«Когда я увидел доказательство, — говорит Ричардс, — я сразу понял: оно верно». Ричардс чувствовал себя униженным и подавленным из-за того, что упустил такие простые аргументы, но, как бы то ни было, он был в восторге. «Помню, я подумал: какое счастье, что доказательство появилось еще при моей жизни! Честное слово, я был невероятно рад, когда его увидел».
История Ройена подтверждает поговорку моего любимого учителя физики[25]: «Не стреляй из базуки по мухам». Для математиков изысканность заключается в самоограничении.
Ноябрь 2010-го, город Окленд, штат Калифорния. Мне 23 года. На утреннем уроке тригонометрии я на все лады пытаюсь объяснить ученикам формулу Муавра. Безуспешно.
— Ну хорошо, начнем сначала! — восклицаю я. Пот градом катится по моему лицу. — Вы хотите возвести это комплексное число в энную степень, не правда ли? Тогда вы можете прибавить к заданному углу 2πk/n, потому что вы вернетесь в ту же точку. Ясно?
— Нет! — завопил целый класс подростков, закрывая уши. — Прекратите! Вы делаете только хуже!
Ученица по имени Вианни[26] подняла руку.
— Можно я попробую проверить, правильно ли я все понимаю?
— Пожалуйста… — вздохнул я. — Ни в чем себе не отказывай.
— Хорошо… Мы хотим поделить этот угол пополам, верно?
Подростки слегка поутихли.
— Если к углу мы прибавляем 360°, мы просто возвращаемся на исходную позицию, верно? 90° или 450°, по сути дела, одно и то же, мы просто прошли целиком всю тригонометрическую окружность и вернулись в ту же точку.
Подростки выпрямили спины.
— А если мы делим угол пополам, то 360° превращаются в 180°, и мы оказываемся на противоположной стороне тригонометрической окружности.
Класс осветили фотовспышки интеллектуальных озарений, как будто над головами подростков засияли электрические лампочки.
— Поэтому, — подытожила Вианни, — мы получаем два решения. Правильно?
Я на мгновенье задумался. Подростки подались вперед.
— Да, — кивнул я. — Прекрасно сказано.
Аудитория разразилась аплодисментами. Вианни потонула в овациях. Даже я не мог не признать ее превосходство. Я пытался объяснить теорему с обратного конца, охватив все значения n одновременно, а она разобрала один-единственный частный случай, когда n = 2.
Величайшие математики в истории запомнились не только подвигами своей интеллектуальной мощи, но и тем, что проторили новые тропы и показали путь своим последователям. Евклид свел воедино все идеи предшественников и создал незаменимый учебник. Кантор дистиллировал свое новаторское понимание бесконечности до прозрачных и кристально ясных аргументов. Штейн стал наставником для нескольких поколений математиков, которые занимались гармоническим анализом, делясь советами со столь же великими учеными, как и он сам.
Нельзя сказать, что Вианни понимала формулу Муавра лучше, чем я. Просто она смогла ясно выразить свои знания, а мое понимание оставалось запертым в толстокостном черепе, внутри которого ворочался неуклюжий язык.
Математика, который не может объяснить свои идеи, постигнет та же участь, что и меня в тот бесславный ноябрьский день: оказаться на одиноком островке мысли без надежды донести свои идеи до иных берегов. Но если математик сможет поделиться своей истиной с окружающими, благодарная толпа будет чествовать его, словно героя.
Вряд ли вы слышали о Нго Бао Тяу, хотя, возможно, (А) в один прекрасный день от скуки вы решили заучить имена всех обладателей медали Филдса, самой престижной награды для молодых математиков, или (Б) вы из Вьетнама, где Тяу — национальная знаменитость и прославленный герой.
(Кстати, низкий поклон Вьетнаму за такой почет к математикам. Вероятно, в Америке ближе всего к такому статусу Уилл Хантинг, но это даже не самая известная у нас роль Мэтта Деймона.)
