Константин ЕфановОсесимметричная задача теории упругости: проблемы в теории
Положение осесимметричной задачи теории упругости к пространственной задаче и теории оболочек.
Теория упругости не подвергается проверке на корректность.
В теории упругости в настоящее время находятся разделы:
– пространственной задачи,
– осесимметричной задачи.
Теория упругости является разделом механики сплошной среды.
Пространственная задача позволяет находить решение для оболочек вращения и оболочек различной кривизны. Пространственная задача в своем теоретическом основании имеет обоснованный расчетный подход.
Осесимметричная задача разработана для решения задач расчета оболочек. Осесимметричная модель содержит в теоретическом основании ошибочную расчетную модель и содержит математический аппарат, построенный с допущением ошибок и некорректностей.
Тимошенко отмечает [1,с.142], что Габриэль Ламе для цилиндра рассматривал плоское напряженное состояния и применял теорию наибольшего напряжения.
Из теории упругости введением допущений получена теория оболочек. Теория оболочек имеет обоснованную физически расчетную модель в отличии от осесимметричной теории упругости.
Теория оболочек делится на теорию тонких оболочек с точностью 0,1 и теорию толстых оболочек типа Власова с повышенной точностью, позволяющей выполнять расчет толстых оболочек сосудов.
__
Можно сделать вывод:
1 расчет оболочек по пространственной теории упругости методом конечных элементов (с трехмерными конечными элементами) дает наиболее обоснованный и реалистичный физически и теоретически результат.
2 после применения пространственной задачи вторым по точности подходом является теория оболочек. Теория оболочек имеет меньшее физическое обоснование по сравнению с пространственной задачей, поэтому метод менее теоретический но более технический.
3. Расчеты на основе осесимметричной задачи проводить некорректно. Следует пересмотреть все нормативные методики.
4. С постепенным внедрением компьютерного расчета методом конечных элементов будут заменены ручные и автоматизированные расчеты, основанные на осесимметричной теории.
__
Научное сообщество болезненно воспримет критику осесимметричной теории упругости.
Но тем не менее, с аргументацией критики ознакомиться следует. И для развития науки и для развития методики расчетов оболочек сосудов.
Об исключении (пересмотре) из теории упругости осесимметричной задачи
В теории упругости необходимо использовать только подход решения пространственной задачи для расчета оболочек. Или использовать теорию оболочек.
Осесимметричную задачу теории упругости в её существующем построении необходимо исключить из теории упругости или пересмотреть на предмет устранения ошибок в расчетной модели и математическом аппарате.
Оболочки могут быть рассчитаны точными методами пространственной задачи теории упругости с получением физически обоснованных результатов.
Оболочки также могут быть рассчитаны с помощью теории оболочек (тонких или общей теории оболочек).
Расчеты оболочек сосудов, оружейных стволов, других устройств по осесимметричной теории выполнять некорректно. В настоящее время расчет толстостенных сосудов высокого давления до 130МПа по иркутскому стандарту выполняются на основе осесимметричной задачи, что является технически ошибочно.
Нулевая глава из теории упругости
Теория упругости в современной литературе излагается в монографиях собственно по теории упругости и в монографиях по сопротивлению материалов. В курсе сопротивления материалов вводятся упрощения (гипотеза плоских сечений и др.), однако, основные положения теории упругости перенесены в курс без изменений, упрощений, искажений. Курс сопротивления материалов можно рассматривать прикладным вариантом теории упругости.
__
В механике сплошной среды, к которой как отмечено выше, относится теория упругости, выделяют кубический элемент с размерами сплошности.
Размеры сплошного элемента металла являются над молекулярными и над кристаллическими, тем самым обеспечивая анизотропность, а по сути свойство сплошности среды.
Когда говорят и пишут о бесконечно малых размерах, следует иметь в виду ограничение малости до размеров не ниже размеров сплошности.
ВАЖНО (!) СТЯГИВАТЬ ЭЛЕМЕНТ В ТОЧКУ ЯВЛЯЕТСЯ ГРУБОЙ ОШИБКОЙ, точка это математическое понятие, и по размеру ее ничего не мешает соотнести с атомом.
Это противоречит условию сплошности. Размеры выше бесконечно малых размеров.
__
Теперь, введем строгое различие между напряжениями по площадкам и главными напряжениями по главным площадкам.
Ориентацию в пространстве кубического элемента главных площадок предстоит найти и предстоит найти главные напряжения.
