прутьев необходимой нам длины: для них требовалось слишком много места,поскольку их нужно было складывать горизонтально. На мое предложение хранитьбамбук в вертикальном положении собеседник заявил, что это невозможно,так как сила бамбука вылетит из него через обращенный кверху конец. В прошломпри выборе материала и проектировании конструкции полагались лишь на инстинкти опыт. Среди лучших ремесленников, работавших по сложившимся традициям,встречались иногда блестящие мастера. Однако было бы ошибкой преувеличиватьвозможности традиций, мастерство ремесленника могло быть великолепным,но инженерное решение его изделий, как правило, в лучшем случае было посредственным,а иногда оказывалось удивительно плохим. Повозки теряли колеса, потомучто каретных дел мастерам не хватало смекалки крепить их подобающим образом.Точно так же деревянные корабли в плавании почти всегда имели злосчастныетечи, потому что кораблестроители тех дней не понимали природы касательныхнапряжений, которые, боюсь, и сегодня для многих остаются загадкой.
Экскурс в такие далекие для нашего предмета времена может показатьсянеуместным в книге, посвященной современной науке о материалах, однакоследует помнить, что наука эта, подобно медицине, должна была прокладыватьсвой путь наперекор традиционной практике и суевериям. Не дать представленияо тех глубинах антизнания, из которых должно было подняться современноематериаловедение, значило бы в чем-то погрешить против истины.
Атомы, химия, единицы измерения
Несмотря на то что не всегда просто установить прямые связи между прочностьюматериалов и законами классической физики и химии, в конечном счете именноэти науки составляют фундамент материаловедения. Поэтому для тех, кто могпозабыть кое-что из школьной программы, в конце книги имеется приложение,где кратко изложены основные сведения, без знания которых трудно следитьза дальнейшими рассуждениями. Однако для понимания материаловедения нев меньшей степени, чем знание законов химии и физики, необходимо правильноепредставление о размерах и масштабе. Иными словами, законы науки дают правилаигры, но размеры шахматной доски, то есть те масштабы, в которых разыгрываютсяигры в природе и технике, постоянно и почти невообразимо изменяются. Поэтомуостановимся, хотя бы кратко, на вопросе о масштабах и единицах измерения.
Кельвин не раз повторял, что наука начинается с измерений. Но для того, чтобыизмерять, нужны единицы измерения. Для измерения сравнительно больших величинмы будем использовать сантиметры и миллиметры, тонны, килограммы и граммы.Оперируя очень малыми величинами, мы обычно становимся более рациональными иобращаемся к малым единицам. А поскольку материаловедение часто имеет делоименно с малыми величинами, которые не используются в повседневной жизни, обэтих малых единицах следует рассказать подробнее. Микрон (мкм) - 1/10000 см,то есть 1/1000 мм. Размер самой маленькой точки, которую можно увидетьневооруженным глазом, - около 1/10 мм, то есть 100 мкм. А самый малый предмет,видимый с помощью обычного оптического микроскопа, как правило, меньше 0,5 мкм.На практике возможность видеть предмет в значительной степени зависит отусловий освещения: так, в сильном луче света, проникающем в темную комнату,можно видеть невооруженным глазом частицы пыли размером в 10 мкм или дажеменьше. Так как предел разрешения оптического микроскопа примерно равен одномумикрону, микрон стал излюбленной единицей тех, кто в основном работает с этиммикроскопом, в частности биологов.
Ангстрем (А) - 1/10000 мкм, или 1/100000000 см. Эта единица пользуетсяуважением тех, кто работает с электронным микроскопом, ее применяют дляизмерения атомов и молекул. С помощью современного электронного микроскопаможно рассмотреть (обычно в виде неясных пятен) частицы размером около5 А. Это примерно в тысячу раз меньше того, что можно увидеть в лучшемоптическом микроскопе. Но и в этом случае разрешение сильно зависит отусловий эксперимента.
Вероятно, здесь следует немного поговорить об атоме. Атомы - этото, из чего построены все вещества. Сами атомы состоят из очень малых итяжелых ядер, окруженных облаком обращающихся вокруг них электронов, которыеявляются волнами, частицами или отрицательными зарядами электричества.Электроны несравненно меньше ядер атомов. Массы и размеры атомов различныхвеществ могут быть очень разными. Атомы можно представить себе в виде шариковс негладкой поверхностью диаметром, грубо говоря, около 2 А. По обыденнымпонятиям, это невообразимо малый размер, мы никогда не сможем увидеть отдельныйатом с помощью обычного видимого света, хотя в массе своей атомы, конечно,являются перед нами в виде любого тела.
Здесь полезно напомнить, что наименьшая частица, которую можно видетьневооруженным глазом, содержит примерно 500000 атомов в поперечнике, а спомощью оптического микроскопа нам удается рассмотреть частичку с 2000 атомов впоперечнике. Электронный микроскоп позволяет увидеть расположение атомов вкристалле, которое напоминает построение солдат на параде; с помощьюустройства, называемого ионным проектором, можно рассмотреть даже отдельныеатомы - по крайней мере некие их туманные очертания. Однако даже призначительно лучшей разрешающей способности микроскопа (а со временем таковая,возможно, и будет достигнута) вряд ли нам удастся увидеть что-нибудь оченьконкретное.
Часть I. Упругость и теория прочности
Глава 1
Напряжения и деформации, или почему мы не проваливаемся сквозь пол
Он имел обыкновение каждый вечер втягивать Вана вфилософскую дискуссию и в этих спорах всегда подчеркивал разницу междусистемой Ка-пина, в которой Земля висит на мощных канатах, и системой Тай-у,считавшего, что Земля опирается на громадный бамбуковый столб. Самобытныйи проницательный ум Аш-шу уже давно обнаружил слабость обеих теорий в самойих основе.
Мы действительно не проваливаемся сквозь пол, и это для нас настолько обычно,что мы над этим никогда не задумываемся. Но более общий вопрос, почемулюбое твердое тело вообще способно сопротивляться приложенной к нему нагрузке,издавна занимал умы ученых. Ответ на него представляет собой наглядныйпример того, как без применения изощренных приборов может быть теоретическирешена научная проблема (исключая, конечно, ее молекулярный аспект). Этоотнюдь не говорит о бесхитростности предмета. Ведь недаром первый существенныйвклад в решение проблемы внесли такие выдающиеся умы, как Галилей (1564–1642)и Гук (1635–1702). Нужно сказать, что именно они впервые четкосформулировали задачу.
Правда, эта задача оказалась за пределами возможностей XVII века. Более того,на протяжении еще двухсот лет не было достаточно полного представления о том,что же на самом деле происходит в конструкциях; даже в XIX веке круг людей,понимавших что-то в этой области, ограничивался несколькими не оченьпризнанными в те времена теоретиками. Инженеры-практики все еще продолжалиделать свои расчеты, что называется, на пальцах. Нужно было пройти долгий путь,полный сомнений и катастроф (вроде случая с мостом через рекуТэй[6]), чтобыони убедились в пользе обоснованных расчетов на прочность[7]. Вместе с темобнаружилось, что правильный расчет может удешевить конструкцию, так какпозволяет экономить материалы более безопасным путем. В наши дни суть разницымежду квалифицированным инженером, с одной стороны, и слесарем или простосамоучкой-любителем - с другой, заключается не столько в изобретательности илистепени мастерства, сколько в теоретической подготовке.
