2. Проделайте то же самое для чисел, указанных в задаче 1 системы задач 2.1 (стр. 25).
3. Запишите все разложения числа 360 на чётно-простые числа.
4. В каких случаях четные числа обладают единственным разложением на четно-простые множители?
§ 2. Делители
Разложим на множители какое-нибудь число, скажем, 3600. Это разложение
3600 = 2 • 2 • 2 • 2 • 3 • 3 • 5 • 5
может быть записано как
3600 = 24 • 32 • 52.
Вообще при разложении числа n на множители аналогично можно собирать одинаковые простые множители в виде степеней и записывать
n = p1α1 • p2α2 • …. • рrαr, (3.2.1)
где p1, p2 …. рr — различные простые множители числа n, причем число p1 входит α1 раз, p2 входит α2 раз и т. д.
Если мы знаем вид (3.2.1) для числа, то мы сможем тотчас же ответить на некоторые вопросы об этом числе.
Например, если мы захотим, то можем узнать, какие числа делят число n. Возьмем для примера рассмотренное выше число 3600. Предположим, что число d является одним из его делителей, т. е.
3600 = d • d1.
Приведенное разложение на простые множители показывает, что единственными числами среди множителей числа d будут лишь 2, 3, 5. Кроме того, число 2 может содержаться не более 4 раз, а числа 3 и 5 не более, чем по 2 раза каждое. Итак, мы видим, что возможными делителями числа 3600 будут числа вида
d = 2δ1 • 3δ2 • 5δ3,
при этом показатели степени могут принимать значения:
δ1 = 0, 1, 2, 3, 4;
δ2 = 0, 1, 2;
δ3 = 0, 1, 2.
Так как эти значения могут сочетаться всеми возможными способами, то число делителей равно
(4 + 1)•(2 + 1)•(2 + 1) = 5 • 3 • 3 = 45.
Для любого числа n, разложение которого на простые множители дается формулой (3.2.1), положение точно такое же. Если число d является делителем числа n, т. е.
n = d • d1
то единственными простыми числами, на которые может делиться число d, будут только те, которые делят число n, а именно: p1…, рr. Таким образом, мы можем записать разложение числа d на простые множители в виде
d = p1δ1 • p2δ2 • …. • рrαr, (3.2.2)
Простое число p1 может содержаться не более α1 раз, как и в самом числе n; аналогично — для p2 и других простых чисел. Это значение для числа δ1 мы можем выбрать α1 + 1 способом:
δ1 = 0, 1…, α1;
аналогично и для других простых чисел. Так как каждое из α1 + 1 значений, которые может принимать число δ1, может сочетаться с любым из α2 + 1 возможных значений числа δ2 и т. д., то мы видим, что общее число делителей числа n задается формулой
τ(n) = (α1 + 1) (α2 + 1)… (αr + 1). (3.2.3)
Система задач 3.2.
1. Сколько делителей имеет простое число? Сколько делителей имеет степень простого числа рα?
2. Найдите количество делителей у следующих чисел: 60, 366, 1970, вашего почтового индекса.
3. Какое натуральное число (или числа), не превосходящее 100, имеет наибольшее количество делителей
§ 3. Несколько задач о делителях
Существует единственное число n = 1, которое имеет только один делитель. Числами с ровно двумя делителями являются простые числа n = р: они делятся на 1 и на р. Наименьшим числом, имеющим два делителя, является, таким образом, р = 2.
Исследуем числа, имеющие ровно 3 делителя. В соответствии с (3.2.3) имеем
3 = (α1 + 1) (α2 + 1)… (αr + 1).
Так как 3 — простое число, то справа может существовать лишь один множитель, не равный 1. Отсюда r = 1, a α1 = 2. Таким образом,
n = p12.
Наименьшим числом с 3 делителями является n = 22 = 4. Это соображение, примененное к общему случаю, когда число делителей q является простым числом, позволяет получить, что
q = α1 + 1, т. е. α1 = q — 1 и n = р1q-1;
наименьшим из таких чисел является
n = 2q-1.
Рассмотрим следующий случай, когда существует ровно 4 делителя. Тогда соотношение
4 = (α1 + 1) (α2 + 1),
возможно только тогда, когда
α1 = 3, α2 = 0 или α1 = α2 = 1.
Это приводит к двум возможностям:
n = p13, n = p1p2;
наименьшее число с 4 делителями — это n = 6.
В том случае, когда имеется 6 делителей, должно выполняться соотношение
6 = (α1 + 1) (α2 + 1),
что возможно лишь тогда, когда
α1 = 5, α2 = 0 или α1 = 2, α2 = 1.
Это дает две возможности:
n = p15, n = p12p2;
при этом наименьшее значение имеет место в последнем случае, когда
p1 = 2, p2 = 3, n =12.
Этот метод можно использовать для вычисления наименьших натуральных чисел, имеющих любое заданное количество делителей.
Существуют таблицы, указывающие количество делителей для различных чисел. Они начинаются следующим образом:
Вы легко можете ее самостоятельно продолжить.
Будем говорить, что натуральное число n является сверхсоставным, если количество делителей у каждого числа, меньшего n, меньше, чем количество делителей у числа n. Глядя на нашу небольшую таблицу, мы видим, что
1, 2, 4, 6, 12
являются первыми пятью сверхсоставными числами. О свойствах этих чисел известно еще очень мало.
Система задач 3.3.
1. Взвод из 12 солдат может маршировать 6-ю различными способами: 12 × 1, 6 × 2, 4 × 3, 3 × 4, 2 × 6, 1 × 12. Какую наименьшую численность должны иметь группы людей, которые могут маршировать 8, 10, 12 и 72 способами?
2. Найдите наименьшие натуральные числа, имеющие: а) 14 делителей, б) 18 делителей ив) 100 делителей.
3. Найдите два первых сверхсоставных числа, следующих за числом 12.
4. Охарактеризуйте все натуральные числа, количество делителей которых является произведением двух простых чисел.
§ 4. Совершенные числа
Нумерология (или гематрия, как ее иногда еще называют) была распространенным увлечением у древних греков. Естественным объяснением этому является то, что числа в Древней Греции изображались буквами греческого алфавита, и поэтому каждому написанному слову, каждому имени соответствовало некоторое число. Люди могли сравнивать свойства чисел, соответствующих их именам.
Делители или аликвотные части[6] чисел играли важную роль в нумерологии. В этом смысле идеальными, или, как их называют, совершенными числами являлись такие числа, которые составлялись из своих аликвотиых частей, т. е. равнялись сумме своих делителей. Здесь следует отметить, что древние греки не включали само число в состав его делителей.
Наименьшим совершенным числом является 6:
6 = 1 + 2 + 3.
За ним следует число 28:
28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14,
далее число 496:
496 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248.
Часто математик, увлеченный решением какой-либо проблемы и имеющий одно или несколько частных решений этой задачи, пытается найти закономерности, которые смогли бы дать ключ к нахождению общего решения. Указанные нами совершенные числа могут быть записаны в виде
6 = 2 3 = 2(22 — 1),
28 = 22 7 = 22(23 — 1),
496 = 24 31 = 24(25 — 1).
Это наталкивает нас на гипотезу:
Число является совершенным, если оно представляется в виде
Р = 2p-1(2p — 1) = 2р q, (3.4.1)
где
q = 2p — 1
является простым числом Мерсенна.
Этот результат, известный еще грекам, несложно доказать. Делителями числа Р, включая само число Р, очевидно, являются следующие числа:
1, 2, 22…, 2р-1,
q, 2q, 22q…, 2р-1q.
Запишем сумму этих делителей
1 + 2 +… + 2р-1 + q(1 + 2 +… + 2р-1),
которая равна
(1 + 2 +… + 2р-1)(q + 1) = (1 + 2 +… + 2р-1) 2р
Если вы не помните формулы для суммы членов геометрической прогрессии,
S = 1 + 2 +… + 2р-1,
то умножьте эту сумму на 2: