3+ 42 2 = 52.
Кроме чисел 3, 4, 5, существует, как известно, бесчисленное множество целых положительных чисел а, b, с, удовлетворяющих соотношению
a2 + b2 = c2.
Они называются пифагоровыми числами. Согласно теореме Пифагора такие числа могут служить длинами сторон некоторого прямоугольного треугольника; поэтому а и b называют «катетами», а с — «гипотенузой».
Ясно, что если а, b, с есть тройка пифагоровых чисел, то и ра, рb, рс, где р — целочисленный множитель, – пифагоровы числа. Обратно, если пифагоровы числа имеют общий множитель, то на этот общий множитель можно их все сократить, и снова получится тройка пифагоровых чисел. Поэтому будем вначале исследовать лишь тройки взаимно простых пифагоровых чисел (остальные получаются из них умножением на целочисленный множитель р).
Покажем, что в каждой из таких троек а, b, с один из «катетов» должен быть четным, а другой нечетным. Станем рассуждать «от противного». Если оба «катета» а и b четны, то четным будет число a2 + b2, а значит, и «гипотенуза». Это, однако, противоречит тому, что числа а, b, с не имеют общих множителей, так как три четных числа имеют общий множитель 2. Таким образом, хоть один из «катетов» а, b нечетен.
Остается еще одна возможность: оба «катета» нечетные, а «гипотенуза» четная. Нетрудно доказать, что этого не может быть. В самом деле: если «катеты» имеют вид
2х + 1 и 2y + 1,
то сумма их квадратов равна
4x2+ 4x+ 1+ 4y2+ 4y+ 1 = 4 · (x2x+ y2 + y)+ 2,
т. е. представляет собой число, которое при делении на 4 дает в остатке 2. Между тем квадрат всякого четного числа должен делиться на 4 без остатка. Значит, сумма квадратов двух нечетных чисел не может быть квадратом четного числа; иначе говоря, наши три числа – не пифагоровы.
Итак, из «катетов» а, b один четный, а другой нечетный. Поэтому число a2 + b2 нечетно, а значит, нечетна и «гипотенуза» с.
Предположим, для определенности, что нечетным является «катет» а, а четным b. Из равенства
a2 + b2 = c2
мы легко получаем:
a2 = c2 – b2 = (c + b)(c – b).
Множители с + b и с – b, стоящие в правой части, взаимно просты. Действительно, если бы эти числа имели общий простой множитель, отличный от единицы, то на этот множитель делились бы и сумма
(c + b) + (c – b) = 2c,
и разность
(c + b) – (c – b) = 2b,
и произведение
(c + b)(c – b) = a2,
т. е. числа 2с, 2b и а имели бы общий множитель. Так как а нечетно, то этот множитель отличен от двойки, и потому этот же общий множитель имеют числа а, b, с, чего, однако, не может быть. Полученное противоречие показывает, что числа с + b и с – b взаимно просты.
Но если произведение взаимно простых чисел есть точный квадрат, то каждое из них является квадратом, т. е.
Решив эту систему, найдем:
Итак, рассматриваемые пифагоровы числа имеют вид
где m и n – некоторые взаимно простые нечетные числа. Читатель легко может убедиться и в обратном: при любых нечетных m и n написанные формулы дают три пифагоровых числа а, b, с.
Вот несколько троек пифагоровых чисел, получаемых при различных m и n:
при m = 3, n = 1 ····· 32 + 42 = 52,
при m = 5, n = 1 ····· 52 + 122 = 132,
при m = 7, n = 1 ····· 72 + 242 = 252,
при m = 9, n = 1 ····· 92 + 402 = 412,
при m = 11, n = 1 ····· 112 + 602 = 612,
при m = 13, n = 1 ····· 132 + 842 = 852,
при m = 5, n = 3 ····· 152 + 82 = 172,
при m = 7, n = 3 ····· 212 + 202 = 292,
при m = 11, n = 3 ····· 332 + 562 = 652,
при m = 13, n = 3 ····· 392 + 802 = 892,
при m = 7, n = 5 ····· 352 + 122 = 372,
при m = 9, n = 5 ····· 452 + 282 = 532,
при m= 11, n = 5 ····· 552 + 482 = 732,
при m = 13, n = 5 ····· 652 + 722 = 972,
при m = 9, n = 7 ····· 632 + 162 = 652,
при m = 11, n = 7 ····· 772 + 362 = 852.
(Все остальные тройки пифагоровых чисел или имеют общие множители, или содержат числа, бóльшие ста.)
Пифагоровы числа обладают вообще рядом любопытных особенностей, которые мы перечисляем далее без доказательств:
1) один из «катетов» должен быть кратным трем;
2) один из «катетов» должен быть кратным четырем;
3) одно из пифагоровых чисел должно быть кратно пяти.
Читатель может удостовериться в наличии этих свойств, просматривая приведенные выше примеры групп пифагоровых чисел.
Сто тысяч за доказательство теоремы
Одна задача из области неопределенных уравнений приобрела громкую известность, так как за правильное ее решение было завещано целое состояние: 100 000 немецких марок!
Задача состоит в том, чтобы доказать следующее положение, носящее название теоремы, или «великого предложения Ферма»:
Сумма одинаковых степеней двух целых чисел не может быть той же степенью какого-либо третьего целого числа. Исключение составляет лишь вторая степень, для которой это возможно.
Иначе говоря, надо доказать, что уравнение
xn + yn = zn
неразрешимо в целых числах для n> 2.
Поясним сказанное. Мы видели, что уравнения
x2 + y2 = z2,
x3 + y3 + z3 = t3
имеют сколько угодно целочисленных решений. Но попробуйте подыскать три целых положительных числа, для которых было бы выполнено равенство x3 + y3 = z3; ваши поиски останутся тщетными.
Тот же неуспех ожидает вас и при подыскании примеров для четвертой, пятой, шестой и т. д. степеней. Это и утверждает «великое предложение Ферма».
Что же требуется от соискателей премии? Они должны доказать это положение для всех тех степеней, для которых оно верно. Дело в том, что теорема Ферма еще не доказана и висит, так сказать, в воздухе[4].
Величайшие математики трудились над этой проблемой, однако в лучшем случае им удавалось доказать теорему лишь для того или иного отдельного показателя или для групп показателей, необходимо же найти общее доказательство для всякого целого показателя.
Замечательно, что неуловимое доказательство теоремы Ферма, по-видимому, однажды уже было найдено, но затем вновь утрачено. Автор теоремы, гениальный математик XVII в. Пьер Ферма[5], утверждал, что ее доказательство ему известно. Свое «великое предложение» он записал (как и ряд других теорем из теории чисел) в виде заметки на полях сочинения Диофанта, сопроводив его такой припиской:
«Я нашел поистине удивительное доказательство этого предложения, но здесь мало места, чтобы его привести».
Ни в бумагах великого математика, ни в его переписке, нигде вообще в другом месте следов этого доказательства найти не удалось.
Последователям Ферма пришлось идти самостоятельным путем.
Вот результаты этих усилий: Эйлер (1797) доказал теорему Ферма для третьей и четвертой степеней; для пятой степени ее доказал Лежандр (1823), для седьмой[6] – Ламе и Лебег (1840). В 1849 г. Куммер доказал теорему для обширной группы степеней и, между прочим, – для всех показателей, меньших ста. Эти последние работы далеко выходят за пределы той области математики, какая знакома была Ферма, и становится загадочным, как мог последний разыскать общее доказательство своего «великого предложения». Впрочем, возможно, он ошибался.
Интересующимся историей и современным состоянием задачи Ферма можно рекомендовать брошюру А. Я. Хинчина «Великая теорема Ферма». Написанная специалистом, брошюра эта предполагает у читателя лишь элементарные знания из математики.
Глава пятая.ШЕСТОЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ДЕЙСТВИЕ
Шестое действие
Сложение и умножение имеют по одному обратному действию, которые называются вычитанием и делением. Пятое математическое действие – возведение в степень – имеет два обратных: разыскание основания и разыскание показателя. Разыскание основания есть шестое математическое действие и называется извлечением корня. Нахождение показателя – седьмое действие – называется логарифмированием. Причину того, что возведение в степень имеет два обратных действия, в то время как сложение и умножение – только по одному, понять нетрудно: оба слагаемых (первое и второе) равноправны, их можно поменять местами; то же верно относительно умножения; однако числа, участвующие в возведении в степень, т. е. основание и показатель степени, неравноправны между собой; переставить их, вообще говоря, нельзя (например, 3