Тяу — страстный любитель соревнований. В детстве он стремился стать лучшим из лучших. Какое-то время так оно и было. Он выиграл две золотые медали подряд на Международной математической олимпиаде и стал своего рода Симоной Байлз{19} во вьетнамской математике; учителя гордились им, сверстники завидовали.
Но в студенческие годы он стал погружаться в трясину депрессии, постепенно осознав, что не понимает математику, которую изучает. «Мои профессора думали, что я фантастический студент, — вспоминает он. — Я умел решать все упражнения. Но я ничего не понимал»[27]. Он чувствовал, что все его достижения — мыльный пузырь, хрупкая пленка славы, которая вскоре лопнет и обнажит ужасную пустоту внутри. Затем наступил поворотный момент. Он уже не стремился быть лучшим и стал учиться у тех, кто лучше него.
Он возлагает все свои заслуги к ногам Жерара Ломона, своего научного руководителя в аспирантуре. «У меня был один из лучших научных руководителей в мире, — рассказывает Тяу, сияя от радости. — Каждую неделю я приходил в его кабинет, и каждый раз он прочитывал со мной одну-две страницы».
Они двигались медленно, строка за строкой, уравнение за уравнением, стремясь к полному пониманию. Вскоре Тяу начал работать над программой Ленглендса. Это своего рода трансконтинентальная железная дорога современной математики: масштабная попытка соединить отдаленные дисциплины. Этот проект привлек на свою орбиту поколение амбициозных математиков наподобие Тяу, который решил доказать «фундаментальную лемму» — самую дразнящую гипотезу программы Ленглендса.
Очередная олимпиада? Гонка, где математики пытаются обскакать друг друга и найти доказательство раньше всех? Нет, полагает Тяу. «Мне помогли многие коллеги в моей области, — говорит он. — Они искренне поддерживали меня. Я просил совета, и они говорили мне, чему нужно выучиться. Все были очень открыты. Я не чувствовал никакой конкуренции». С помощью коллег Тяу удалось доказать фундаментальную лемму. Эта работа и принесла ему филдсовскую медаль.
Несмотря на то что Тяу — выдающийся ученый, его история радует своей обыкновенностью.
Те, кто процветают в атмосфере школьных состязаний с четкими рейтингами, простой иерархией и подпиткой поощрениями, должны выстраивать взаимоотношения по-новому, когда попадают в безграничный мир науки. Они входят в него конкурентами и превращаются в соратников.
II. Дизайн
Из милосердия жизнь преподает нам жестокий урок: если вы одержимы какой-то идеей, это еще не означает, что вы сможете добиться своего.
Например, вы хотите начертить квадрат, у которого диагонали той же длины, что и стороны. Мне жаль вас расстраивать, но с квадратами этот фокус не пройдет.
Или, скажем, вы хотите покрыть пол плиткой в виде правильных пятиугольников. Извините, но ваша затея никогда не увенчается успехом[28]. Между плитками в любом случае останутся зазоры.
Или, скажем, вы чертите равносторонний треугольник и хотите подобрать углы по своему вкусу, например 70°, или 49°, или 120°. Боюсь, что космосу нет до вас никакого дела: углы равностороннего треугольника будут равны 60°, ни градусом больше, ни градусом меньше, иначе ваш треугольник просто перестанет быть равносторонним.
Людские законы гибки, их можно отменять и пересматривать. Алкоголь продают с 21 года в США, с 18 лет в Великобритании, с 16 на Кубе, в Афганистане алкоголь запрещен, а в Камбодже никакие алкогольные ограничения не действуют — пейте, дети, на здоровье. Правительство любой страны может ужесточить или смягчить запрет на продажу алкоголя по своей прихоти (и, разумеется, чем крепче ваш напиток и чем небрежнее законы, тем больше вы склонны к капризам). Законы геометрии устроены иначе[29]. В них нет пространства для маневра: нет президента, который вас помилует, нет присяжных, которые вас оправдают, нет офицера полиции, который сделает предупреждение и отпустит вас на все четыре стороны. Законы математики выполняются без внешнего контроля и нерушимы по самой своей природе.
