Как мы уже упоминали, метрика в общей теории относительности определяется десятью функциями; одна из них является, в сущности, функцией хода, из которой можно определить скорость течения времени. Еще одна функция из десяти показывает, как «раскрывается» пространство в присутствии массивных тел. Остальные восемь функций описывают различные искажения пространства-времени – как в «комнате смеха», где ваше отражение растягивается то в одном, то в другом направлении. Все эти десять функций можно объединить в так называемый метрический тензор, обозначаемый обычно gµν , – не путать с тензором Эйнштейна Gµν!
Геодезические в теории относительности тоже несколько более сложные, чем на кривых поверхностях, отчасти потому, что они бывают трех разновидностей. Пространственноподобная геодезическая – это кратчайший путь между двумя пространственно разделенными точками, как прямое шоссе из Вашингтона в Сан-Франциско. Но, в отличие от шоссе, пространственноподобная геодезическая – это путь, которым не сможет пройти ни один наблюдатель: чтобы сделать это, он должен двигаться быстрее света. На первый взгляд это выглядит абсурдно: возможно ли, чтобы нельзя было пройти кратчайшим путем из одной точки в другую? Дело в том, что геодезическая в пространстве-времени определяет не только куда вы должны отправиться, но и когда вы должны туда добраться. Хороший пример пространст-венноподобной геодезической – это отрезок прямой при постоянном времени между двумя точками в пространстве Минковского. «Следовать» этой геодезической означало бы, что вы прибываете в пункт назначения в тот же момент, в который покидаете пункт отправления, что, разумеется, невозможно.
Второй тип геодезической – времениподобная: это траектория, по которой естественно движутся массивные тела, если на них не действуют никакие силы, кроме тяготения. Пример такой геодезической – баллистическая траектория движения Алисы в гравитационном поле и свободный полет Боба в пространстве, где не действует гравитация. Времениподобные геодезические максимизируют собственное время, как мы уже видели при нашем обсуждении нескольких версий парадокса близнецов. В самом деле, принцип оптимального собственного времени получает свое полное выражение в требовании, чтобы массивные тела в пространстве-времени произвольной кривизны двигались по времениподобным геодезическим.
В общей теории относительности есть и еще один тип геодезической – нулевая. По такой траектории естественно движется световой луч в искривленном пространстве-времени. Иногда геодезические в общей теории относительности называют «пространственно-временными геодезическими», чтобы подчеркнуть, что они содержат информацию как о времени, так и о пространстве. Но на практике большинство людей говорит просто «геодезическая», и мы впредь будем придерживаться этой сокращенной терминологии.
Рис. 2.5. Земля заставляет пространство деформироваться, что на рисунках часто изображается линиями, прогибающимися вниз. Пространство действительно искривляется вблизи массивного тела, но эта кривизна внутренняя: она соответствует искажению пространства внутри себя, а не его изгибу в какое-то дополнительное измерение.
Когда мы переходим от двумерных поверхностей к четырехмерному пространству-времени, кривизна количественно начинает выражаться более сложно, но, в принципе, ее концепция остается той же: ответ на вопрос об углах, под которыми встречаются геодезические, может отличаться от случая плоского пространства, и это отличие выражается так называемым тензором кривизны Римана. Тензор Эйнштейна Gµν – это урезанная версия тензора кривизны Римана, сохранившая только те аспекты кривизны пространства-времени, на которые воздействует присутствие массы (или энергии, количества движения, давления, сдвигового напряжения).
По крайней мере в рамках современных представлений в пространстве-времени не может искривляться ничего, кроме самих его четырех измерений. В общей теории относительности «правильные» вопросы о кривизне – это те, на которые можно ответить на основе геодезических в четырехмерном пространстве-времени. И нам нет нужды думать о том, чтобы «срезать» траектории движения путем выхода в какую-то внешнюю геометрию – как мы могли бы срезать путь из Вашингтона в Сан-Франциско, построив подземный туннель. Обычно, когда мы пытаемся изобразить искривленное пространство-время на рисунках, иллюстрирующих влияние тяготения, мы изображаем его как двумерную мембрану, которая прогибается в сторону массивного тела. Такое изображение предполагает существование дополнительного измерения, в которое и прогибается мембрана.
Этот способ иллюстрирования вполне приемлемый, и не в последнюю очередь потому, что он позволяет визуализировать небольшое «раскрывание» пространства в окрестности массивного тела. Но насколько нам известно, реальный мир имеет именно четыре измерения, и четырехмерное пространство-время искривляется само по себе, без привлечения какого-либо пятого измерения[4].