Давайте начнем с самого начала, с Ньютона (1642–1727), который сформулировалосновной закон механики: действие равно противодействию по величине ипротивоположно ему по направлению. Это означает, что каждая сила должна бытьсбалансирована точно такой же по величине силой противоположного направления.При этом природа сил не имеет никакого значения. На пример, сила может бытьсоздана каким-либо неподвижным грузом. Предположим, я стою на полу, мой вес 75кг. Следовательно, мои подошвы давят на пол с силой 75 кг, которая направленавниз; это дело моих ступней. В то же самое время пол должен давить на моиподошвы с той же силой 75 кг, направленной вверх; эта сила исходит от пола.Если доски пола окажутся подгнившими и не смогут обеспечить силу 75 кг, янеминуемо провалюсь. Но если каким-то чудом пол сообщит мне силу, большую, чемта, которую требовал мой вес, скажем, 75,5 кг, то я - ни много ни мало -взлечу. Те же рассуждения применимы к любому грузу: если стул весит, например,20 кг, то, чтобы он оставался на привычном для нас месте, пол должендействовать на него с такой же силой. Однако в законе Ньютона совсем необязательно сила связана лишь с каким-либо неподвижным грузом. Если я направлюсвой автомобиль в стену, то она отреагирует на мои действия с силой, в точностиравной той, которая необходима, чтобы остановить автомобиль, даже если при этомпогибает водитель. И еще один пример: ветер оказывает давление на дымовуютрубу, пытаясь ее опрокинуть, но точно с такой же силой труба действует навоздух - именно поэтому она не опрокидывается.
Все это лишь частные проявления третьего закона Ньютона, который, грубоговоря, утверждает, что для сохранения статус-кво совокупность сил, действующихна тело, должна быть уравновешенной. Правда, закон ничего не говорит отом, откуда берутся все эти силы. Что касается внешних нагрузок на тело,то обычно их обнаружить легче: вес груза возникает из-за гравитационноговоздействия Земли на массу груза (земное притяжение); в случае торможениядвижущейся нагрузки (будь то твердое тело, жидкость или газ) возникающиесилы таковы, что вызывают необходимое замедление движущейся массы (второйзакон Ньютона). Задача любой механической конструкции состоит в сохранениии поддержании статус-кво, для ее выполнения в конструкции должны каким-тообразом возникать силы, которые могли бы уравновесить внешние нагрузки,действующие на нее. Кажется, теперь мы можем понять, как груз давит напол, но как пол давит на груз?
Ответ на этот вопрос далеко не очевиден. Во времена Галилея и Гука,на заре научной мысли, проблема была еще более неразрешимой. Ее решениеусугублялось человеческой склонностью осмысливать непонятное, отталкиваясьот самих себя, от процессов, которые кажутся знакомыми по своему собственномувнутреннему опыту. Но такой "антропометрический" подход и биологическиеаналогии могут лишь запутать дело. Животное имеет два механизма сопротивлениянагрузкам. Его инертные части - кости, зубы, волосы - воспринимают механическуюнагрузку точно так же, как и любое неживое твердое тело. Но живой организмкак целое ведет себя совершенно иным образом. Люди и животные способныактивно сопротивляться приложенным силам: они напрягают свои мышцы и взависимости от того, чего требует сложившаяся ситуация, отталкивают илитянут что-то. Если вы поставите мне на ладонь какой-либо груз (допустим,кружку пива), то, чтобы удержать эту нагрузку, я должен увеличить натяжениев определенных мышцах.
Благодаря сложному и совершенному биологическому механизму наши мышцынепрерывно подстраиваются под внешнюю нагрузку, что позволяет удерживатькружку в вытянутой руке. Однако сохранение биологического напряжения мышцтребует непрерывного расходования энергии (подобно тому как упершийся встену автомобиль, оборудованный гидравлической передачей, продолжает сжигатьбензин в своем двигателе, оказывая давление на стену, но ни машина, нистена при этом не движутся). Расход энергии приводит к усталости мышц руки,и, чтобы снять с них нагрузку, я рано или поздно должен буду выпить пиво.
В отличие от неодушевленных предметов человек всегда, даже когда стоитнеподвижно, производит направленные, хотя, возможно, и неосознанные, подстроечныеоперации в мышцах тела. Со временем он устает и, если обморок или смертьпрерывают мышечные процессы, падает. В неодушевленных телах подобные биологическиепроцессы отсутствуют. Конструкционные материалы пассивны, так что они не"устают" в обычном смысле этого слова. Прежде чем начать сопротивлятьсявнешним нагрузкам, в них должны возникнуть какие-то смещения, то есть,чтобы оказать какое-либо сопротивление, они должны в большей или меньшейстепени поддаться нагрузке. Под смещением мы понимаем не перемещение телакак целого, без изменения его формы, а именно геометрические искажениясамого тела, то есть тело в целом или отдельные его части становятся корочеили длиннее вследствие растяжения или сжатия внутри самого тела.
В природе не существует и не может существовать абсолютно жесткого материала.Все тела в той или иной мере обладают податливостью. Если вы взбираетесьна дерево, то ветки прогибаются под вами, и это сразу становится заметным.Однако, когда вы идете по мосту, его прогиб настолько мал что вы его неощущаете. Но как смещения ветвей, так и отклонения моста могут быть охарактеризованыколичественно. Пока смещения, вызванные внешними нагрузками, не слишкомвелики и не мешают конструкции выполнять свои задачи, их нельзя считатьошибками проекта, они определяют как бы врожденные, обязательные характеристикиконструкции. (Ниже мы дадим им более подробное определение.)
Между прочим, вспомните, что, летая самолетом, вы, быть может, замечали,как смещаются вверх-вниз кончики его крыла. Конструктор, проектируя крыло,наделил его такими свойствами. Вероятно, вам уже ясно, что смещения, будьони малыми или большими, создают силы сопротивления. Эти силы определяютжесткость твердого тела, его способность сопротивляться внешним нагрузкам.Другими словами, в твердом теле возникают именно такие смещения, которыекак раз достаточны, чтобы уравновесить приложенные внешние нагрузки. Этопроисходит совершенно автоматически.
Как же возникают эти силы? Дело в том, что в любом теле атомы химическисвязаны между собой (Приложение I). Эти связи условноможно представить в виде пружинок, хотя, конечно, ничего "твердого" в обычномвульгарном смысле этого слова в промежутках между атомами не существует(рис. 1). Те же силы, которые делают тело твердым, определяют и его химическиесвойства. Разрушение химических связей освобождает энергию пороха и бензина,те же связи делают резину и сталь упругими и прочными.
Рис. 1. Наглядная модель химических связей в твердом теле
Когда твердое тело полностью свободно от механических нагрузок (чтобывает, строго говоря, очень редко), химические связи, или пружины в нашеймодели, находятся в нейтральном положении (рис. 1, а). Любая попыткасблизить атомы (это мы называем сжатием) или оттянуть их друг от друга(что обычно называется растяжением) сопровождается небольшим укорочением(рис. 1, б) или удлинением (рис. 1, в) межатомных пружинво всем объеме материала. При этом ядра атомов считаются жесткими, крометого, в твердом теле атомы обычно не обмениваются местами, по крайней мерепри умеренных, или "безопасных", нагрузках. Таким образом, податливостьтвердого тела определяется межатомными связями. Жесткость этих связей можетизменяться в широких пределах, но для большинства веществ она намного выше,чем у тех металлических пружин, с которыми мы встречаемся в повседневнойжизни. Очень часто величины межатомных сил весьма и весьма велики. Этогои следовало ожидать, если вспомнить о силах, которые могут быть полученыпри разрыве химических связей горючих или взрывчатых веществ.
Хотя абсолютно жестких тел, то есть таких, которые под действием внешних силсовершенно не изменяют своей формы, в природе не бывает, смещения во многихпредметах часто оказываются очень малыми. Например, если я наступлю на обычныйстроительный кирпич, то его высота уменьшится примерно на 1/20000 см. А двалюбых соседних атома в кирпиче станут ближе один к другому на расстояние~1/500000A (2·10-14 см).Величина эта невероятно мала, но она соответствует совершенно реальнымперемещениям атомов. Конечно, в крупных конструкциях перемещения элементов невсегда малы. Канаты, на которых висит мост через залив Форт (Шотландия), всевремя растянуты примерно на 0,1%, что при их общей длине почти 3 км составляетоколо 3 м. В этом случае атомы железа, расстояние между которыми в ненагруженном состоянии около 2 А, удаляются на величину ~2/1000 А.