Тем не менее, как мы уже видели и еще не раз увидим, это не так уж и плохо. Ограничения рождают творческий порыв. Законы о том, что не позволено геометрическим фигурам, идут в одной упаковке с анализами кейсов, выявляющих, что им разрешено. В дизайнерских проектах — в любом масштабе, от полезной бумаги до прочных зданий и космических станций, уничтожающих планеты, — геометрия воодушевляет, даже если ограничивает.
Поэтому забудьте сентиментальную фразу «Все возможно»! Да, это мило, но глубоко противоестественно, как и многие другие вещи, которые мы скармливаем детям. Реальность строже — и удивительнее.
Глава 6. Мы возвели этот город на треугольниках
Хочу познакомить вас со звездой этой главы — треугольником.
Это не привычный для вас протагонист. Высокомерные литературные типажи могут сбросить его со счетов, потому что он слишком плоский. Тем не менее этот нетипичный герой предпримет типичное героическое путешествие: родившись в убогой семье, научится применять внутреннюю силу и в конце концов сослужит службу всему миру в кризисные времена.
Теперь, если ваше сознание настолько зашорено, что вы не можете вместить идею доблестного многоугольника, ни в коем случае не читайте дальше. Наденьте глазную повязку предрассудков. Но, убедительно прошу вас, зажмурьтесь достаточно крепко, ибо лишь глубочайшая тьма сможет укрыть ваше сумеречное сознание от сияющей истины, пронзительного света плоской геометрии. Разве вы забыли? Мы возвели этот город. Мы возвели этот город на треугольниках…
1. Двенадцать узлов на египетской веревке
Добро пожаловать в Древний Египет: процветающее царство, засилье чиновников, строгая вера и локти, согнутые под прямым углом. Оно просуществует несколько тысячелетий и переживет восход и закат империй с властелинами в коронах поскромнее.
Идем, подышим свежим воздухом. На дворе 2570 год до н. э., и Великая пирамида Гизы уже построена наполовину[30]. Три с половиной миллиона тонн кирпичей возвышаются среди пустыни, и на них взгромоздят еще три миллиона тонн. Самые тяжелые блоки весят больше двух слонов. Основание представляет собой квадрат со стороной 230 м (протяженность трех кварталов Нью-Йорка). Когда спустя десять лет пирамида будет закончена и 80 000 рабочих смогут расслабиться и выпить лимонаду, высота пирамиды будет составлять 150 м. Через пять тысячелетий она по-прежнему будет целехонька — самый непоколебимый небоскреб в истории человечества, величайший триумф триангулярной архитектуры.
Но на самом деле все не так.
Не поймите меня превратно: она еще не рухнула (по крайней мере, по моим последним данным). Но это никакая не победа треугольников. Если вы желаете увидеть треугольники в деле, забудьте о Великой пирамиде и прогуляйтесь со мной до пустыря неподалеку. Там мы обнаружим небольшую команду землемеров с канатом, завязанным странной петлей с 12 узлами на равном расстоянии друг от друга[31].
Зачем? Просто понаблюдайте. Сделав несколько шагов, каждый третий землемер берет свой узел (№ 1, № 4 и № 8, если быть точным), и они натягивают канат. Словно по волшебству, он образует прямоугольный треугольник. Четвертый рабочий отмечает прямой угол на песке. Землемеры ослабляют натяжение каната. Эта сценка повторяется снова и снова, пока весь пустырь не будет поделен на идеальные участки равного размера.
