Я несколько раз кивнул ему, словно лошадь, кое-как, пятясь добрался до своего места и тут только взглянул на драгоценный листок. Вот судьба! Там были первые такты Andantino из «Пятого сарказма». Того самого Andantino, что так развеселило нас с Алешей.
Эта музыка, напоминающая пугливые, неуверенные шажки— туда-сюда, вперед-назад — показалась нам острой сатирой на робость и нерешительность. И, судя по всему, мы не ошиблись. Теперь, много лет спустя, вспоминая эту историю, я почему-то думаю, что Прокофьев выбрал тему для автографа не случайно. Скорей всего, она была ему подсказана мной самим: очень уж, видно, нелепым я ему показался в своей чрезмерной робости и смущении! Что ж, мы друг у друга в долгу не остались. Сперва он заставил хохотать меня, потом я насмешил его…
К великому моему огорчению, дорогой мне автограф погиб в июле 1941 года во время бомбежки.
А слушая «Пятый сарказм» Прокофьева, мы с Алешей смеемся и поныне. Только тихо.
НОКТЮРН ПИФАГОРА
В некотором царстве, в некотором государстве, в стране, где обитают не люди, а числа, живет маленький, но любознательный Нулик. Никогда не упускает он случая разузнать что-нибудь новое о своих соотечественниках, об их удивительных свойствах и отношениях и потому много путешествует. Однажды он даже нанялся юнгой на фрегат отважного капитана Единицы, который не один год плавал по математическим морям и океанам.
Долгие беседы с мудрым капитаном, необычайные встречи и приключения принесли Нулику огромную пользу, и он подробно описал их в судовом журнале, куда, как известно, ежедневно заносятся все путевые происшествия. Я читал его записки не раз и всегда с превеликим удовольствием. Мне даже посчастливилось издать их.
Но одна из этих записей заслуживает, по-моему, особого внимания, потому что касается музыки, а музыку я люблю не меньше математики. Тем более, что они, оказывается, тесно связаны. Да, музыка и числа — близкие родственники. Между ними много общего. Вы удивлены? Вы ждете разъяснений? Тогда загляните в записки Нулика. Они вам все объяснят не хуже меня.
16 нуляля
За одну ночь наш волшебный фрегат перенесся почти на две с половиной тысячи лет назад, и мы очутились в Древней Греции, на острове Математа.
— Опять что-то математическое! — подумал я, но тут же у пристани увидел здание с колоннами, на фронтоне которого было написано: ПИФАГОРЕЙСКАЯ МУЗЫКАЛЬНО-МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ШКОЛА.
Вот это здорово! Что может быть лучше музыки? Я готов ее слушать с утра до вечера. Особенно ноктюрны Шопена. Одно непонятно: почему школа музыкально-математическая? Ведь все знают, что математика и музыка совсем разные вещи.
— Ошибаешься, — сказал капитан Единица, услыхав мои рассуждения. — В Древней Греции слово математика, вернее математа означает наука. Не какая-нибудь одна, а наука вообще. И пифагорейцы, последователи древнегреческого ученого Пифагора, занимались четырьмя науками: астрономией, геометрией, арифметикой и музыкой.
— Ну! — удивился я. — А я-то думал, музыка — искусство.
— Конечно, искусство, — подтвердил капитан, — искусство, основанное на гармонии. Но…
— Не только на гармони, — перебил я. — И на рояле, и на скрипке, и еще на этом… как его… саксофоне…
Капитан засмеялся. Оказывается, он имел в виду не гармонь— музыкальный инструмент, а гармонию — науку о созвучиях, то есть о соразмерном слиянии музыкальных звуков.
Слияние музыкальных звуков! Красиво сказано. Но при чем тут математика?
— Да при том, что гармония без математики не обходится, — пояснил капитан, — что и показал Пифагор.
— Выходит, чтобы играть на скрипке, надо знать таблицу умножения?
Капитан проворчал, что это в любом случае не помешает, и тут же спросил:
— Задумывался ты когда-нибудь, отчего звучит скрипичная струна?
— Что тут думать! Водят по струне смычком, она и звучит.
Капитан усмехнулся.
— Очень просто у тебя все получается. Да будет тебе известно: струна звучит потому, что ее заставляет колебаться смычок. Колебания струны, в свою очередь, заставляют колебаться воздух, отчего возникают звуковые волны. Звуковые волны попадают к нам в уши и колеблют барабанные перепонки…
— Вот оно что! — обрадовался я. — Теперь я понимаю, почему мама говорит: «Ах, эта музыка так меня взволновала!» Всему причиной звуковые волны.
Капитан расхохотался. Но долго смеяться ему не пришлось, потому что я забросал его вопросами.
— Почему одни звуки бывают тонкие, — спросил я, — а другие толстые?
— Ты хочешь сказать — низкие, — поправил капитан. — Высота звука зависит от многих причин. От толщины струны, от ее длины. Чем струна короче, тем звуки тоньше или, как говорят, выше.
— Вот и нет! — не согласился я. — У рояля струны и впрямь разной длины, зато у скрипки одна и та же струна издает самые разные звуки: писклявые — и-и-и-и! — или густые — у-у-у-у!
— Не утруждайся, пожалуйста, я уже понял, — поморщился капитан. — Лучше скажи, неужели ты не заметил, что скрипач, играя, прижимает струну пальцем? И звучит при этом, стало быть, не вся струна, а только часть ее.