Тот факт, что расстояние между атомами действительно изменяется поднагрузкой, был многократно про верен путем постановки самых различных экспериментов.Наиболее наглядные результаты дает стандартный метод измерения межатомныхрасстояний по отклонению пучка рентгеновских лучей при прохождении егочерез кристалл, основанный на явлении дифракции. Более чем полувековаяпрактика позволила довести этот метод до весьма высокой точности. Опытыпоказали, что смещения атомов в металлах, например, строго пропорциональнывеличине, на которую удлиняется (или укорачивается) весь кусок металла.В этих экспериментах наблюдались изменения межатомных расстояний примернодо 1%. На рис. 2 показаны результаты измерений на мягкой стали, в котороймаксимальные смещения атомов были около 0,5%.
Рис. 2. Сравнение напряжений, установленныхэкспериментально с помощью дифракции рентгеновских лучей (методом двухэкспозиций), с расчетными напряжениями, вычисленными по кривизне изогнутойбалки (отожженная малоуглеродистая сталь). Белый кружок - данные экспериментатораA, черный - экспериментаторов B и C.
Напряжения и деформации, что это?
Все эти рассуждения подводят нас к понятиям "напряжение" и "деформация". Когдамы говорили о силах, то имели в виду полные величины сил, действующих на тело.Такой силой мог быть любой груз. Когда мы говорили о смещении под нагрузкой, тоимели в виду полные смещения независимо от размеров объекта, будь он большимили малым. Однако все это не позволяет нам сравнивать большой объект подбольшой нагрузкой с малым объектом под меньшей нагрузкой. Например, если изстали одного сорта изготовить крошечную деталь пишущей машинки и корпусвоздушного лайнера, то какие характеристики этого материала, работающего встоль различных условиях, можно было бы сравнивать? Без ответа на этот вопросмы не можем продолжать разговор о материалах и конструкциях. Нужные намвеличины называются напряжением и деформацией. Напряжение - это нагрузка,отнесенная к единице площади, то есть σ= P/F, где σ - напряжение, Р- нагрузка, F - площадь. Приведенная формула также повседневна, как и привычные всем выражения "килограмм масла стоит 3 рубля" или "машина проходит10 километров на одном литре бензина". Следовательно, если мы снова возьмемкирпич с поперечным сечением 25x12 см, то есть площадью сечения 300 см2, и янаступлю на него, приложив к нему силу своего веса 75 кг, то сжимающеенапряжение, которое я вызову в кирпиче, будет σ = P/F = 75/300 = 0,25кг/см2
Точно так же, если кирпичная опора моста имеет поперечное сечение 10x5м и на мост въезжает локомотив весом в 125 т, то сжимающее напряжение вкирпичной кладке будет около 0,25 кг/см2.Теперь мы с полной определенностью можем сказать, что в обоих случаях напряженияв кирпиче примерно одинаковы, и если одна конструкция не разрушается, то,по-видимому, не разрушится и другая. Что касается кирпичей, то их молекулыподжимаются одна к другой одинаковыми силами, хотя вес локомотива и весмоего тела совершенно различны. Очевидно, что инженера должны интересоватьименно такие величины.
Напряжение может быть выражено в килограммах на квадратный миллиметр(кг/мм2), килограммах на квадратный сантиметр (кг/см2), ньютонах наквадратный метр (Н/м2) или других подобных единицах[8].
Разумеется, эти единицы применяются к любым поперечным сечениям и к любойточке, а не только к квадратным миллиметрам, квадратным сантиметрам и т.п. То,что цена одного килограмма масла 3 рубля, вовсе не означает, чтоее используют лишь для веса в один килограмм. Деформация - это величинаудлинения стержня под нагрузкой, отнесенная к начальной длине. Очевидно,что отрезки различной длины при одной и той же нагрузке получают в конструкцияхразличное удлинение. Если обозначить деформацию через ε,тоε = Δl/ l
где Δl — полное удлинение, а l — начальная длина. Так что, если стержень длиною 100 см под нагрузкой удлиняетсяна 1 см, его деформация будет 1/100, или 1%. Такая же деформация будету стержня длиной 50 см, растянутого на 1/2 см, и т.д. При этом толщинастержня роли не играет, не важно также, что вызвало удлинение.
В данном случае нас интересует лишь то, насколько изменилось взаимноеположение атомов и молекул. Деформация, так же как и напряжение, не зависитот размера образца. Деформация есть отношение удлинения к начальной длине,и, следовательно, она безразмерна и не зависит от того, какой системойединиц мы пользуемся.
Закон Гука
Роберт Гук был первым, кого осенила догадка о том, что происходит принагружении твердого тела. Он был не только физиком, но и известным архитектороми инженером. Ему нередко случалось беседовать со знаменитым часовых делмастером Томасом Томпионом (1639–1719). Они толковали о поведениипружин и маятников. Ничего не зная, конечно, о химических и электрическихмежатомных связях, Гук понял, что часовая пружина - всего лишь частныйслучай поведения любого твердого тела, что в природе нет абсолютно жесткихтел, а упругость является свойством всякой конструкции, всякого твердоготела.
Свои претензии на приоритет Гук оговорил в работе "Десяток изобретений,которые я намерен опубликовать" (1676). Среди других проблем там была "Истиннаятеория упругости и жесткости". Под этим заголовком стояла лишь анаграммаceiiinosssttuu, которую можно было понимать как угодно. Лишь тремя годамипозже в трактате о пружинах "De potentia restitutiva" ("О восстанавливающейсиле") Гук расшифровал ее латинской фразой "Ut tensio sic uis" — "Каково удлинение, такова и сила".
Иными словами, напряжение пропорционально деформации, и наоборот. Так, еслиупругое тело, например струна, удлиняется на 1 см под нагрузкой 100 кг, то поднагрузкой 200 кг удлинение составит 2 см и так далее, prorata[9]. Это утверждение известно какзакон Гука. Оно является краеугольным камнем всей техники.
По существу, закон Гука является приближенным соотношением, которое вытекаетиз характера межатомных взаимодействий. Различные типы химических связей(Приложение I) в конечном счете дают зависимостьдействующей между двумя атомами силы от расстояния между атомами, как этосхематически показано на рис. 3.
Рис. 3. Зависимость силы, действующей междудвумя атомами, от расстояния между ними.
При очень больших деформациях - скажем 5–10% - от пропорциональностимежду напряжениями и деформациями не остается и следа. Но обычно деформациине превышают ±1%, а в этом диапазоне зависимость между напряжениями и деформациямилинейна. Кроме того, для малых деформаций процесс нагрузки и разгрузкиобратим, то есть кусок материала можно нагрузить и снять с него нагрузкутысячи и миллионы раз с одним и тем же результатом. Наглядный пример этому- пружинка балансира в часах, которая повторяет этот процесс 18 000 разв час. Такой тип поведения твердого тела под нагрузкой называется упругим.Упругое поведение свойственно большинству технических материалов, хотясуществуют и материалы с пластическим поведением. Наиболее ярко пластичностьпроявляется у таких веществ, как пластилин, оконная замазка - эти материалыне подчиняются закону Гука: после снятия внешних нагрузок их форма и размерыне восстанавливаются.
Вообще говоря, наука об упругости изучает напряжения и деформации втвердых телах. Не только во времена Гука, но даже и совсем недавно мы малознали об упругих свойствах материалов. В тех случаях, когда их деформациипревышали примерно 1%, они либо разрушались, либо утрачивали упругие свойства.Поэтому кривая зависимости межатомной силы от расстояния при больших смещенияхатомов из положения равновесия (рис. 3) представляла главным образом академическийинтерес, на практике больших напряжений достигнуть не удавалось. И лишьсравнительно недавно появилась возможность растянуть очень прочные нитевидныекристаллы - усы - до деформаций от 3 до 6%. Эти опыты подтвердили, чтозакон Гука не всегда верен. Зависимость напряжения от деформации на графикеотклоняется от прямой линии и следует кривой межатомной силы, которая быларассчитана ранее физиками-теоретиками. На рис. 4 показана такая криваядля кремниевого уса, деформированного более чем на 3%.
Рис. 4. Кривая напряжение-деформацияочень кремниевого кремниевого уса, который был деформирован в испытательноймашине до 3,6%. Поведение уса при больших деформациях не подчиняется законуГука.
Модуль Юнга
Гук установил, что удлинения, укорочения, прогибы как пружин, так идругих упругих тел пропорциональны приложенным к ним нагрузкам. Они зависят,конечно, от геометрических размеров и формы конструкции, а также от того,из какого материала она сделана. Мы не знаем, понимал ли Гук, в чем разницамежду упругостью как свойством материала и упругостью как функцией формыи размеров конструкции. Дело в том, что можно получить сходные кривые "нагрузка- удлинение" и для куска резинового шнура, и для завитого куска стали,который мы называем пружиной, - это сходство явилось источником бесконечныхзаблуждений. Примерно столетие после Гука существовала эта путаница: невсем была ясна разница между двумя понятиями упругости.
Около 1800 года Томас Юнг (1773–1829) пришел к выводу,что, если пользоваться не абсолютными значениями сил и смещений в конструкциях,а напряжениями и деформациями, то закон Гука можно записать в следующемвиде:Напряжение / Деформация = σ/ε константа.
Юнг заключил, что эта константа является неотъемлемой характеристикойкаждого химического вещества и представляет его жесткость. Мы называемэту константу упругости модулем Юнга и обозначаем буквой E. Итак,E = σ/ε
Следовательно, Е описывает жесткость материала как такового. Жесткостьлюбого заданного объекта зависит не только от модуля Юнга материала, но и отгеометрической формы объекта. Между прочим, считают, что Юнг "был человекомвеликой учености, но, к сожалению, он никогда даже не подозревал, чтовозможности заурядного ума ограничены"[10]. Его идея о модуле упругости была изложена в неочень понятной статье, опубликованной в 1807 году. К этому времени Юнгузапретили читать лекции в Королевском институте, так как считали, что онслишком далек от практики. Так и случилось, что одно из самых распространенныхныне и полезных технических понятий не было принято и внедрено в инженернуюпрактику при жизни автора.
Громадная важность модуля упругости для техники объясняется двумя причинами.Во-первых, нам нужно точно знать возникающие под нагрузками смещения как вконструкции в целом, так и в различных ее частях. Разнообразие конструкцийогромно - мосты, самолеты, коленчатые валы и т.д. Посмотрите, например, надеформированное крыло самолета (рис. 5). Под действием рабочих нагрузоквзаимодействие деталей в конструкции не должнонарушаться[11]. В таких расчетах нам в первую очередь нужны величины Е.
Рис. 5. Самолет, в котором деформация лонжеронов крыла составляет 1,6%(радиус кривизны балки = Толщина / [2xДеформация])
Во-вторых, хотя неспециалисту и позволено думать, что жесткости всехконструкционных материалов практически одинаковы и говорить "Отлично, этовполне жестко! Не видно никаких смещений", такие суждения не соответствуютдействительному положению вещей. Нам необходимо знать модули упругостиразличных материалов (стали, древесины и т.д.) не только для того, чтобырассчитать деформации конструкции, но и для того, что бы деформации ееотдельных элементов были согласованными - тогда и напряжения между этимиэлементами будут распределяться так, как мы хотели этого, проектируя конструкцию.Определяя модуль Юнга, мы разделили напряжение на безразмерное число -деформацию, следовательно, модуль должен иметь размерность напряжения (кг/мм2,Н/м2 и т.п.). Если деформация равна 1 (100%), то напряжение оказывается равным модулю упругости. Стало быть,модуль упругости можно считать таким напряжением, которое удваивает длинуупругого образца (конечно, если он прежде не разрушится). Легко себе представить,что величина модуля упругости должна быть большой, обычно она по крайнеймере в 100 раз больше разрушающего напряжения: ведь мы упоминали уже, чтоматериалы, как правило, разрушаются, когда их упругая деформация не превышает1%. Модуль Юнга для стали, например, составляет около 20000 кг/мм2.
Как мы уже говорили, величина E может сильно из меняться от одного веществак другому. Ниже приведены величины модуля для некоторыхматериалов[12].
Материал / Е, кг/мм2
Резина / 0,00007x104 (т.е. 0,7)
Неармированные пластики / 0,015x104
Органические молекулярные кристаллы, фталоцианин / 0,015x104
Древесина / 0,15x104
Кость / 0,3x104
Магний / 0,4x104
Обычное стекло / 0,7x104
Алюминий / 0,8x104
Сталь / 2x104
Окись алюминия (сапфир) / 4x104
Алмаз / 12x104
Таким образом, модуль самого жесткого из твердых тел (алмаза) почтив 200 000 раз больше модуля резины, тоже твердого тела. У резин модульупругости очень мал, потому что резина состоит из длинных гибких молекулярныхцепочек, которые в ненагруженном материале изгибаются, свиваются, сплетаются,словом, ведут себя подобно ниткам в спутанном клубке. Когда резину растягивают,изогнутые цепочки распрямляются, и совершенно очевидно, что необходимаядля этого сила будет намного меньше той, которая потребовалась бы, чтобырастянуть пучок нитей, вытянутых в одном направлении. Совершенно иная картинанаблюдается в кристалле. Прикладывая к нему силу, мы действуем непосредственнона межатомные связи, и единственная причина большой разницы в величинеЕдля разных кристаллов заключена в различной жесткости самих химическихсвязей. Наклон прямого участка кривой межатомного взаимодействия оченьсильно зависит от энергии межатомной связи. Но общая форма кривой для всехкристаллов одинакова.
Если обратить внимание на величину Е для фталоцианина, то нетруднопонять, почему огромное множество твердых химических соединений не можетбыть использовано в качестве конструкционных материалов. Вообще говоря,мы всегда хотим, чтобы наши конструкции были как можно жестче: колебаниямостов и зданий и без того велики. А если сделать конструкцию из материалас жесткостью фталоцианина, она никуда не будет годиться. Сталь - наиболеежесткий из сравнительно дешевых материалов, и в этом одна из причин ееширокого использования. Пластики, даже армированные стеклопластики, имеютнизкую жесткость, что ограничивает их применение для крупных конструкций.
Прочность
По-видимому, наиболее убедительно в рекламе продаваемой вещи звучатслова "не боится огня" и "не ломается". И хотя почти все мы знаем, чтоавторы рекламы не очень объективны, все же реклама находит адресата, ивсегда можно встретить людей, искренне убежденных в том, что существуют(или, по крайней мере, должны существовать) какие-то действительно неразрушающиесяпредметы. Однако создать такие предметы невозможно, поскольку энергия химическихсвязей не бесконечна, и эти связи имеют определенную прочность. Нужно лишь,надежно закрепив предмет, достаточно сильно на него нажать или потянуть,и он сломается. Вопрос лишь в том, когда.
Следует четко усвоить, что прочность и жесткость не одно и то же. Жесткость(модуль Юнга) показывает, насколько податливым является материал. Прочностьхарактеризуется напряжением, необходимым для того, что бы этот материалразрушить. Печенье - жестко, но непрочно; сталь - и жесткая, и прочная;нейлон - нежесткий, гибкий, но прочный; малиновое желе - и нежесткое, инепрочное. Вряд ли можно ожидать большей информации о свойствах твердоготела, если пользоваться лишь двумя его характеристиками.
Проще всего начать с прочности на разрыв. Это - напряжение, необходимое длятого, чтобы разорвать материал на части, разрушив все межатомные связи вдольповерхности разрыва. Представьте себе стержень, который растягивается вдольоси. Стержень из очень прочной стали может выдержать растягивающее напряжение300 кг/мм2. А вот обычный кирпич выдержит лишь 0,4–0,6 кг/мм2.Следовательно, прочность материалов, используемых в технике, может изменятьсяпримерно в 1000 раз.
Ниже приведена прочность на разрыв некоторых наиболее часто применяемыхматериалов.
Материал / Прочность, кг/мм2
Металлы
Стали
рояльная проволока / 300
высокопрочная сталь / 150
низкоуглеродистая сталь / 40
Чугун
обычный / 7–15
современный / 15–30
Другие металлы
чистый алюминий / 7
сплавы алюминия / 15–60
медь / 15
латуни / 12–40
магниевые сплавы / 20–30
титановые сплавы / 75–150
Неметаллы
древесина, ель
вдоль волокон / 10
поперек волокон / 0,3
стекло (оконное и посудное) / 3–20
хорошая керамика / 3–35
обычный кирпич / 0,5
льняное волокно / 70
хлопок / 35
шелк / 35
паутина / 25
сухожилие / 10
пеньковый канат / 8
кожа / 4
кость / 15
Говоря о прочности, мы обычно имеем в виду прочность на разрыв, хотяматериалы чаще работают на сжатие, чем на растяжение. Казалось бы, еслимы пытаемся прижать атомы один к другому, это не должно вызывать разрушения.Однако разрушение происходит, хотя и представляет собой явление более сложное,чем разрыв. Под действием сжимающей нагрузки материал может ломаться самымразличным образом.
Если мы сжимаем достаточно короткий стержень, на пример подставку, подпоркуили что-нибудь в этом роде, из материала мягкого, пластичного, подобногомеди или мягкой стали, то материал просто растечется в разные стороны,словно пластилин. Если стержень сделан из хрупкого материала (камень, стекло),то при сжатии он разлетится, обратившись в осколки и пыль (иногда это бываетдовольно опасным). Если же вы навалитесь на тонкую трость, она выгнется,а затем сломается пополам - так ведут себя при сжатии любые длинные гибкиестержни и пластинки. Консервная банка под действием большой нагрузки, напримересли на нее наедет автомобиль, сомнется - этот вид разрушения похож напредыдущий. Аналогично разрушаются любые тонкостенные конструкции, какихмного в кораблях, самолетах, автомобилях. Оказалось, что нелегко составитьтаблицу, которая давала бы наглядное представление о "прочности при сжатии".Чтобы определить эту величину, требуются знания и опыт, но, вообще говоря,этой характеристикой лучше не пользоваться.
Между величинами прочности материалов на растяжение и сжатие какого-либоуниверсального соотношения не существует. Отчасти это связано с тем, чтов большинстве случаев трудно провести четкую грань между материалом и конструкцией.Например, куча кирпича обладает прочностью на сжатие и не имеет никакойпрочности на растяжение. Несомненно, в данном случае куча кирпича представляетсобой конструкцию, а не материал, но такие материалы, как чугун, бетон,гипс, на много прочнее при сжатии, чем при растяжении, и в основном потой же самой причине, что и куча кирпича: в них масса трещин. Цепи и канатыпрочны на разрыв, но совсем не сопротивляются сжатию. Вероятно, их следуетсчитать конструкциями. Древесина, однако, примерно в три-четыре раза прочнеепри растяжении, чем при сжатии, потому что ее отдельные волоконца при сжатиисгибаются. Тем не менее древесина считается материалом, а не конструкцией.
Растяжение и сжатие в конструкциях
В течение многих веков инженеры и архитекторы старались по возможностине нагружать материал растяжением. И это делалось не столько потому, чтоне было достаточно прочных на разрыв материалов (древесина, например, вэтом отношении прекрасный материал), сколько из-за того, что очень трудносделать достаточно прочное на разрыв соединение. (Большинство из нас интуитивночувствует, что сжатая конструкция безопаснее растянутой; например, намкажется, что кирпичная стена безопаснее подвесной канатной дороги.) Нокогда все-таки приходилось соединять детали, работающие на растяжение,например на кораблях, места стыков всегда были наиболее уязвимым местомконструкции. Теперь мы научились делать надежные стыки с помощью болтов,заклепок, клея и сварки, и уже нет особых оснований не доверять таким конструкциям.
Однако в древности проблема соединений в сжатых конструкциях решаласьнамного проще, чем в растянутых. В самом простом случае это была укладкакамней или кирпичей один к другому без применения раствора, и такое сооружениене рушилось. Эта работа требует навыка, но он не многим сложнее того, которыйприобретают дети, складывая картинки из кубиков. Однако с развитием архитектурыросла и высота стен, появилась необходимость надежнее связывать кирпичии камни между собой. Иначе стены с грохотом превращались в груды камня:не связанные между собой камни расползались под весом верхней части кладки.
До наших дней сохранились великолепные образцы соединений в античныхпостройках. Правда, не ясно, насколько необходима была та тщательность,с которой выполнены большие каменные блоки этих сооружений. Вероятно, отчастиона определялась соображениями престижа. Но как бы то ни было, многие издревних построек поражают наше воображение.
Однако какой высокой и впечатляющей ни была бы стена, технически этоне очень мудреная конструкция; ее создатель должен был думать лишь о напряжениях,действующих в одном направлении, по вертикали. Правда, перекрытия, двери,окна всегда вносят дополнительные трудности. А как только мы начинаем рисоватьв своем воображении системы напряжений в двух и трех направлениях, переднами открываются колоссальные возможности. Примером может служить арка.Самая простая арка (рис. 6) работает на сжатие одновременно в двух направлениях,хотя на первый взгляд это кажется невозможным. Кирпичной аркой можно безособых ухищрений перекрыть пролет длиной около 50 м (чаще встречаются пролетыв 25–50 м). Это намного больше того, чего удается добиться с помощью любогопростого балочного перекрытия. Арки очень долговечны, и до наших дней вотличном состоянии сохранилось много древнеримских арок, с их помощью,например, перебрасывали водопроводы через овраги.
Рис. 6. Арка, представляющая собой конструкцию,работающую на сжатие в двух направлениях
Формирование представлений о сложном напряженном состоянии стимулировалогромадный скачок в развитии не только архитектуры, но и техники. Как толькобыла принята концепция двумерной арки, а вслед за этим сделан следующийлогический шаг - к трехмерному куполу, - архитектура стала творить чудеса.Центральная часть собора св. Софии, построенного в Константинополе около530 года при императоре Юстиниане, представляет собой огромный купол, диаметркоторого достигает 33 м. Для легкости он сложен из пемзы и покоится нагромадных арках, которые в свою очередь опираются на вспомогательные полукупола(рис. 7). Размеры свободного от каких-либо колонн пространства площадьюболее чем 60x30 и высотой около 80 м были, вероятно, непревзойденными вплотьдо постройки современных вокзалов, крыши которых держатся на металлическихстропилах.
Рис. 7. Макет куполов собора св. Софии в Константинополе.
Формы византийских зданий, как правило, просты. Готические же архитекторы,давая волю своему воображению, создавали перекрытия, боковые приделы, витражи.И хоть это, надо думать, обходилось недешево, такие постройки, если онибыли сделаны со вкусом и знанием дела, могли служить образцами инженерногоискусства и художественного мастерства. Что же касается каменной кладки,то она должна быть выполнена так, чтобы напряжения во всех точках конструкциибыли сжимающими: ведь кладка совсем не сопротивляется растяжению, под действиемкоторого она разваливается по швам.
