Разделим обе части на x и получим, что x–1 должен равняться 1/x. По той же причине x–2 = 1/x², x–3 = 1/x³ и т. д.
Применение закона к целым величинам дает
Следовательно, умножая x½ на x½, мы получаем x, а это значит, что x½ = √x (при условии, что x является положительным числом).
Вычисление Y (и Х, само собой!)
Предлагаю закончить главу тем же, с чего мы начинали – с алгебраической магии.
Шаг номер 1. Задумайте два числа от 1 до 10.
Шаг номер 2. Сложите их между собой.
Шаг номер 3. Умножьте сумму на 10.
Шаг номер 4. Прибавьте большее из загаданных чисел.
Шаг номер 5. Теперь вычтите меньшее.
Шаг номер 6. Скажите мне результат, и я назову оба загаданных вами числа.
Хотите – верьте, хотите – нет, но одного этого достаточно, чтобы узнать, с чего все начиналось. Например, если в результате получилось число 126, значит, скорее всего, вы загадали 9 и 3. Даже если повторить этот фокус несколько раз подряд, изумленная аудитория вряд ли догадается, как вы это делаете.
А секрет вот в чем. Чтобы узнать большее число, возьмите последнюю цифру результата (в нашем случае это 6), прибавьте к предшествующему ей числу (то есть 12) и разделите на 2. Так мы узнаем, что первое число – (12 + 6)/2 = 18/2 = 9. Второе число можно найти, вычтя из первого (9) последнюю цифру ответа, то есть 9 – 6 = 3.
Вот еще пара примеров – попрактиковаться. При ответе 82 большее из загаданных чисел – (8 + 2)/2 = 5, меньшее – 5 – 2 = 3. При ответе 137 большее – (13 + 7)/2 = 10, меньшее – 10 – 7 = 3.
Как же все-таки это работает? Допустим, загаданные вами числа – это X и Y, при этом X больше или равен Y. Согласно алгебраическим методам и инструкциям, показанным в таблице, мы увидим, что после пятого шага получается 10(X + Y) + (X – Y).
И какой от этого толк, спросите вы? Обратите внимание, что число, получающееся после 10(X + Y) будет обязательно заканчиваться на 0, а цифра (или цифры) перед этим нолем – сумма X + Y. Так как X и Y у нас находятся в пределах от 1 до 10, а X больше или равен Y, разность X – Y неизбежно будет однозначным числом (от 0 до 9). Это означает, что последней цифрой результата будет число, равное X – Y. Например, если вы загадывали 9 и 3, X = 9, а Y = 3. Значит, результат после пятого шага должен начинаться с X + Y = 9 + 3 = 12, а заканчиваться X – Y = 9 – 3 = 6, дающими вместе 126. А раз уж мы знаем X + Y и X – Y, мы можем взять их среднее арифметическое, чтобы получить ((X + Y) + (X – Y))/2 = X. В поисках Y мы можем посчитать ((X + Y) – (X – Y))/2 (в нашем случае – (12 – 6)/2 = 6/2 = 3), но мне куда более легким способом кажется просто взять большее число и вычесть из него последнюю цифру ответа (то есть 9 – 6 = 3), потому что X – (X – Y) = Y.
Если вы хотите еще немного пощекотать нервы себе и своему зрителю, чья рука – гарантирую вам – немедленно потянется за калькулятором, попросите его загадать любые два числа от 1 до 100. И следуйте тем же инструкциям с одним лишь небольшим изменением: в третьем шаге попросите умножить результат не на 10, а на 100. То есть если ваш зритель, например, начал с 42 и 17, после пятого шага у него должно получиться 5925. Ответ вы можете составить, взяв из остатка две последние цифры и подсчитав их среднее арифметическое. Большим числом здесь будет (59 + 25)/2 = 84/2 = 42. А чтобы узнать меньшее, вычтите из большего две последние цифры ответа, в нашем случае – 42 – 25 = 17, искомое число. Объяснение будет по большому счету таким же, что и ранее – единственным исключением станет процедура после пятого шага: ответ будет 100(X + Y) – (X – Y), где X – Y – две последние цифры результата.
Еще один пример: если ответ получился 15 222 (то есть X + Y = 152, а X – Y = 22), большее из загаданных чисел – это (152 + 22)/2 = 174/2 = 87, а меньшее – 87 – 22 = 65.
Глава номер триМагия 9
Самое магическое число
В детстве любимым моим числом была девятка: ее магия мне казалась бесконечной, неисчерпаемой. Просто следуйте следующим инструкциям и увидите все сами:
1. Задумайте число от 1 до 10 (или выберите большее целое число; если хочется, можете воспользоваться калькулятором).
2. Умножьте его на 3.
3. Прибавьте 6.
4. Снова умножьте на 3.
5. Теперь на 2, если хотите.
6. Сложите между собой цифры своего числа. Если в результате у вас получилось однозначное число, остановитесь.