— Правда? А я и не знал…
— Эх ты! Это еще в Древнем Вавилоне знали.
— А Древний Вавилон древнее Древней Греции?
— Намного.
— Так при чем же здесь Пифагор?
Капитан поднял палец:
— А при том, что он первый вычислил, на какие части надо делить струну, чтобы получать звуки разной высоты. И помогли ему арифметика и геометрия.
Тут капитан подвел меня к какому-то юному древнему греку, который раскладывал на столе орехи. Я спросил, чем он занимается.
— Гармонией, — ответил юный древний грек. — Строю треугольник. Равносторонний треугольник из десяти орехов.
— Почему так мало? Я бы съел побольше, — сострил я.
— С меня хватит и десяти, — улыбнулся тот. — Десять — замечательное число. Оно есть сумма первых четырех натуральных чисел: 1 + 2 + 3 + 4 = 10 и относится к треугольным числам.
— Отчего же не к круглым? — фыркнул я.
— Оттого, что из слагаемых его можно построить треугольник. Видишь, — мальчик быстро разложил орехи треугольником, — в первом ряду — один орех, во втором — два, в третьем — три и, наконец, в четвертом — четыре.
Треугольник как треугольник. Но при чем здесь все-таки гармония? Так я этого и не выяснил, потому что капитан подвел меня к следующему столу, где другой юный древний грек делил натуральные числа. Выяснилось, что и он занимается гармонией: ищет гармонию числовых отношений. По словам этого «гармониста», в числах тоже, видите ли, есть своя гармония, основанная на отношениях все тех же четырех чисел: 1, 2, 3 и 4. И обнаружил эти гармонические отношения все тот же Пифагор.
Пифагор, Пифагор… У меня от него уже в ушах стреляет: пиф-паф, пиф-паф! И я очень обрадовался, когда капитан потащил меня к третьему столу. Длинному-предлинному. Здесь работал уже не мальчик, а самый что ни на есть древний грек с пышной курчавой бородой.
— Гиппáс, ученик Пифагора, — представился он.
Опять Пифагор! Я только вздохнул.
Побеседовав со стариком, мы узнали, что он возглавляет сейчас пифагорейскую школу и тоже изучает гармонию, на сей раз — звуков.
На столе у него лежала длинная линейка. На линейку была натянута струна. Бородач ущипнул ее, и она издала низкий гудящий звук. Потом он прижал струну пальцем посередине и предложил мне ущипнуть одну из половинок. Я не заставил себя упрашивать. Звук получился потоньше.
— Выше на целую октаву, — сказал капитан Единица.
— Как вы говорите? — переспросил Гиппас. — На октаву? Мы, греки, называем это иначе, но не в том суть.
Он разделил половинку струны снова пополам и предложил мне ущипнуть одну из четвертушек. Струна зазвучала еще выше, и опять на целую октаву. Потом мы заставляли звучать одну восьмую, одну шестнадцатую струны и каждый раз получали звук октавой выше предыдущего.
Было очень интересно, и я щипал вовсю, даже палец заболел. Пришлось спросить: долго это будет продолжаться? Но старик сказал — совсем недолго, если, конечно, щипать по одному разу, а не по двадцать, ибо Пифагор (слава Зевсу!) разделил струну всего на семь октав.
Тут я не выдержал и спросил:
— Уважаемый Гиппас, скажите, наконец, кто вы? Музыкант или математик?
— И то и другое вместе, — ответил он, пожав плечами. — Все мы здесь музыканты-математики. Ведь музыка построена на соотношении чисел. Я уже добрых полчаса об этом толкую. Октава, например, получается при делении струны пополам. Стало быть, это отношение двух к одному — 2 : 1…
— Допустим, — сказал я, — но что общего между музыкой и отношением чисел в ореховом треугольнике?
— Очень много, и сейчас ты в этом убедишься.
Гиппас прижал струну пальцем на расстоянии одной трети от края.
— Видишь, — пояснил он, — струна разделена на две неодинаковые части. Одна из них равна двум третям, другая — одной трети. Значит, длина всей струны относится к большей ее части как три к двум — 3: 2. Тронем большую часть струны — она зазвучит выше, чем вся струна…
— И теперь уже не на октаву, а всего лишь на квинту, — вставил капитан.
— Да, да, — закивал Гиппас, — по-вашему это называется квинтой. Снова отложим на меньшем отрезке струны две трети — получим…
— Опять квинту! — подхватил я.
— Ты определенно делаешь успехи! — просиял Гиппас. — Еще раз разделим таким же способом меньшую часть струны и так далее… Пока не дойдем до конца. И окажется, что на струне, состоящей из семи октав, укладывается двенадцать квинт.
— Подумать только! Точно двенадцать! — восхитился я.
— Гм… — Гиппас помедлил. — В том-то и беда, что не совсем точно. Двенадцать квинт чуть-чуть длиннее семи октав. Правда, разность между ними совсем ничтожна. Это легко подсчитать. Сложим семь октав — семь отрезков струны:
А теперь сложим двенадцать отрезков, образующих квинты:
— Остается вычесть из большей суммы меньшую, — сказал я. — 0,99999 — 0,99218 = 0,00781. Да, разность и в самом деле пустяшная.