Готические архитекторы, пытаясь заставить конструкцию работать на сжатие,не прибегали к математике, и поэтому в трехмерные лабиринты соборных крышчертом прокрадывалось растяжение. Так обрушилась башня одного из самыхбольших готических соборов - собора в Бове (1247), крыша его проваливаласьдважды. Архитекторы знали лишь качественную сторону подобных катастрофи пытались предупредить их, подкрепляя конструкции частоколом контрфорсов(рис. 8).
Рис. 8. Типичная конструкцияготического собора с контрфорсами.1 - деревянная крыша;2 - арочный свод;3 - контрфорс;4 - деревянная крыша бокового придела;5 - стена придела.
В соборе св. Софии эта задача решалась и рациональнее и успешнее: тамвспомогательные купола давили на главный купол и создавали сжатие в опаснойобласти. Однако иногда готические зодчие перебарщивали: создавая слишкомбольшие боковые давления, они должны были ставить подпорки изнутри, чтобыпредотвратить разрушение крыш. Эти подпорки чаще всего делались в видеперевернутых арок, подобных аркам собора в Уэлсе (Великобритания), который,как бы ни оценивали его в эстетическом плане, технически построен неграмотно(рис. 9). Не удивительно, что крыши церквей довольно часто рушились наголовы коленопреклоненных прихожан.
Рис. 9. Собор в Уэльсе (Великобритания).
Каменная кладка остается целой благодаря силам тяжести, то есть приправильно спроектированной кладке вес камня создает безопасную сжимающуюнагрузку во всех ее точках. А если этого веса не хватает, к зданию всегдаможно добавить бельведеры или башни. Если же в конструкции появляются растянутыеобласти, то, безусловно, растягивающие и сжимающие нагрузки (в том численагрузки от веса сооружения) должны быть уравновешены. Так, канаты подвесногомоста (рис. 10) находятся в растянутом состоянии, а грунт под мостом оказываетсясжатым. Растяжение в брезенте и растяжках палатки уравновешивается сжатиемв центральной подпорке и на той земляной площадке, где установлена палатка.На плывущем корабле растяжение в парусах и оснастке вызывает сжатие мачти рангоутов. В теле животных сжимающие нагрузки воспринимаются скелетом,в основном позвоночником; эти напряжения возникают не только под действиемсобственного веса, но и вследствие растяжения в мышцах и сухожилиях. Сокращаямышцу, я поднимаю руку, в это время мышца передает сжимающую силу кости,а кость легко выдерживает сжатие. Если нога попадает в условия, когда нанее действует изгиб - а изгиб включает растяжение, - нога может сломаться.
Рис. 10. Растяжение в тросах балансируется сжатием в грунте
Когда мы располагаем материалами, одинаково хорошо работающими и насжатие и на растяжение, наши конструкции оказываются проще и безопаснее.Именно поэтому в строительстве удобны железобетон и стальные конструкции.
Инженерам повезло, в их распоряжении есть железо и сталь - ведь мычасто и не знаем, какого рода напряжения придется выдержать машине во времяработы. Например, стенки парового котла работают на растяжение, но еслипо какой-то причине давление пара упадет ниже атмосферного, котел будетсжат разностью давлений, однако со стальным котлом ничего страшного непроизойдет.
К довольно неожиданным эффектам, с которыми приходится бороться, могутпривести сжимающие напряжения в корпусе подводной лодки. Когда лодка находитсяв надводном положении, она плавает, как любое другое судно, поскольку еевес меньше веса воды, которая может быть вытеснена объемом лодки. Чтобылодка погрузилась, балластные цистерны заполняют водой настолько, чтобывес лодки был равен весу воды в ее объеме. Тогда "удельный вес" лодки будетравен удельному весу воды, и лодка не будет иметь запаса плавучести.
Теперь лодка может опускаться на глубину и маневрировать примерно так же, какэто проделывает дирижабль в воздухе. Однако, погружаясь глубже, лодкаиспытывает все большее и большее давление воды, и сжимающие напряжения в еекорпусе растут. Поскольку давление внутри лодки остается примерно постоянным,корпус ее сжимается, уменьшается объем, а следовательно, уменьшается ивыталкивающая сила. Если вес лодки вместе с балластом не изменяется, онастремится провалиться глубже, и при некоторых обстоятельствах этот процессможет стать опасным. На предельной для подводной лодки глубине погружениявеличина деформации сжатия может составить около 0,7%. Деформация происходит вовсех трех направлениях, поэтому объем лодки может уменьшиться примерно на 2%.Так как сжимаемость воды очень невелика, то для лодки весом 1000 т это будетозначать потерю выталкивающей силы примерно 20 т[13]. Если эту силу не компенсировать, частично опорожняя балластныецистерны от воды, подводная лодка будет опускаться все глубже и глубже, пока еене раздавит давлением воды. В этом, между прочим, заключается одна изтрудностей постройки подводной лодки из стеклопластиков, которые всем, пожалуй,хороши, кроме модуля упругости: он слишком мал.
Иногда думают, что затонувшие подводные лодки "висят" где-то поблизостиот океанского дна. Это, конечно, нелепое представление: если корпус потерпевшейаварию лодки и не сомнет давлением воды, что случается чаще всего, то онбудет непрерывно сжиматься, выталкивающая сила будет падать и лодка будетопускаться на дно все быстрее и быстрее.
Воздушные шары, пневматические шины и т. п. представляют особый случайконструкции, в которой растягивающие напряжения в оболочке уравновешеныдавлением наполняющего их газа или жидкости. Поэтому большие баржи-мешкии надувные лодки обычно очень легкие и эффективные конструкции. Изобретениекрыш, поддерживаемых изнутри воздухом, заставляет пересмотреть прежниеархитектурные традиции, в этих конструкциях все элементы работают на растяжение,лишь воздух внутри здания сжат.
Балки и изгиб
Итак, мы знаем теперь, что понять, как работает конструкция на растяжениеи сжатие, довольно легко. Но вот как те же самые растяжение и сжатие позволяютбалкам выдерживать нагрузки - это далеко не очевидно. А между тем разногорода балки (рис. 11) составляют львиную долю всех конструкций, с которымимы повседневно сталкиваемся. Самая обычная половая доска - наглядный примербалки, и таких примеров можно привести огромное множество. Мы уже говорили,что задача этой самой доски заключается в том, чтобы давить на наши подошвывверх с силой, в точности равной нашему весу. Естественно, эту роль полдолжен играть постоянно, в том числе и тогда, когда мы стоим посреди комнаты,далеко от стены, которая в конечном счете будет воспринимать силу нашеговеса. Но позвольте, как эта сила передается от стены на наши ноги, и обратно?
Рис. 11. Свободно опертая балка.
Ответ на этот вопрос дает так называемая теория балок, которую, пожалуй, можноназвать становым хребтом техники. Но, к сожалению, этот "хребет" представляетсобой pons asinorum[14] для студентов технических вузов.Большинство из них механически заучивают формулы теории балок лишь для того,чтобы проскочить на экзаменах; понимать эти формулы они начинают гораздо позже,когда настает время мучаться над собственными проектами. Поэтому давайте покаоставим всю эту кухню интегрирования эпюр и попытаемся подступиться к существупроблемы.
Начнем с того, что вспомним высказанную ранее мысль об отсутствии четкогоразличия между понятиями "материал" и "конструкция". Большие балки, напримерперекрытия железнодорожных мостов, подобно детскому конструктору, собираютсяиз многих малых стержней. Эти стержни работают как на растяжение, так ина сжатие. Способ передачи нагрузки в такой решетчатой балке, или ферме,по существу не отличается от того, как передается нагрузка в сплошной балке,даже такой, как половая доска. В решетчатой балке вся нагрузка передаетсятолько путем сжатия и растяжения стержней. В сплошной балке такой решеткинет, но мы можем представить себе ее как бы прошивающей всю балку.
Для определенности начнем анализ с консольной балки, то есть с балки,один конец которой встроен в стену или жестко закреплен каким-либо другимспособом на любом основании (на языке инженеров это называется "заделка"):к другому концу консоли приложена нагрузка. Такую консоль рисовал еще Галилей(рис. 12); правда, он неверно рассчитал прочность своей консоли, что, впрочем,ему простительно. Мы же построим нашу консоль только из стержней и натянутыхструн.
Рис. 12. Рисунок Галилея, иллюстрирующий испытания консольной балки.
Рассмотрим простую конструкцию типа крана, изображенную на рис. 13, а.Сжатый стержень 2 опирается на стену и поддерживается струной 1,таким образом он может воспринимать внешнюю нагрузку (назовем ее W).Очевидно, сила, противодействующая нагрузке W, возникает вследствиесжатия наклонного стержня 2. Натяжение горизонтальной струны 1лишь предохраняет сжатый стержень 2 от поворота и падения.
С таким же успехом мы можем воспользоваться другой треугольной конструкцией(рис. 13, б), в которой сжатый стержень 4 занимает горизонтальноеположение и удерживается от падения наклонной растянутой струной 3.В этом случае сила, удерживающая вес W, обеспечивается струной,а горизонтальный сжатый стержень необходим лишь для того, чтобы струнане прижималась к стене.
Обе эти конструкции одинаково хороши, и мы можем объединить их в одну,способную выдержать вес 2W, как показано на рис. 13, в. Ясно, чтонагрузка 2W непосредственно воспринимается наклонными элементами 2 и3, один из которых сжат, а другой растянут. Горизонтальные элементы 1 и4 воздействуют на стену, один из них давит, другой - тянет, вместе ониобеспечивают целостность конструкции, но не поддерживают вес грузанепосредственно.
Рис. 13. Сопоставление напряженного состоянияв сплошной балке и решетчатой ферме.
Пристроив к полученной конструкции еще одну, точно такую же, мы получим новуюферму, показанную на рис. 13, г. В этом случае тот же самый груз 2Wподдерживается сжатыми и растянутыми наклонными элементами 2, 3, 6 и7, в то время как элементы 1, 5, 4 и 8 сжаты и растянуты вгоризонтальном направлении и, хотя они не поддерживают внешнюю нагрузкунепосредственно, благодаря им ферма не рушится. Получается, что каждый элементвыполняет свою функцию и, если хотя бы один стержень или одна струна выйдет изстроя, катастрофа неизбежна: каждый элемент по-своему важен.
Теперь посмотрим, как передается в нашей ферме нагрузка от элемента к элементу.Правая ячейка на рис. 13, г работает точно так же, как единственная ячейка нарис. 13, в. Однако в левой (внутренней) ячейке на рис. 13, г делообстоит иначе. Растягивающее напряжение в струне 1 вдвое больше напряженияв струне 5, а сжатие в стержне 4 в два раза превышает сжатие в стержне8. Это происходит потому, что диагональные элементы (назовем их"сдвиговыми") добавляют нагрузку на элементы, расположенные по направлению кместу заделки консоли. Однако во всех сдвиговых элементах независимо от длиныфермы нагрузка одинакова.
Мы можем продолжать нашу ферму, пристраивая к ней все новые и новыеячейки, как это показано на рис. 13, д. Внимательно посмотрев нарисунок, мы поймем, что и здесь напряжения во всех диагональных элементаходинаковы. С другой стороны, напряжения сжатия и растяжения в нижних иверхних горизонтальных элементах от ячейки к ячейке возрастают (если двигатьсяот точки приложения нагрузки к месту заделки консоли). Нетрудно доказать,что это возрастание напряжения пропорционально номеру элемента (опять-такисчитая от точки нагружения). Именно поэтому консоль всегда ломается в местезаделки, у стены, где возникают наибольшие напряжения, если, конечно, заранеене позаботиться о ее прочности и не подобрать все стержни соответственнодействующей нагрузке. Если такой подбор сделан строго пропорционально нагрузке,то ферма становится равнопрочной, то есть может сломаться в любом месте,а это идеальный случай, составляющий цель многих расчетов на прочность.Совершенно ясно, почему мы хотим, чтобы материал был напряжен во всех точкаходинаково; в этом случае материал используется с максимальной эффективностью,а конструкция имеет минимальный вес.
Если теперь мы преобразуем нашу ферму или балочку, построенную из детскогоконструктора, в сплошную балку, то получим систему напряжений, изображеннуюна рис. 13, е. В средней по высоте части балки под углом 45° к осидействуют главным образом сдвиговые напряжения, неизменные по длине балки.Материал верхней и нижней частей балки нагружен в основном растяжениеми сжатием. Горизонтальные напряжения растяжения-сжатия быстро возрастаютпо длине балки и в наиболее опасном сечении становятся намного больше сдвиговыхнапряжений. Именно эти напряжения обычно повинны в разрушениях балочныхконструкций и тяжелых несчастных случаях, которые за ними следуют. Вотпочему вычисления, связанные с расчетом напряжений, - это совсем не сухиеакадемические упражнения, интересные только специалистам, они прямо связаныс безопасностью и благополучием большинства из нас.
Если вся эта охота за напряжениями покажется читателю несколько непонятной,лучше всего сделать модель из детского конструктора или из соломинок длякоктейлей, скрепляя их обыкновенными булавками. Поразмыслив над такой моделью,вы поймете, что представляет собой консоль вообще и как она выдерживаетнагрузку. Конечно, сколь сложным бы ни было напряженное состояние, мы должныотдавать себе отчет в том, что любое напряжение связано с деформацией,поэтому консоль неизбежно должна в большей или меньшей степени прогибатьсяпод нагрузкой (рис. 13, ж).
Консоли широко распространены в технике, но еще чаще используются обычныебалки, вроде тех, которые принято называть "свободно опертыми" (рис. 14).Примером такой балки может служить доска, переброшенная через канаву илиручей. Как же такая балка соотносится с консольной? Наглядный ответ наэтот вопрос дает рис. 14. Дело в том, что свободно опертую балку можнорассматривать как две консоли, жестко связанные друг с другом в местахзаделки и перевернутые на 180°. В то время какнаибольшее напряжение в консоли возникает в месте ее заделки, в нашей новойбалке оно будет в центре. Поэтому такие балки обычно ломаются пополам.
Рис. 14. Свободно опертая балка, которую можнорассматривать как две консоли,сложенные вместе у заделок и перевернутые на 180 градусов.
Теперь нам понятно, почему мы не проваливаемся сквозь пол: напряженияв досках передаются зигзагами, под углом 45° к поверхности, от наших подошвдо стены, обеспечивая в результате силу, направленную вверх, которая наси держит. Вместе с этими сдвиговыми напряжениями в доске вблизи верхнейи нижней ее поверхностей возникают напряжения растяжения - сжатия, направленныегоризонтально. Если по какой-либо причине эти напряжения окажутся слишкомбольшими (на доску наступил чересчур грузный человек или сама доска слишкомтонка), мы сначала обнаружим тревожный прогиб доски, а уж затем раздастсятреск.
Каждый может поставить простой эксперимент, который покажет, что напряженияи перемещения, вызванные изгибом, намного опаснее тех - при прочих равныхусловиях, - которые вызваны растяжением или сжатием. Действительно, возьмитекакую-нибудь деревянную планку или стержень и попробуйте разорвать ее руками.Как правило, этого вам сделать не удастся, как не удастся и заметить наглаз удлинение вашего образца. Теперь начинайте гнуть стержень, и вы тутже заметите вполне ощутимый прогиб, а возможно, и без особого труда сломаетеобразец. Этим объясняется то обстоятельство, что балки почти всегда требуюттщательной расчетной проверки прочности и жесткости. Такой расчет можетсделать каждый, кто знаком с элементарной алгеброй, по стандартным формулам,приведенным в конце книги.