7. А если двузначное, снова сложите между собой цифры своего результата.
8. Сконцентрируйтесь на ответе.
У меня стойкое ощущение, что у вас получилось 9. Правильно? Если нет – проверьте свои вычисления.
Что такого волшебного в девятке? Именно об этом мы и поговорим в этой главе; а еще мы заглянем в параллельное измерение, в котором числа 12 и 3 функционально друг от друга ничем не отличаются. Первое магическое свойство числа 9 становится явным, когда смотришь на ряд получаемых от него произведений:
Что общего между этими числами? Если вы сложите между собой цифры каждого из них, вы гарантированно получите 9. Давайте проверим: 18 состоит из 1 + 8 = 9, 27 – из 2 + 7 = 9, а, например, 144 – из 1 + 4 + 4 = 9. Постойте-ка, вроде есть одно исключение – 99. Сумма его цифр – 18, но 18 – это произведение 9 и 2. Вывод, который мы сделаем, может быть, и знаком вам по начальной школе. Чуть позже в этой главе мы приведем его объяснение. Так вот:
Например, если цифры числа 123 456 789 в сумме дают 45 (которое кратно 9), оно также кратно 9. А 314 156, сумма цифр которого равна 23 (которое на 9 не делится), таковым, наоборот, не является.
Чтобы понять, как это правило связано с фокусом, которым мы начали эту главу, и в чем, собственно говоря, его суть, обратимся к алгебре. Вы начали с определенного числа – назовем его N. После его утроения мы получим 3N, которые после следующего шага превращаются в 3N + 6. Повторное утроение дает нам 3(3N + 6) = 9N + 18, что равно 9(N + 2). Если вы это удвоили, у вас будет 18N + 36 = 9(2N + 4), если нет – в результате фигурирует произведение целого числа на 9, и вы в любом случае закончите числом, кратным 9. Сложив между собой его цифры, вы снова получите кратное 9 число (скорее всего, 9, 18, 27 или 36), сумма цифр которого должна опять же быть равна 9.
А вот другая разновидность того же фокуса – не менее мной любимая. Попросите кого-нибудь вооружиться калькулятором и загадать одно из следующих четырехзначных чисел:
Числа эти взяты не просто так: 3141 – первые четыре цифры числа π (см. главу 8), 2718 – первые четыре цифры числа e (см. главу 10), 2358 – цифры, соответствующие числам из последовательности Фибоначчи (см. главу 5), 9999 – самое большое из четырехзначных чисел. Затем нужно умножить выбранное вами число на любое трехзначное. Результат получится шести– или семизначным – и это все, что вы можете о нем знать. А теперь мысленно обведем кружком любую цифру ответа – любую, кроме ноля (он и без того похож на кружок!). Попросите своего зрителя назвать вам остальные цифры в любом порядке и сконцентрироваться на неназванной, обведенной кружком. Пора оглашать ответ – но для этого нужно приложить немного усилий.
В чем тут секрет? Начнем с того, что каждое из изначальных четырех чисел кратно 9. А раз вы начинаете с числа, кратного 9, и умножаете его на целое число, ответ тоже будет кратен 9. А еще сумма его цифр должна быть кратна 9. Поэтому надо просто сложить между собой числа, которые вам называют. Неназванная цифра – это число, которое необходимо прибавить к результату, чтобы он стал кратным 9. Например, зритель называет вам цифры 5, 0, 2, 2, 6 и 1. Их сумма равна 16 – до ближайшего числа, кратного 9 – а именно, 18 – не хватает 2. Если вы слышите цифры 1, 1, 2, 3, 5, 8, дающие в сумме 20, то зритель не назвал вам 7 – остаток, который необходимо добавить к 20, чтобы получить 27. А что, если сумма названных вам цифр уже равна 18 – что тогда нужно угадать? Правильно, 9: вы же просили не обводить кружком 0.
Почему же цифры, составляющие числа, кратные 9, в сумме всегда дают числа, тоже кратные 9? Посмотрите на такой пример: число 3456, разложенное на элементы с помощью умножения на 10, выглядит как
Следуя той же логике, любое число, сумма цифр которого кратна 9, само должно быть кратно 9 (и наоборот: любое число, кратное 9, при сложении составляющих его цифр даст нам результат, кратный 9).
Вычисление вычета по модулю 9
А что, если сумма цифр нашего числа все-таки не кратна 9? Возьмем, например, число 3457. Следуя алгоритму, означенному чуть выше, мы можем представить 3457 (сумма цифр которого равна 19) как 3(999) + 4(99) + 5(9) + 7 + 12, то есть 3457 – это 7 + 12 = 19, что чуть больше, чем кратное девятке 18. А если 19 = 18 + 1, значит, и 3457 ровно на единицу больше ближайшего кратного 9 числа. К тому же выводу можно прийти, сложив цифры числа 19, потом – цифры числа 10, то есть вот какая последовательность у нас получается: