 50 + (дополнение для 73), то есть 50 + 27 = 77, или путем вычисления дополнения для разности 73 и 50; дополнение для 23 = 77.
И наконец, метод разложения:
73 х 49 = 73 х 7 х 7 = 511 х 7 = 3577.
Поздравляю! Вы освоили умножение типа «2 на 2» и теперь обладаете всеми необходимыми базовыми навыками для быстрых устных вычислений. Все, что вам нужно для превращения в молниеносного вычислителя, — это больше практики!
УПРАЖНЕНИЕ:
УМНОЖЕНИЕ ТИПА «2 НА 2» ЛЮБЫМ СПОСОБОМ!
У этих упражнений есть несколько вариантов решения. Попробуйте выполнять вычисления столькими способами, сколько вспомните. Затем сверьте свои ответы с данными в конце книги. Наши ответы предлагают различные магические пути решения задач, начиная с самых простых.
Следующие задачи типа «2 на 2» представляют собой подзадачи более сложных задач типа «3 на 2», «3 на 3» и «5 на 5», с которыми вы встретитесь позже. Вы можете решать их сейчас, чтобы поупражняться, а затем снова обратиться к ним, когда они будут включены в большие примеры.
Возведение в квадрат трехзначных чисел — впечатляющее проявление искусности в ментальном фокусничестве. Так же как при возведении в квадрат двузначного числа выполняется его округление в большую или меньшую сторону для получения кратного 10, для возведения трехзначного числа в квадрат его нужно округлить в большую или меньшую сторону для получения кратного 100. Возведем в квадрат число 193.
Путем ок ругления 193 до 200 (второй сомножитель стал равным 186) задача типа «3 на 3» преобразовалась в более простую типа «3 на 1», так как 200 х 186 — это всего лишь 2 х 186 = 372 с двумя нулями в конце. Почти готово! Теперь все, что нужно сделать, это прибавить 72 = 49 и получить ответ — 37 249.
Попробуем возвести в квадрат 706.
При округлении числа 706 до 700 необходимо еще и изменить это же число на 6 в большую сторону для получения 712.
Так как 712 х 7 = 4984 (простая задача типа «3 на 1»), 712 х 700 = = 498 400. Прибавив 62 = 36, получаем 498 436.
Последние примеры не так уж страшны, потому что не включают в себя сложения как такового. Кроме того, вы наизусть знаете, чему равняются 62 и 72. Возводить в квадрат число, которое отстоит от кратного 100 больше чем на 10 единиц, значительно труднее. Попробуйте свои силы с 3142.
В этом примере число 314 уменьшилось на 14 ради округления до 300 и увеличилось на 14 до 328. Умножаем 328 х 3 = 984 и добавляем два нуля в конце, чтобы получить 98 400. Затем прибавляем квадрат 14. Если вам мгновенно приходит на ум (благодаря памяти или быстрым вычислениям), что 14 2 = 196, то вы в хорошей форме. Далее просто сложите 98 400 + 196 для получения окончательного ответа 98 596.
Если вам нужно время для подсчета 142, повторите «98 400» несколько раз, прежде чем продолжить. Иначе можно вычислить 142 = 196 и забыть, к какому числу нужно прибавить произведение.
Чем дальше число, возводимое в квадрат, отстоит от кратного 100, тем сложнее становятся вычисления. Попробуйте возвести в квадрат 529.
Если у вас есть аудитория, которую вы хотели бы впечатлить, можете произнести вслух «279 000», прежде чем найдете 292. Но такое не пройдет в случае каждой решаемой задачи.
Например, попытайтесь возвести в квадрат 636.
Теперь ваш мозг по-настоящему заработал, не правда ли?
Не забывайте повторять «403 200» самому себе несколько раз, пока будете возводить в квадрат привычным способом 36, чтобы получить 1296. Самое сложное — суммировать 1296 + 403 200. Делайте это по одной цифре за раз, слева направо, и получите ответ 404 496. Даю слово, что, как только вы лучше ознакомитесь с возведением в квадрат двузначных чисел, задачки с трехзначными значительно упростятся.