Уравнения поля Эйнштейна Gµν = 8πGNTµν/c4 представляют собой десять дифференциальных уравнений для десяти функций метрического тензора. В целом их смысл заключается в том, что масса, энергия, импульс (количество движения), давление и сдвиговые напряжения (все эти величины служат составляющими Tµν) заставляют пространство-время искривляться. В ситуациях, где все массивные тела движутся медленно, а давлением и сдвиговыми напряжениями можно пренебречь, самым важным компонентом уравнений Эйнштейна оказывается тот, который зависит только от времени: G00 = 8πGNT00/c4. Мы пишем G00 вместо Gµν, потому что нас сейчас интересуют уравнения Эйнштейна с индексами µ = 0 и ν = 0, а обычно принято полагать индекс тензора равным нулю, когда он относится к временному измерению, в то время, как индексы µ = 1, 2 или 3 относились бы к нашим привычным трем пространственным измерениям. Когда мы имеем дело с «обычным тяготением», уравнение G00 = 8πGNT00/c4 сводится к правилу вычисления функции хода, о которой мы говорили выше. Немного упрощая, можно сказать, что уравнение Эйнштейна с индексом 00 – это все, что необходимо для описания обычного тяготения. Девять остальных уравнений вступают в игру в более экстремальных ситуациях, таких как коллапс звезд или окрестности черной дыры.
Итак, в конечном счете уравнения поля Эйнштейна и принцип оптимального собственного времени служат двумя краеугольными камнями общей теории относительности. Можно сказать, что материя через уравнения Эйнштейна управляет искривлением пространства-времени, а искривленное пространство-время, в свою очередь, управляет движением материи на основе принципа оптимального собственного времени. Аналогично этому электрические заряды через уравнения Максвелла управляют поведением электромагнитного поля, а электромагнитное поле, в свою очередь, порождает силы, действующие на электрические заряды.
Есть еще одно явление, о котором нам напоминает аналогия с электромагнетизмом, – излучение. Как и в случае уравнений Максвелла, уравнения поля Эйнштейна имеют решения, описывающие самоподдерживающийся каскад возмущений поля, который распространяется в пространстве-времени. В электромагнетизме эти возмущения представляют собой электрическое и магнитное поля. В общей теории относительности это возмущения пространства-времени, которые проще всего представить себе как растяжение масштаба по одному пространственному измерению и сжатие по другому. Движущееся вещество порождает гравитационные волны точно так же, как свет порождается движущимися электрическими зарядами, и так же, как свет, они движутся в пространстве-времени со скоростью света. По сути, они представляют собой «рябь» пространства-времени, подобную ряби на воде.
Как и свет, гравитационные волны переносят энергию. Они косвенно обнаружены в тесных звездных системах – двойных пульсарах; за это открытие Рассел Халс и Джозеф Тейлор получили Нобелевскую премию по физике в 1993 году. Эффект, наблюдавшийся Халсом и Тейлором, состоит в медленном уменьшении периода обращения звезд в двойной системе: звезды как бы сходятся по спирали к общему центру. Причиной этого спирального движения служат потери энергии на гравитационное излучение, а наблюдаемая скорость сближения полностью соответствует предсказаниям общей теории относительности. Прямые наблюдения гравитационных волн на установке LIGO в сентябре 2015 года тоже связаны с подобными спиральными движениями и могут оказаться одним из величайших достижений физики XXI столетия.
Мы более подробно остановимся на гравитационном излучении в главе 6. А пока отметим лишь одно ключевое различие между электромагнетизмом и общей теорией относительности: световые волны не взаимодействуют друг с другом, а гравитационные – взаимодействуют.
Две световые волны проходят друг сквозь друга и без взаимного влияния идут дальше. А две гравитационные волны могут столкнуться, рассеяться друг на друге и после этого отправиться дальше уже в других направлениях. Это рассеяние слишком слабое, чтобы его энергия могла быть зарегистрирована: вряд ли кто-либо из живущих сейчас на Земле может надеяться за время своей жизни услышать об успешном измерении этого явления. Тем не менее оно с несомненностью предсказывается общей теорией относительности. В сущности, это и есть одна из причин, по которой объединение теории относительности с квантовой механикой оказывается такой трудной задачей. При очень высоких энергиях рассеяние волн тяготения друг на друге становится сильным, а в присутствии столь сильного рассеяния аппарат квантовой теории перестает работать. Эту проблему удалось очень красиво решить в рамках теории струн, но это обсуждение увело бы нас слишком далеко от основной цели рассказа. Вооруженные общей теорией относительности, мы приступаем к разговору о черных дырах!