__
Выделим кубический элемент со сплошными размерами в стенке сосуда. ПРОБЛЕМА. Ориентация в пространстве этого кубического элемента будет произвольной даже в том случае, если для цилиндрической оболочки мы направим его оси параллельно прямой образующей цилиндра.
Мы не знаем направление главных напряжений и ориентацию площадок с главными напряжениями.
Условно посмотрим на кубический элемент «в плане» и рассмотрим для примера плоское напряженное состояние.
В стенке выделен кубический элемент с произвольной ориентацией в пространстве [2]:
Для этого элемента найдены площадки, по которым действуют главные напряжения, то есть направления главных напряжений:
Итак, делаем вывод:
величины напряжений и направления напряжений по сторонам произвольно выделенного кубического элемента не совпадают с величинами напряжений и направлениями главных напряжений. На месте произвольно выделенного кубического элемента должен быть нарисован кубический элемент с главными напряжениями.
Равновесие элемента сплошной среды
Итак, в стенке выделен кубический элемент со сложным напряженным состоянием в
Прямоугольных координатах:
Тимошенко [3] отмечает о равновесии элемента за счет моментов от касательных напряжений вокруг осей x, y, z.
__
Чрезвычайно ВАЖНО (!)
Только конфигурация сплошного элемента со сторонами с равными площадями (для интеграла по элементарным площадкам касательных напряжений) и с прямыми углами между ребрами (осями x, y,z) ОБЕСПЕЧИВАЕТ РАВНОВЕСИЕ ЭЛЕМЕНТА.
__
Вместо куба может быть использован тетраэдр.
Тогда результирующий вектор рассматривается как эквивалентное напряжение, значение которого сравнивают с линейным растяжением.
Ошибка в равновесии элемента осесимметричной задачи теории упругости
Схема оболочки под давлением:
Из стенки выделяется сплошной элемент в форме трапеции с кривыми основаниями:
Рассмотрим этот элемент с размерами сплошности «в плане»:
Для того, чтобы выполнилось условие равновесия, необходимо, чтобы площади сторон сплошного элемента стенки в виде сегмента были равны для создания равных моментов касательными напряжениями.
__
Для ответа на поставленную проблему о равновесии, совместим сплошные элементы кубической формы и выделенный элемент []:
Как видно, площади сторон кольцевого выделенного элемента не равны, как в случае куба. А следовательно, этот элемент не будет находится в условиях равновесия (!).
Стороны не бесконечно малые и в точку не стягиваются. И напряжения по сторонам элементов отличаются по ориентации.
__
Итак, найдена первая ошибка в расчетной модели осесимметричной задачи теории упругости.
Ошибка в обращении с главными напряжениями в осесимметричной теории упругости
В осесимметричной задаче теории упругости почему-то считается, что кольцевые напряжения являются главными напряжениями (???).
В этой задаче постановка проблемы о поиске главных напряжений вообще не ставится (!!!).
__
Интересно рассмотреть обоснование ошибки некорректными рассуждениями:
– в работе Шапиро и Даркова [4.с.596]: «…в связи с полярной симметрией цилиндра и нагрузки, нормальные напряжения являются главными напряжениями…».
Комментарий: главные напряжения необходимо найти по нормальным. Симметрия не обеспечивает их равенство.
Утверждение доказано в работе [5]:
Совместим этот выделенный сегмент с кубическим элементом и покажем для упрощения только вид в плане (сверху):
На рисунке: Q – равнодействующая сил внутреннего давления, уравновешивается касательными напряжениями по граням кубического элемента. По этим же граням действуют нормальные напряжения, не совпадающие с кольцевыми напряжениями по направлению.
Касательные напряжения по противоположным граням заменим на равнодействующую силу, приложенную напротив силы Q (т.е. точка приложения выбрана посередине между векторами сил):
Теперь найдем ориентацию кубического элемента, по граням которого действуют только главные напряжения. То есть найдем площадки главных напряжений по методике [5], [26]. Для этого используем круг Мора. В результате получим:
Как видно из рисунка, установлено направление главных напряжений и площадок, по которым они действуют.
Теперь совместим найденные направления главных напряжений с направлениями кольцевых напряжений (аналогично тому, как в сопротивлении материалов это производится при изгибе балки [26]):
Как видно из рисунка, направления главных напряжений не совпадают с направлениями кольцевых напряжений. И кольцевые напряжения не являются главными напряжениями.