Мы уже говорили, что разобраться в теории изгиба балок не так-то просто,но, откровенно говоря, особого напряжения интеллекта для этого не требуется,да и многое в технике станет гораздо яснее. По правде сказать, проектируядаже весьма внушительные конструкции, инженеры зачастую пользуются почтиэлементарной теорией изгиба. Далее мы увидим, что такая практика иногдаможет быть опасной, поскольку элементарная теория, будучи чрезвычайно полезной,все же не дает нам достаточно полного представления о прочности сложныхконструкций. Тем не менее она очень широко используется для прикидочныхоценок прочности любых конструкции, от коленчатого вала до морских судов.
Большие балки начали использовать в технике по существу не столь давно,немногим более столетия назад. Английскому инженеру Телфорду (1757–1834)дали много лестных прозвищ за искусство строить мосты, он построил их,вероятно, больше, чем кто-либо другой. Обычно Телфорд применял каменныеили чугунные арки, работающие на сжатие, а для больших пролетов первымстал строить подвесные мосты, используя железные цепи (мост через проливМенай - 1819 год). Вряд ли Телфорд когда-либо применял большие балки, отчастииз-за отсутствия подходящего материала - кованых железных плит, а отчастиоттого, что не было надежной теории балок. Между прочим, об уровне расчетовна прочность в то время можно судить по тому, что форма линии цепей дляупомянутого моста определялась не расчетным путем, а на специально построеннойбольшой модели моста, переброшенной через овраг.
Лет тридцать спустя Роберт Стефенсон (1803–1859) уже имел в своем распоряжениилисты котельной стали; кроме того, он верил своим расчетам. Ему принадлежитблестящая идея[15] изготовить из листов железа балку ввиде полого короба и пустить внутри нее поезда. Так, в 1850 году был построеннедалеко от телфордова моста железнодорожный мост через Менай. Каждая балкаСтефенсона весила 1500 т, они были собраны на берегу, за тем спущены на плотахна воду, установлены на плаву поперек узкого бурлящего потока между опорами,после чего примитивные гидравлические домкраты за несколько приемов подняли всюконструкцию метров на тридцать к опорам. Хотя вся операция проводилась сполным пониманием дела, она не лишена была элементов риска; по тем временам этобыл выдающийся подвиг.
Несколько позже Стефенсона одолели сомнения, и было предложено укрепитьмост, подвесив трубу на цепях, но это оказалось совершенно излишним. Обамоста по сей день стоят рядом - превосходные образцы использования растяженияи изгиба в технике. Подвесной мост Телфорда вначале был недостаточно жестким,штормовые ветры, гулявшие вдоль пролива, угрожающе раскачивали его. Рассказывают,как однажды зимней ночью лошади почтовой кареты не смогли удержаться наногах, и во избежание неприятностей пришлось срочно пережигать постромкиогнем фонаря. После этого случая мост был укреплен, и в таком виде он служитдо сих пор. Недостаточная жесткость подвесных мостов делает их непригоднымидля железнодорожных целей: поезд может сойти с рельсов. Именно поэтомуСтефенсон и Брюнель (1806–1859) разработали для больших пролетовбалочные мосты. Но хотя трубчатый мост через Менай имеет великолепную жесткостьи никогда не вызывал беспокойства, в настоящее время подобные мосты имеютрешетчатую конструкцию. Такие мосты экономичнее как в постройке, так ив эксплуатации.
Корабль также представляет собой длинную закрытую с двух сторон трубу,которой назначено плавать. Отличие такой конструкции от стефенсонова мостапо существу невелико. Корпус корабля порой не выдерживает веса двигателей,груза, топлива, которые он несет, и изгибается. Глядя на стоящее у причаласудно трудно себе представить, что его можно разрушить неосторожной илинеравномерной загрузкой трюмов и цистерн. Однако такие трагедии случалисьдовольно часто и, судя по всему, не исключены и в будущем. В сухом докекорабль тщательнейшим образом устанавливается на специальные килевые подставки,чтобы корпус опирался на них равномерно, но в плавании такие равномерныеопоры отсутствуют. Корабль может быть поднят двумя мощными волнами за носи корму, а его середина окажется без опоры. Бывает и так, что самая мощнаяволна может оказаться под центральной частью корпуса.
Рис. 15. Корабль "Скенектеди".Трещина началась у острого угла люка на палубе и "побежала"до самого киля
Корабли становились все больше, длиннее, а инженеры стремились сделатьих легче. В 1903 году Британское Адмиралтейство решило провести специальныеиспытания судов на прочность. С этой целью эскадренный миноносец "Волк"был заведен в сухой док. После откачки воды подпорки были оставлены сначалатолько посредине, а затем лишь по краям судна. При этом с помощью тензометров- приборов для измерения удлинений, а следовательно, и деформаций материала- измерялись напряжения в различных частях корпуса. Затем "Волк" вышелв открытое море для продолжения испытаний в плохую погоду. Легко себе представитьэкспериментаторов, в темных трюмах борющихся с морской болезнью и тогдашнимине очень покладистыми тензометрами, - в официальном отчете состояние моряназывалось "чрезвычайно бурным с сильным ветром". Капитан делалвсе, что было в его силах, чтобы этот поход был худшим для "Волка". Нокак он ни старался, а напряжения в корпусе нигде не превышали 9 кг/мм2,в то время как прочность сталей, используемых в кораблях, была примерно40–45 кг/мм2.
После этих двух испытаний кораблестроители решили, что стандартный методрасчета прочности судов по простой теории изгиба балок вполне их устраивает,поскольку он обеспечивает достаточно большой запас прочности. Порой никтоне бывает так слеп, как эксперты.
Корабли продолжали время от времени ломаться по полам. Такое стряслось,например, со стометровым пароходом, груженным рудой, на одном из Великихозер в Америке во время шторма. Максимальное напряжение в таких условияхпо расчетам должно было составлять не более одной трети от предела прочностиматериала судна.
Даже когда не случалось самого страшного, появлялись трещины вокруг люков идругих отверстий в корпусе[16]. Безусловно, корень зла крылся именно вэтих отверстиях. Трубчатый мост Стефенсона оказался исключительно надежным,потому что представлял собой сплошную оболочку, если не считать отверстий подзаклепки. Конечно же, британские кораблестроители не могли не принять вовнимание возможность увеличения напряжения пропорционально уменьшению площадипоперечного сечения за счет всех этих отверстий. Однако профессор Инглис всвоей знаменитой статье, написанной в 1913 году, показал, что такой подход неочень хорош[17]. Он ввел понятие"концентрации напряжений", которое, как мы увидим ниже (глава 4), имеетжизненно важное значение в расчетах прочности конструкций.
Что показал Инглис? Он нашел, что если мы, вырезав в пластинке отверстие,уменьшим сечение, скажем, на одну треть, то напряжение на кромке отверстияне будет составлять 3/2 от первоначального, а может быть во много раз больше.Число, показывающее, во сколько раз местное напряжение превышает среднеезначение напряжения - коэффициент концентрации напряжений, - зависит отформы отверстия, или надреза, и от свойств материала. Наихудшая ситуациявозникает в случае острых надрезов и хрупких материалов.
Этот вывод Инглиса, который он получил чисто математическим путем, былвстречен с обычным пренебрежением тем удивительно непрактичным племенемлюдей, которые сами себя зовут почему-то "практиками". Произошло это восновном потому, что мягкая сталь менее других материалов чувствительнак концентрации напряжений, хотя и ни в коем случае не безразлична к ней.