Если вы не клевали носом на уроках геометрии (и даже если клевали), эта сценка, возможно, вызовет в памяти теорему Пифагора. Ее формулировка такова: если вы построите по квадрату на сторонах прямоугольного треугольника, сумма площадей двух меньших квадратов будет равна площади большего. Или, говоря современным алгебраическим языком: а2 + b2 = с2.
Реестр таких треугольников бесконечен. Например, длины сторон могут быть равны 5, 12 и 13; или 7, 24 и 25; или 8, 15 и 17; или (мой любимый пример) 20, 99 и 101. Египтяне мудро выбрали простейший случай: треугольник со сторонами 3, 4 и 5. Вот поэтому узлов именно 12.
Но эта глава не о Пифагоре и «его» теореме (которую и без его помощи знали более древние цивилизации). Она о более простом и фундаментальном свойстве треугольников, замаскированном изяществе, которое мы скоро обнаружим. История треугольника начинается не в пифагорейском храме и не на вершине Великой пирамиды, а здесь, на пустыре. Канат превращается в инструмент землемера. Это первый увиденный нами намек на столь могущественную силу, что по сравнению с ней пирамиды — просто пригоршня пыли.
2. Три стороны, одна сущность
Психологическая фаза в процессе нашего рассказа! Треугольник должен вглядеться в собственную душу и задаться заветным вопросом: «Кто есмь аз?»
— Я фигура, подобная прочим, ничем не отличимая от них, за исключением количества сторон и углов?
Музыка звучит все громче, и треугольник молит космос о знаке, цели, озарении.
— О, из чего, — он вопиет, — на самом деле создан я?
Глас громовой грохочет из глубин.
— Я создан из трех сторон.
Окей, возможно, здесь нет такого откровения, как в моментах самопостижения. Немного похоже на то, как пациент психотерапевта замечает, что лежит на кушетке. Но здесь есть потаенные бездны. Нам откроется новая истина, если мы увидим в треугольнике не просто цельную фигуру, а совокупность трех частей.
Например: для создания треугольника сгодятся не любые три отрезка. Возьмем длины 10, 3 и 2 см. Эти три отрезка образуют этакую недофигуру с зазором — недотреугольник, если вам угодно. Длинный отрезок слишком длинный; короткие слишком коротки. Я окрещу его «Треугольник Ти-рекс», потому что короткие передние лапки не соответствуют массивному туловищу.
Это универсальная истина: самая длинная сторона треугольника должна быть короче, чем сумма двух других.
Это правило совершенно очевидно для мухи, ползущей по периметру треугольника. Ей известно, что путь напрямик (от A до B) всегда будет короче, чем обходной путь (от A до B, минуя C). Таким образом, сумма двух коротких сторон должна быть больше, чем длина третьей стороны.
У этого правила есть компаньон, даже глубже и могущественнее него: «Если три отрезка все-таки образуют треугольник, то один и только один». Поскольку даны три отрезка, импровизации и выдумки здесь неуместны. Есть всего один шаблон.
Например, договоримся, что длины сторон будут равны конкретным величинам (скажем, 5, 6 и 7 cм), разойдемся по отдельным комнатам и сконструируем наши персональные треугольники. Даю гарантию, что мы выйдем оттуда с одинаковыми изделиями.
Поглядите: я кладу мою самую длинную рейку на пол, приставляю и скрепляю две других. Готово! Скосите угол влево, и одна сторона выскользнет; скосите вправо — выскользнет другая. Математики называют такое решение единственным. Даже не предвосхищая ваш метод, я знаю, что вы придете к тому же решению, так как иных решений нет.
Эта истина верна лишь для треугольников. Ни один другой многоугольник на нее не притязает.
Попробуйте проделать то же самое с четырехугольником — кузеном треугольника. Одну рейку я кладу на пол. Следующие две устанавливаю вертикально. И водружаю последнюю рейку сверху, для надежности склеивая концы скотчем. Однако начинает задувать ветерок. Мой квадрат косится. Вся конструкция кренится вправо, как складной стул. Каждую секунду возникает новая фигура, от «квадрата» и «почти квадрата» до «чего-то вроде ромба» и «тощего сверхзаостренного ромба».
Четыре стороны с конкретными длинами не задают единственную фигуру. Наоборот, они задают бесконечное семейство возможных фигур. Любую из них можно превратить в другую, приложив небольшое усилие.
Итак, мы наблюдаем скрытое волшебство треугольника, его секретную идентичность: не просто трехсторонность, а жесткость, которую она за собой влечет.
Вязальщики египетских узлов знали это превосходство. Натягивая канат с 12 узлами, они вызывали из небытия пифагоров треугольник, выколдовывали из каната прямой угол. Вместо этого можете сделать из каната квадрат, но будьте аккуратны: на ваш клич отзовется целое семейство нежелательных фигур. Даже если натянуть канат потуже, углы четырехугольника не удастся удерживать без сбоев. То же самое верно для пятиугольников, шестиугольников, семиугольников и прочих родичей из семейства многоугольников. Никто не в силах сделать то, что может треугольник.
Пирамиды, будучи объемными фигурами, не обладают этим сильным преимуществом{20}. Кубы, конусы, усеченные пирамиды[32] — все они сгодятся для выполнения воли фараона. Шершавому языку камня все равно, какую выговаривать фигуру.
Нет-нет, в мои намерения не входило унижать пирамиды. Да и попробуйте унизить кирпичную махину в девять миллионов тонн. Я восхищен космической точностью этих кирпичей: длины сторон составляют около 20 см, края ориентированы по сторонам света с погрешностью менее 0,1°, углы отличаются от прямого менее чем на 0,01°. Да, египетские котики хорошо знали математику.
Но я должен подчеркнуть, что это триумф землемеров, а не инженеров. Великая пирамида остается, по сути дела, нагромождением блоков. Это круто, если вы хотите воздвигнуть монумент фараонову бессмертию, но использовать такое здание в практических целях, знаете ли, не прикольно. Незатейливые камеры и тесные туннели пирамиды составляют менее 0,1 % ее объема. Вообразите сплошной стальной брусок размером с Эмпайр-стейт-билдинг с одним-единственным щелевидным этажом высотой 60 см, и вы тоже начнете стремиться к более эффективному строительному плану[33].
В последующие века архитекторы будут искать новые поэтические структуры. Они будут строить мосты шире неба и башни выше Вавилонской. И для этого им понадобится фигура необычайной стойкости, обладатель единственного в своем роде непреклонного характера — треугольный, трехсторонний герой.
3. Гибкие стропила обремененного мира
А теперь наша история пересекается с другой — сагой о человеческой архитектуре, охватывающей 10 000 лет. Краткое содержание предыдущих серий:
1. «Снаружи» — плохое место для жизни. Может похолодать, негде хранить ваши вещи, иногда появляются медведи. Поэтому люди изобрели «внутри».
2. Чтобы создать «внутри», сделайте большую полую конструкцию и поселитесь там.
3. Если ваша конструкция уютна и сделана из подходящего материала, то жить внутри будет приятно и она не рухнет вам на голову. Это и называется «архитектура».
Окей, теперь, когда мы вошли в курс дела, я могу представить вам важного вспомогательного персонажа[34] в истории треугольника — балку. Если вы архитектор, стремящийся избежать (А) пирамидальных монолитов и (Б) обваливающихся потолков, то балки, скорее всего, станут важным фактором в процессе создания ваших конструкций.
Полезное действие балки заключается в том, что она превращает вертикальные силы в горизонтальные[35]. Например, представьте себе доску, перекинутую через ров. Когда вы встанете на эту доску, ваш вес потянет ее вниз. Но настоящая опора не внизу — она на концах доски, где та упирается в землю. Сила, приложенная в центре, распределяется вдоль доски.
Есть лишь одна проблема: балки неэффективны.
Архитектура, как и сама жизнь, вся строится на управлении напряжением. В то время как жизнь напрягает нас разнообразно (дедлайны, воспитание детей, разряжающийся телефон и т. д.), строительная конструкция испытывает всего два вида напряжений: растяжение и сжатие. Растяжение удлиняет объект, сжатие — укорачивает. Каждый вид напряжения имеет свои особенности, и разные материалы выдерживают их по-разному. Бетон может выдерживать фантастические степени сжатия, но при растяжении крошится. С другой стороны, стальные тросы могут выдержать невероятное растяжение, но прогибаются при малейшем сжатии.
А теперь представьте, что балка проседает под нагрузкой. Она выгибается в улыбку (или скорее гримасу). Какова природа этой деформации — растяжение или сжатие?
Ответ: и то и другое. Посмотрите на верхнюю часть балки: она становится короче нижней; так бегун на той круговой дорожке, что ближе всего к центру стадиона, преодолевает наименьшее расстояние. Таким образом, ее материал подвергается сжатию. Теперь взгляните вниз; вспомните, что бегун на самой дальней дорожке от центра преодолевает наибольшее расстояние; так и нижняя часть балки становится длиннее верхней части, и, таким образом, ее материал испытывает растяжение.
Все еще не о чем тревожиться: многие материалы, такие как дерево, легко выдерживают и растяжение, и сжатие. Проблема не в том, что на балку действует два вида напряжения; проблема в том, что бóльшая часть балки не испытывает никакого напряжения.
Посмотрите на центральную часть балки. На полпути между сжатием наверху и растяжением внизу средняя часть балки не испытывает абсолютно никакого напряжения. Ее изгиб — беззаботная улыбка пацана, который игнорирует ваш призыв о помощи. Материал средней части балки растрачен впустую, это не лучше, чем бесполезная масса пирамиды. Обычная балка действует вполсилы, как ленивый школьник, который напрягается на 50 %.
Любой учитель знает, какая фраза здесь должна последовать: «Так никуда не годится». В архитектуре каждая унция имеет значение, строите ли вы башню, щекочущую небеса, мост через каньон или захватывающие дух американские горки.
Будьте уверены: архитекторы не дураки{21}. У них есть план.
4. Форма сопротивления
Я сказал, что архитекторы не дураки? Возможно, мне придется взять свои слова обратно, когда вы услышите, как они решили эту проблему. Из-за того, что верхняя и нижняя части балки принимают на себя все напряжение, пока средняя часть паразитирует на их усилиях, блестящее решение, найденное архитекторами, состояло в том, чтобы изготавливать балки без средних частей.
Не стоит восклицать; я все прекрасно понимаю. Балка без средней части представляет собой две отдельные балки, и это так себе решение.
Если только не… вырезать небольшую часть из середины балки. Вы оставляете бóльшую часть материала по краям и тонкий соединительный слой посредине[36]. В результате поперечное сечение балки напоминает латинскую букву I («Ай»); поэтому она называется Ай-балка{22}.
Хорошее начало. Но у нас все еще остается потраченный впустую материал в центре. Поэтому мы запускаем вторую фазу плана архитекторов: просверливаем отверстия в центральной части балки.
Каждое отверстие экономит драгоценные ресурсы, при этом мы почти ничего не теряем в прочности. Чем больше отверстий, тем больше материала мы экономим, и это означает, что лучше всего изрешетить центральную часть балки — оставить как можно меньше материала и сделать как можно больше пустот.
Но погодите. Перед тем как начать волей-неволей просверливать эти отверстия, нам нужно разработать план. Какое распределение отверстий минимизирует расход материала и при этом сохранит прочность и жесткость конструкции? Где бы нам найти простую и упругую форму, не говоря уже о том, чтобы она хорошо подходила для плоской, почти двумерной области в центре Ай-балки?
