В исследовании чисел Мерсенна можно выделить раннюю стадию, достигшую своей кульминации в 1750 году, когда Леонард Эйлер[5] установил, что число М31 является простым. К этому времени было найдено восемь простых чисел Мерсенна, соответствующих значениям
р = 2, р = 3, р = 5, р = 7, р = 13, р = 17, p = 19, р = 31.
Эйлерово число M31 оставалось самым большим из известных простых чисел более ста лет. В 1876 году французский математик Лукас установил, что огромное число
М127 = 170141183460469231731687303715884105727
является простым числом. Ну и число! С 39 цифрами. Простые числа Мерсенна, меньшие этого числа, задаются значениями р, указанными выше, а также значениями
р = 61, р = 89, р = 107.
Эти 12 простых чисел Мерсенна были вычислены с помощью только карандаша и бумаги, а для вычисления следующих уже использовались механические настольные счетные машины. Появление вычислительных машин с электрическим приводом позволило продолжить поиски, доведя их до р = 257. Однако результаты были неутешительными, среди них не оказалось новых простых чисел Мерсенна.
Затем задача была переложена на плечи ЭВМ. Создание все более высокопроизводительных ЭВМ дало возможность продолжить поиск новых простых чисел Мерсенна. Д. X. Лемер установил, что значения
р = 521, р = 607, р = 1279, р = 2203, р = 2281
дают простые числа Мерсенна. Дальнейшие поиски также увенчались успехом. Ризель (1958) показал, что
р = 3217,
дает простое число Мерсенна, а Гурвиц (1962) нашёл еще два таких значения:
р = 4253, р = 4423.
Огромного успеха добился Гиллельс (1964), который нашел простые числа Мерсенна, соответствующие значениям
р = 9689, р = 9941, р = 11213.
Итак, общий урожай составил 23 простых числа Мерсенна, и, так как мощности ЭВМ продолжают увеличиваться, мы надеемся на дальнейший успех. Простое число Лукаса М127, как мы уже упоминали, имеет 39 цифр. Даже вычисление самого большого из известных простых чисел, числа M11213, является довольно сложной задачей и, по-видимому, нет смысла воспроизводить здесь это число. Если же мы захотим узнать, сколько цифр содержит это число, то мы можем сделать это, не вычисляя самого числа.
Вместо нахождения количества цифр числа Мр = 2p — 1 рассмотрим эту задачу для числа Мр + 1 = 2р.
Эти два числа имеют одинаковое количество цифр, так как если бы число Мр + 1 имело на одну цифру больше, то оно должно было бы оканчиваться на 0. Но это невозможно ни для какой степени числа 2, что видно из ряда
2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 266….
в котором последняя цифра в каждом числе может быть только одним из чисел
2, 4, 8, 6.
Чтобы найти количество цифр числа 2p, вспомним, что Ig 2p = p lg 2. Из таблиц находим, что Ig 2 приближенно равняется 0,30103, откуда
lg 2p = p lg 2 = р • 0,30103.
Для р = 11213 получаем
lg 211213 = 3375,449…,
и так как характеристика этого числа равна 3375, то мы приходим к выводу, что число 2p имеет 3376 цифр.
Итак, мы можем сказать следующее.
Самое большое известное в настоящее время простое число имеет 3376 цифр. (Здесь слова «в настоящее время» имеют существенное значение.) Это число было найдено на ЭВМ Иллинойского университета (США). Математический факультет этого университета был так горд своим достижением, что изобразил это число на своем почтовом штемпеле, таким образом воспроизводя его на каждом отсылаемом письме, для всеобщего восхищения.
§ 3. Простые числа Ферма
Существует также еще один тип простых чисел с большой и интересной историей. Они были впервые введены французским юристом Пьером Ферма (1601–1665), который прославился своими выдающимися математическими работами. Первыми пятью простыми числами Ферма являются
F0 = 22° + 1 = 3,
F1 = 22¹+ 1 = 5,
F2 = 22² + 1 = 17,
F3 = 22³ + 1 = 257,
F4 = 22ˆ4 + 1 = 65 537.
В соответствии с этой последовательностью общая формула для простых чисел Ферма должна иметь вид
Fn= 22ⁿ+1. (2.3.1)
Ферма был абсолютно уверен, что все числа этого вида являются простыми, хотя он не проводил вычислений других чисел, кроме указанных пяти. Однако это предположение было сдано в архив неоправдавшихся математических гипотез после того, как Леонард Эйлер сделал еще один шаг и показал, что следующее число Ферма
F5 = 4 294 967 297 = 641 6 700 417
не является простым, что и показывает приведенная запись. Возможно, что этим история чисел Ферма была бы закончена, если бы числа Ферма не появились в совсем другой задаче, задаче построения правильных многоугольников при помощи циркуля и линейки.
Правильным многоугольником называется многоугольник, вершины которого лежат на некоторой окружности на одинаковых расстояниях друг от друга (рис. 13). Если у правильного многоугольника n вершин, то мы называем его правильным n-угольником.
Рис 13.
Если мы проведем n радиусов, соединяющих центр окружности с вершинами, то получим n центральных углов величиной
1/n 360°
каждый. Если можно построить угол, имеющий эту величину, то можно построить и этот n-угольник.
Древние греки очень хотели найти методы построения правильных многоугольников с помощью циркуля и линейки. Разумеется, они умели строить простейшие из них — равносторонний треугольник и квадрат. С помощью повторного деления пополам центрального угла они могли также построить правильные многоугольники с
4, 8, 16, 32…,
3, 6, 12, 24…
вершинами. Кроме того, они умели строить правильный пятиугольник, и следовательно, также правильные многоугольники с
5, 10, 20, 40…
вершинами. Был также получен еще один тип правильного многоугольника. Центральный угол в правильном 15-угольнике равен
1/15 360° = 24°,
и он может быть получен с помощью утла в 72°, соответствующего правильному пятиугольнику, и угла в 120°, соответствующего правильному треугольнику, если удвоить первый угол и вычесть из него второй. Следовательно, мы можем построить правильные многоугольники с 15, 30, 60, 120… сторонами.
В таком состоянии проблема оставалась до 1801 года, когда вышла работа по теории чисел молодого немецкого математика К. Ф. Гаусса (1777–1855) «Арифметические исследования». Она открыла новую эпоху в математике. Гаусс превзошел греческих геометров не только в том, что указал метод построения циркулем и линейкой правильного 17-угольника, но и пошел гораздо дальше. Для всех чисел n он определил, какие n-угольники могут быть построены таким образом, а какие нет. Сейчас мы опишем результаты, полученные Гауссом.
Выше мы отмечали, что из правильного n-угольника можно получить правильный 2n-угольник, деля каждый центральный угол пополам. С другой стороны, из 2n-угольника можно получить n-угольник, используя лишь каждую вторую вершину. Это показывает, что достаточно провести поиск правильных многоугольников, которые могут быть построены с помощью циркуля и линейки, только среди многоугольников с нечетным числом вершин. Гаусс доказал, что правильный n-угольник с нечетным числом вершин может быть построен с помощью циркуля и линейки тогда, и только тогда, если число n является простым числом Ферма или произведением нескольких различных простых чисел Ферма.
Что это нам дает для небольших значений n? Очевидно, что 3-угольник и 5-угольник могут быть построены, в то время как 7-угольник не может, так как 7 не является простым числом Ферма. Не может быть построен и 9-угольник, так как 9 = 3 • 3 является произведением двух равных простых чисел Ферма.
Открытие Гаусса, естественно, возродило интерес к числам Ферма (2.3.1). За последнее столетие были предприняты поистине героические поиски, вручную, без помощи машин, новых простых чисел Ферма. В настоящее время эти вычисления продолжаются со все возрастающей скоростью с помощью ЭВМ. Однако до сих пор результаты были отрицательными. Ни одного нового простого числа Ферма не было найдено и сейчас многие математики склонны считать, что их больше нет.
Система задач 2.3.
1. Найдите все нечетные числа n < 100, для которых можно построить правильный n-угольник.
2. Как построить правильный 51-угольник, имея правильный 17-угольник?
3. Если не существует простых чисел Ферма, кроме выше указанных пяти, то сколько существует правильных n-угольников (n нечетно), которые могут быть построены циркулем и линейкой? Каково то наибольшее нечетное n, для которого может быть построен правильный n-угольник?
§ 4. Решето Эратосфена
Как мы уже говорили, существуют таблицы простых чисел, простирающиеся до очень больших чисел. Как можно было бы подступиться к составлению такой таблицы? Эта задача была, в известном смысле, решена (около 200 г. до н. э.) Эратосфеном, математиком из Александрии. Его схема состоит в следующем: напишем последовательность всех целых чисел от 1 до числа, которым мы хотим закончить таблицу:
1 2 3 4 5 6 7 8910 11 12 13 1415 2 2 2 3 2 2 2 3