Есть всего одна фигура, способная ответить на этот вызов. Слабовольный квадрат не подходит: его углы покосятся. Трусливый пятиугольник разрушится под давлением. И забудьте про бесхребетного перебежчика, известного под именем шестиугольник. Лишь супермен среди многоугольников может выдержать напряжение и стоически, непреклонно сохранить свою форму.
Позовите к телефону Треугольник.
Соединяя треугольники в единую конструкцию, вы создаете ферму{23}. В ферменной конструкции каждый элемент подвергается растяжению или сжатию. Фермы позволяют не тратить материал впустую — так охотники до упора разделывают тушу животного.
В Древнем Египте треугольник делал свое дело на пустырях, позволяя землемерам проделывать ловкие фокусы, пока софиты светят на других героев. Затем, спустя тысячелетия, по ту сторону океана, треугольники переместились из-за кулис на авансцену.
5. Мы возвели этот город
В XIX и начале XX века обитатели Северной Америки освоили пустой континент. Поскольку он был довольно бугристым, требовались мосты всех видов, от скромных пешеходных до гигантских железнодорожных. Для этих мостов потребовались ферменные конструкции. А что нужно для ферменных конструкций? Треугольники, естественно.
Ферменная конструкция Пратта[37], разработанная двумя братьями в 1844 году, состоит из рядов прямоугольных треугольников. Она покорила Соединенные Штаты, оставаясь популярной на протяжении десятилетий.
Ферменная конструкция Уоррена, появившаяся в 1848 году, задействовала равносторонние треугольники.
Балтиморские и пенсильванские ферменные конструкции — вариации ферм Пратта со вложенными треугольниками — стали повсеместно использовать при строительстве железнодорожных мостов.
K-ферма комбинирует разные виды треугольников (надеюсь, никому не приходит на ум ку-клукс-клан).
Ферменная конструкция Бейли стала использоваться во время Второй мировой войны. В соответствии с теми или иными военными нуждами унифицированные модульные треугольники могли быть разобраны, погружены на корабли и снова собраны.
Речь идет не только о мостах. Треугольные крыши тоже нуждаются в ферменных конструкциях — стропилах. С их помощью делают скелет высотных зданий. Чего уж там, стандартная велосипедная рама — не что иное, как простейшая ферма из двух треугольников. В современном городе вы перемещаетесь среди треугольников, они вас поддерживают, вы даже ездите на них.
Архитекторы скованы мириадами ограничений: бюджет, строительные нормы, законы физики. Они прибегают к помощи треугольников не из эстетических соображений, как художники или оформители интерьеров, а потому, что в мире геометрии нет других квалифицированных кандидатов. Брак между архитектурой и треугольниками заключен не по любви. В лучшем случае — ради удобства, в худшем — от безысходности. Таким образом, можно ожидать, что конструкции будут получаться ошарашивающими — как последний отчаянный компромисс, как бельмо на глазу.
И все же они прекрасны. Забавный парадокс дизайна: полезность порождает красоту. В эффективности есть элегантность. Приятно смотреть на вещи, которые просто-напросто функционируют.
Думаю, то же удовольствие я получаю от математики. Хороший математический аргумент, как и хорошо сконструированная ферма, просто-напросто функционирует. Уберите один основополагающий постулат, и все придуманное вами рухнет. Здесь есть неоспоримая грация: минимализм, поддерживающие друг друга элементы, абсолютная прочность и ни единой лишней унции.
Я не могу объяснить, почему те или иные вещи кажутся мне прекрасными. (Скажем, поп-рок девяностых.) Но я знаю, что в повествовании о треугольнике есть нечто превосходное. Трехсторонность делает его уникальным; уникальность, в свою очередь, делает его могущественным; могущество же делает его ключевым элементом современной архитектуры. Возможно, есть натяжка в утверждении о том, что треугольник «спасает мир», но, если вам интересно мое мнение, он делает мир лучше. Треугольник позволил миру стать таким, какой он есть.